【經(jīng)典例題剖析】一次函數(shù)

1、一次函數(shù)復(fù)習(xí)課知識點1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念若兩個變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時，稱y是x的正比例函數(shù).例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函數(shù)，y=x，y=-x都是正比例函數(shù).【說明】 （1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實數(shù)，但在實際問題中要根據(jù)函數(shù)的實際意義來確定.（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).（3）當(dāng)b=0，k0時，y=

2、 kx仍是一次函數(shù).（4）當(dāng)b=0，k=0時，它不是一次函數(shù).例1 下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x； （4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.例2 當(dāng)m為何值時，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)？知識點2 函數(shù)的圖象把一個函數(shù)的自變量x與所對應(yīng)的y的值分別作為點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象畫函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點、連線知識點 3一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=

3、kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數(shù)圖象時，只要描出適合關(guān)系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點（-，0）.但也不必一定選取這兩個特殊點.畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時，只要描出點（0，0），（1，k）即可.知識點4 一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的性質(zhì)（1）k的正負決定直線的傾斜方向；k0時，y的值隨x值的增大而增大；kO時，y的值隨x值的增大而減小（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越?。ㄖ本€緩）

4、；（3）b的正、負決定直線與y軸交點的位置；當(dāng)b0時，直線與y軸交于正半軸上；當(dāng)b0時，直線與y軸交于負半軸上；當(dāng)b=0時，直線經(jīng)過原點，是正比例函數(shù)（4）由于k，b的符號不同，直線所經(jīng)過的象限也不同；如圖1118（l）所示，當(dāng)k0，b0時，直線經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）；如圖1118（2）所示，當(dāng)k0，bO時，直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）；如圖1118（3）所示，當(dāng)kO，b0時，直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）；如圖1118（4）所示，當(dāng)kO，bO時，直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限）（5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，

5、k相同，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個單位得到的知識點3 正比例函數(shù)y=kx（k0）的性質(zhì)（1）正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過原點；（2）當(dāng)k0時，圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大；（3）當(dāng)k0時，圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減小知識點4 點P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系（1）如果點P（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；（2）如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對對應(yīng)值，那么以x0，y0為坐標(biāo)的點P（

6、1，2）必在函數(shù)的圖象上例如：點P（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點P（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點P（2，1）不滿足解析式y(tǒng)=x+1，因為當(dāng)x=2時，y=3，所以點P（2，1）不在直線y=x+l的圖象上知識點5 確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達式的條件（1）由于正比例函數(shù)y=kx（k0）中只有一個待定系數(shù)k，故只需一個條件（如一對x，y的值或一個點）就可求得k的值（2）由于一次函數(shù)y=kx+b（k0）中有兩個待定系數(shù)k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值知識點6 待定系數(shù)法先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式（其中含有

7、未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程（或方程組），求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù)例如：函數(shù)y=kx+b中，k，b就是待定系數(shù)知識點7 用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式的一般步驟（1）設(shè)函數(shù)表達式為y=kx+b；（2）將已知點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達式，解方程（組）；（3）求出k與b的值，得到函數(shù)表達式例如：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，1）和（-1，-3）求此一次函數(shù)的關(guān)系式解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為ykx+b（k0），由題意可知，解此函數(shù)的關(guān)系式為y=【說明】 本題是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式，具體步驟如下：第一步，設(shè)（根據(jù)題中要求的函數(shù)“設(shè)”關(guān)系式y(tǒng)=

8、kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0）；第二步，代（根據(jù)題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個方程（或方程組），求出待定系數(shù)k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“設(shè)”的關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中）；第四步，寫（寫出函數(shù)關(guān)系式）.思想方法小結(jié) （1）函數(shù)方法函數(shù)方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數(shù)量關(guān)系，抽象、升華為函數(shù)的模型，進而解決有關(guān)問題的方法函數(shù)的實質(zhì)是研究兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，靈活運用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問題（2）數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時，能起到事半功倍的作用知識規(guī)律小結(jié) （1

