小學(xué)奧數(shù)7-3-1加乘原理之綜合運用.專項練習(xí)及答案解析

1、_. 一7-3-1.加乘原理之綜合運用日M 教學(xué)目標(biāo)1 .復(fù)習(xí)乘法原理和加法原理；2 .培養(yǎng)學(xué)生綜合運用加法原理和乘法原理的能力.3.讓學(xué)生懂得并運用加法、乘法原理來解決問題，掌握常見的計數(shù)方法，會使用這些 方法解決問題.在分類討論中結(jié)合分步分析， 在分步分析中結(jié)合分類討論；教師應(yīng)該明確并強(qiáng)調(diào)哪些是分類，哪些是分步.并了解與加、乘原理相關(guān)的常見題型：數(shù)論類問題、染色問題、圖 形組合.即岫§知識要點一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用其中某一類中的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的.那么考慮完成這件事所有可能的做法，

2、就要用到加法原理來解決.還有這樣的一種情況：就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方法.要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決.二、加乘原理應(yīng)用應(yīng)用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和.乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積.在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運用好這兩大原理，綜合分析，正確作出分類和分步.加法原理運用的范圍： 完成一件事的方法

3、分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決.我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”乘法原理運用的范圍： 這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成， 這幾步是完 成這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決.我們可以簡記為：“乘法分步，步步相關(guān)”.加庇 例題精講【例1】商店里有2種巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有 2種水果糖：蘋果味、梨味、橙 味.小明想買一些糖送給他的小朋友.如果小明只買一種糖，他有幾種選法？如果小明想買水果糖、巧克力糖各 1種，他有幾種選法？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】1星【題型】解答【解析】小明只買一種糖，完成這件事一步即可完成

4、，有兩類辦法：第一類是從 2種巧 克力糖中選一種有2種辦法；第二類是從3種水果糖中選一種，有3種辦法.因此，小明有2+3 = 5 種選糖的方法.小明完成這件事要分兩步，每步分別有2種、3種方法，因此有3M2=6種方法.【答案】56【例2】從2, 3, 5, 7, 11這五個數(shù)中，任取兩個不同的數(shù)分別當(dāng)作一個分?jǐn)?shù)的分子與 分母，這樣的分?jǐn)?shù)有 個，其中的真分?jǐn)?shù)有 個?！究键c】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，二試，第 7題【解析】第一問要用乘法原理，當(dāng)分子有 5種可能時，分母有 4種可能，即5X4=20種, 所以這樣的分?jǐn)?shù)有 20個。第二問中，分母為 3的真分?jǐn)?shù)有

5、1個，分母為5的真 分?jǐn)?shù)有2個，分母為7的真分?jǐn)?shù)有3個，分母為11的真分?jǐn)?shù)有4個，所以真分 數(shù)共有1+2+3+4=10個?！敬鸢浮?0個【例3】從北京到廣州可以選擇直達(dá)的飛機(jī)和火車，也可以選擇中途在上海或者武漢作 停留，已知北京到上海、武漢和上海、武漢到廣州除了有飛機(jī)和火車兩種交通方式外還有汽車.問，從北京到廣州一共有多少種交通方式供選擇？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】1星【題型】解答【解析】從北京轉(zhuǎn)道上海到廣州一共有 3x3 =9種方法，從北京轉(zhuǎn)道武漢到廣州一共也有 3父3=9種方法供選擇，從北京直接去廣州有 2種方法，所以一共有9 + 9+2=20 種方法.【答案】20【例4】從學(xué)而思

6、學(xué)校到王明家有 3條路可走，從王明家到張老師家有2條路可走，從學(xué)而思學(xué)校到張老師家有 3條路可走，那么從學(xué)而思學(xué)校到張老師家共有多少 種走法？加乘原理之綜合運用【題型】解答10【解析】根據(jù)乘法原理，經(jīng)過王明家到弓老師家的走法一共有3父2=6種方法，從學(xué)而思學(xué)校直接去張老師家一共有 3條路可走，根據(jù)加法原理，一共有6+3 = 9種走法.【答案】9【鞏固】 如下圖，從甲地到乙地有 2條路，從乙地到丙地有 4條路，從甲地到丁地有 3條路可走，從丁地到丙地也有 3條路，請問從甲地到丙地共有多少種不同走法?【考點】加乘原理之綜合運用【難度】1星【題型】解答【解析】 從甲地到丙地有兩種方法：第一類，從甲地

7、經(jīng)過乙地到丙地， 根據(jù)乘法原理，走法一共有4 M2 =8種方法，；第二類，從甲地經(jīng)過丁地到丙地，一共有3M 3 = 9種方法.根據(jù)加法原理，一共有 8 + 9 =17種走法.【答案】17【鞏固】 王老師從重慶到南京，他可以乘飛機(jī)、汽車直接到達(dá)，也可以先到武漢，再由 武漢到南京.他從重慶到武漢可乘船，也可乘火車；又從武漢到南京可以乘船、火車或者飛機(jī)，如圖.那么王老師從重慶到南京有多少種不同走法呢?【考點】加乘原理之綜合運用【題型】解答【解析】 從重慶到南京的走法有兩類：第一類從重慶經(jīng)過武漢去南京，根據(jù)乘法原理，有2 M3 =6（種）走法；第二類不經(jīng)過武漢，有 2種走法.根據(jù)加法原理，從重慶到 南

