矩形菱形正方形能力提升訓(xùn)練

1、矩形菱形正方形能力提升訓(xùn)練矩形菱形正方形能力提升訓(xùn)練、選擇題1. 在菱形ABCD中，AB=5cm,則此菱形的周長為（）9 / 16A. 5cmB.15cm2 .如圖，矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)C. 20cmD. 25cmO,若/ACB=30°, AB=2,貝U OC 的長為（A. 2B. 3C. 2.D. 43 . 如圖，在菱形ABCD中，AB=8,點(diǎn)E, F分別在AB, AD上，且AE=AF,過點(diǎn)E作EG /AD 交CD于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FH /AB交BC于點(diǎn)H , EG與FH交于點(diǎn)O.當(dāng)四邊形 AEOF 與四邊形CGOH的周長之差為12時，AE的值為（）A. 6.5 B. 6 C.

2、 5.5 D. 54.如圖，已知正方形 ABCD,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)F,連接BF,下 列結(jié)論： szabf=Saadf； Szcdf=4Szcef ；Szadf=2Sacef； Smdf=2Sacdf ,其中正確 的是（）A. B. C. D.5.如圖，已知AABC, AB=AC,將AABC沿邊BC翻轉(zhuǎn)，得到的ADBC與原BBC拼成四邊形ABDC,則能直接判定四邊形 ABDC是菱形的依據(jù)是（）A. 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B.四條邊相等的四邊形是菱形C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.對角線互相垂直的平分四邊形是菱形6. 如圖，在菱形 ABCD中，AC=8, BD

3、=6,則4ABC的周長是（A. 14B. 16C. 18D. 207.中，E 為 AB 中點(diǎn)，F(xiàn)E4B, AF=2AE, FC 交 BD 于。，則/DOCD如圖，正方形 ABCD 的度數(shù)為（A. 60B. 67.5C. 75D. 548. 如圖，矩形ABCD的對角線 AC與BD相交于點(diǎn) O, "DB=30°, AB=4,則OC=(A. 5B. 4C. 3.5D. 39. 如圖，在矩形ABCD中BC=8, CD=6 ,將那BE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對角線 BD 上F處，則DE的長是（）A. 324 B.5C. 5D.891610.如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形四邊形E

4、FGH ,下列說法正確的為(ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則關(guān)于 )A. 一定不是平行四邊形C.可能是軸對稱圖形B. 一定不是中心對稱圖形D.當(dāng)AC=BD時它是矩形二、填空題11 .如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AE1BD,垂足為點(diǎn)E,若 ZEAC =2 ZCAD ,貝U ZBAE =度.12 .如圖，已知菱形 ABCD的兩條對角線長分別為 AC=8和BD=6,那么，菱形 ABCD的面 積為 .13 .如圖，將正方形紙片按如圖折疊，AM為折痕，點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)E處，則/CME 二14 .如圖，菱形 ABCD中，對角線 AC與BD相交于點(diǎn)O,且

5、AC=8, BD=6 ,則菱形ABCD15 .如圖所示，正方形 ABCD的邊長為6,那BE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形ABCD內(nèi), 在對角線AC上有一點(diǎn)P,使PD + PE的和最小，則這個最小值為 .三、解答題16 .如圖，在 Rt祥BC中，/B=90°,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC=2AB, /BAC的平分線 AD交BC于點(diǎn)D,作AF/BC,連接DE并延長交 AF于點(diǎn)F,連接FC .求證：四邊形 ADCF是菱形.17 .已知：如圖，E為正方形 ABCD的邊BC延長線上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上一點(diǎn)，且CE = CF, 連接 DE , BF.求證：DE = BF.18.如圖，DB /AC,且DB=

