4.3單位圓與誘導(dǎo)公式

1、 單位圓與誘導(dǎo)公式 在上幾節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的正弦在上幾節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的正弦函數(shù)的定義，以及終邊相同的角的正弦函數(shù)值相函數(shù)的定義，以及終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即等，即sin(2k+)sin (kZ ) 對于任意角的三角函數(shù)求值，如何轉(zhuǎn)化為銳對于任意角的三角函數(shù)求值，如何轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)求值，本課就來討論這一問題角三角函數(shù)求值，本課就來討論這一問題探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 角角與角與角-的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系思考思考1 1：對于任意給定的一個(gè)角對于任意給定的一個(gè)角，的終邊與的終邊與的的終邊有什么關(guān)系？終邊有什么關(guān)系？ y y的終邊的終邊xO-

2、-的終邊的終邊關(guān)鍵看兩關(guān)鍵看兩角的對稱角的對稱關(guān)系關(guān)系關(guān)于關(guān)于X軸對稱軸對稱思考思考2 2：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn) P（x，y），）， 則則-的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)如何？的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)如何？y的終邊的終邊xO-的終邊的終邊 P( (x,y) ) P( (x,-y) ) 公式：公式： sin()sincos()cos 思考思考3 3：根據(jù)三角函數(shù)定義根據(jù)三角函數(shù)定義，的正弦函數(shù)、余弦的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)與函數(shù)與的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有什么關(guān)系？的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有什么關(guān)系？y的終邊的終邊xO-的終邊的終邊 P( (x,y) ) P( (x,-y) )的終邊的

3、終邊xy yO的終邊的終邊探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 角角與角與角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系思考思考1 1：對于任意給定的一個(gè)角對于任意給定的一個(gè)角，角，角的終邊與角的終邊與角的終邊有什么關(guān)系？的終邊有什么關(guān)系？關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱思考思考2 2：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），則），則角角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)如何？的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)如何？的終邊的終邊xyO的終邊的終邊P(x，y)Q(-x，-y)思考思考3 3：根據(jù)三角函數(shù)定義，根據(jù)三角函數(shù)定義，sinsin（ ） ，coscos（ ）的值分別是什么？）的值分別是什么？的終邊的終邊xy

4、 yO 的終邊的終邊P(x，y)Q(-x，-y)sin()=-ycos()=-xsin()sincos()cos sin()sincos()cos 探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3 角角與與-的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系 sinsin coscos 提示：提示：- -， ，的三角函數(shù)值，等的三角函數(shù)值，等于于的同名函數(shù)值，再放上原函數(shù)的象限符號(hào)的同名函數(shù)值，再放上原函數(shù)的象限符號(hào). . 簡化成簡化成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”的口訣的口訣 以上公式都叫作以上公式都叫作誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式，它們分別反映了，它們分別反映了， ，的三角函數(shù)與的三角函數(shù)與的三角函數(shù)之間的關(guān)系，的

5、三角函數(shù)之間的關(guān)系，你能概括一下這四組公式的共同特點(diǎn)和規(guī)律嗎？你能概括一下這四組公式的共同特點(diǎn)和規(guī)律嗎？ 誘導(dǎo)公式作用：轉(zhuǎn)化為誘導(dǎo)公式作用：轉(zhuǎn)化為 090的角的角例例1 1求下列各角的三角函數(shù)值：求下列各角的三角函數(shù)值：7(1)sin().42(2)cos.331(3)cos().67(1)sin()47sin4sin(2)4( sin)4 2sin.422(2)cos3cos()31cos.32 解：解：3131(3)cos()coscos(4)6663cos()cos.662 探究點(diǎn)探究點(diǎn)4 4 角角與與 的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系如圖，利用單位圓作出任意銳角如圖，利

6、用單位圓作出任意銳角與單位圓相交與單位圓相交于點(diǎn)于點(diǎn) 角角 的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)PP，由平面幾何知識(shí)可知由平面幾何知識(shí)可知, ,2 2RtOPMRtP OM ,Pb,a .不難證明 坐標(biāo)為sin()cos2cos()sin2 (),P ab，思考：思考：如何得到如何得到 的正余弦函數(shù)值的正余弦函數(shù)值sin()2cos()2 sin()2 cos()2 sincoscos()sin() sin()cos2cos()sin2 以上兩組誘導(dǎo)公式口訣以上兩組誘導(dǎo)公式口訣:“:“函數(shù)名改變函數(shù)名改變, ,符號(hào)看象限符號(hào)看象限.”.”提示提示: :2對于任意角對于任意角，下列關(guān)系式成立

7、：，下列關(guān)系式成立：sin(2)sin,cos(2)cossin()sin,cos()cossin(2)sin,cos(2)cossin()sin,cos()cossin()sin,cos()cossin()cos,cos()sin22sin()cos,cos()s22kk in （1.81.8）（1.91.9）（1.101.10）（1.111.11）（1.121.12）（1.131.13）（1.141.14）例例2 2 求下列函數(shù)值：求下列函數(shù)值：5(1)sin().2455(2)sin().6.555555557 7(2)sin(-)= -sin= -sin(8(2)sin(-)= -si

8、n= -sin(8+)+)6666667 71 1= -sin= -sin(= -sin= -sin(+)=sin=+)=sin=66626662.5 5 2 2(1)sin(+)=sin(+)= cos(1)sin(+)=sin(+)= cos = =242442242442解解： 1111(1)cos=(1)cos=3 3cos(4cos(4-)-)3 3= cos= cos3 3.1 1= =2 21010(2)sin(-)=(2)sin(-)=3 31010-sin-sin3 3= -sin(3= -sin(3+)+)3 3= -(-sin)= -(-sin)3 3.3 3= =2 2

9、1.1.求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值：解：解：sin(-60sin(-60)+cos120)+cos120+sin390+sin390+cos210+cos210=-sin60=-sin60+cos(180+cos(180-60-60)+sin(360)+sin(360+30+30) )+cos(180+cos(180+30+30) )=-sin60=-sin60-cos60-cos60+sin30+sin30-cos30-cos30= =31133.2222 2.2.求求sin(-60sin(-60)+cos120)+cos120+sin390+sin390+cos210+cos210. .1.1.理解正