恒成立問題的解法ppt課件

1、“恒成立恒成立”問題的解法問題的解法 “ “恒成立恒成立”問題是數(shù)學(xué)中常見的問題，涉及到一問題是數(shù)學(xué)中常見的問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、圖象圖象, ,滲透著換主元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程滲透著換主元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法等思想方法, ,在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用到了積極的作用. . 因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型: : 一次函數(shù)型

2、；一次函數(shù)型； 二次函數(shù)型；二次函數(shù)型； 指數(shù)、對數(shù)型；指數(shù)、對數(shù)型；三角函數(shù)型；數(shù)列型等。解法通常使用三角函數(shù)型；數(shù)列型等。解法通常使用: : 函函數(shù)最值法；變量分離法；數(shù)形結(jié)合法數(shù)最值法；變量分離法；數(shù)形結(jié)合法. .123 4講座內(nèi)容講座內(nèi)容一、恒成立問題常見的題型一、恒成立問題常見的題型2. 由等式或不等式恒成立求參數(shù)的值或取值范圍由等式或不等式恒成立求參數(shù)的值或取值范圍 3. 證明不等式恒成立證明不等式恒成立 1. 函數(shù)、數(shù)列的恒成立問題函數(shù)、數(shù)列的恒成立問題 二、恒成立問題解決的基本策略二、恒成立問題解決的基本策略兩個(gè)基本思想解決兩個(gè)基本思想解決“恒成立問題恒成立問題” 思路思路1：

3、 max)()(xfmDxxfm上恒成立在思路思路2： min)()(xfmDxxfm上恒成立在 如何在區(qū)間如何在區(qū)間D上求函數(shù)上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小的最大值或者最小值問題值問題,我們可以通過習(xí)題的實(shí)際我們可以通過習(xí)題的實(shí)際,采取合理有效的采取合理有效的方法進(jìn)行求解方法進(jìn)行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、通常可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理等等方法求函數(shù)界性、均值定理等等方法求函數(shù)( )f x的最值的最值。 1函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)性質(zhì)法 2變量分離法變量分離法3變換主元法變換主元法 4數(shù)形結(jié)合法

4、數(shù)形結(jié)合法 函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)性質(zhì)法 1.函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)性質(zhì)法 1.0)(0)(nfmf( )(0)yf xaxb a( )yf x , m n( )0f x （1）恒成立問題與一次函數(shù)聯(lián)系恒成立問題與一次函數(shù)聯(lián)系：給定一次函數(shù)：給定一次函數(shù)，若，若在在內(nèi)恒有內(nèi)恒有則根據(jù)函數(shù)的則根據(jù)函數(shù)的，圖像（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于圖像（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于0)(0mfa0)(0nfa）或或）亦可合并成亦可合并成. . 函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)性質(zhì)法1.函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)性質(zhì)法1. , m n( )0f x 0)(0)(nfmf如圖所示如圖所示. .同理，若在同理，若在內(nèi)恒有內(nèi)恒有則有則有 （1）恒成立問題與一次函數(shù)聯(lián)

5、系）恒成立問題與一次函數(shù)聯(lián)系 12x ( )(1)430f xmxmm【例例1】 如果當(dāng)自變量滿足如果當(dāng)自變量滿足時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 恒成立，求實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍的范圍. .( 1)0(2)0ff解：解：43m )0()(2acbxaxxf( )0f x RRxxf 在0)(00且aRxxf 在0)(00且a類型類型1：設(shè)：設(shè)，在全集在全集上恒成立問題：上恒成立問題：上恒成立上恒成立（2）上恒成立上恒成立（1）（2）恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系：）恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系： 22( )21xax af x,Ra【例例2】若函數(shù)若函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閯t實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)的取值范圍為的取值范圍為_ R

6、22210 xax a R220 xaxa2( 2 )4()0aa 10a ，即，即在在上恒成立，也即上恒成立，也即恒成立，所以有恒成立，所以有解得解得. .解：已知函數(shù)的定義域?yàn)榻猓阂阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋?）恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系：）恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系： )0()(2acbxaxxf( )0f x 類型類型2：設(shè)：設(shè)，上恒成立問題：上恒成立問題：在區(qū)間在區(qū)間 , ,0)(xxf在0)(0)(ff0a,0)(xxf在0)(2020)(2fababfab或或（1）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，上恒成立上恒成立，上恒成立上恒成立（2）恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系：）恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系： )0()(2acb

