用Fox_Li數(shù)值迭代法求解激光諧振腔的自再現(xiàn)模

1、用Fox_Li數(shù)值迭代法求解激光諧振腔的自再現(xiàn)模摘要：諧振腔內(nèi)的模式計(jì)算是分析激光器輸出光束質(zhì)量的前提和基礎(chǔ)。本文在matlab環(huán)境下，采用Fox_Li數(shù)值迭代法計(jì)算了條形腔、矩形腔、圓形腔、傾斜腔的自再現(xiàn)模的振幅分布和小位分布，并比較了腔形、菲涅爾數(shù)、初始光強(qiáng)分布、傾斜擾動(dòng)等因素對(duì)最終模式的影響，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。關(guān)鍵字：激光；諧振腔；Fox-Li迭代法；自再現(xiàn)模1、原理說明諧振腔是激光器必備條件之一，它使激光反復(fù)通過增益物質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)光的自激振蕩。在激光的發(fā)展史上最早提出的是平行平面腔，又稱為FP腔，它由兩塊平行平面反射鏡組成，第一臺(tái)紅寶石激光器的諧振腔就是用它來做成的。對(duì)于開放式光

2、腔，鏡面上穩(wěn)態(tài)場分布的形成可以看成是光在兩個(gè)界面間往返傳播的結(jié)果。因此，兩個(gè)界面上的場必然是互相關(guān)聯(lián)的：一個(gè)鏡面上的場可以視為由另一個(gè)鏡面上的場所產(chǎn)生，于是求解鏡面上穩(wěn)態(tài)場的分布問題就歸結(jié)為求解一個(gè)積分方程。考慮在開腔中往返傳播的一列波。設(shè)初始時(shí)刻在鏡I上有某一個(gè)場分布u1,則當(dāng)波在腔中經(jīng)第一次渡越而到達(dá)鏡II時(shí)，將在鏡II上形成一個(gè)新的場分布u2,場u2經(jīng)第二次渡越后又將在鏡I上形成一個(gè)新的場分布u3。每次渡越時(shí)，波都將因?yàn)檠苌鋼p失一部分能量，并引起能量分布變化，如此重復(fù)下去，由于衍射主要是發(fā)生在鏡的邊緣附近，因此在傳播過程中，鏡邊緣附近的場將衰落得更快，經(jīng)多次衍射后所形成的場分布，其邊緣振

3、幅往往都很?。ㄅc中心處比較），具有這種特征的場分布受衍射的影響也將比較小?？梢灶A(yù)期：在經(jīng)過足夠多次渡越之后，能形成這樣一種穩(wěn)態(tài)場：分布不再受衍射的影響，在腔內(nèi)往返一次后能夠“再現(xiàn)”出發(fā)時(shí)的場分布，即實(shí)現(xiàn)了模的“自再現(xiàn)”，具體過程圖1所示：知的人川姓?qǐng)D1開腔中自再現(xiàn)模的形成光學(xué)中的惠更斯一菲涅爾原理是從理論上分析衍射問題的基礎(chǔ)，該原理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表示是菲涅爾基爾霍夫衍射積分。設(shè)已知空間任意曲面S上光波場地振幅和相位分布函數(shù)為u（x；y）,由它所要考察的空間任一點(diǎn)P處場分布為u（x,y）,二者之間有以下關(guān)系式：ike*u(x,y)Su(x,y)(1cospdS4二S式中，P為（x：y）與（x,y）連

4、線的長度，9為S面上點(diǎn)（x*y）處的法線和上述連線之間的夾角，ds，為S面上的面積元，k為波矢的模。本文采用Fox-Li數(shù)值迭代法實(shí)現(xiàn)了條形腔、矩形腔、圓形腔、傾斜腔的自再現(xiàn)模的形成。2、實(shí)現(xiàn)方案每一種腔形的自再現(xiàn)模的計(jì)算流程如圖2所示圖2總體流程圖條形腔條形腔是一種理想模型，即一個(gè)方向有限長，而另一個(gè)方向上無限延伸的腔形，故只在長度有限的那個(gè)方向上發(fā)生衍射現(xiàn)象，迭代公式為一維的菲涅爾一基爾霍夫衍射積分：u(x)=i-ikLeLa-ik(x-)22Lu(x)dx將條形腔的左鏡面S上沿著（-a,a）之間劃分N-1等分，則有N個(gè)點(diǎn)，每個(gè)區(qū)間為2a/（N-1）。右邊鏡面P上每一點(diǎn)的求解都需將左邊鏡面

