循序漸進-深化理解-談函數(shù)圖象的教學

1、初中數(shù)學循序漸進 深化理解從初中學生學習中的問題思考函數(shù)的圖象教學株洲市楓葉中學 王芬內(nèi)容提要：函數(shù)的圖象是初中數(shù)學教學的重點與難點，本文結合教學實踐列出了學生在這一內(nèi)容的學習中存在的困難，從認知心理的角度分析了困難的原因所在，并提出了相應的教學建議。關鍵詞：函數(shù)的圖象，由形到數(shù)，由數(shù)到形，數(shù)形結合。函數(shù)知識與思想是中學數(shù)學的核心內(nèi)容。函數(shù)概念有著文字語言、符號、表格、圖形等各種表征，學生通過對函數(shù)各種表達方式的領會與掌握，可以達到對函數(shù)本質思想的理解。圖象是函數(shù)的極重要的一種表達形式，它能使函數(shù)中變量間的關系直觀化、形象化，數(shù)形結合則是研究函數(shù)性質、運用函數(shù)知識解決實際問題的重要思想工具。然

2、而對這一內(nèi)容學生普遍感到困難。這些困難表現(xiàn)在哪些方面？為什么會存在這些困難？如何通過教學干預幫助學生克服？這將是筆者在本文中要與各位同行探討的問題。一、 圖象學習的困難所在從與函數(shù)的圖象有關的問題的解決來看，學生的困難不外乎三個方面：由數(shù)到形的困難；由形到數(shù)的困難；數(shù)形結合的困難。下面分別進行探討。（一） 由數(shù)到形的困難案例1 （選自湘教版八年級上冊2.1函數(shù)和它的表示法習題B組） 某一天小明從家里走路去學校，開始10分鐘，他每分鐘走60米；然后他越走越快，過了5分鐘后，他每分鐘走80米，再過6分鐘，到達了學校，小明走路的速度是時間的函數(shù)，畫出這個函數(shù)可能的圖象。對此問題，學生的反應各有不同，

3、大致有以下幾中表現(xiàn)：大多數(shù)感到不知如何下手，反復看題對問題中給出的數(shù)據(jù)進行計算，比如計算6010，806等；畫了一個坐標系，橫坐標取名分鐘，縱坐標沒取名，部分不知如何繼續(xù)下去，部分在畫一開始就上升的直線；。，學習了一次函數(shù)的圖象和性質，卻沒有學習用描點法畫函數(shù)的圖象，他的表現(xiàn)很有意思：讀完第一遍題目后再細讀題目時，他列出了（10，60），（15，80），（21，？）這樣幾個數(shù)對，念叨著“這意味著圖象上有這么幾個點，那么21，多少呢？先不管它”。然后他開始畫圖象，他建立的坐標系橫軸名x，縱軸名y, 都沒標注單位，在坐標系內(nèi)他描上前兩個點，然后將原點和所描點順次連結起來，以下是我指導他更正的過程記

4、錄：師：為什么要連上原點？生：開始的時候速度一定是等于零的呀，t=0時一定有的v=0的”。師：不一定，我們從開始走的時候計時，也就是說，從一開始，他的速度就是每分鐘60米。生：哦，這也是可以的。（仍舊畫不出圖象）師：你注意到了沒有，速度這個量在前10分鐘一直是保持不變的，怎樣在圖象上體現(xiàn)這一點呢？生：（恍然）哦，我明白了，一條水平的線，縱坐標不變。（畫出正確的圖象）師：為什么在第二段圖象是上升的呀？生：因為縱坐標v會隨著時間的增加而增大呀。從上面的案例我們可以看到，除了在題意的理解方面存在困難之外，在由數(shù)到形方面，學生存在的困難有：（1）不會根據(jù)題意建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，對于用橫坐標表示自

