平方差公式與完全平方公式試題1

1、乘法公式的復(fù)習(xí)、復(fù)習(xí)：(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)222222=a+2ab+b(a-b)=a-2ab+b歸納小結(jié)公式的變式,準確靈活運用公式:位置變化,yxx2y2符號變化,指數(shù)變化,x22x2y2x4y4系數(shù)變化,換式變化,xymxyxy2zm2x2yxyxyxy2ab4a2b2222222zn+mxyz2zmm222ab2z22增項變化,2xyz2x22xy2z2D逆用公式變化，xy2zxyz2xyzxyzxyzx2x2y2z4xy4xz例1.已知ab2，ab1,求a2b2的值。解：(ab)22a2abb222ab=(ab)22ab.ab2，ab1a2b2=22212例2.已

2、知ab8，ab2，求(ab)2的值。解：(ab)22a2abb222(ab)a2abb2-(ab)2(ab)24ab(ab)24ab=(ab)2ab8,ab22_?_(ab)824256連用公式變化,xyxyyz例3:計算4x4y19992-2000X1998x22x22x22K解析此題中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。解：19992-2000X1998=19992-(1999+1)X(1999-1)=19992-(19992-12)=19992-19992+1=1例4：已知a+b=2,ab=1,求a2+b2和(a-b)2的值。K解析此題可用完全平方公式的變

3、形得解。解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x2-z2的值。K解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z的值，比較麻煩，考慮到x2-z2是由x+zx-z的積得來的，所以只要求出x-z的值即可。解：因為x-y=2,y-z=2，將兩式相加得x-z=4,所以x2-z2=(x+z)(x-z)=14X4=56。例6:判斷(2+1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1的個位數(shù)字是幾?1=(2-1)和上式可構(gòu)成K解析此題直接計算是不可能計算出一個數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到循環(huán)平方差。解

4、：(2+1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1o4096=2=161024因為當(dāng)一個數(shù)的個位數(shù)字是6的時候，這個數(shù)的任意正整數(shù)藉的個位數(shù)字都是6,所以上式的個位數(shù)字必為6。例7.運用公式簡便計算，、一2(1)103，一、一2(2)198解：（1）1032100100221001000060010609，一、一2(2)1982002200220024000080039204例8.計算(1)a4b3ca4b3c(2)3x23xy解：（1）原式a3c4ba23c4ba3c4b6ac2.29c16b(2)原式3x3xy29x2y24y429xy24y4(1)已知2ab2213,ab6，求a

5、b,ab2的值。(2)已知ab27,ab24,求a2b2,ab的值。(3)已知aa12.2ab2,求ab的值。2(4)已知x13，求x4二的值。xx分析:在公式ab2a2b22ab中，如果把ab,a2例9.解下列各式了兩個就可以求出第三個。b2和ab分別看作是一個整體，則公式中有三個未知數(shù)，知道a2b213,ab6ab2a2b22ab132625aab27,ab24a22abb27a22ab)得2a2b211,即a2b211由)得aa12一34ab3,即ab-4a2b2得ab2解：（1）2b(2)4(3)11ab2abb2a2ab2b2b2b22ab132(4)由x1212121119例10.

6、四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上定是平方數(shù)嗎?為什么?2分析：由于123412552345112111234561361192得猜想：任意四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1,都是平方數(shù)。解：設(shè)n,n1,n2,n3是四個連續(xù)自然數(shù)則nn1n2n31nn3n1n21n23n22n23n1n23nn23n21n23n12.n是整數(shù)，n2,3n都是整數(shù)n23n1一定是整數(shù)n23n1是一個平方數(shù)四個連續(xù)整數(shù)的積與1的和必是一個完全平方數(shù)。二、乘法公式的用法（一）、套用：這是最初的公式運用階段，在這個環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準確地掌握其特征，為辨認和運用公式打下基礎(chǔ)，同時能提高學(xué)生的觀察能力。例1.計算：5x2

