簡(jiǎn)單的三角恒等變換小結(jié)與復(fù)習(xí)

1、復(fù)習(xí)課：第三章簡(jiǎn)單的三角恒等變換一、【教學(xué)目標(biāo)】重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生在已有的公式根底上進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換,體會(huì)三角變換的特點(diǎn)難點(diǎn)：熟悉三角變換的特點(diǎn),并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過(guò)程的設(shè)計(jì),不斷提升從整體上把握變換過(guò)程的水平.知識(shí)點(diǎn)：三角恒等變換.水平點(diǎn)：通過(guò)變換,使學(xué)生在變換的思想和方法的過(guò)程中,開(kāi)展推理水平和運(yùn)算水平教育點(diǎn)：通過(guò)公式的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)標(biāo)準(zhǔn)的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀點(diǎn)自主探究點(diǎn)：利用已有公式證實(shí)積化和差、和差化積公式練習(xí)應(yīng)用點(diǎn)：利用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值與證實(shí)測(cè)試點(diǎn)：簡(jiǎn)單的三角恒等變換.易錯(cuò)易混點(diǎn)：和差角公式,倍角公式的符號(hào)以及特殊角的三角函數(shù)值拓展點(diǎn)：所有公式之間的內(nèi)在聯(lián)系.1

2、.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式sin()sincoscossin;cos()coscosmsinsintan()tantan1mtantansin22sincos,cos22cos.2sin22cos2sin2tan22tan2-(1tan4,kZ)2 .三角函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧(1)常見(jiàn)角的變換:(2(2)方程思想：sincos,sincos,singcos知一求二;(3)“1的替換:.2sin2costan一422coscos2等;(4)(5)公式變形tantantan()(1tangtan2,coscos2,sin21cos2(6)輔助角公式:

3、asinxbcosx.a2b22sinb.a2cosxb2a2b2(sinxcoscosxsin)a2b2sin(x)(其中輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)所在的象限決定,tanb).a常用結(jié)論：sinxcosx“2sin(x),sinxcosx<2sin(x-)443 .三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的目標(biāo)與方法：化為單角或同角,函數(shù)名稱少,次數(shù)盡量低,盡量不含分母和根號(hào)訣：大角化小角,負(fù)角化正角,異名化同名,切化弦,高次化低次4 .三角函數(shù)式的求值的類型一般可分為(1) “給角求值：給出非特殊角求式子的值一一化非特殊角為特殊角,再用公式計(jì)算;(2) “給值求值：給出一些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的

4、三角函數(shù)式的值一一變換角角與所求角的聯(lián)系;(3) “給式求值：給出的三角函數(shù)式的值,求其他式子的值一一化簡(jiǎn)式或所求式,再求;(4) “給值求角：一一先求角的某一三角函數(shù)值,結(jié)合角的范圍求出角,要特別注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響,有時(shí)需要討論.5.證實(shí)及其根本方法：1化繁為簡(jiǎn)法；2左右歸一法；3變更命題法;4條件等式的證實(shí)關(guān)鍵在于分析條件與求證結(jié)論之間的區(qū)別與聯(lián)系.三、【范例導(dǎo)航】o1cos202sin20o例1.求值：sin10o(-1-otan50).tan5【分析】這道題目中出現(xiàn)了很多不同的角,所以要充分把握角之間的關(guān)系,通過(guò)通分、切化弦以及和差角、倍角公式化異為同【解答】原式o1cos

5、202sin20oocos5osin5osin10G3o1cos202sin20oo,八.cos10sin10o/sin5cos52cos21004sin100cps10oocos1(fsin101osin102pcos10o2cos102sin10ocos10o2sin20o2sin10ocos(3Co20o)2sin20o2sin10o3o1oocos20sin202sin202.22sin10ocos20o3sin20o222sin10o3sin10o2sin10oJ.2【點(diǎn)評(píng)】在解決化簡(jiǎn)求值一類題目時(shí),要注意三看,一看角,二看函數(shù)名,三看形式,從而找到問(wèn)題的切入點(diǎn).【分析】從形式上看8

6、0°變式練習(xí)：求sin220°cos280°J3sin200cos80°的值.20o60°,因此把80o代換成20o60°,接著提取公因式再利用和差角公式就能夠求出其值.【解答】原式sin220°cos2(20°60°)、3sin200cos(20°60°)sin220°cos(20°60°)cos(20°60°)、.3sin20°.2°sin20°cos(2060°)(°cos203&

7、#176;sin20)2sin220°°cos209n200)(°cos20-,/3°sin20)2.2°sin202°cos203sin220°2°cos20.2°sin20【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查角的變換、兩角和與差的的正余弦公式、二倍角公式等根底知識(shí),考查根本運(yùn)算水平.例2.證實(shí):4cos44cos28sin證實(shí)：左邊22c°s2214c°s22-2c°s24c°s2-2-2(1cos22c°s2)2(cos222(2sin28sin41)2)2右邊所

8、以等式成立.變式練習(xí)：證實(shí)：1(2)1sin2cos2,tan1sin2cos2sin(2)2cos(sinsinsin【分析】1從形式上看可以利用二倍角公式進(jìn)行證實(shí);(2)從形式上看2),因此通分之后利用和(差)角公式就可以證實(shí)【解答】證實(shí)：(1)22sin2sincos原式左邊2cos22slncossin(sincos)cos(sincos)tan.右邊所以等式成立.(2)sin(2)2sincos()原式左邊sinsincos()cossin()2sincos()sincossin()sincos()sinsin()sinsinsin右邊所以等式成立.【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查角的變換、兩