5、變量，用縱坐標表示因變量這一規(guī)則并不是太熟悉；（2）對于問題中給出的已知數(shù)據(jù)對，不能轉換為用坐標系內(nèi)的點來表示；也即不會描點來表示問題中的的某一種狀態(tài)；（3）不會用線段的升降趨勢來描繪函數(shù)值跟隨自變量的變化而變化的趨勢；（二） 由形到數(shù)的困難也許學生用文字語言去描述一些熟悉的問題的函數(shù)圖象時的困難不明顯，但是轉化為用符號語言表征就有困難了，由形到數(shù)的困難主要表現(xiàn)在以下幾個方面：（1） 不能結合圖象的特征把握函數(shù)的性質，如對一次函數(shù)，不能從直線的方向判斷一次項系數(shù)的符號和絕對值大小，或者是雖然知道但是并不理解為什么；（2） 不能用符號語言來描述圖象特征，例如，對于已知的不平行于軸和軸的直線兩點，

6、不能從的大小關系來判斷的大小關系，或者反之；（3） 不能對兩個函數(shù)的圖象進行比較得出有關信息，例如不能理解曲線交點就是由曲線方程聯(lián)立的方程組的解，不能比較兩個函數(shù)值的大小等。（三）數(shù)形結合的困難案例2 如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，當時，的取值范圍是 。xy032.8解決這個問題，學生需從以下方面進行思考，或者明白以下問題：（1）在圖象上表示什么？（2）圖象上橫坐標小于零的點是哪些？你能不能畫出來？（3）所畫出來的這些點（位于第二象限）的縱坐標又有什么特點？ 學生解決此題的困難部分在于不能回答上述這些問題，更主要的是在于不會主動去進行數(shù)與形之間的轉換，也就是沒有數(shù)形結合的意識和自覺性，在由

7、數(shù)到形和由形到數(shù)兩種困難之外，還有就是在數(shù)與形之間進行自如轉換的困難。二、困難原因分析如果你是一個沒有教學經(jīng)驗的教師，你就很難預計到學生會存在這些困難，同時你更加會覺得無法理解，因為看起來這實在不是很困難的問題，數(shù)形結合不是理有助于學生對于函數(shù)概念的理解嗎？我們從認知的角度去分析就會知道學生的困難是很正常的現(xiàn)象，因為，數(shù)形結合，也就意味著學生要從函數(shù)的符號語言和函數(shù)的圖形這兩種不同的心理表象出發(fā)去建構函數(shù)概念，在學習初期，在對于函數(shù)概念及各種表達方式都還認識很膚淺的時候這意味著又增加了一重困難，從以上三個方面來看，具體有以下原因：（1）用形來表示數(shù)，即用圖形、畫面來構建對于知識與問題的直觀理解

8、，不符合學生的思考習慣，這也是教學中長期以來存在的問題，不注重借助直觀來增進學生對知識和問題的理解，特別是不注重訓練學生構建直觀理解，例如小學教行程問題，多數(shù)是對問題進行分類，教給學生各類問題的算法，學生先弄清問題的類別，再給出相應的解答，并不是讓學生畫出行程圖來進行分析。在本章節(jié)的學習中，對于“點的橫坐標表示自變量的值，縱坐標表示因變量的值，點的運動對應著相應的就是的值的變化”這一知識，學生的理解水平是低層次的，至少他們是不能用點的運動來描述變量值的變化。（2）由形到數(shù)的困難，更多是在于學生對于符號語言的理解與運用的困難造成，例如，學生知道一次函數(shù)的單調性，但是只限于用成文字語言表述，只有優(yōu)