7、3y25x23y2c2c2解：原式5x3y25x9y（二）、連用：連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例2.計算：1aa1a21a411 解：原式1a21a21a41a41a4a8例3.計算：3x2y5z13x2y5z1解：原式2y5z3x12y5z3x1222y5z3x12224y9x25z20yz6x1三、逆用：學(xué)習(xí)公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。22例4.計算：5a7b8c5a7b8c解：原式5a7b8c5a7b8c5a7b8c5a7b8c10a14b16c140ab160ac四、變用：題目變形后運用公式解題。例5.計算

8、:2zxy6z解：原式2z4zxy2z4zxy22xy22z24z12z22xy4xz4yz五、活用：把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式:1.ab22aba2b22.ab22aba2b23.ab2ab22a2b24.ab2ab24ab例6.已知ab4,ab5,a2b2的值。解：22abab22ab422526例7.計算：abcd2bcd2a解：.原式bc2adbca22bcad2靈活運用這些公式,2d往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。2a22b22c22d24bc4ad、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題(一)

9、、注意掌握公式的特征，認清公式中的例1計算(-2x2-5)(2x2-5)“兩數(shù)”.分析：本題兩個因式中“-5”相同，“2x2”符號相反，因而-5"是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,而“2x2”則是公式中的b.匚一一卜222224解：原式=(-5-2x)(-5+2x)=(-5)-(2x)=25-4x.例2計算(-a2+4b)2分析：運用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，"-a2”就是公式中的時，貝U“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)a,“4b”就是公式中的b；若將題目變形為(4b-a2)2(二) 、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3計算(2x+

10、y-z+5)(2x-y+z+5).分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、“5”兩項同號，“z”兩項異號,因而，可運用添括號的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式.解：原式=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2.例5計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(2-1),則可運用公式，使問題化繁為簡.2482248448解：原式=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2-1)

11、(2+1)(2+1)/c8/c816.=(2-1)(2+1)=2-1(三) 、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2at+2ac+2bc.可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2倍.例6計算(2x+y-3)222222解：原式=(2x)+y+(-3)+2-2x-y+2-2x(-3)+2-y(-3)=4x+y+9+4xy-12x-6y.(四) 、注意公式的變換，靈活運用變形公式例7(2)已知：x+2y=7,xy=6，求(x-2y)2的值.一一一.一.一.,.999qqq分析：粗看似乎無從下手，但汪

12、怠到乘法公式的下列變形：x+y=(x+y)-2xy,x+y=(x+y)-3xy(x+y),(x+y)2-(x-y)2=4xy,問題則十分簡單.解：(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8X6=1.例8計算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2.分析：直接展開，運算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而問題容易解決.匚一一卜-2-222222.2解：原式=(a+b)+c+(a+b)-c+c+(a-b)+c-(a-b)=2(a+b)+c+2c+(a-b)=2(a+b)2+(a-b)2+4c22,22

13、=4a+4b+4c(五) 、注意乘法公式的逆運用例9計算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2.分析：若按完全平方公式展開，再相減，運算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運算簡便得多.解：原式=(a-2b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c)=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac.22例10計算(2a+3b)-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式，則運算更為簡便.匚一一卜-2一-一2一222.2解：原式=(2a+3b)+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)=(2a+3b)+

14、(4a-5b)=(6a-2b)=36a-24ab+4b.四、怎樣熟練運用公式：(一) 、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號左邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方.明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運用公式.(二) 、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式.理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運用公式.如計算(x+2y3z)2,若視x+2y為公式中的a,3z為b,則就可用(a-b)2=a22ab+b2來解了。

15、(三) 、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準形式不相一致或不能直接用公式計算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點.常見的幾種變化是:1、位置變化如(3x+5y)(5y3x)交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計算了.2、符號變化如(-2nv7n)(2nv-7n)變?yōu)橐?2n+7n)(2nv7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、數(shù)字變化如98X102,992,912等分別變?yōu)?10A2)(100+2),(1001)2,(90+1)2后就能夠用乘法公式加以解答了.4、系數(shù)變化如(4計2)(2”2)變?yōu)?(2n+n)(2nv2)后即可用平方差公