6、AC, E是AC的中點(diǎn)，(1)求證：BC=DE；(2)連接AD、BE,若要使四邊形 DBEA是矩形，則給那BC添加什么條件，為什么?19.如圖，點(diǎn)P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點(diǎn) A, C重合，過點(diǎn)P分別作邊AB, AD的平行線，交兩組對邊于點(diǎn)E, F和G, H.(1)求證： APHCFP;(2)證明四邊形 PEDH和四邊形PFBG都是矩形，并直接寫出它們面積之間的關(guān)系.20.某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知 AB=8.問題思考：如圖1,點(diǎn)P為線段AB上的一個動點(diǎn)，分別以 AP、BP為邊在同側(cè)作正方形 APDC、BPEF.(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎

7、？若是，請求出；若不是，請 求出這兩個正方形面積之和的最小值.(2)分另I連接 AD、DF、AF, AF交DP于點(diǎn)K,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，在AAPK、9DK、ADFK 中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由.問題拓展：(3)如圖2,以AB為邊作正方形 ABCD,動點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動，且 PQ=8.若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-B-C-D的線路，向點(diǎn) D運(yùn)動，求點(diǎn)P從A到D 的運(yùn)動過程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長.(4)如圖3,在“問題思考”中，若點(diǎn) M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且 AM = BN=1,點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn) P從M至ij N的運(yùn)動過程中，

8、GH的中點(diǎn) O所經(jīng)過的路徑的長及 OM +OB的最小值.答案和解析【答案】1. C2, A3. C4. C 5. B 6. C 7. A8. B9, C10. C11.22.5 12. 24 13.45 14.4.8 15. 616.證明：上是AC的中點(diǎn)， .AE=CE, .AF /CD,jAFE = ZCDE , 在"FE和ACDE中，jZAFE = zlCDE ,乙AEF = ZCED ,I AE = CE EF0工ED (AAS). . AF=CD, .AF /CD, 四邊形ADCF是平行四邊形. 由題意知，AE=AB, ZEAD = /BAD, AD=AD, &EDM

9、BD (SAS). jAED=ZB=90 °,即 DF±AC. 四邊形ADCF是菱形.17 .證明：.四邊形ABCD是正方形， .BC=DC, /BCD=90° .E為BC延長線上的點(diǎn)， .zDCE=90°, ，zBCD=/DCE.在4BCF和4DCE中，Ubcd = dce , I CE = CF .-./BCFDCE (SAS), .DE=BF.18 . (1)證明：上是AC中點(diǎn)， 1 . ECdAC.1 .DB=-AC, J. DB 正C. ( 1 分)又.DB /EC, 四邊形DBCE是平行四邊形.（3分）. BC=DE.（4 分）（2）添力口

10、AB=BC.（ 5分）理由：.DB AE, 四邊形DBEA是平行四邊形.（6分） .BC=DE, AB=BC,.AB=DE. .?ADBE是矩形.（8分）19.證明：（1） .四邊形ABCD為矩形, . AB /CD, AD/BC. PF /AB,. PF /CD, .CPF = ZPCH . . PH /AD, . PH /BC, ，zPCF = /CPH .在APHC和4CFP中，.CPF = ZPCH PC = CPUPCF =工 CPH.ZPHCCFP （ASA）（2） .四邊形ABCD為矩形，.zD=ZB=90°.又.EF/AB 心D, GH/AD/BC, 四邊形PEDH和

11、四邊形PFBG都是矩形. .EF /AB, .CPF = /CAB.在 RtAAGP 中，ZAGP=90° , PG=AG?tan/CAB.在 RtCFP 中，/CFP=90°, CF=PF?tan/CPF.S 矩形 deph = DE ?EP=CF ?EP=PF ?EP ?tan /CPF ;S矩形 pgbf = PG?PF =AG?PF?tan/CAB=EP?PF ?tan/CAB . .tan/CPF=tan/CAB,. S 矩形 DEPH = S 矩形 PGBF .20.解：(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，這兩個正方形的面積之和不是定值.設(shè) AP=x,貝U PB=8-x, 根據(jù)

