解不等式的方法歸納(2024091012)

1、解不等式的方法歸納、知識導(dǎo)學(xué)1. 一元一次不等式 ax>bK(1)當a>0時，解為x -；aK當a v 0時，解為x 一 ；a 當a = 0, b> 0時無解；當a= 0, bv 0時，解為R.2. 一元二次不等式：(如下表)其中a > 0, xi, X2是一元二次方程 ax2+bx+c=0的兩實根，且xivX2(假設(shè)av 0,那么先把它化正，之后跟a>0的解法一樣)3. 簡單的一元高次不等式：可用區(qū)間法(或稱根軸法)求解，其步驟是：將f(x)的最高次項的系數(shù)化為正數(shù)；類型_ 解集f ax2+bx+c > 02ax +bx+c > 0ax2+bx+c

2、v 02ax +bx+c < 0 > 0x | xvxi 或 x > X2x | x< xi 或 x> X2x | xiv xv X2 X | Xi< X< X2 = 0bx | x豐,2ax RRx | x=b 2a V 0RR 將f(x)分解為假設(shè)干個一次因式的積； 將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點畫曲線; 根據(jù)曲線顯示出的f(x)值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集4. 分式不等式：先整理成 丄兇 > 0或丄血 > 0的形式，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，即:g(x) g(x)f (x) > 0 f(x) g(x)

3、> 0g(x)f (x)0 f或 f(x) g(x)>0f (x) >0 g(x) 0g(x)然后用“根軸法或化為不等式組求解.二、疑難知識導(dǎo)析1. 不等式解法的根本思路解不等式的過程，實質(zhì)上是同解不等式逐步代換化簡原不等式的過程，因而保持同解 變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原那么，實際上高中階段所解的不等式最后都要轉(zhuǎn)化 為一元一次不等式或一元二次不等式，所以等價轉(zhuǎn)化是解不等式的主要思路.代數(shù)化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的根本思路.為此，一要能熟練準確地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價變形2. 不等式組的解集是本組各不等式解集的交集，所

4、以在解不等式組時，先要解出本組內(nèi)各不等式的解集，然后取其交集，在取交集時，一定要利用數(shù)軸，將本組內(nèi)各不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來，注意同一不等式解的示意線要一樣高，不要將一個不等式解集的兩個或幾個區(qū)間誤看成是兩個或幾個不等式的解集 3.集合的思想和方法在解不等式問題中有廣泛的應(yīng)用，其難點是區(qū)分何時取交集，何時取并集解不等式的另一個難點是含字母系數(shù)的不等式求解一注意分類2例1如果kx+2kx (k+2)<0恒成立，那么實數(shù)三、經(jīng)典例題導(dǎo)講A.K k< 0 B.1 w k<0C. 1<k w 0 D.-1<k<0k0錯解:由題意：(2k)2 4k (k2)0

5、解得:1<k<0錯因:將 kx +2kx (k+2)<0 看成了宀曰 定是-元二次不等式,忽略了k = 0的情況.正解:當k = 0時，丿原不等式等價于-2 < 0，顯然恒成立,k =0符合題意.k 0當k0時，由題意:(2k)2 4k(k2) 0解得:1<k<01 k 0，應(yīng)選C.例2命題A: x1 <3,命題B:(x2)(x a) < 0,假設(shè)A是B的充分不必要條件,的取值范圍是k那么a的取值范圍是A. (4,) B. 4, C. (, 4) D.,4錯解：由丨x 1 |< 3得：一2v xV 4,又由x+ 2(x + a)=0 得 x

6、= 2 或 x = a,A是B的充分不必要條件, x| 2< x< 4 x| 2< x< aa>4應(yīng)選D.錯因：忽略了 a = 4時，x| 2< x< 4 = x| 2 < x< a，此時A是B的充要條件, 不是充分不必要條件.正解：由 | x 1 |< 3得：一2< x< 4,又由x+ 2(x + a)=0 得 x= 2 或 x = a,A是B的充分不必要條件, x| 2< x< 4 x| 2< x< aa>4應(yīng)選C.x例 3 f(x) =ax + b，假設(shè) 3 f (1) 0, 3 f (

7、2)6,求 f(3)的范圍.3 a b 0錯解：由條件得b3 2a 2 6X 26a 15X 2得8b2333-10b43口 ,1043+得3aJ即f (3)33333x錯因：采用這種解法，無視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù)f(x) ax，其值是b同時受a和b制約的.當a取最大小值時，b不一定取最大小值，因而整個解題思路 是錯誤的.f (1) a b正解：由題意有bf(2) 2a -12解得：a 2f (2) f (1), b 2f (1)33f(2),2Kf (3) 3a -3959f(1).把f (1)和f(2)的范圍代入得163f(3)弓例4解不等式x+22(x+3)(x2)0錯解：

8、x+220原不等式可化為：(x+3)(x2)0原不等式的解集為 x| x一3 或 x 2 錯因：無視了“的含義，機械的將等式的運算性質(zhì)套用到不等式運算中2 _ 2 _正解：原不等式可化為：x+2(x+3)(x 2)0或x+2(x+3)(x 2)0，解得：x= 3或x = 2或x = 2解得：x v 3或x > 2原不等式的解集為 x| x3或x2 或 x2 例5解關(guān)于x的不等式a(xab)b(xab)解：將原不等式展開，整理得：(ab)xab(a b)討論：當a b時，x 辿© ®a b當a b時，假設(shè)a b > 0時x ;假設(shè)a b <0時x R當a b

9、時，x需點評：在解一次不等式時，要討論一次項系數(shù)的符號例6關(guān)于x的不等式ax2 bx c 0的解集為x | x 2或x求關(guān)于x的不等式ax2 bxc0的解集.-解：由題設(shè)知a0,且x2，x11是方程2 axbx c 0的兩根2b5c1a2， a從而ax2 bx c0可以變形為2 bxxc0aa即：x25x 102這也表達了方程思想點評：二次不等式的解集與二次方程的根之間的聯(lián)系是解此題的關(guān)健, 在解題中的簡單應(yīng)用例7不等式Iog2(x16)3的解集為x113 ,. 0v x68 ,.x -21解：T Iog2(x 6)xxx1x -6 0xx 0,或 x 13 2>l2 x 3 2應(yīng)或x 0解得 x ( 3 2 2, 3 2 2)1反思：在數(shù)的比擬大小過程中，要遵循這樣的規(guī)律,異中求同即先將這些數(shù)的局部因式化成相 同的局部，再去比擬它們剩余局部，就會很輕易啦一般在數(shù)的比擬大小中有如下幾種方法： (1)作差比擬法和作商比擬法，前者和零比擬，后者和1比擬大小；(2)找中間量，往往是1,在 這些數(shù)中，有的比1大，有的比1 小;，(3)計算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法，畫出相 應(yīng)的圖