9、）常數(shù)k，b對直線y=kx+b(k0）位置的影響當(dāng)b0時，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時，直線經(jīng)過原點；當(dāng)b0時，直線與y軸的負半軸相交當(dāng)k，b異號時，即-0時，直線與x軸正半軸相交；當(dāng)b=0時，即-=0時，直線經(jīng)過原點；當(dāng)k，b同號時，即-0時，直線與x軸負半軸相交當(dāng)kO，bO時，圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)k0，b=0時，圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)bO，bO時，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)kO，b0時，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)kO，b=0時，圖象經(jīng)過第二、四象限；當(dāng)bO，bO時，圖象經(jīng)過第二、三、四象限（2）直線y=kx+b（k0）與直線y=kx(k0)的位置關(guān)系直線y=kx+b(k

10、0)平行于直線y=kx(k0)當(dāng)b0時，把直線y=kx向上平移b個單位，可得直線y=kx+b；當(dāng)bO時，把直線y=kx向下平移|b|個單位，可得直線y=kx+b（3）直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位置關(guān)系k1k2y1與y2相交；y1與y2相交于y軸上同一點（0，b1）或（0，b2）；y1與y2平行；y1與y2重合.典例剖析基本概念題本節(jié)有關(guān)基本概念的題目主要是一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系，以及構(gòu)成一次函數(shù)及正比例函數(shù)的條件基礎(chǔ)知識應(yīng)用題本節(jié)基礎(chǔ)知識的應(yīng)用主要包括：（1）會確定函數(shù)關(guān)系式及求函數(shù)值；（2）會畫一次函數(shù)（正比例函數(shù)）圖象及根據(jù)圖象

11、收集相關(guān)的信息；（3）利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題；（4）利用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達式例3 一根彈簧長15cm，它所掛物體的質(zhì)量不能超過18kg，并且每掛1kg的物體，彈簧就伸長05cm，寫出掛上物體后，彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x(kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數(shù)分析 （1）彈簧每掛1kg的物體后，伸長05cm，則掛xkg的物體后，彈簧的長度y為（l5+05x）cm，即y=15+05x（2）自變量x的取值范圍就是使函數(shù)關(guān)系式有意義的x的值，即0x18(3)由y=15+05x可知，y是x的一次函數(shù)解：（l）y=15+05x（2）自變量

12、x的取值范圍是0x18（3）y是x的一次函數(shù)學(xué)生做一做 烏魯木齊至庫爾勒的鐵路長約600千米，火車從烏魯木齊出發(fā)，其平均速度為58千米時，則火車離庫爾勒的距離s（千米）與行駛時間t（時）之間的函數(shù)關(guān)系式是 .老師評一評 研究本題可采用線段圖示法，如圖1119所示火車從烏魯木齊出發(fā)，t小時所走路程為58t千米，此時，距離庫爾勒的距離為s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t例4 某物體從上午7時至下午4時的溫度M（）是時間t（時）的函數(shù)：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12時，t=1表示下午1時），則上午10時此物體的溫度為 分析 本題給出了函數(shù)關(guān)系式，欲求函數(shù)值，但沒

13、有直接給出t的具體值從題中可以知道，t=0表示中午12時，t=1表示下午1時，則上午10時應(yīng)表示成t=-2，當(dāng)t=-2時，M=（-2）3-5（-2）+100=102（）答案：102例5 已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x=4時，求y的值；（3）當(dāng)y=4時，求x的值分析 由y-3與x成正比例，則可設(shè)y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，則可以寫出關(guān)系式解：（1）由于y-3與x成正比例，所以設(shè)y-3=kx把x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-32k，k2y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y-3=2x，即y=2x+3（2）當(dāng)x=4時，y=24+3=