12、題意得這兩個正方形面積之和=x2+ (8-x) 2=2x2-16x+64=2 (x-4) 2+32,所以當(dāng)x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32.(2)存在兩個面積始終相等的三角形，它們是AAPK與4DFK.依題意畫出圖形，如答圖 2所示.答圖2設(shè) AP=a,貝U PB=BF=8-a.PE/BF,PK AP PK a.：=,即 BF AB，8-a 8 '口一吟-PK=-JJ, 哪F /. DK=PD-PK=a-=, 88八 1 1 暇一力 _ a飛-a)八 1 1. S>aapk= PK?PA=? ?a=, Szdfk =- DK?EF =r - - ? (8-a)

13、=,2281622 g1.6- 'Sk：APK=SzDFK .(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-B-C-D的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動時，不妨設(shè)點(diǎn)Q在DA邊上,若點(diǎn)P在點(diǎn)A,點(diǎn)Q在點(diǎn)D,此時PQ的中點(diǎn)。即為DA邊的中點(diǎn)；若點(diǎn)Q在DA邊上，且不在點(diǎn) D,則點(diǎn)P在AB上，且不在點(diǎn) A.此時在 Rt9PQ中，。為PQ的中點(diǎn)，所以 AO=PQ=4. 2所以點(diǎn)O在以A為圓心，半徑為 4,圓心角為90。的圓弧上.PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為 4,圓心角為90。的圓弧，如答圖3所示：答圖3矩形菱形正方形能力提升訓(xùn)練所以PQ的中點(diǎn)。所經(jīng)過的路徑的長為：1*2兀><4=6兀4(4)點(diǎn)。所經(jīng)過的路徑

14、長為 3, OM+OB的最小值為幣.如答圖4-1,分別過點(diǎn)G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn) R、S、T,則四邊形GRTH為 梯形.11 / 16AAfR PS T N B答圖LI點(diǎn)O為中點(diǎn)，II. OS=; (GR+HT)=(AP+PB) =4,即 OS 為定值.點(diǎn)。的運(yùn)動路徑在與 AB距離為4的平行線上.MN=6,點(diǎn)P在線段 MN上運(yùn)動，且點(diǎn) 。為GH中點(diǎn)，I.點(diǎn)。的運(yùn)動路徑為線段 XY, XY=MN=3, XY/AB且平行線之間距離為 4,點(diǎn)X與點(diǎn)A、點(diǎn)丫與點(diǎn)B之間的水平距離均為 2.5.如答圖4-2,作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對稱點(diǎn)M',連接BM',與XY交于點(diǎn)O.sr肛答

15、圖L2由軸對稱性質(zhì)可知，此時 OM + OB=BM'最小.在RtBMM'中，MM' =2X4=8, BM=7,由勾股定理得：BM' =JmN/I日?=4手.OM+OB的最小值為 a13.【解析】1 .解：,.在菱形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA, AB=5cm, 菱形的周長=ABM=20cm； 故選C.根據(jù)菱形的四條邊長都相等的性質(zhì)、菱形的周長=邊長必解答本題主要考查了菱形的基本性質(zhì).菱形的四條邊都相等，菱形的對 角線互相垂直平分.2 .解：在矩形 ABCD 中，ZABC=90 °, ,. zACB=30 °, AB=2,. AC=2

16、AB=2 >2=4,四邊形ABCD是矩形，1 _.OC=OA= AC=2. 2故選A.根據(jù)直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AC=2AB=4,再根據(jù)矩形的對角線互相平分解答.本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3 .解：.四邊形ABCD是菱形，. AD=BC=AB=CD, AD/BC, AB /CD ,. EG/AD, FH /AB,四邊形AEOF與四邊形CGOH是平行四邊形,.AF=OE, AE=OF, OH=GC, CH=OG, .AE=AF,. OE=OF=AE=AF , .AE=AF, . BC-BH =

17、 CD-DG ,即 OH=HC=CG=OG,四邊形AEOF與四邊形CGOH是菱形，四邊形AEOF與四邊形CGOH的周長之差為12,. 4AE-4 (8-AE) =12, 解得：AE=5.5 , 故選C 根據(jù)菱形的性質(zhì)得出 AD/EC, AB心D,推出平行四邊形 ABHF、AEGD、GCHO ,得出AEOF與四邊形CGOH是菱形.AF=FO=OE=AE和OH = CH=GC = GO,根據(jù)菱形的判定得出四邊形 AEOF與四邊形 CGOH是 菱形，再解答即可.此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的判定得出四邊形4 .解：.四邊形ABCD是正方形，. AD/CB, AD=BC=AB, /FAD = /