5、上的點(diǎn)逐點(diǎn)計(jì)算一遍并相加，如此循環(huán)迭代下去，最終會(huì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布。矩形腔在矩形腔中，（x；y）與（x,y）連線的長度P可以表示為p=J（x-x）2+（y-y）2+L2,經(jīng)過計(jì)算與推導(dǎo)可知：矩形腔的計(jì)算不需考慮整個(gè)面上的點(diǎn)的影響，可以按照x、y兩個(gè)方向分離變量為u(x,y)=u(x)u(y),其中u(x)、u(y)的計(jì)算與條形腔相同，在此不再贅述圓形腔圓形腔的迭代思想與矩形腔相同，只是劃分與矩形腔不同。圓形腔是按照徑向和角向劃分，在極坐標(biāo)(rf)下完成數(shù)值迭代，但在最后顯示的時(shí)候，需要將極坐標(biāo)還原成笛卡爾坐標(biāo)系。傾斜腔嚴(yán)格的平行平面腔只是一種理想情況，實(shí)際情況下出現(xiàn)一定的不平行性是不可避免的，這里

6、主要考察傾斜條形腔對(duì)自再現(xiàn)模的影響，如圖3所示：圖3傾斜平行平面腔的示意圖兩個(gè)鏡面相對(duì)其理想位置(即兩鏡面與其公共軸線嚴(yán)格垂直的位置)沿相反方向偏離同樣大小的微小角度B,在鏡的邊緣處與理想位置的偏離線度6。在6甚小的情況下，且只考慮腔的旁軸光線，鏡面上兩點(diǎn)的距離MTM2與理想情況下相應(yīng)兩點(diǎn)的距離M1M2差為：口，6,6,I=M1M2M1M2=P(x+x)=(x+x),故P=M1M2=M1M2+(x+x),aa于是衍射積分方程變?yōu)?ia-ik(x_ik6(x木)u(x)=eee2Leau(x)dx，類似于條形腔，可以計(jì)算L*出傾斜條形腔的自再現(xiàn)模。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析激光諧振腔模式的各種分析方法的比較

7、一般來說有Fox-Li迭代算法、矩陣特征向量法。Fox-Li迭代算法原理簡單，在計(jì)算低階模方面一般是有效的，然而由于多次迭代會(huì)使高階模損耗掉，在計(jì)算高階模時(shí)會(huì)很麻煩，也不能明確指出優(yōu)先起振(衍射損耗小)的模式分布。止匕外，經(jīng)過多次迭代會(huì)將誤差逐次累積放大，因此對(duì)單元的劃分要求比較高。同時(shí)，多次迭代的過程會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間，尤其是當(dāng)菲涅爾數(shù)比較大的時(shí)候，衍射損耗很小，需要更多的迭代次數(shù)才能使結(jié)果收斂。此外，F(xiàn)ox-Li方法不能求解諧振腔的簡并高階自再現(xiàn)模，無法解釋諸如TEM01模等的旋轉(zhuǎn)簡并模式。矩陣特征向量法即利用光線的傳輸矩陣來計(jì)算。它的優(yōu)勢(shì)在于，可以同時(shí)求解高階本征模式和它們的衍射損耗，計(jì)算

