2016課件1流體力學(xué)基本方程

1、2016年春季中國(guó)大學(xué)課程計(jì)算流體力學(xué)lixlTel: 82543801力學(xué)所主樓214參考數(shù)目：任等：計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué)等： 計(jì)算流體力學(xué)基礎(chǔ)；：計(jì)算流體力學(xué)方法及應(yīng)用，J. Blazek: Computational Fluid Dynamics: Principles and ApplicationsE. F. Toro: Riemann Solvers and numerical methods for fluid dynamicsCopyright by Li Xinliang1課件：第一講流體力學(xué)基本方程計(jì)算流體力學(xué)(CFD) 的概念及意義流體力學(xué)的基本方程偏微分方程組的類型重點(diǎn):流體

2、力學(xué)基本概念：連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，N-S方程及其無(wú)量綱化（熟記）；雙曲型方程性質(zhì)；描述方法Copyright by Li Xinliang2§ 1.1 緒論Computational Fluid Dynamics計(jì)算流體力學(xué):簡(jiǎn)稱CFDCFD: 通過(guò)離散求解Copyright by Li Xinliang方程得到信息3計(jì)算流體力學(xué)是通過(guò)數(shù)值方法求解流體力學(xué)控制方程，得到流場(chǎng)的離散的定量描述，并以此流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科理論解精確解： Poiseuille解，Blasius解， Plantdl 湍流邊界層解（解）方程漸進(jìn)解、近似解：Stokes解ü 方程復(fù)雜（非線性偏微方程組），數(shù)值解

3、解很難獲得差分法、 有限體積法、邊界元法、譜（元）方法、 粒子方法 ü 借助計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)值求解ü 在計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之前，數(shù)值方法已然產(chǎn)生Copyright by Li Xinliang4計(jì)算流體力學(xué)(CFD):在航空航天領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用1970年代，飛機(jī)設(shè)計(jì)主要依賴風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)YF-17研制，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)13,500小時(shí)1980年代，CFD逐漸發(fā)展，部分取代實(shí)驗(yàn)YF-23，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)5,500小時(shí)，CFD計(jì)算15,000機(jī)時(shí)YF17YF23Copyright by Li XYinliFan1g7590年代，CFD在飛機(jī)設(shè)計(jì)中發(fā)揮了主力作用波音777，CFD占主角2000之后，CFD取代

4、了大部分風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)波音787：全機(jī)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)僅3次航天領(lǐng)域，CFD發(fā)揮著實(shí)驗(yàn)無(wú)法取代的作用實(shí)驗(yàn)難點(diǎn)：復(fù)現(xiàn)高空高速條件波音787波音777Copyright by Li Xinliang6CFD的及主要任務(wù)：Ø 復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型湍流的計(jì)算模型；轉(zhuǎn)捩的模型；燃燒及化學(xué)反應(yīng)模型； 噪聲模型Ø 高精度高效算法高精度激波捕捉法； 間斷有限元法;大規(guī)模代數(shù)方程組高效解法 Ø 復(fù)雜外形、復(fù)雜網(wǎng)格處理方法自適應(yīng)網(wǎng)格；直角網(wǎng)格，浸入邊界法； 無(wú)網(wǎng)格法； 粒子算法；Copyright by Li Xinliang7傳統(tǒng)計(jì)算方法：最近發(fā)展的方法:有限差分法，有限體積法， 有限元法， 譜方法（

5、譜元法）等；基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），無(wú)網(wǎng)格Copyright by Li Xinliang8優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)適用范圍有限差分法簡(jiǎn)單成熟，可構(gòu)造高精度格式處理復(fù)雜網(wǎng)格不夠靈活相對(duì)簡(jiǎn)單外形的高精度計(jì)算有限體積法守恒性好，可處理復(fù)雜網(wǎng)格不易提高精度（二階以上方法復(fù)雜）復(fù)雜外形的工程計(jì)算有限元法基于變分原理，守恒性好對(duì)于復(fù)雜方程處理多用于固體力學(xué)等間斷有限元法(DG)精度高、守恒性好、易于處理復(fù)雜網(wǎng)格計(jì)算量大；捕捉激波（限制器） 難度大復(fù)雜外形的高精度計(jì)算譜方法精度高外形、邊界條件簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單外形的高精度計(jì)算粒子類方法算法簡(jiǎn)單，可處理復(fù)雜外形精度不易提高復(fù)雜外形的工程計(jì)算課程安排1.

