不比不明正稿

1、 不 比 不 明 -談比較對照法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 劉超然（廣東省廣州市第九十三中學(xué)） 摘要：通過比較對照法進行教學(xué)，為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，能有效地促進學(xué)生知識和能力的提高，提高教學(xué)的效率?，F(xiàn)給出以舊知為基礎(chǔ)作縱向比較，與相關(guān)知識進行橫向比較，在比較中突顯關(guān)鍵點，或通過對比辯析各種錯誤等角度。關(guān)鍵詞： 泛化；數(shù)學(xué)教學(xué)；同化；自主建構(gòu)“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)”，通過比較，可以區(qū)分事物相互間的共同點和差異性，防止知識的泛化混淆，促使學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和掌握知識內(nèi)在的本質(zhì)屬性，從而讓學(xué)生通過自己探索新知、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，達到提高能力和自主建構(gòu)知識的目的。因此，教學(xué)中，教師應(yīng)通過適當(dāng)?shù)?/p>

2、比較為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會。那么如何在有限的時間里讓學(xué)生最大限度地取得知識和能力上的雙重收益呢？筆者經(jīng)過實踐發(fā)現(xiàn)：適時地采用比較對照法，可有效地兼顧兩方面的提高。一、 在舊知基礎(chǔ)上縱向建立新知。、在與已有知識類比的過程中擴展、生成新知識。類比法是通過對兩個研究對象的比較，根據(jù)它們某些方面（屬性，關(guān)系，特征，形式等）的相同或相類似之處，推出它們在其它方面也可能相同或相類似的一種推理方法。類比是提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)的一條重要途徑。通過新舊知識的類比分析，能促進學(xué)生對新知的理解，從而突破教學(xué)重點、難點。案例1 對于人教版課標(biāo)教材七年級下冊“：6.1平面直角坐標(biāo)系”的教學(xué)設(shè)計：可以在“用有

3、理數(shù)確定水平方向數(shù)軸上的點的位置”的基礎(chǔ)上,類比地增加豎直方向上點的位置的確定，從而把數(shù)軸擴充到平面直角坐標(biāo)系。問題1：試舉例說明：在某一組中的學(xué)生需要幾個數(shù)來確定位置，教室內(nèi)的學(xué)生需要幾個數(shù)來確定位置？(引導(dǎo)學(xué)生感受一條直線上的點只需要一個數(shù)據(jù)就可以確定，而平面內(nèi)的點需要兩個數(shù)據(jù)才能確定)問題2：圖1中數(shù)軸上的點A如何表示。(用3表示，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)軸上的點可用一個實數(shù)表示)問題3：如圖2,如果把圖1中的點垂直地向上移動2個單位，要怎樣才能表示清楚點A的位置呢？（讓學(xué)生充分嘗試后，得出要再加上一個數(shù)據(jù)2來說明該點在豎直方向的位置。這樣就可通過水平方向的3和豎直方向的2這兩個數(shù)據(jù)來描述該點，記

4、作（3，2）。） 圖1 圖2 圖3 問題4：如圖3,若把圖1中的點垂直地向下移動2個單位，又要怎樣來表示這個點的位置呢？（讓學(xué)生對比地得出：需要再加一個負(fù)數(shù)（-2）才能說明該點在豎直方向的位置，這樣就可通過水平方向的3和上下方向的-2這兩個數(shù)據(jù)來描述點A，記作（3，-2）。）問題5：對于平面內(nèi)的點，需要幾個數(shù)據(jù)才能描述清楚其位置？這種表示方法相當(dāng)于增加了一個什么方向的數(shù)軸？（學(xué)生自然地得出平面內(nèi)的點需要兩個數(shù)據(jù)才能確定，并引導(dǎo)學(xué)生類比橫軸建立一個堅直方向的縱軸，從而自然地建立了平面直角坐標(biāo)系及平面內(nèi)點的坐標(biāo)表示，按照先入為主原則，橫坐標(biāo)在前。）、 在舊知基礎(chǔ)上同化生成新知。新知教學(xué)應(yīng)“見樹木更

5、見森林，見森林才見樹木”。順應(yīng)學(xué)生的已有知識，并以此為基礎(chǔ)有機地生成相關(guān)的新知識，是生成新知最有效的方式之一。因此，教師應(yīng)充分挖掘新舊知識的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生將已有知識作為培育新知的土壤，并且要讓學(xué)生做最有意義最核心的問題研究，使學(xué)生得到最大的提高。案例2 華東師大版課標(biāo)教材七年級上冊“7.2解二元一次方程組”的教學(xué)設(shè)計。如果脫離實例，直接講授方程組的代入消元法，會使學(xué)生覺得方法突兀而只能死記。因此筆者采用如下引例。引例：雞兔同籠頭共40腳共100，雞兔各幾何？問題1：如何求出雞兔數(shù)目？（學(xué)生經(jīng)思考后，通過列一元一次方程解出籠中雞30只，兔10只。）問題2：若直接設(shè)雞、兔兩個末知量，應(yīng)該怎樣列方程