9、角和與差的的正余弦公式、二倍角公式等根底知識(shí),考查根本運(yùn)算水平.例3.求函數(shù)f(x)sin4x2,3sinxcosxcos4x的最小正周期和最小值,并寫(xiě)出該函數(shù)在區(qū)間0,上的單調(diào)增區(qū)間.【分析】通過(guò)平方差公式和化一變形公式化成yAsin(x)這種形式,即可討論其所有的性質(zhì).22、,.22、/二.【解答】f(x)(sinxcosx)(sinxcosx)2v3sinxcosxcos2x、3sin2x2sin(2x-)所以T,最小值為2;2k2x2k得kxk,kZ,63又由于x0,所以該函數(shù)的遞增區(qū)間為,0,-.63【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)題目平方差公式是入手點(diǎn),能夠看到這一點(diǎn),后面的問(wèn)題就迎刃而解變式練習(xí)：函

10、數(shù)f(x)2j3sinxcosx2cos2x1(xR).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間0,-上的最大值和最小值;26(2)右f(x0)-,x0,一,求cos2x0的值.542【分析】可以化成yAsin(x)的形式,然后再求周期、及最值等,此題應(yīng)先降哥,利用22cosx1cos2x,比擬簡(jiǎn)單,必須掌握.【解答】(1)f(x)3(2sinxcosx)(2cos2x1)3sin2xcos2x2sin(2x)由于f(x)2sin2x在區(qū)間60,上為增函數(shù),在區(qū)間一,一上為減函數(shù),662所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.又f(0)1,f2,f-1,62所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,-上的最大值為2,

11、最小值為-1;2(2)由(1)可知f(x0)2sin2x0一一6又由于f(x0)一,所以sin2x0一56,/曰27由Xo一,一,倚2xo,42636從而cos2x0-1sin22x04,665所以cos2xcos2x066cos2x0一cossin2x0一sin.6666343.10【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的根本關(guān)系、兩角差的余弦等根底知識(shí),考查根本運(yùn)算水平.53一例4.在ABC中,sinA,cosB一,求cosC的值.135【分析】由于是三角形,所以隱含的條件就是ABC,因此cosCcos(AB)cos(AB),那么利

12、用兩角和的余弦公式就可以求解34【斛答】由于cosB一,所以sinB,55一一._5,12又由于sinA一,所以cosA一；1313(1)假設(shè)角A為銳角,顯然符合題意；一,515(2)右角A為鈍角,由于sinA,所以A；1326一一42一又sinB,所以一B一,5242一513故AB,不符合題意,舍去；6412所以cosccos(AB)sinAsinBcosAcosB_5_412313513516.65【點(diǎn)評(píng)】此題的思路還是比擬清楚的,但是經(jīng)過(guò)計(jì)算之后,會(huì)發(fā)現(xiàn)有兩組值,而其中有一組值是不符合題意的,需要舍去,所以這里是一個(gè)非常容易忽略的地方,因此需要特別注意變式練習(xí):設(shè),都是銳角,且.5cos

13、,sin(5、3_)-,Cocos【分析】從形式上看(),所以可以利用兩角差的余弦公式展開(kāi)進(jìn)行計(jì)算.【解答】由于0一,且cos,所以sin252、/55一一34又由于sin()-,所以cos()-,而sin()一,sin氈,故sin5sin(因此一,所以cos(2所以coscos()cos()cossin()sin4 立3255 5556 .5【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)題目同例4類似,在求cos(25)的值時(shí)有兩個(gè)值,但是同樣需要根據(jù)條件舍去一個(gè)值,這是此題的難點(diǎn),具體操作時(shí)要和學(xué)生進(jìn)行充分地討論,為什么要舍去一個(gè)值,明白其來(lái)龍去脈四、【解法小結(jié)】1 .運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件,要注意和、差、倍角

14、的相對(duì)性,要注意升次、降次的靈活運(yùn)用,要注意“1的各種變通,熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu),靈活變換,既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu),更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征；2 .在三角求值時(shí),往往要估計(jì)角的范圍后再求值；3 .重視三角函數(shù)的“三變：“三變是指“變角、變名、變式；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡(jiǎn)、證實(shí)問(wèn)題時(shí),一般是觀察角度、函數(shù)名、所求問(wèn)題的整體形式中的差異,再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?五、【布置作業(yè)】必做題：41.設(shè)為銳角,右cos,那么sin(2a)的值為65122 .2ssin8<22cos8等于sin()3 .如果旦等于tan4.函數(shù)f(x)2cos(x0,xR)的最小正周期為10(1)求的值;0,f(52答案：1.1772;2.2sin4;506-,f(55cmn3.；mn4.16十/,求cos(171一,cos(5)的值.1385選做題：設(shè)f(x)2sin4x2cos4x2-cos2x3.(1)求函數(shù)f(X)的最小正周期;(2)求函數(shù)f(X)在閉區(qū)間3一,3上的最小值及相應(yīng)1616X的取值.答案：(1)f(x)cos4x1,T,；(2)f(x)min二1x2