6、2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.流體力學(xué)基本方程雙曲型方程組及其間斷（Riemann）解差分法差分法差分法差分法（1）：（2）：（3）：（4）：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及Fourier分析方法高精度激波捕捉格式通量技術(shù)時(shí)間推進(jìn)技術(shù)有限體積法（1）： 有限體積概述及多塊網(wǎng)格有限體積法（2）： 數(shù)值通量、間斷有限元代數(shù)方程組的求解及網(wǎng)格生成技術(shù)不可壓方程的數(shù)值方法湍流與轉(zhuǎn)捩燃燒及化學(xué)反應(yīng)并行計(jì)算編程初步并行計(jì)算編程初步初步；（MPI Part1)(MPI part2, OpenMP)Copyright by Li Xinliang9§ 1.2流體力學(xué)基本方程組1.基本概念流

7、體連續(xù)地充滿整個(gè)空間r(x, y, z) = lim r (x, y, z)V ®0的總質(zhì)量/平均密度：(kg / m3)體內(nèi)體體積r體積為V的體體太大， 有宏觀波動(dòng)體太小， 有微觀波動(dòng)微觀充分大，宏觀充分小V (m3)10-310-610-910-1210-2110-30體內(nèi)的平均密度隨體積變化規(guī)律(x, y, z)舉例說(shuō)明流體密度定義流體質(zhì)點(diǎn)：微觀充分大，宏觀充分小連續(xù)介質(zhì)假設(shè)描述流體信息：密度、速度、溫度等 Lagrange描述 Euler描述跟蹤每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)，記錄物理量隨時(shí)間的變化給出每個(gè)時(shí)刻每個(gè)空間點(diǎn)上的物理量r×Ñfdf = ¶ff = f

8、(x , y , z ,t)+ Vf = f (x, y, z,t)（場(chǎng)）000dt¶t空間影響時(shí)間影響(x , y , z )000初始時(shí)刻的位置例： 乘火車從北京到上海，一路上記錄車廂外的溫度隨時(shí)間變化研究的區(qū)域(x , y , z )000CFD方法：計(jì)算網(wǎng)格不動(dòng)，求解NS方程 ：Euler描述計(jì)算網(wǎng)格跟蹤流體質(zhì)點(diǎn)： Lagrange描述ALE （動(dòng)網(wǎng)格）計(jì)算網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)，但全跟蹤流體質(zhì)點(diǎn)：(x, y, z)物質(zhì)（隨體） 導(dǎo)數(shù)描述方法任意點(diǎn)(x, y, z) 2. 基本方程 基于Euler描述yDxxr(x, y, z,t),V (x, y, z,t), p(x, y, z,t),

9、T (x, y, z,t)體示意圖1)(x,y,z)點(diǎn)取一體;2)根據(jù)基本定律（質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒）,給出體內(nèi)總量（量）的變化規(guī)律；（總質(zhì)量、總動(dòng)量、總能量的變化規(guī)律：型方程）3)體尺度趨近于0， 得到(x,y,z)點(diǎn)物理量的微分型方程令體不動(dòng) （Euler描述）特點(diǎn)：Copyright by Li Xinliang目的：給出t時(shí)刻（x,y,z）點(diǎn)處物理量（密度，速度、溫度）滿足的方程；à 通過(guò)解方程得到這些物理量；（不考慮源項(xiàng)） 穿過(guò)面流入的凈質(zhì)量（動(dòng)量、能量）Dy數(shù)學(xué)化DzDxrDV總質(zhì)量總動(dòng)量DVEDV總能量DV = DxDyDzr：質(zhì)量密度，體積內(nèi)的質(zhì)量 = rV ：動(dòng)量密