9、秀學生才會去兩個自變量的大小從而比較出相應的函數(shù)值大小，這就是用符號語言進行表征方面的欠缺，是“數(shù)”本身的困難造成了由形到數(shù)的困難。（3） 在數(shù)與形之間的來回轉換是學生最感到困難的，在案例2的講解中，每一次的由數(shù)到形和由形到數(shù)，對學生來說，都是不太輕松順暢的事情，而經(jīng)過幾個回合，有學生大有轉暈了的感覺，這就是說，他們對數(shù)與形的轉換還處在一個初級加工的階段，根本沒有達到數(shù)與形統(tǒng)一起來的水平。學生對于坐標思想的理解水平是很低的，他們不能很快建立起函數(shù)中的變量與圖象中的點的坐標間的對應，更難以建立起變量的變化與點的運動間的聯(lián)系。三、對函數(shù)圖象教學的建議與思考基于以上的學習困難，筆者認為從下面幾個方面

10、著力會有助于函數(shù)圖象的學習。（一） 深刻理解平面直角坐標系的意義1、點與有序數(shù)對之間的對應關系我研究了人教版和湘教版兩種教師用書，對于該內(nèi)容的教學要求都是：了解平面直角坐標系的概念，知道平面上的點與有序數(shù)對之間的一一對應關系，能建立平面直角坐標系，寫出平面內(nèi)點的坐標，并能根據(jù)點的坐標找到點。我認為這個教學目標相對于后續(xù)的學習來說是嫌低了，學生還應該 對不同象限內(nèi)及坐標軸的點的坐標的特點非常清楚，并且要對不同位置的點的坐標進行比較，建立起點的位置關系與點的坐標大小關系之間的聯(lián)系。2、 點的運動與坐標的變化間的對應關系兩種教材都是讓學生探究點和圖形的水平和豎起平移和軸反射運動引起的坐標的變化規(guī)律，

11、以及坐標的變化引起的圖形的變換，而湘教版教材規(guī)定的教學目標是了解平移及軸反射公式，能寫出在平移或軸反射下點的坐標，人教版的教學目標是能用坐標表示平移變換，研究平移與坐標的關系，感受代數(shù)問題與幾何問題的相互轉換。我以為還必須清楚兩個問題：一、要將平移看成是一個連續(xù)的過程，而不是只形容它的起始和終止兩種狀態(tài)；二、非水平和豎起方向的平移會引起坐標的什么變化？橫縱坐標都發(fā)生改變時點的運動又是什么情形？教材大概是考慮到學生的學習困難，水平和豎起的平移只會引起坐標中一個量的改變，但是在研究函數(shù)的單調性的時候，是不可避免地要綜合考慮兩個量的變化，在此打下基礎是非常必要的。用幾何畫板能夠很清楚地演示這些過程，

12、能促進學生的理解。（二）將畫函數(shù)的圖象作為教學的重點 1、 用描點法畫函數(shù)的圖象由數(shù)到形是學生的薄弱之處。用描點法畫函數(shù)的圖象的過程，是一個由數(shù)到形的過程，也是一個數(shù)形結合的過程。通過列表、描點、連線等具體過程，學生能對“將自變量的值與函數(shù)值分別作為圖象上點的橫坐標和縱坐標”這一做法產(chǎn)生深刻體驗，加深對函數(shù)圖象意義的理解，有的教師認為，反正后面學習二次函數(shù)的時候還要再來一遍，而這一章節(jié)只要會畫一次函數(shù)的圖象就可以了，我們看到這樣做的結果表現(xiàn)，案例1提到的那位景炎的學生，他在由數(shù)到形時就存在困難。用描點法畫函數(shù)的圖象應該作為教學的重點，對于畫圖象的每一個步驟，都要嚴格要求，并且對于為什么要這樣做

13、要有清晰的認識，如何用描點法畫函數(shù)的圖象，大多數(shù)學生都能說出三個步驟，但是列表如何取值，為什么要用光滑的曲線把點連起來，就只有少數(shù)學生能說清了。而問什么是函數(shù)的圖象，則是大多數(shù)學生都答不上來，這都是教學中應注意的問題，此外，在本內(nèi)容教學中還應做到下幾個方面：（1）讓學生畫不同的函數(shù)的圖象，體會到函數(shù)圖象的多樣性；（2）對比表格中各變量的增減趨勢和圖象的升降趨勢，深刻體驗量的變化與點的運動之間的對應關系；（3）判斷點與圖象的位置關系，體會圖象中點的坐標的依存關系和函數(shù)關系的統(tǒng)一。2、畫函數(shù)圖象的草圖（1）根據(jù)問題中對于變量的變化過程的描述畫出大致圖象，如問題2；（2）根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)的大致