14、11（3）當(dāng)y4時，4=2x+3，x=.學(xué)生做一做 已知y與x+1成正比例，當(dāng)x=5時，y=12，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是 .老師評一評 由y與x+1成正比例，可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=k（x+1）.再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k（x+1）.當(dāng)x=5時，y=12，12=（5+1）k，k=2y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2【注意】 y與x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要誤認為y=kx+1.例6 若正比例函數(shù)y=（1-2m）x的圖象經(jīng)過點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當(dāng)x1x2時，y1y2，則m的取值范圍是（ ）

15、AmOBm0CmDmM分析 本題考查正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，因為當(dāng)x1x2時，y1y2，說明y隨x的增大而減小，所以1-2mO,m，故正確答案為D項學(xué)生做一做 某校辦工廠現(xiàn)在的年產(chǎn)值是15萬元，計劃今后每年增加2萬元（1）寫出年產(chǎn)值y（萬元）與年數(shù)x（年）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）求5年后的產(chǎn)值老師評一評 （1）年產(chǎn)值y（萬元）與年數(shù)x（年）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=15+2x（2）畫函數(shù)圖象時要特別注意到該函數(shù)的自變量取值范圍為x0，因此，函數(shù)y=15+2x的圖象應(yīng)為一條射線畫函數(shù)y=12+5x的圖象如圖1121所示（3）當(dāng)x=5時，y15+25=25（萬元）5年后的產(chǎn)值是2

16、5萬元例7 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖1122所示，求函數(shù)表達式分析 從圖象上可以看出，它與x軸交于點（-1，0），與y軸交于點（0，-3），代入關(guān)系式中，求出k為即可解：由圖象可知，圖象經(jīng)過點（-1，0）和（0，-3）兩點，代入到y(tǒng)=kx+b中，得此函數(shù)的表達式為y=-3x-3.例8 求圖象經(jīng)過點（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達式分析 圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達式的一次項系數(shù)為2，則可設(shè)此表達式為y=2x+b，再將點（2，-1）代入，求出b即可解：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達式為y=2x+b，圖象經(jīng)過點（2，-1），-l=22+bb=-5，所求一次函數(shù)的表達式

17、為y=2x-5.綜合應(yīng)用題本節(jié)知識的綜合應(yīng)用包括：（1）與方程知識的綜合應(yīng)用；（2）與不等式知識的綜合應(yīng)用；（3）與實際生活相聯(lián)系，通過函數(shù)解決生活中的實際問題例8 已知y+a與x+b（a，b為是常數(shù)）成正比例（1）y是x的一次函數(shù)嗎？請說明理由；（2）在什么條件下，y是x的正比例函數(shù)？分析 判斷某函數(shù)是一次函數(shù)，只要符合y=kx+b（k，b中為常數(shù)，且k0）即可；判斷某函數(shù)是正比例函數(shù)，只要符合y=kx(k為常數(shù)，且k0)即可解：（1）y是x的一次函數(shù)y+a與x+b是正比例函數(shù)，設(shè)y+a=k(x+b)（k為常數(shù)，且k0）整理得y=kx+（kb-a）k0，k，a，b為常數(shù)，y=kx+(kb-a

18、)是一次函數(shù)（2）當(dāng)kb-a=0，即a=kb時，y是x的正比例函數(shù)例9 某移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先交50元月租費，然后每通話1分，再付電話費04元；“神州行”使用者不交月租費，每通話1分，付話費06元（均指市內(nèi)通話）若1個月內(nèi)通話x分，兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元（1）寫出y1，y2與x之間的關(guān)系；（2）一個月內(nèi)通話多少分時，兩種通訊方式的費用相同？（3）某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費200元，則選擇哪種通訊方式較合算？分析 這是一道實際生活中的應(yīng)用題，解題時必須對兩種不同的收費方式仔細分析、比較、計算，方可得出正確結(jié)論解：（1）y1=50+04x（其中x0，且x