18、FAB,在FD和UFB中，AF = AF Z.FAD = ZFAB = ABAFDMFB,Ssbf=Saadf ,故正確，I 1.BE=EC=BCtAD, AD/EC, 22EC CF BF 1：= -= -= 7AD AF DF 2' Skcdf=2Sacef, Smdf=4Sacef , Szadf=2Sacdf , 故錯誤正確，故選C.由、5口0953,即可推出S3bf = Sadf,故正確，由BE=EC=BC= AD, AD /EC,推出22EC CF EF 1=，可得 Sacdf=2Sacef, Szadf=4Szcef , Saadf=2Sacdf ,故錯誤正確，由AD A

19、F DF 2此即可判斷.本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.5.解：如圖所示；人將"BC延底邊BC翻折得到ADBC,/ '、. AB=BD, AC=CD,J'.AB=AC,.AB=BD=CD=AC,四邊形ABDC是菱形；D故選B.根據(jù)翻折得出 AB=BD, AC=CD,推出AB=BD=CD=AC,根據(jù)菱形的判定推出即可.本題考查了菱形的判定和翻折變換的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AB=BD=CD=AC,題目比較典型，難度不大.6 .解：.在菱形 ABCD 中，AC=8, BD=

20、6,. AB=BC, ZAOB=90 °, AO=4, BO=3 ,.BC=AB= ' =5, .ABC 的周長=AB+BC+AC=5+5+8=18 .故選：C.利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出AB的長，進(jìn)而得出答案.AB是解題此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理，正確把握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出 關(guān)鍵.7 .解：如圖，連接 DF、BF. .FEAB, AE=EB,.FA=FB, .AF=2AE,. AF=AB=FB,，叢FB是等邊三角形， .AF=AD=AB,.點(diǎn)A是 9BF的外接圓的圓心,矩形菱形正方形能力提升訓(xùn)練.zFDB=ZFAB=30°,.四邊形ABCD是正

21、方形，. AD=BC, ZDAB = ZABC=90 °, ZADB = /DBC=45 °,.-.zFAD = ZFBC ,.-.ZFADFBC,.zADF = ZFCB=15°,. QOC=/OBC+/OCB=60故選A.解法二：連接 BF .易知 /FCB=15° , ZDOC = ZOBC + ZFCB=45° +15° =60°如圖，連接DF、BF.如圖，連接DF、BF.首先證明/FDB=1/FAB=30° ,再證明AFAD 0疔BC ,推出 "DF=/FCB=15° ,由此即可解決問

22、題.本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué) 知識解決問題，學(xué)會添加輔助圓解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.8 .解：.四邊形ABCD是矩形，. AC=BD, OA=OC, ZBAD =90 °, jADB=30°,. AC=BD=2AB=8, 1. OC=fAC=4;故選：B.由矩形的性質(zhì)得出 AC=BD, OA=OC , ZBAD=90° ,由直角三角形的性質(zhì)得出 AC=BD=2AB=8, 得出OCAC=4即可.2此題考查了矩形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì).熟練掌握矩形的性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.9 .

23、解：.矩形 ABCD, .,.zBAD=90°,由折疊可得ABEFBAE, .EFXBD, AE=EF, AB=BF, 在 RtAABD 中，AB=CD=6, BC=AD=8,根據(jù)勾股定理得：BD=10,即FD =10-6=4,設(shè) EF=AE=x,則有 ED=8-x,根據(jù)勾股定理得：x2+42= (8-x) 2 ,解得：x=3,則 DE=8-3=5 ,故選：C.由ABCD為矩形，得到/BAD為直角，且三角形 BEF與三角形BAE全等，利用全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等得到 EF1BD, AE=EF, AB=BF ,利用勾股定理求出 BD的長，由BD-BF 求出DF的長，在RtAEDF中