10、度，體積內(nèi)的動(dòng)量yt) - r (t)r (t + DDV = -F- F 左)DyDz + (F 上 - F 下)DxDz + (F 前 - F)DDD右后（xtxrxryryrzrzr時(shí)間內(nèi)，穿過(guò)垂直x軸面積流過(guò)的質(zhì)量流量流通量(flux)（從流過(guò)為正）13C rT = Cv p =pvRg -1動(dòng)能內(nèi)能（完全氣體）(x, y, z)g = Cp / Cv ;Cp - Cv = RE : 能量密度，體積內(nèi)的總能量E = C rT +1 2 r(u2 + v2 + w2 )v體質(zhì)量（動(dòng)量、能量）增加= 穿過(guò)面流入的凈質(zhì)量（動(dòng)量、能量）Dy F- F)Dyt) - r (t)r (t + DD

11、V = -Dz + (F- F)DDz + (F- F)DDD右左上下前后（yxxtxrxryryrzrzrDzDx穿過(guò)垂直x方向面積面元的質(zhì)量通量r (t + Dt) - r (t) = - Fxr (x + Dx / 2) - Fxr (x - Dx / 2) - Fyr ( y + Dy / 2) - Fyr ( y - Dy / 2) - Fzr (z + Dz / 2) - Fzr (z - Dz / 2)DtDxDyDzDx, Dy, Dz ® 0令¶¶F+yr¶F+zréùF¶r¶t¶x=

12、-rêú¶x¶y¶zêëúûù同樣¶+ ¶Fy+ ¶FzéF = rVx(1)= -qqqêú¶t¶E¶t¶x¶y¶zëûé¶F¶F¶Fù= - êxE +yE +zE ú¶x¶y¶zëû物理含義： 通量的變化（散度）導(dǎo)致凈通量Copyri

13、ght by Li Xinliang14(x, y, z)E = C rT +1 2 r(u2 + v2 + w2 )v=p+ 1 r(u2 + v2 + w2 )g -12體質(zhì)量（動(dòng)量、能量）增加= Ø計(jì)算流通量問(wèn)題： 如圖，試計(jì)算時(shí)間內(nèi)流過(guò)右側(cè)面積面元的質(zhì)量、動(dòng)量和總能量。注：外力沖量等同于流過(guò)的動(dòng)量； 外力做功等同于流過(guò)的能量= rupFxr質(zhì)量通量：（向右為正）所受外力Dy動(dòng)量通量： 流過(guò)質(zhì)量附帶的動(dòng)量 + 表面上外力的沖量Fxq = ruV + pDzr表面上（面質(zhì)量附帶動(dòng)量積）所受外力能量通量：流過(guò)質(zhì)量附帶的能量 + 表面上外力做功+ 熱傳遞F= uE + r ×

14、; r - k ¶Tp VxE¶xE: 能量密度，單位體積的能量Fourier熱傳導(dǎo)定律：熱流與溫度梯度呈正比15體質(zhì)量（動(dòng)量、能量）增加=穿過(guò)面流入的凈質(zhì)量（動(dòng)量、能量）怎么描述連續(xù)體內(nèi)部的力呢？ Ø基本概念： 應(yīng)力 （）“切的方向不同，表面上的不同”pnp = ( pxx , pxy , pxz )Tpy = ( pyx , pyy , pyz )Tpz = ( pzx , pzy , pzz )T沿垂直x的平面剖開(kāi)，沿垂直y的平面剖開(kāi)，沿垂直z的平面剖開(kāi)，露出的面力px露出的面力露出的面力pypz給定切割方向，就能得到表面力rré ppxz 

15、49;p = P × nyP = ê púppnêyz úpxyyxyypêë pzxpzz úûpzyrrnpn = P × npxx這個(gè)公式顯示：P是p什么叫“矩陣不一定是”？pyyyx的定義局部力的平衡關(guān)系沿任意方向切割，出的力如下計(jì)算：切3次就夠了：垂直x軸, 垂直y軸，垂直z軸各切一次“把物體切開(kāi)，其內(nèi)部的出來(lái)” 基本概念：力與變形的關(guān)系 （本構(gòu)方程，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）= - pdij +t ijPij 靜止部分+運(yùn)動(dòng)部分靜止流體= - pdijPij流體特性：靜止?fàn)顟B(tài)不能承受剪切力流體