19、是整數(shù)）y2=06x（其中x0，且x是整數(shù)）(2)兩種通訊費用相同，y1=y2，即50+04x=06xx250一個月內(nèi)通話250分時，兩種通訊方式的費用相同（3）當(dāng)y1=200時，有200=50+04x，x=375（分）“全球通”可通話375分當(dāng)y2=200時，有200=06x，x=333（分）“神州行”可通話333分375333，選擇“全球通”較合算例10 已知y+2與x成正比例，且x=-2時，y=0（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）觀察圖象，當(dāng)x取何值時，y0？（4）若點（m，6）在該函數(shù)的圖象上，求m的值；（5）設(shè)點P在y軸負半軸上，（2）中的圖象與x軸、y軸分

20、別交于A，B兩點，且SABP=4，求P點的坐標(biāo)分析 由已知y+2與x成正比例，可設(shè)y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，這樣即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)進行分析，點（m，6）在該函數(shù)的圖象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值解：（1）y+2與x成正比例，設(shè)y+2=kx（k是常數(shù)，且k0）當(dāng)x=-2時，y=00+2k（-2），k-1函數(shù)關(guān)系式為x+2=-x，即y=-x-2（2）列表；x0-2y-20描點、連線，圖象如圖1123所示（3）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x-2時，y0當(dāng)x-2時，y0(4)點（m，6）在該函數(shù)的圖象上，6=-m-2,m-8（5）函數(shù)y=-x-

21、2分別交x軸、y軸于A，B兩點，A（-2，0），B（0，-2）SABP=|AP|OA|=4，|BP|=.點P與點B的距離為4又B點坐標(biāo)為(0，-2),且P在y軸負半軸上，P點坐標(biāo)為(0，-6).例11 已知一次函數(shù)y=（3-k）x-2k2+18.（1）k為何值時，它的圖象經(jīng)過原點？（2）k為何值時，它的圖象經(jīng)過點（0，-2）?（3）k為何值時，它的圖象平行于直線y=-x？（4）k為何值時，y隨x的增大而減??？分析 函數(shù)圖象經(jīng)過某點，說明該點坐標(biāo)適合方程；圖象與y軸的交點在y軸上方，說明常數(shù)項bO；兩函數(shù)圖象平行，說明一次項系數(shù)相等；y隨x的增大而減小，說明一次項系數(shù)小于0解：（1）圖象經(jīng)過原點

22、，則它是正比例函數(shù)k-2當(dāng)k=-3時，它的圖象經(jīng)過原點（2）該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，-2）.-2=-2k2+18，且3-k0，k=當(dāng)k=時，它的圖象經(jīng)過點(0，-2)（3）函數(shù)圖象平行于直線y=-x，3-k=-1，k4當(dāng)k4時，它的圖象平行于直線x=-x（4）隨x的增大而減小，3-kOk3當(dāng)k3時，y隨x的增大而減小例12 判斷三點A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上分析 由于兩點確定一條直線，故選取其中兩點，求經(jīng)過這兩點的函數(shù)表達式，再把第三個點的坐標(biāo)代入表達式中，若成立，說明在此直線上；若不成立，說明不在此直線上解：設(shè)過A，B兩點的直線的表達式為y=kx+b由題

23、意可知，過A，B兩點的直線的表達式為y=x-2當(dāng)x=4時，y=4-2=2點C（4，2）在直線y=x-2上三點A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一條直線上學(xué)生做一做 判斷三點A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一條直線上.探索與創(chuàng)新題主要考查學(xué)生運用知識的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問題中的廣泛應(yīng)用例13 老師講完“一次函數(shù)”這節(jié)課后，讓同學(xué)們討論下列問題：（1）x從0開始逐漸增大時，y=2x+8和y=6x哪一個的函數(shù)值先達到30？這說明了什么？（2）直線y=-x與y=-x+6的位置關(guān)系如何？甲生說：“y=6x的函數(shù)值先達到30，說明y=6x比