8、方便，節(jié)約計(jì)算時(shí)間。同時(shí)，特征向量法的計(jì)算誤差較小，在計(jì)算非FP腔（如對(duì)稱共焦腔、平凸腔）時(shí)相比Fox-Li迭代算法有無法比擬的優(yōu)勢(shì)。但是它需要很高的內(nèi)存配置，否則計(jì)算速度也很難提Mi。菲涅爾數(shù)對(duì)結(jié)果的影響對(duì)于條形腔，菲涅爾數(shù)F定義為：F=a2/KL。F表征了衍射損耗的大小，菲涅爾數(shù)越大，衍射損耗越小。當(dāng)諧振腔的菲涅爾數(shù)較大時(shí)，低階模式和高階模式的衍射損耗非常接近，以至于高階模在有限的迭代次數(shù)下不能有效地消除；而諧振腔的菲涅耳數(shù)比較小時(shí)，高階模具有更高的顏色損耗，從而更能有效地抑制高階模振蕩。這是因?yàn)楦唠A模比低階模有更大的模尺寸，小的菲涅耳數(shù)限制了高階模的有效尺寸，從而使高階模具有高的衍射損耗

9、。圖4為不同菲涅爾數(shù)時(shí)，自再現(xiàn)模的振幅分布和相位分布的比較。F=6.25F=2.5F=0.5圖4不同菲涅爾數(shù)下模的穩(wěn)態(tài)分布從圖中可以看出，對(duì)于大菲涅爾數(shù)腔而言，振幅分布在鏡邊緣處的值很小相位分布在鏡中心區(qū)域可近似看成平面波分布；菲涅爾數(shù)越小，場分布曲線上的起伏越小，曲線越趨于平滑，振幅分布曲線越接近于標(biāo)準(zhǔn)高斯分布，相位分布曲線則越接近于球面波分布。由于平行平面腔的基模振幅分布就是高斯分布，相位分布越接近于球面波分布，故可以得出結(jié)論：在小菲涅爾數(shù)情況下，高階模的損耗比基模大得多。同理，對(duì)于矩形腔和圓形腔，在菲涅爾數(shù)越小時(shí)，基模效應(yīng)越強(qiáng)，振幅分布越接近于高斯分布，在此不再贅述。腔鏡的傾斜擾動(dòng)對(duì)最終

10、模式的影響實(shí)際上的諧振腔很難做到完全平行，而是有一定的傾斜量。圖5為在不同的偏離線度6下，自再現(xiàn)模的振幅分布和相位分布。、=/400在計(jì)算的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)6=，50時(shí)就很難達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布（本實(shí)驗(yàn)中，穩(wěn)態(tài)分布的判據(jù)是：歸一化后，前后兩次對(duì)應(yīng)點(diǎn)的差值均小于0.0001）,6=K/0、6=九/200、$=K/400到達(dá)穩(wěn)態(tài)分布的迭代次數(shù)分別為945、426、305,可見傾斜線度越大，越難達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布。從圖5中可以看出，鏡面傾斜破壞了場分布的對(duì)稱性振幅分布整體向右偏移，相位分布在鏡邊緣處出現(xiàn)嚴(yán)重畸變；當(dāng)擾動(dòng)越小時(shí)，結(jié)果越接近與平行平面腔的振幅和相位分布（5=九/400）。由此可知，在實(shí)際應(yīng)用中，一定要調(diào)

11、節(jié)使得諧振腔的鏡面相互平行，否則不能產(chǎn)生穩(wěn)定、光束質(zhì)量好的激光。圓鏡腔與矩形腔的迭代輸出結(jié)果的比較在菲涅爾數(shù)F=2.5的情況下，圓形腔與矩形腔的迭代結(jié)果如圖6所示圓形腔矩形腔（長寬比4:1）矩形腔（方形）圖6圓形腔與矩形腔的對(duì)比從圖6中可以看出，腔鏡的形狀決定了自再現(xiàn)模的分布情況。在腔鏡中心附近，這兩種腔的穩(wěn)態(tài)分布都接近于平面波，且矩形腔的分布范圍更大一些，這是由于矩形腔的衍射損耗更大一些，更易達(dá)到穩(wěn)態(tài)分布；圓形鏡的橫模形狀為圓形分布，方形鏡的橫模分布為“十字架”形狀，而有一定長寬比的矩形鏡的橫模分布為長條狀，當(dāng)長寬比趨于無窮時(shí)，分布便趨近于條形腔了。因此在實(shí)際應(yīng)用中，若要改變光束的橫模分布或