24、，設(shè)EF=x,表示出ED,利用勾股定理列出關(guān)于 x的方程，求 出方程的解得到x的值，即可確定出 DE的長.此題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.10 .【分析】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形的運(yùn)用，解題時注意：平行四邊形是中心對稱圖形.解決問題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理.先連接AC, BD,根據(jù)EF=HG = AC, EH = FG= BD,可得四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)AC1BD時，ZEFG =90° ,此時四邊形EFGH是矩形；當(dāng)AC=BD 時，EF=FG = GH = HE,此時四邊形 EFGH是菱形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.【解答】解：如圖

25、，連接AC, BD,F。點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形 ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn), 11. EF=HG= AC, EH = FG= BD, 22 四邊形EFGH是平行四邊形， 四邊形EFGH 一定是中心對稱圖形，當(dāng)ACXBD時，ZEFG=90°,此時四邊形 EFGH是矩形，當(dāng)AC=BD時，EF=FG = GH=HE,此時四邊形 EFGH是菱形， 四邊形EFGH可能是軸對稱圖形.故選C.11.解：.四邊形ABCD是矩形，.AC=BD, OA=OC, OB=OD,. OA=OB -OC,. QAD= /ODA , ZOAB=ZOBA ,BzAOE= JOAD + /ODA

26、=2 ZOAD , .zEAC=2/CAD, .zEAO=ZAOE, .AEXBD,jAEO=90 °, AOE=45°,1好. QAB=JOBA='=67.5 ； .SAE=/OAB-/OAE=22.5 :故答案為22.5.首先證明AAEO是等腰直角三角形，求出 ZOAB, /OAE即可.本題考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)小EO是等腰直角 三角形這個突破口，屬于中考常考題型.12 .解：菱形的面積 二4X8=24,故答案為：24.直接根據(jù)菱形面積等于兩條對角線的長度的乘積的一半進(jìn)行計算即可.本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一

27、切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.菱形面積等于兩條對角線的長度的乘積的一半.13 .解：.四邊形ABCD是正方形，.zB=90°, /ACB=45°,由折疊的性質(zhì)得： ZAEM = ZB=90° ,CEM=90°,.©ME=90°-45 =45°故答案為：45°.由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可得出結(jié)果.本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)；熟練掌握正方形和折疊的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.14 .解：在菱形ABCD

28、中，AC1BD,.AC=8, BD=6,_ 1 _ _ _ 1_. OA= AC= = X8=4, OB= BD=_X6=3,2222在 RtAAOB 中，AB=JaO2 i BO3 =5,. DH 1AB,.菱形 ABCD 的面積= AC?BD=AB?DH ,2即-X6X8=5?DH ,解得 DH=4.8,故答案為：4.8.根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出OA、OB,再根據(jù)勾股定理列式求出AB,然后利用菱形的面積列式計算即可得解.本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)菱形的面積的兩種表示方法列出方程是解題的關(guān)鍵.15 .解：設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P,連接BD,0口點(diǎn)B與D關(guān)于A

29、C對稱，PD=PB,. PD + PE=PB+PE=BE 最小.即P在AC與BE的交點(diǎn)上時，PD+PE最小，為BE的長度；E 匕.正方形ABCD的邊長為6, .AB=6.又./ABE是等邊三角形， . BE=AB=6 .故所求最小值為6.故答案為：6.由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BD,與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn).此時PD+PE=BE最小, 而BE是等邊那BE的邊，BE=AB ,由正方形ABCD的邊長為6,可求出AB的長，從而得出 結(jié)果.此題主要考查軸對稱 -最短路線問題，要靈活運(yùn)用對稱性解決此類問題.16. 先證明AAEF0工ED,推出四邊形 ADCF是平行四邊形，再證明 小ED09BD,推出 DFLAC,由此即可證明.15 /16矩形菱形正方形能力提升訓(xùn)練本題考查菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型.17. 根據(jù)正方形的四條邊者防目等，四個角者B是直角，BC=CD、/BCF=/DCE=90。，又CE=CF,