24、y=2x+8的值增長得快”乙生說：“直線y=-x與y=-x+6是互相平行的”你認為這兩個同學(xué)的說法正確嗎？分析 （1）可先畫出這兩個函數(shù)的圖象，從圖象中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x2時，6x2x+8，所以，y=6x的函數(shù)值先達到30（2）直線y=-x與y=-x+6中的一次項系數(shù)相同，都是-1，故它們是平行的，所以這兩位同學(xué)的說法都是正確的解：這兩位同學(xué)的說法都正確例14 某校一名老師將在假期帶領(lǐng)學(xué)生去北京旅游，用旅行社說：“如果老師買全票，其他人全部半價優(yōu)惠”乙旅行社說：“所有人按全票價的6折優(yōu)惠”已知全票價為240元（1）設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，甲旅行社的收費為y甲元，乙旅行社的收費為y乙元，分別表示兩家旅行社的收費

25、；（2）就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠分析 先求出甲、乙兩旅行社的收費與學(xué)生人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過比較，探究結(jié)論解：（1）甲旅行社的收費y甲（元）與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=240+240x=240+120x.乙旅行社的收費y乙（元）與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=24060（x+1）=144x+144（2）當(dāng)y甲=y乙時，有240+120x=144x+144，24x96，x=4當(dāng)x=4時，兩家旅行社的收費相同，去哪家都可以當(dāng)y甲y乙時，240+120x144x+144，24x96，x4當(dāng)x4時，去乙旅行社更優(yōu)惠當(dāng)y甲y乙時，有240+120x140x+144，24x96，x

26、4當(dāng)x4時，去甲旅行社更優(yōu)惠小結(jié) 此題的創(chuàng)新之處在于先通過計算進行討論，再作出決策，另外，這兩個函數(shù)都是一次函數(shù)，利用圖象來研究本題也不失為一種很好的方法學(xué)生做一做 某公司到果園基地購買某種優(yōu)質(zhì)水果，慰問醫(yī)務(wù)工作者.果園基地對購買量在3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷售方案甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運回，已知該公司租車從基地到公司的運輸費為5000元（1）分別寫出該公司兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；（2）當(dāng)購買量在什么范圍時，選擇哪種購買方案付款少？并說明理由老師評一評 先求

27、出兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過比較，探索出結(jié)論（1）甲方案的付款y甲（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=9x（x3000）；乙方案的付款y乙（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=8x+500O（x3000）（2）有兩種解法：解法1：當(dāng)y甲=y乙時，有9x=8x+5000，x=5000當(dāng)x=5000時，兩種方案付款一樣，按哪種方案都可以當(dāng)y甲y乙時，有9x8x+5000，x5000又x3000，當(dāng)3000x5000時，甲方案付款少，故采用甲方案當(dāng)y甲y乙時，有9x8x+5000，x5000當(dāng)x500O時，乙方案

28、付款少，故采用乙方案解法2：圖象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函數(shù)圖象，如圖1124所示，由圖象可得：當(dāng)購買量大于或等于3000千克且小于5000千克時，y甲y乙,即選擇甲方案付款少；當(dāng)購買量為5000千克時，y甲y乙即兩種方案付款一樣；當(dāng)購買量大于5000千克時，y甲y乙，即選擇乙方案付款最少【說明】 圖象法是解決問題的重要方法，也是考查學(xué)生讀圖能力的有效途徑.例15 一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3x6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5y-2，則這個函數(shù)的解析式為 .分析 本題分兩種情況討論：當(dāng)k0時，y隨x的增大而增大，則有：當(dāng)x=-3，y=-5；當(dāng)x=6時，y=-2