14、圖象。通常要先考慮以下幾個問題：自變量和因變量的取值范圍是什么，圖象落在什么范圍？圖象是對稱的嗎？（根據(jù)學生的情況看是否作討論） 會經(jīng)過哪些特殊點，如是否過原點？與坐標軸有交點嗎？交點是什么？因變量隨自變量的變化趨勢是什么，圖象的走向如何？當然這里要求不宜太高，作一些簡單的判斷能畫出來即可。例1：畫函數(shù)的草圖分析：自變量可以取一切實數(shù)，并且時，時故圖象過一三象限；又時，故圖象經(jīng)過原點；隨的增大而增大，圖象向右呈上升趨勢。（畫出草圖，略）（3）根據(jù)不充分的條件作草圖 有關函數(shù)的問題，如果與圖象有關，又沒有畫出圖形的畫，一定要求學生自己畫出相應的圖形，而很多問題都不會給出足夠的條件畫出精確的圖形，

15、其實這種情況下，畫出草圖就可以了，畫草圖是一種很重要的基本功。例如問題3，可以不考慮b的值，只要畫出一條向右呈上升趨勢的直線即可，也可以對b的值進行討論，畫出三條直線。對于一般的思路是，先看未確定的這個量是否會影響對問題的分析，不影響的話，可以忽略這個量，如果有影響，則分情況討論。當然這個過程也可以反過來進行，先畫出各種情形，發(fā)現(xiàn)并不需要，再忽略這個因素。（三）、強化函數(shù)圖象信息的讀取訓練x(km)10003000y(元)y21000200030002000y1在教材和各種教輔資料中，有著大量的函數(shù)圖象信息題，其中的一些填空題和選擇題難度不大，但是可以進行挖掘，作為訓練數(shù)形結合的良好素材。例2

16、. 某公司準備與汽車租賃公司簽訂租車合同，以每月用車路程x km計算，甲汽車租賃公司每月收取的租賃費為元，乙汽車租憑公司每月收取的租賃費為元，若、與x之間的函數(shù)關系如圖所示，其中x0對應的函數(shù)值為月固定租賃費，（1）當月用車路程為 km時，兩家汽車租賃公司租賃費用相同；（2）當月用車路程為2300km時，租賃 汽車租賃公司的車比較合算。對這個問題，還可以讓學生繼續(xù)思考：這兩家公司具體是怎樣收費的？是只按里程收嗎？當我在課堂上提出這個問題的時候，發(fā)現(xiàn)學生對此是這毫無準備，當我再提出問題“如果行駛里程為零，那么要不要收費”時，學生才漸漸找到正確的思路，這說明學生還沒有從圖象特征理解函數(shù)性質的意識和能力，因此，除了在這樣的問題中訓練學生根據(jù)要求獲取信息以外，還可以借助問題素材，讓學生對圖象進行充分解讀。象本例，就可以得出以下認識：行駛里程為零時兩家公司都要收費，但是乙汽車租憑公司收得更多；收費是隨著里程數(shù)的增加而均勻增加，每千米甲公司收取的費用更多；這是兩個一次函數(shù)；如果設，則有；在讀取函數(shù)圖象時，教師要有清醒的意識，那就是這是一種由形到數(shù)的訓練，盡可能要求學生用文字語言和符號語言來對問題進行表達，尤其是用符號語言。一般地，符號語言理解與運用是學生的薄弱之處，這也影響了學生由形到數(shù)的轉換，而進行上述的訓練無疑會起到強化符號語言的表