6、呢？（引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)列二元一次方程組及其求解）問題3：二元一次方程組能解出嗎？（順勢讓學(xué)生借助一元一次方程求解的思路和經(jīng)驗，遷移到由“x+y=40可將兔數(shù)y用雞數(shù)x來表示，得到：y=40x。然后再由腳數(shù)2x+4y=100得出即有2x+4（40-x）=100解得x=30。”這一實際背景，使學(xué)生感悟到“化二元為一元”的基本思路，有機地生成了用代入消元法解二元一次方程組的一般思路。）、 在與舊知矛盾的對比中強化新知。教學(xué)是一種“平衡矛盾新的平衡新的矛盾”的動態(tài)過程，是一個矛盾不斷產(chǎn)生、不斷解決的過程。因此在課堂上適時制造“矛盾”，既可以引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生產(chǎn)生主動解決問題的心向；又可以凸顯所要解

7、決的問題，暴露學(xué)生的思維，促進學(xué)生對新知識的理解。案例3 人教版課標(biāo)教材七年級下冊 “1.2整式的加減”針對部分學(xué)生習(xí)慣性“不加括號”的錯誤而進行的教學(xué)設(shè)計。問題1：a比a-1大幾？（學(xué)生直覺得出判斷“a比a-1大1”，為接下來的對照創(chuàng)造條件）問題2：試列出式子計算上題。（這時教師有針對性地選取部分學(xué)生所列 的“a-a-1=-1”進行全班討論:為何結(jié)果是“-1”呢?(通過這個明顯的矛盾，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，調(diào)動了學(xué)生的探究熱情，最后發(fā)現(xiàn)：應(yīng)是a與整個（a-1）的差。而在a-a-1中a先后共減去了a+1。從而使學(xué)生對整式加減中為什么要加括號留下了深刻的印象。)問題3： 如果B=3x-y時,2B應(yīng)

8、等于多少? (引導(dǎo)學(xué)生由2B =2（3x-y）進一步類比同化“整式運算中，將整式看做一個整體”的思想。)、 對比已有方法，引入新知識、新方法。知識的發(fā)展往往是求簡的需要。因此可以通過與已有知識的對比，來展示新知識的價值，讓學(xué)生感受產(chǎn)生這一知識的必要性，從而主動地探究新知。案例 北師大版課標(biāo)教材七年級上冊第五章“一元一次方程”第一節(jié) “你今年幾歲了”設(shè)計。學(xué)生用算術(shù)法和方程法解完課本引例“老師年齡45歲,比小彬年齡的倍大歲，求小彬年齡？”后，大多都認(rèn)為算術(shù)解法比方程解法更直接。為了讓學(xué)生體會方程法的優(yōu)越性，教師提出如下問題：現(xiàn)在小彬13歲，老師45歲，幾年后老師年齡是小彬年齡的3倍？問題1：你能

9、得出答案嗎？（學(xué)生用列舉法求出結(jié)果為3年）問題2：你能列算術(shù)式來求嗎？（學(xué)生很難列出算術(shù)式來計算。當(dāng)筆者正想隨著學(xué)生的“就范”引出方程法時，一位優(yōu)生不服氣地說：“可以列出式子（45-133）3”來求解，但計算出結(jié)果是2,此時筆者引導(dǎo)學(xué)生：“45-313=，說明現(xiàn)在老師年齡比學(xué)生年齡的3倍多6歲。那么幾年后，當(dāng)學(xué)生和老師都增長同樣歲數(shù)時，可以使老師的年齡正好變成學(xué)生的3倍呢？這里的6相當(dāng)于增長年齡的2倍”。從而使較多學(xué)生理解了這一解法，并使所有學(xué)生切實地從中感受到算術(shù)解法的復(fù)雜性及其在解決復(fù)雜問題時的局限性。）問題3：試列方程解答上題。（學(xué)生大多能順利地列出方程并求解，并通過與算術(shù)解法的對比，深

10、刻地體會到這一方法的優(yōu)越性，增強了學(xué)習(xí)方程解法的熱情。）二、在橫向比較中促進新知感悟。、 在比較的情境中，自然地體會定理的內(nèi)涵。只有在恰當(dāng)?shù)膯栴}情境中，才能激發(fā)起學(xué)生主動的將新舊知識進行聯(lián)系、對比，調(diào)動原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中能解決新問題的相關(guān)知識，并對其進行重組和重新建構(gòu)，從而找到適應(yīng)新問題情境的解決問題的數(shù)學(xué)思想方法，開展有效學(xué)習(xí)。案例5 人教版課標(biāo)教材八年級上冊“11.3角平分線的性質(zhì)”設(shè)計。問題：如圖，OF平分COD，站在O上的任一點M處，跳到這個角的哪條邊最近？按什么方向跳？（調(diào)動學(xué)生的直覺，得出按垂線段方向跳最近，且到兩邊同樣近，為總結(jié)其性質(zhì)找到生長點。）問題：對照圖、圖，總結(jié)出角平分線上的