29、，把它們代入y=kx+b中可得函數(shù)解析式為y=-x-4當(dāng)kO時則隨x的增大而減小，則有：當(dāng)x=-3時，y=-2；當(dāng)x=6時，y=-5，把它們代入y=kxb中可得函數(shù)解析式為y=-x-3.函數(shù)解析式為y=x-4，或y=-x-3.答案：y=x-4或y=-x-3.【注意】 本題充分體現(xiàn)了分類討論思想，方程思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用，切忌考慮問題不全面.中考試題預(yù)測例1 某地舉辦乒乓球比賽的費用y（元）包括兩部分：一部分是租用比賽場地等固定不變的費用b（元），另一部分與參加比賽的人數(shù)x（人）成正比例，當(dāng)x=20時y=160O；當(dāng)x=3O時，y=200O（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）動果有50名運動

30、員參加比賽，且全部費用由運動員分攤，那么每名運動員需要支付多少元？分析 設(shè)舉辦乒乓球比賽的費用y（元）與租用比賽場地等固定不變的費用b（元）和參加比賽的人數(shù)x（人）的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k0）.把x=20，y=1600；x=30，y=2000代入函數(shù)關(guān)系式，求出k，b的值，進而求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x=50時，求出y的值，再求得y50的值即可解：（1）設(shè)y1=b，y2=kx（k0，x0），y=kx+b又當(dāng)x=20時，y=1600；當(dāng)x=30時,y=2000，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=40x+800（x0）.（2）當(dāng)x=50時，y=4050+800=2800（元）每名運動員需支付

31、280050=56（元答：每名運動員需支付56元例2 已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)x=-4時，y的值為9；當(dāng)x=2時，y的值為-3（1）求這個函數(shù)的解析式。（2）在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這個函數(shù)的圖象分析 求函數(shù)的解析式，需要兩個點或兩對x，y的值，把它們代入y=kx+b中，即可求出k在的值，也就求出這個函數(shù)的解析式，進而畫出這個函數(shù)的圖象解：（1）由題意可知這個函數(shù)的解析式為x=-2x+1.(2)列表如下：x0y10描點、連線，如圖1126所示即為y=-2x+1的圖象例3 如圖1127所示，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為指距某項研究表明，一般情況下人的身高h是指距d的一次函數(shù)，下表是測

32、得的指距與身高的一組數(shù)據(jù)指距d/cm20212223身高h/cm160169178187（1）求出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量d的取值范圍）（2）某人身高為196cm，一般情況下他的指距應(yīng)是多少？分析 設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是h=kd+b（k0）當(dāng)d20時，h=160；當(dāng)d=21時,h=169把這兩對d,h值代人h=kd+b得所以得出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)h=196時，即可求出d解：（1）設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式為h=kd+b(k0)由題中圖表可知當(dāng)d=2O時,h=16O；當(dāng)d=21時，h=169. 把它們代入函數(shù)關(guān)系式，得h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是h=9d-20（2）當(dāng)h=

33、196時，有196=9d-20d24當(dāng)某人的身高為196cm時，一般情況下他的指距是24cm例4 汽車由重慶駛往相距400千米的成都，如果汽車的平均速度是100千米時，那么汽車距成都的路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)關(guān)系用圖象（如圖1128所示）表示應(yīng)為（ ）分析 本題主要考查函數(shù)關(guān)系式的表達及函數(shù)圖象的知識，由題意可知,汽車距成都的路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數(shù)關(guān)系式是s=400-100t，其中自變量t的取值范圍是0t4，所以有0s400，因此這個函數(shù)圖象應(yīng)為一條線段，故淘汰掉D又因為在S=400-100t中的k=-1000，s隨t的增大而減小，所以正確答案應(yīng)該是C答案：C小結(jié)

34、 畫函數(shù)圖象時，要注意自變量的取值范圍，尤其是對實際問題例5 已知函數(shù)：（1）圖象不經(jīng)過第二象限；（2）圖象經(jīng)過點（2，-5）.請你寫出一個同時滿足（1）和（2）的函數(shù)關(guān)系式： 分析 這是一個開放性試題，答案是不惟一的，因為點（2，-5）在第四象限，而圖象又不經(jīng)過第二象限，所以這個函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，只需在第一象限另外任意找到一點，就可以確定出函數(shù)的解析式設(shè)經(jīng)過第一、二、四象限的直線解析式為y=kx+b（kO），另外的一點為（4，3），把這兩個點代入解析式中即可求出k，b. y=4x-13.答案：y4x-13【注意】 后面學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)二次函數(shù)后可另行分析.例6 人在運動時的心跳速