16、式進行計算了.24445、項數(shù)變化如(x+3y+2z)(x3y+6z)變?yōu)?x+3y+4z2z)(x3y+4z+2z)后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了(四) 、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂嬎愀啽?如計算(a2+1)2-(a21)2,若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便.即原式=(a2+1)(a21)2=(a4-1)2=a8-2a4+1.對數(shù)學(xué)公式只會順向(從左到右)運用是遠遠不夠的，還要注意逆向(從右到左)運用.如計算(1)(12法)，若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯.若注意

17、到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題.即原式=(11)(1+1)(11)(1+1(1n(1+±)X2XZX4xx旦X11=2X11=四.223310102233101021020有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=(a+b)2一2ab,a2+b2=(ab)2+2ab等.用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效.如已知nrn=7,mn=-18,求希+n2,n2mr+n2的值.面對這樣的問題就可用上述變式來解，22、2_2即m+n=(mm)2mn=72X(18)=49+36=85,22,、22m-mr+n=(mm

18、)3m=73x(18)=103.下列各題，難不倒你吧？！1、若a+1=5,求(1)a2+,(2)(a-)2的值.aaa2481632642、求(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)+1的末位數(shù)字.(答案：1.(1)23;(2)21.2.6)五、乘法公式應(yīng)用的五個層次乘法公式：(a+b)(ab)=a2b2,(a+b)=a2+2ab+b2,(a+b)(a2+ab+b2)=a3+b3.第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用.例1計算214(2)(-2x-y)(2x-y).解原式=&)-囹原式=(y)2x(y)+2x=y2-4x2.第二層次

19、用，即將這些公式反過來進行逆向使用.例2計算(1)19982-1998-3994+19972;解原式=199822-1998-1997+19972=(1998-1997)2=11+2H第三層次活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征,探尋規(guī)律,連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈13242W911_.11=一中_22,_.費331.一9*91010=20'活應(yīng)用公式.2-1”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式,例3化簡：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增添一個因式“從而問題迎刃而解.解原式=(21)(2+1)(22+1)(24+

20、1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=216.1=2例4計算：(2x3y1)(2x3y+5)分析仔細觀察，易見兩個因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符.于是可創(chuàng)造條件一“拆”數(shù)：-一3,5=2+3,使用公式巧解.解原式=(2x-3y3+2)(-2x-3y+3+2)=(23y)+(2x-3)(2-3y)-(2x-3)=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5.第四層次變用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2+b2=(a+b)22ab,a3+b3=(a+b)33ab(a+b)等，則求解十分簡單、明快.例

21、5已知a+b=9,ab=14,求2a2+2b2和a3+b3的值.解：.a+b=9,ab=14,.2a2+2b2=2(a+b)22ab=2(922-14)=106,a3+b3=(a+b)33ab(a+b)=933-14-9=351第五層次綜合后用：將(a+b)=a+2ab+b和(a-b)=a-2ab+b綜合，可礙(a+b)+(ab)=2(a+b);(a+b)(ab)=4ab;"Hr*八寸舊ij等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷.例6計算：(2x+yz+5)(2xy+z+5).解：原式=1(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2-1(2x+y-z+5)-(2x-y+z+

22、5)24422.222=(2x+5)(yz)=4x+20x+25y+2yzz六、正確認識和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認識乘法公式：對于學(xué)習(xí)的兩種(三個)乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,可以運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認識乘法公式。如圖1,兩個矩形的面積之和(即陰影部分的面積)為(a+b)(a-b),通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2中的兩個圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-

23、b)2,通過面積的計算方法，即可得到兩個完全222»222平方公式：(a+b)=a+2ab+b與(a-b)=a-2ab+b。1ba2、乘法公式的使用技巧:提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以避免負號多帶來的麻煩。例1、運用乘法公式計算:，、一一，一、一22-(3x)2=1-9x2.(1)(-1+3x)(-1-3x);(2)(-2m-1)解：(1)(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1(2)(-2m-1)2=-(2m+1)2=(2m+1)2=4m2+4m+1.改變順序：運用交換律、結(jié)合律,調(diào)整因式或因式中各項的排列順序，可