7、xaxxf( )0f x 類型類型2：設(shè)：設(shè)，上恒成立問題：上恒成立問題：在區(qū)間在區(qū)間 , ,0)(xxf在( )0( )0ff0a ,0)(xxf在222( )00( )0bbbaaaff 或或（2）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，上恒成立上恒成立上恒成立上恒成立（2）恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系：）恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系： 2( )3f xxaxa 2,2x ( )0f x a【例例3】已知函數(shù)已知函數(shù)，在，在上上恒成立，恒成立，的取值范圍的取值范圍.求求22( )324aaf xxa( )f x2,2( )g a22a 4a ( )( 2)730g afa73a4a a解：解：，令，令在在上的最小值為上的最

8、小值為當(dāng)當(dāng)，即，即時(shí)，時(shí)， 又又不存在不存在.222a 44a 2( )( )3024aag afa 62a 44a 42a 當(dāng)當(dāng)，即，即時(shí)，時(shí)， 又又22a4a ( )(2)70g afa7a 4a 74a 72a 當(dāng)當(dāng)，即，即時(shí)，時(shí)， 又又 綜上所述，綜上所述，.（2）恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系：）恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系： 變量分離法變量分離法2.變量分離法變量分離法 2.( )af xmax( )af x( )af xmin( )af x恒成立恒成立；恒成立恒成立( )af x( )af x( )af x將含參數(shù)的恒成立式子中的參數(shù)分離出來，化成形如：將含參數(shù)的恒成立式子中的參數(shù)分離出來

9、，化成形如：或或或或恒成立的形式恒成立的形式. .( )af xa( )f x恒成立恒成立的范圍是的范圍是的值域；的值域；則則若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解函數(shù)的最值問題求解. .【例例4】 當(dāng)當(dāng)(1,2)x240 xmxm時(shí)，不等式時(shí)，不等式恒成立，恒成立，則則的取值范圍是的取值范圍是 . (

10、1,2)x240 xmx24xmx 244( )xf xxxx( )f x(1,2)( )(1)5maxf xf5m 解：當(dāng)解：當(dāng)時(shí)，由時(shí)，由得得. .令令則易知則易知在在上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，. .所以所以2. 變量分離法：變量分離法： 變換主元法變換主元法3.變換主元法變換主元法 3.處理含參不等式恒成立的某些處理含參不等式恒成立的某些問題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和問題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行參數(shù)變量進(jìn)行“換位換位”思考，往往思考，往往會使問題降次、簡化。會使問題降次、簡化。 1 , 1a024)4(2axaxx【例例5】對任意對任意，不等式，不等式恒成立，求恒成立，求的取

11、值范圍的取值范圍. .44)2()(2xxaxaf0)(af 1 , 1a2x0)(af2x0) 1(0) 1 (ff31xx或x), 3() 1 ,(解：令解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（恒成立（）. .當(dāng)當(dāng)時(shí)，可得時(shí)，可得，不合題意，不合題意. .時(shí)，應(yīng)有時(shí)，應(yīng)有解之得解之得的取值范圍為的取值范圍為當(dāng)當(dāng)3. 變換主元法：變換主元法： 數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法4.數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法 4.數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其其“數(shù)數(shù)”與與“形形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代

12、數(shù)精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合維有機(jī)結(jié)合.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，要熟練掌握一些應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征概念和運(yùn)算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征. xxxf4)(2axxg134)()()(xgxfa【例例6】設(shè)設(shè) , , , ,若恒有若恒有成立成立, ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)的取值范圍的取值范圍. )(xf)(xg)(xf)0(4)2(22yyx)(xg03334ayx)()(xgxf解：在同一直角坐標(biāo)系中作出解：在同一直角坐標(biāo)系中作出及及 的圖象的圖象

13、 如圖所示，如圖所示，的圖象是半圓的圖象是半圓的圖象是平行的直線系的圖象是平行的直線系要使要使恒成立，恒成立，)0 , 2(03334ayx25338ad355aa或則圓心則圓心到直線到直線的距離滿足的距離滿足 解得解得（舍去（舍去) )x-2-4yO-44. 數(shù)形結(jié)合法：數(shù)形結(jié)合法：四、恒成立與有解的區(qū)別四、恒成立與有解的區(qū)別恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混為一團(tuán)。恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混為一團(tuán)。( )f xkxI k xf,)(maxxI( )f xkxI k xf,)(minxI（1）不等式）不等式在在時(shí)恒成立時(shí)恒成立（2）不等式）不等式在在時(shí)有解時(shí)有解( )f xkxImin( ),fxk xI( )f xkxImax( ),fxk xI（3）不等式）不等式在在時(shí)恒成立時(shí)恒成立（4）不等式）不等式在在時(shí)有解時(shí)有解2( )f xxmxm( )0f x 2,3xm【例例】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)，若，若在在上有解，求實(shí)數(shù)上有解，求實(shí)數(shù)的范圍的范圍. .2,3x19(