16、特性： 粘性力與變形速率呈正比 （粘性定律）廣義粘性定律：tij = lVk ,kdij+ m(Vi, j +Vj ,i )l = -2 / 3m通常情況下：¶ r rr rrtV + Ñ×(rVV ) = rF -Ñp + Ñ×t實(shí)驗(yàn)示意圖¶ttij= -2 / 3mdijVk ,k + m(Vi, j +Vj ,i )Cijkl = a1dijdkl + a2 (dikd jl + dild jk )各向同性假設(shè)ü 普通的線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：Pij = CijklSkl通常情況下，第二粘性系數(shù)（膨脹粘性）可忽略

17、 m¢ = l + 2 / 3m = 017rrrrp = - pi +t xxi +t xy j +t xzkyp所受外力粘性（剪切力）DyDz穿過(guò)x-方向面的通量（密度）為：xzF= ru質(zhì)量通量：xrp動(dòng)量通量：æ ruu + p öæt xx ö（垂直）ç÷rç÷r表面= ruV + p = ç ruv÷ - çt xy ÷Fxqçt÷ç ruw÷èøè xz øt xy能量通量

18、：t無(wú)粘通量xx= uE - r × r - k ¶T粘性通量Fp Vt xzE¶x+ wt+ k ¶T )= (u + p)E - (ut+ vtxxxyxz¶x穿過(guò)y-, z-方向的通量同樣計(jì)算Copyright by Li Xinliang18無(wú)粘通量粘性通量¶U + ¶F1 (U ) + ¶F2 (U ) + ¶F3 (U ) = ¶G1+ ¶G2 + ¶G3¶t¶x¶y¶z¶x¶y¶zrwrwur

19、wvéêêùúúúrvruvruéêùúéùé r ù質(zhì)量密度ê ru 2 + p úê ru úêúêúúúêú= ê rv úF3 (U ) = ê(U ) = ê rv 2 + p úF (U ) = êruvruwFU動(dòng)力密度2êú1

20、4;úêúêê rw2 + p úrvwêrwúêë E úûêúêú能量密度êëv(E + p)úûêëw(E + p)úûùúúúúúêëu(E + p)úûéêêéêê00t 21ù&

21、#250;úúúúú23 úûéêêêêê0ùúúúúút31t11G (U ) = êt 32êttt12êêG2 (U ) = êG (U ) =322t 331tê1323¶Têú¶T¶y¶T¶xêkúêkêk+ ut 31 + vt

22、 32 + wt 33ú+ ut+ vt+ wt+ ut+ vt+ wtêë111213 úûë¶zûêë2122ìm( ¶ui+ ¶u j ),i ¹ jïï補(bǔ)充關(guān)系¶x¶xp = rRTt ij = íjiï m(2 ¶ui - 2 divV ),i = jïî¶xi3 含義：質(zhì)量（動(dòng)量、能量）的變化 = 外界輸入的凈質(zhì)量（動(dòng)量、能量）Copyright

23、 by Li Xinliang19將其帶入（1）式，得到最終的方程(N-S方程）： N-S方程各項(xiàng)物理含義剖析質(zhì)量流量流入質(zhì)量帶來(lái)的x-方向動(dòng)量（提供的沖量）時(shí)間內(nèi)，流經(jīng)垂ruéù直于x-軸面積平ê ru 2 + p ú面的無(wú)粘流通量êúúúF1 (U ) = êruvruwê流入質(zhì)量帶來(lái)的y-方向動(dòng)量流入質(zhì)量帶來(lái)的z-方向動(dòng)量做功êúêëu(E + p)úû時(shí)間內(nèi)，流經(jīng)垂流入質(zhì)量帶來(lái)的能量直于x-軸面積平面的粘性流通量é&#