8、京一共有2+6 =8種不同走法.【答案】8【例5】某條鐵路線上，包括起點和終點在內(nèi)原來共有7個車站，現(xiàn)在新增了 3個車站，鐵路上兩站之間往返的車票不一樣，那么，這樣需要增加多少種不同的車票？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】1、新站為起點，舊站為終點有 3X7=21張，2、舊站為起點，新站為終點有 7X3=21張，3、起點、終點均為新站有 3X2=6張，以上共有21+ 21+ 6=48張.【答案】48【例6】如右圖所示，每個小正三角形邊長為1,小蟲每步走過1,從A出發(fā)，走4步恰好回到A的路有（）條.（途中不再回A）【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵

9、詞】走美杯，四年級，初賽，第 8題，五年級，初賽，第 12題【解析】因為第一、三步到的點一定是以 A為中心的六邊形的六個頂點，根據(jù)一定的規(guī)則進(jìn)行計數(shù)：（1）第一步與第三步是同一個點的情況有：6X 5=30 （種）（2）第一步與第三步不是同一個點的情況有：4X6=24 （種）所以共有30+24=54 （種）【答案】54種【例7】如下圖，八面體有12條棱，6個頂點.一只螞蟻從頂點 A出發(fā)，沿棱爬行，要 求恰好經(jīng)過每一個頂點一次.問共有多少種不同的走法？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答C【解析】 走完6個頂點，有5個步驟，可分為兩大類：第二次走C點：就是意味著從 A點出發(fā)，我們要先

10、走 F , D, E, B中間的一點，再 經(jīng)過C點，但之后只能走 D, B點，最后選擇后面兩點.有4x1 m2 1父1 =8種（從F到C的話，是不能到E的）；第二次不走 C :有4m2m2m2m1 =32種（同理，F(xiàn)不能到E）;共計：8十32 =40種.【答案】40【例8】有3所學(xué)校共訂300份中國少年報，每所學(xué)校訂了至少 98份，至多102份.問: 一共有多少種不同的訂法 ？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】 可以分三種情況來考慮：3所學(xué)校訂的報紙數(shù)量互不相同，有98, 100, 102; 99, 100, 101兩種組合，每種組各有p3 =6種不同的排列，此時有 6

11、父2 =12種訂法.3所學(xué)校訂的報紙數(shù)量有 2所相同，有98, 101, 101; 99, 99, 102兩種組合，每種組 各有3種不同的排列，此時有 3 M2 =6種訂法.3所學(xué)校訂的報紙數(shù)量都相同，只有100, 100, 100 一種訂法.由加法原理，不同的訂法一共有 12+6+1=19種.【答案】19【例9】玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共 4節(jié)，用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色。這家玩 具廠共可生產(chǎn) 種顏色不同的玩具棒?！究键c】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第 10題【解析】總共有45種，分三類：只有一種顏色的有：3種；有兩種顏色的有：3x8=24;有

12、3種顏色的有： 6x3=18所以共有：3+24 +18=45 （種）【答案】45種【例10】如果從3本不同的語文書、4本不同的數(shù)學(xué)書、5本不同的外語書中選取 2本 不同學(xué)科的書閱讀，那么共有多少種不同的選擇？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】2星【題型】解答【解析】因為強(qiáng)調(diào)2本書來自不同的學(xué)科，所以共有三種情況：來自語文、數(shù)學(xué)：3X4=12; 來自語文、外語：3X5=15；來自數(shù)學(xué)、外語：4 X 5=20;所以共有12+ 15+20=47.【答案】47【例11 過年了，媽媽買了 7件不同的禮物，要送給親朋好友的5個孩子每人一件.其 中姐姐的兒子小強(qiáng)想從智力拼圖和遙控汽車中選一個，朋友的女兒小玉

13、想從學(xué) 習(xí)機(jī)和遙控汽車中選一件.那么媽媽送出這5件禮物共有 種方法.【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，決賽， 7題【解析】假如給小強(qiáng)的是智力拼圖，則有 2X5X4X3=120 （種）方法.假如給小強(qiáng)的是遙控汽車，則有1父5父4父3 = 60 （種）方法.總共有120 +60 =180 （種）方法.【答案】180種【例12】某件工作需要鉗工 2人和電工2人共同完成.現(xiàn)有鉗工 3人、電工3人，另有 1人鉗工、電工都會.從 7人中挑選4人完成這項工作，共有多少種方法？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】分兩類情況討論：都會的這1人被挑