11、點的性質(zhì)。（通過問題，讓學(xué)生體會并歸納出性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊距離相等。）問題：如圖中的嗎？（通過對比引起學(xué)生注意：點到角的兩邊的距離必須是“垂線段”，這是應(yīng)用定理的條件之一。）還可以類似地對照線段中垂線上的點與只垂直于線段的直線上的點、只平分線段的直線上的點對照，總結(jié)出中垂線上的點的特性。、 通過聯(lián)系、比較，體會法則的合理性。 對于有些約定的法則雖然不一定能找到理由去解釋清楚，但教師要通過自已的再創(chuàng)造，盡可能地把 “科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)” 改造為“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”，為學(xué)生創(chuàng)造感悟的條件。教學(xué)中，可以通過充分調(diào)動學(xué)生的直覺和生活經(jīng)驗，來理解法則的存在性和合理性，從而促使學(xué)生接受和內(nèi)化法則。案

12、例6 人教版版課標(biāo)教材七年級上冊第“1。11有理數(shù)的混合運算順序”的教學(xué)設(shè)計。問題：分析以下式子中，乘方運算的底數(shù)分別是什么？并嘗試計算其值。（1）（2）（推動學(xué)生基于直覺思維，本能地得出其中的底數(shù)分別是（23）與3，因而也就可以計算出其結(jié)果分別是和的2倍。）問題：探究中的底數(shù)。（為引導(dǎo)學(xué)生進一步從有理數(shù)的乘法拓展到除法做鋪墊。）問題：以上各式中分別含有哪些運算，你是按什么順序計算的？（引導(dǎo)學(xué)生有意識地從運算順序的角度反思剛才憑直覺運用的算法，進而總結(jié)出有理數(shù)的混合運算順序：先括號內(nèi)后乘方，先乘方后乘除。）3通過聯(lián)系、比較，實現(xiàn)知識體系的構(gòu)建。教學(xué)中，如果只是讓學(xué)生機械地記憶的知識，不但容易遺

13、忘，而且也無法靈活運用。因此，教師要適時地引導(dǎo)學(xué)生通過對比、歸納，將知識系統(tǒng)化。通過優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)來促進學(xué)生對知識的理解和靈活應(yīng)用。案例7北師大版課標(biāo)教材八年級上冊“2.4公園有多寬”,在學(xué)完開方后進行“無理數(shù)的估算”教學(xué)設(shè)計問題：計算，并尋找其中的規(guī)律。（在進行無理數(shù)的估算前，在復(fù)習(xí)鞏固冪的開方運算基礎(chǔ)上，探求其中指數(shù)的變化規(guī)律：冪的開方，底數(shù)不變，指數(shù)相除。）問題：計算并總結(jié)其中冪的運算法則。（通過復(fù)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)冪的乘方、乘（除）運算法則。以便對照地構(gòu)建知識體系）問題：試總結(jié)冪的以上四種運算法則。（冪的運算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；冪的開方，底數(shù)不變，指數(shù)相除；同底數(shù)冪相乘（除）

14、，底數(shù)不變，指數(shù)是相加（減）。從而構(gòu)建“冪的各種運算法則是底數(shù)不變，指數(shù)相應(yīng)降低一個級別的運算”這一知識體系，并為估算無理數(shù)的位數(shù)打好了基礎(chǔ)。）、 正反對照，巧用“負(fù)遷移” 教學(xué)中，驕傲是積極地促進正遷移的形成，防止負(fù)遷移的發(fā)生。但負(fù)遷移的形成可謂“防不勝防”，因此，更積極的方法是巧妙地利用它所產(chǎn)生的錯誤資源，為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)。教師可以通過創(chuàng)設(shè)合理有效的數(shù)學(xué)問題情境，多方位、科學(xué)地利用在教學(xué)過程中所產(chǎn)生的負(fù)遷移的干擾，讓學(xué)生在“挫折”中受到啟迪，從而收到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。案例8人教版課標(biāo)八年級上冊第“15.2乘法公式”中“完全平方公式”的教學(xué)設(shè)計：問題1：應(yīng)等于多少？(多數(shù)學(xué)生簡單地類比得出結(jié)