24、234;ê0ùúúúúúú13 úû粘性力提供的x-方向沖量粘性力提供的y-方向沖量t11G (U ) = êt12êê1t13粘性力提供的z-方向沖量¶T¶xêk+ ut+ vt+ wtêë1112粘性力做功Copyright by Li Xinliang由于熱傳導(dǎo)輸入的熱量20Ø N-S方程的無(wú)量綱化特征量：r¥,U¥ ,T¥ , p¥ , RA無(wú)量綱量：物理量與

25、特征量之比R特征量： 對(duì)于某物理量，人為設(shè)定的值（可任意）A點(diǎn)的物理量：有量綱描述例如， 設(shè)定密度的特征量為：r*= r¥無(wú)量綱描述無(wú)量綱密度定義為：速度417.2m/s, 密度2.86kg/m3 溫度262K88740Pa速度1.85 密度 0.62溫度 0.860.75r = r / r* = r / r¥r = 1.8含義： 密度為特征密度的1.8倍優(yōu)點(diǎn)：直觀優(yōu)點(diǎn)：便于對(duì)比無(wú)量綱形式的優(yōu)點(diǎn)： 數(shù)值更加簡(jiǎn)潔、便于對(duì)比； 通用性更強(qiáng)缺點(diǎn)： 數(shù)值的物理直觀性差ü 無(wú)量綱方式可任意也可以設(shè)定成其他值，但必須是密度量綱常見(jiàn)的無(wú)量綱形式有量綱量特征量（有量綱）x = x

26、 / L ,u = u /U ,t = t U/ L , r = r / r ,T = T /T , p = p /(r*U *2 )*用動(dòng)壓作為特征；¶F (U )¶F (U )¶G¶G¶G ¶U¶t¶F (U )+=1 +2+1¶x2¶y3¶z3可減少一個(gè)無(wú)量綱參數(shù)¶x¶y¶zrvruvrwrwurwvruéêùúéêê(U ) = êùúú&

27、#250;éùé r ùê ru 2 + p úéêêêùúúúúú0êúê ru úU = ê rv úêúúúêútF1 (U ) = êruv(U ) = ê rv 2 + p úFF11ê23t12êúêúruwG1 (U ) =

28、êêrwúrvwê rw + p úêú2êútêúêë E úûêëu(E + p)úûêCêëv(E + p)úûêëw(E + p)úû13mê p¶Tú+ ut+ vt+ wtê P111213 úRe ¶xë rûé&#

29、234;ê0ùúúúúúéêêê0p = rRT t 31ùúúúúút21¶uì m¶u G (U ) = êt 22tt(+j ),ii ¹jïêG3 (U ) = ê322ï Re ¶x¶xt 23t ij = íêjiêCï m (2 ¶uiê Cp

30、m- 2 divV ),i =¶Tú33mj+ ut 21 + vt 22 + wt 23úê¶Túêï Re¶x3p+ ut 31 + vt 32 + wt 33 úû¶yîëPrReûêë Pr Re ¶ziu 2 + v2 + w2r *U *L*m*U *E = r(e +),(a*2 = gR*T *)Re =Ma =,出現(xiàn)的無(wú)量綱參數(shù)：2a*無(wú)量綱狀態(tài)方程：p = rRTpr*U*2= rr*RTT *p

31、 = rT (RT * / U *2 )1rTp = gMa2a*2 = g RT *RT * / U *2 = 1/ (g Ma2 )1gMa2p =rTü 不同的無(wú)量綱方式得到的方程的形式不同22Ø N-S方程的簡(jiǎn)化 1） 不可壓縮情況下Ñ×V = 0¶t V + Ñ × (VV ) = F - r Ñp + r Ñ ×tdr = 0dt通常：r = constrr rr¶11t1 Ñ ×tt =nD r假設(shè)粘性系數(shù)為常數(shù)（溫度變化較小的情況）Vr變形：