35、率通常和人的年齡有關(guān)如果用a表示一個人的年齡，用b表示正常情況下這個人運動時所能承受的每分心跳的最高次數(shù)，另么b=08（220-a）（1）正常情況下，在運動時一個16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是多少？（2）一個50歲的人運動10秒時心跳的次數(shù)為20次，他有危險嗎？分析 （1）只需求出當(dāng)a=16時b的值即可（2）求出當(dāng)a=50時b的值，再用b和20=120（次）相比較即可解：（1）當(dāng)a=16時，b=08（220-16）1632（次）正常情況下，在運動時一個16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是1632次（2）當(dāng)a=50時，b=08（220-50）=08170=136（次），表示他最

36、大能承受每分136次而20=120136，所以他沒有危險一個50歲的人運動10秒時心跳的次數(shù)為20次，他沒有危險例7 某市的A縣和B縣春季育苗，急需化肥分別為90噸和60噸，該市的C縣和D縣分別儲存化肥100噸和50噸，全部調(diào)配給A縣和B縣已知C，D兩縣運化肥到A，B兩縣的運費（元噸）如下表所示（1）設(shè)C縣運到A縣的化肥為x噸，求總運費W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求最低總運費，并說明總運費最低時的運送方案分析 利用表格來分析C，D兩縣運到A，B兩縣的化肥情況如下表則總運費W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式為W=35x+40（90-x）+30（100-x）+456

37、0-（100-x）=10x+4800自變量x的取值范圍是40x90解：（1）由C縣運往A縣的化肥為x噸，則C縣運往B縣的化肥為（100-x）噸D縣運往A縣的化肥為（90-x）噸，D縣運往B縣的化肥為（x-40）噸由題意可知W35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）10x+4800自變量x的取值范圍為40x90總運費W（元）與x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為w1Ox+480O（40x9O）（2）100，W隨x的增大而增大當(dāng)x=40時，W最小值=1040+4800=5200（元）運費最低時，x=40，90-x=50（噸），x-40=0（噸）當(dāng)總運費最低時，運送方案是：C縣的100噸

38、化肥40噸運往A縣，60噸運往B縣，D縣的50噸化肥全部運往A縣例8 2006年夏天，某省由于持續(xù)高溫和連日無雨，水庫蓄水量普遍下降，圖1129是某水庫的蓄水量V（萬米2）與干旱持續(xù)時間t（天）之問的關(guān)系圖，請根據(jù)此圖回答下列問題（1）該水庫原蓄水量為多少萬米2？持續(xù)干旱10天后水庫蓄水量為多少萬米3？（2）若水庫存的蓄水量小于400萬米3時，將發(fā)出嚴重干旱警報，請問：持續(xù)干旱多少天后，將發(fā)生嚴重干旱警報？ （3）按此規(guī)律，持續(xù)干旱多少天時，水庫將干涸？分析 由函數(shù)圖象可知，水庫的蓄水量V（萬米2）與干旱時間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，設(shè)一次函數(shù)的解析式是V=kt+b（k，b是常數(shù)，且k0）.由圖象求得這個函數(shù)解析式，進而求出本題（1）（2）（3）問即可解：設(shè)水庫的蓄水量V（萬米3）與干旱時間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式是V=kt+b（k，b是常數(shù)，且k=0）由圖象可知，當(dāng)t=10時，V=800；當(dāng)t=30時，V=400把它們代入V=kt+b中，得V=-20t+1000（0t50）（1）當(dāng)t=0時，V=-200+1000=1000（萬米2）；當(dāng)t=10時，V=-2010+1000=800（萬米3）