15、果為。教師在黑板上記錄好這個結(jié)果，為接下來的糾錯教學(xué)作鋪墊。)問題2：怎樣判斷這個答案是否正確？（引導(dǎo)進行學(xué)生檢驗，如當(dāng)a=2,b=3時，式子“”兩邊是否相等？使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤，并強調(diào)這是一個典型錯誤。）問題3：試根據(jù)圖7中的面積分析：“”嗎？如果不成立，那么應(yīng)等于什么？（讓學(xué)生由大正方形面積不等于兩個小正方形的面積之和得出“”，而應(yīng)等于a(a+b)+b(a+b)或a2+2ab +b2，得出（a+b）2a(a+b)+b(a+b)a2+2ab +b2）圖7問題4：應(yīng)如何通過多項式的計算來怎樣求出的值呢？（引導(dǎo)學(xué)生由多項式乘法得出答案。）問題5： 計算：（1）；（2）。（如果此時，學(xué)生還不能直接應(yīng)用

16、完全平方公式進行計算，則應(yīng)尊重學(xué)生所選思路（通過多項式乘法計算），然后教師再次引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)這兩個式子與的共同點，并從中歸納出和的完全平方公式及其來源：相同兩多項式相乘后合并同類項得出。從而減少了直接推廣和套用公式的抽象性，還可引導(dǎo)學(xué)生通過圖7來直觀地記憶公式。）問題6： 計算：（1）；（2）；（3） ；（4）。（引導(dǎo)學(xué)生歸納:要把括號內(nèi)的兩項分別帶上其符號，應(yīng)用公式得出是：原式等于這兩項的平方和，加上它們的積的兩倍即可。）三、通過對比法培養(yǎng)學(xué)生的分析能力：當(dāng)學(xué)生對知識還只是心有所悟，但口不能言清時，教師可以通過對比法設(shè)問，促進學(xué)生的思路清晰化，進而找到問題的關(guān)鍵點。案例9 關(guān)于和的平方公式的練

17、習(xí)題：填空 。問題1：應(yīng)怎么填？為什么？（學(xué)生憑直覺只得出分別填和，但說不出理由。）問題2：為什么右邊是填而不是填呢？（促使學(xué)生想到: 若右邊填入，那左邊就是了。這與已知中6x不符。從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決此題的關(guān)鍵：尋找 。達到讓學(xué)生知其所以然的目的。）問題3：試總結(jié)此題的解決方法。并完成 （推廣和強化一般方法。）四、通過對比法辯析錯誤:初中生由于分析、判斷能力的限制，容易把一些類似或近似的概念混雜在一起，區(qū)別不清；甚至把一些性質(zhì)“張冠李戴”。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)這些問題時，可以讓學(xué)生通過觀察、比較、思考、討論，在正確方法與錯誤方法的對比、辨析中，去偽存真。1、代數(shù)計算中的錯誤辯析：計算：（1）與（2）。對

18、照結(jié)果正好相反，從中總結(jié)出符號確定方法。分解因式：（1）（2）。對照其結(jié)果與不同，得出=，使學(xué)生避免漏項。對照與，分析其中次方的底數(shù)是否含負(fù)號，突破“符號”的易錯點。當(dāng)部分學(xué)生得出“或”的錯誤結(jié)果時，我引導(dǎo)學(xué)生回顧商的意義表示“被除式是除式的幾倍”，得出正確結(jié)果應(yīng)是“”。進一步提出問題：只改一處使,成立，應(yīng)怎么改？通過這一討論使學(xué)生更深刻地明白其中的原理，并梳理了冪的減法與除法的區(qū)別。從而在糾錯中，促進了學(xué)生對知識的理解。2、與反例對照，糾正學(xué)生不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀瓮评?。在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在運用“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)證明時，總是只寫“等腰三角形”一個條件。為了讓學(xué)生深刻理解這一定理成立的條件

19、有兩個，筆者設(shè)計了2個對照圖形：（1）如圖8，在等腰三角形ABC中，D位BC上一點，連接AD ,這是不能得出AD是中線、高、或角平分線。（2）如圖9，如果ABC不是等腰三角形，BC邊上的三線（中線、高、或角平分線）不是合一的。3、引導(dǎo)學(xué)生反思自已的錯誤，自主生成新知識。 教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在自我反思中，將正確答案與自己所犯的錯誤進行對比，進一步強化所學(xué)的知識和方法。案例10 華師大版課標(biāo)教材八年級上冊第“13.5因式分解”中“平方差公式法”的教學(xué)設(shè)計：在歸納出平方差公式后，筆者設(shè)計了如下活動：活動1：同桌互相出一道可用平方差公式分解因式的題給對方做?；顒?：對于不能用平方差公式分解的多項式，共同修改后再進行分解。（學(xué)生積極地把不能分解的題拿給同桌修改，并對其共同進行分解。從而進一步理解公式的特點。）活動3：看哪組同桌出的題目最多，且題目最有代表性？（進行成功嘗試后，學(xué)生繼續(xù)熱情高漲地同桌出題互做。教師選取有代表性的幾