32、9;× (VV ) = V ×ÑV = (Ñ× (VV ) +V ×ÑV ) / 2 2） 無(wú)粘情況下（Euler方程）¶U + ¶F1 (U ) + ¶F2 (U ) + ¶F3 (U ) = 0¶t¶x¶y¶zCopyright by Li Xinliang23§ 1.3偏微方程的分類及特征基本概念：橢圓型、雙曲型、拋物型方程1.一階偏微分方程ut=0x Î(-¥, ¥)xu(x,0) = j(x)初值

33、：t=tu0方程的精確解：u(x,t) = j(x - ct)含義： 以常速度c向右。 波形，振幅保持不變xx-ct=constt=0時(shí)刻與t=t0時(shí)刻物理量的分布tt=t3t=t2自變量空間的一條曲線，該曲線上物理量的方程可簡(jiǎn)化t=t1xCopyright by Li Xinliang24重要概念： 特征線¶u + c ¶u = 0¶t¶xØ （常用）特例：常系數(shù)線性方程線性方程的邊界條件:x Îa,b有限空間ABu(x,0) = j(x)初值：?jiǎn)栴}： 如何給定邊界條件？c>0 擾動(dòng)波向右：左端(A)需要給定邊界條件；右端(B

34、)只能接受，無(wú)法給定邊界條件（即使給定，對(duì)計(jì)算域也無(wú)任何影響, 且造成B端的非適定性）。c<0 擾動(dòng)波向左：右端(B)需要給定邊界條件； 左端(A)無(wú)需給定ü 對(duì)于初值問(wèn)題，如果微分方程解的中存在、唯一、且連續(xù)依賴于初始值，則稱數(shù)學(xué)問(wèn)題的提法是適定的。Copyright by Li Xinliang25重要基本概念，需掌握¶u + c ¶u = 0¶t¶xØ （一般形式）一階線性偏微方程a(x, y) ¶u + b(x, y) ¶u = c(x, y)x = x(s); y = y(s)y¶x

35、82;y采用特征線法，可轉(zhuǎn)化為分方程x考慮曲線G:x = x(s); y = y(s)¶u = ¶u dx + ¶u dy顯然， 沿著該曲線G有：¶s¶x ds¶y ds特征線簡(jiǎn)化了方程，在空氣動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛ì dx = a如果該曲線G滿足：ï dsí dyï= bïî ds則有： duds¶u¶u= a+ b= c¶x¶yü 偏微方程在特征線上變成了分方程Copyright by Li Xinliang26特征相容關(guān)系

36、（特征線上物理量的簡(jiǎn)化方程）特征線特征線法是空氣動(dòng)力學(xué)重要的計(jì)算方法。早期（計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前），是主要的CFD手工計(jì)算方法之一。演示： 如何利用特征線計(jì)算物理量ya(x, y) ¶u + b(x, y) ¶u = c(x, y)¶x¶yì dx特征線ï ds = a(x, y)í dyï= b(x, y)(x , y )ïî ds00特征相容關(guān)系xduds= c(x, y)計(jì)算域步驟：1）設(shè)定DsìDx = a(x, y)（根據(jù)精度需求設(shè)定，例如0.1）步長(zhǎng)ï Ds2） 在邊界

37、上選取初始點(diǎn)物理量值，由邊界條件確定該點(diǎn)的íDy(x0 , y0 )ï= b(x, y)ïî Dsu03） 根據(jù)特征線及特征相容關(guān)系數(shù)值，求出特征線下Du = c(x, y)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) (x1, y1 ) 和函數(shù)值u1。遞推下去，計(jì)算出整條特Ds征線的（離散）坐標(biāo)及物理量的（離散）值。4）在邊界上選取新的點(diǎn)，重復(fù)步驟3），計(jì)算出整個(gè)計(jì)算域物理量的分布27邊界條件： 在特征線“流入”的區(qū)域設(shè)定；特征線“流出”的區(qū)域不能設(shè)定；(x , y )(x3 , y3 )22(x1, y1 )DsDyDx2.一階常系數(shù)偏微方程組¶U + A ¶U