24、以使公式的特征更加明顯例2、運用乘法公式計算:11(3a-4b)(-(2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)解：(1)(:a-b)(-344b-3),(-11114b+3a)(-4b-3a)(2)(x-1/2)(x逆用公式111一=(b-3a)(4b+ga)=(4b)-(2一一+1/4)(x+1/2)=(x-1/2)(x+1/2)(x1212123a)=b-9a2+1/4)=(x2-1/4)(x2+1/4)=x2-1/16.將藉的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=(a+b)(a-b),逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時常會收到事半功倍的

25、效果。例3、計算:(1)(x/2+5)2-(x/2-5)2;解：(1)(x/2+5)2-(x/2-5)(2)(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)22一一一一=(x/2+5)+(x/2-5)(x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)(x/2+5-x/2+5)=x-2(a+1/2)-10=10x.(2)(a-1/2)2(a2+1/4)2=(a-1/2)(a2+1/4)(a+1/2)2=(a-1/2)(a+1/2)(a2+1/4)2222,4284=(a-1/4)(a+1/4)=(a-1/16)=a-a/8+1/256.合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將

26、完全相同的項調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。計算：(1)(x+y+1)(1-x-y);(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).2-(x+y)2解：(1)(x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)=1+(x+y)1-(x+y)=1=1-(x2+2xy+y2)=1-x2-2xy-y2.(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)=(2x+5)2-(y-z)2=(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)=4

27、x2+20x+25-y2+2yz-z2=4x2-y2-z2+2yz+20x+25.七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項式乘多項式，運算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細觀察，認真分析題目中各多項式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運算就顯得簡便易行。一. 先分組，再用公式例1.計算：（abcd）（abcd）簡析：本題若以多項式乘多項式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式（abcd）運用加法交換律和結(jié)合律變形為（bd）（ac）;將另一個整式（abcd）變形為（bd）（ac）,則從其中找出了特點，從而利用平方差公式即可將

28、其展開。解：原式(bd)(ac)bdac(bd)2(ac)22b22bdd22a2acc2二. 先提公因式，再用公式例2.計算：8x4x簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個多項式中各項提公因數(shù)2出來，變?yōu)?4x乂，則可利用乘法公式。4解：原式24x4x232x2y_8先分項，再用公式例3.計算：2x3y2x3y6簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn),x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進而分析如何將常數(shù)進行變化。若將2分解成4與2的和，將6分解成4與2的和，再分組，則可

29、應(yīng)用公式展開。解：原式=(2x4)(23y)2x423y22(2x4)223y2_4x16x1212y9y2四. 先整體展開，再用公式例4.計算：(a2b)(a2b1)簡析：乍看兩個多項式無聯(lián)系，但把第二個整式分成兩部分，即(a2b)1,再將第一個整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。解：原式(a2b)(a2b)(a2a2b)(a4b22b)a2b(a2b)五. 先補項，再用公式例5.計算：3(381)(321)(31)簡析：由觀察整式(31),不難發(fā)現(xiàn)，若先補上一項(31),則可滿足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展開，使運算變得簡便易行。解：原式3(381)(341)(321)(31)(31)(381)(341)(321)(321)2.8.4.4(31)(31)(31)2(381)(381)2(3161)2322六.先用公式,再展開1例6.計算：1-222±.1421L102簡析：第一個整式1可表小為12由簡單的變化，可看出整式符合平方差公式，其它因式類似變化，進一步變換成分數(shù)的積，化簡即可。解：原式11111112231425311911223344101020七.乘法公式交替用例7.計算：(xz)(x22xzz2)(xz)(x22xzz2)簡析：利用乘法交換律，把第一個整式和第四個整式結(jié)合在一起，把第二個整式與第三個整式結(jié)合，則可利用乘法公式展開