12、者控制光束質(zhì)量，可以采用改變腔鏡形狀的方法。不同初始場分布的改變對(duì)自再現(xiàn)模的影響在前面的討論中，所有光場的初始分布均采用平行分布（即腔鏡上每一點(diǎn)的初始振幅、相位均相等）。圖7中展示了初始隨機(jī)分布和平行分布的比較，上面三幅圖依次為初始隨機(jī)分布迭代0次、2次和穩(wěn)態(tài)的振幅分布，下面三幅圖依次為初始平行分布迭代0次、2次和穩(wěn)態(tài)時(shí)的振幅分布。上下比較可知，在只經(jīng)過2次迭代之后，二者的振幅分布就已經(jīng)很接近了，因此最終的穩(wěn)態(tài)分布也是一樣的，條形腔、圓形腔的結(jié)果也是如此。由此可以知道，激光諧振腔的自再現(xiàn)模的分布與光場的初始分布無關(guān)，只與腔的結(jié)構(gòu)有關(guān)，這也解釋了激光的起振過程：初始光為由自發(fā)輻射產(chǎn)生的非相干光（

13、相當(dāng)于隨機(jī)分布），在經(jīng)過無數(shù)次來回傳播之后，形成特定的模場分布，即相干光。初始分布N=2穩(wěn)態(tài)分布圖7初始分布對(duì)自再現(xiàn)模的影響諧振腔各種參數(shù)的改變對(duì)迭代結(jié)果的影響對(duì)于條形腔，主要參數(shù)為腔長L、波長入、腔鏡長度a。這三個(gè)參數(shù)的改變會(huì)引起菲涅爾數(shù)的變化，可見3.2中的解釋，現(xiàn)在討論在不改變菲涅爾數(shù)時(shí)，對(duì)迭代結(jié)果的影響，取菲涅爾數(shù)F=6.25,如圖8所示。a=5-,L=4a=50,L=400a=5000,L=4000000-圖8諧振腔參數(shù)的改變對(duì)迭代結(jié)果的影響從圖8中可以看出，只要菲涅爾數(shù)不變，改變L與a的相對(duì)大小對(duì)迭代結(jié)果幾乎沒有影響，可以這樣解釋：Fox_Li數(shù)值迭代法的原理是衍射積分法，而菲涅爾

14、數(shù)剛好衡量了衍射的情況，故在菲涅爾數(shù)不變的情況下，改變諧振腔的參數(shù)，迭代的最終結(jié)果仍然保持不變。其他情況對(duì)迭代結(jié)果的影響其他還有很多因素對(duì)迭代結(jié)果有較大影響，比如劃分點(diǎn)的個(gè)數(shù)、收斂判據(jù)的考慮等等。對(duì)于劃分點(diǎn)數(shù)，當(dāng)然是越多越精確，最終誤差積累的越少，但是點(diǎn)數(shù)太多會(huì)降低運(yùn)算速度，圓形腔的時(shí)候最明顯，因此要選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)數(shù)，兼顧精度與效率：對(duì)于條形腔，經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)劃分點(diǎn)數(shù)大于30時(shí)，就能夠得到比較令人滿意的迭代結(jié)果。本實(shí)驗(yàn)的收斂判據(jù)是：歸一化后，前后兩次對(duì)應(yīng)點(diǎn)的差值均小于0.0001;當(dāng)然這個(gè)值可以取的小一些，減少迭代次數(shù)，也可以大一些，將穩(wěn)定性條件設(shè)置的更加嚴(yán)格，試驗(yàn)證實(shí)，0.0001的判據(jù)比較合理。設(shè)計(jì)體會(huì)本課程設(shè)計(jì)的收獲主要有兩點(diǎn)：一是實(shí)現(xiàn)了matlab軟件入門，弄清楚了以前在使用過程中未解決的問題，為以后進(jìn)一步提高打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；二是更深入理解了激光諧振腔在激光器中的地位和作用，鞏固了課本上的知識(shí)。當(dāng)然，在設(shè)計(jì)的過程中也遇到過很多問題，比如在斗境和matlab環(huán)境的徘徊選擇，matlab軟件突然崩潰的狀況，但經(jīng)過同學(xué)的幫助和自己的努力，