38、 = 0¶t¶xU = (u ,u ,.u)T12m如果矩陣A 可以被對(duì)角化：L = diag(l1 ,l2 ,.lm )A = S-1S¶U + S-1S ¶U = 0S ¶U + S ¶U = 0¶t¶x¶t¶x¶V + ¶V = 0V = SU令：有¶t¶x¶vj¶vj即：+ l= 0m個(gè)方程完全解耦， 可x - l jt = 0求解j¶t¶x有m 條特征線：m個(gè)特征相容關(guān)系式：= const.v jG如果矩陣

39、A能夠（相似變換）對(duì)角化，則原方程是雙曲型的Copyright by Li Xinliang28Ø如果矩陣A 具有m個(gè)實(shí)特征值， 這些特征值共具有m個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量， 則稱為雙曲型方程ü一階擬線性偏微分方程組和m條特征線上的m個(gè)特征相容關(guān)系（分方程）等價(jià)。Ø 如果A的特征值為m重根，而且對(duì)應(yīng)的物型方程。特征向量數(shù)小于m，則稱為拋Ø如果其A的特征值均為復(fù)數(shù)，則稱為橢圓型方程組合情況：雙曲-橢圓型雙曲-拋物型思考題： 如果A為變系數(shù)情況？Copyright by Li Xinliang293.微方程 可轉(zhuǎn)化為一階方程組¶2 f¶2 f

40、¶2 f+ b+ c= da(1)¶x2¶x¶y¶y2u = ¶f,v = ¶f¶x¶y原方程化為一階方程組：ìa ¶u + b ¶u + c ¶v = dï¶x¶y¶y(2)í¶v¶uï=ïî¶x¶y¶ æu öéb / ac / aù¶ æu öæ d /

41、 a ö¶x ç v ÷ + ê-10ú ¶y ç v ÷ = ç 0÷ø轉(zhuǎn)化為一階偏微方程組èøëûèøèlI - A = 0 ® al2 - bl + c =éb / aùc / a(30矩陣A = ê-10úëû特征方程（3）有兩個(gè)互異實(shí)根 -> 矩陣A可對(duì)角化 -> 雙曲型ì> 0ï= 0-

42、4acíb2特征方程（3） 有兩個(gè)相同實(shí)根，且無(wú)法對(duì)角化特征方程（3）無(wú)實(shí)根->->拋物型橢圓型ï< 0î類比與圓錐曲線方程“雙曲、拋物、橢圓”名稱的來(lái)源Copyright by Li Xinliang304.討論Euler方程組æ ruæ r ööç÷¶U¶f(U)U = ç ru ÷一維非定常：+= 0f(U) = ru + pç2÷ç÷¶t¶xçu(E + p)÷

43、ç E ÷èøèø¶f(U) = A ¶U¶x¶xéêùú推導(dǎo)01(3 - g )u0¶f = êú- (3 - g )u 2 / 2g -1úA =ê¶Uê(g - 2)u3uc23 - 2gc2ú-+guu 2êúg -1g -122ëûA = S-1S將矩陣A對(duì)角化él1ê0 ùú0l20 =

44、00êúê 0l úë3 û一維非定常Euler方程轉(zhuǎn)化為三個(gè)方程:l1 = u,l2 = u - c,l3 = u + c擾動(dòng)波分別以速度Copyright by Li Xinliang31æ r öæu1 ör = u ,u = u / u , E = uç÷ç÷1213U = ç ru ÷ º çu2 ÷ç E ÷çu ÷E =p + 1 ru2è&#

45、248;è 3 øg -121 u2p = (g -1)(u3 -2 )2 u1æöç u÷æ f öæ ruöç 2÷ç÷ç2÷ç3 - g u2 ÷12f(U) = ç f2 ÷ = ç ru + p ÷ = ç (g -1)u3 +÷ç f ÷ç u(E + p) ÷ç2u1 ÷è 3 øèøç u ug -1 u3÷ç g 2 3 -2÷çu2u2÷è11ø質(zhì)： 齊次函數(shù)f(aU) = af(U)守恒變量：質(zhì)量 密度、動(dòng)量密度、能量密度5. 雙曲型方程組邊界條件提法¶vj¶vj¶U + A &#