14、選中，則有：如果這人做鉗工的話，則再按乘法原理，先選一名鉗工有3種方法，再選 2名電工也有3種方法；所以有3 M3 =9種方法；同樣，這人做電工，也有 9種方法.都會的這一人沒有被挑選，則從3名鉗工中選2人，有3種方法；從3名電工中選2 人，也有3種方法，一共有3父3=9種方法.所以，根據(jù)加法原理，一共有9+9+9= 27種方法.【答案】27【例13】某信號兵用紅，黃，藍(lán)，綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個位置表 示信號.每次可掛一面，二面或三面，并且不同的順序，不同的位置表示不同 的信號.一共可以表示出多少種不同的信號？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】由于每次

15、可掛一面、二面或三面旗子，我們可以根據(jù)旗桿上旗子的面數(shù)分三類考 慮：第一類，可以從四種顏色中任選一種，有4種表示法；第二類，要分兩步完成：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第二面旗子可從剩下的三種中選一種，有 3種選法.根據(jù)乘法原理，共有4 M 3 =12種表示法；第三類，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第二面旗子可從剩下的三種中選一種，有3種選法；第三步，第三面旗子可從剩下的兩種顏色中選一種，有2種選法.根據(jù)乘法原理，共有4 M3 M2 =24種表示法.根據(jù)加法原理，一共可以表示出4+12 +24 =40種不同的信號.【

16、答案】40【鞏固】 五面五種顏色的小旗，任意取出一面、兩面或三面排成一行表示各種信號，問:共可以表示多少種不同的信號？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】分3種情況：取出一面，有5種信號；取出兩面：可以表示 5M4=20種信號；取出三面：可以表示：54X3=60種信號；由加法原理，一共可以表示：5 +20 +60 =85種信號.【答案】85【例14】五種顏色不同的信號旗，各有 5面，任意取出三面排成一行，表示一種信號, 問：共可以表示多少種不同的信號？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：取出的3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按

17、此進(jìn)行 分類一種顏色：5種可能； 兩種顏色：(5x4)m3 =60三種顏色：5x4x3=60所以，一共可以表示 5 +60 +60 =125種不同的信號方法二：每一個位置都有 5種顏色可選，所以共有 5x5x5=125種.【答案】125【鞏固】 紅、黃、藍(lán)、白四種顏色不同的小旗，各有 2, 2, 3, 3面，任意取出三面按順 序排成一行，表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？如果白旗不能 打頭又有多少種？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】3星【題型】解答【解析】(一)取出的3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進(jìn)行分 類第一類，一種顏色：都是藍(lán)色的或者都是白色的，2種可能

18、；第二類，兩種顏色：(4 3) 3=36第三類，三種顏色：4 3 2 =24所以，根據(jù)加法原理，一共可以表示2 +36 +24 =62種不同的信號.(二)白棋打頭的信號，后兩面旗有4X4 =16種情況.所以白棋不打頭的信號有 62-16=46 種.【答案】46【例15】小紅和小明舉行象棋比賽，按比賽規(guī)定，誰先勝頭兩局誰贏，如果沒有勝頭兩 局，誰先勝三局誰贏.共有 種可能的情況.【考點】加乘原理之綜合運用【難度】1星【題型】解答【關(guān)鍵詞】清華附中【解析】小紅和小明如果有誰勝了頭兩局，則勝者贏，此時共2種情況；如果沒有人勝頭兩局，即頭兩局中兩人各勝一局，則最少再進(jìn)行兩局、最多再進(jìn)行三局，必有一 人

19、勝三局，如果只需再進(jìn)行兩局，則這兩局的勝者為同一人，對此共有 2M2 = 4種情況；如果還需進(jìn)行三局，則后三局中有一人勝兩局，另一人只勝一局， 且這一局不能為最后一局， 只能為第三局或第四局， 此時共有2 m 2父2 =8種情況，所 以共有2 +4 +8 =14種情況.【答案】14【例16】玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共 4節(jié)，用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色.這家廠 共可生產(chǎn) 種顏色不同的玩具棒.【考點】加乘原理之綜合運用【難度】4星【題型】解答【解析】 每節(jié)有3種涂法，共有涂法3m3m3m3=81（種）.但上述81種涂法中，有些涂法 屬于重復(fù)計算，這是因為有些游戲棒倒過來放時的顏色與順著放時的顏色

20、一樣， 卻被我們當(dāng)做兩種顏色計算了兩次.可以發(fā)現(xiàn)只有游戲棒的顏色關(guān)于中點對稱時才沒有被重復(fù)計算，關(guān)于中點對稱的游戲棒有3M3X1X1 =9（種）.故玩具棒最多有（81 +9）+2 =45種不同的顏色.【答案】45【例17奧蘇旺大陸上的居民使用的文字非常獨特，他們文字的每個單詞都由5個字母a、b、c、d、e組成，并且所有的單詞都有著如下的規(guī)律，字母e不打頭，單詞中每個字母 a后邊必然緊跟著字母 b，c和d不會出現(xiàn)在同一個字母 之中，那么由四個字母構(gòu)成的單詞一共有多少種？【考點】加乘原理之綜合運用【難度】4星【題型】解答【解析】分為三種：第一種：有兩個 a的情況只有abab 1種第二種，有一個a的情況，又分3類第一類，在第一個位置，則 b在第二個位置，后邊的排列有 4父4=