運用“三點法”求解動點路徑長問題

1、運用“三點法求解動點路徑長問題初中數(shù)學(xué)中動點路徑問題,一般有兩種情況：線段或圓弧.本文提出一種求動點路徑長的方法一一三點法,“三點指動點的起點,終點與過程點.該方法分為三步:(1)精準(zhǔn)作圖,運用刻度尺,圓規(guī)及量角器等工具作出位置較為精準(zhǔn)的“三點.(2)大膽猜測,假設(shè)“三點共線,那么動點路徑為線段；假設(shè)“三點不共線,那么動點路徑為圓弧.(3)小心驗證,根據(jù)畫出的“三點圖,運用相似三角形、“定角定長定圓等方法對猜測進行嚴(yán)格的證實一、知識準(zhǔn)備1、根本概念如圖1,在RUABC中,AC=6,BC=8,/C=90,點P是邊AB上一動點,點D是AC延長線上的一個定點,連結(jié)PD,過點D作DE_LPD,連結(jié)PE

2、,且nDEE當(dāng)點P從點A運動到點B時,點E運動的路徑長為Ei在圖1中,點P是“主動在邊AB上開始動的點,稱為“主動點；點E是跟著點P在運動的點,稱為“從動點.又點P從點A運動到點B,當(dāng)點P與點A重合時記作點R,稱為“主動點的起點,此時E1稱為“從動點的起點,此時作出符合要求的圖形(如圖2),稱該圖為“起點圖；當(dāng)點P與點B重合時記作點P2,稱為“主動點的終點,此時E2稱為“從動點的終點,作出符合要求的圖形(如圖3),稱該圖為“終點圖.區(qū)別于起點P1,終點F2,將圖1中的點P稱為“主動點的過程點,此時E稱為“從動點的過程點,相應(yīng)地把圖1稱為“過程圖.將起點圖,終點圖,過程圖放在同一個圖形中,將這個

3、圖形稱為“三點圖(如圖4).4月仍.漁FJE圖3圖42、定角定長定圓固定度數(shù)的角對著固定長度的線段時隱含著一個固定大小的圓,此時定線段為定圓的一條弦,定角為弦所對的一個圓周角.引例1如圖5,線段AB=4,點C是平面上的一個動點,使/ACB=901作出點C的運動路徑圖5圖6由“90.角所對的弦是直徑可以得到點C的運動路徑是以AB為直徑的圓,且不與點A、點B重合如圖6.引例2如圖7,線段AB=4,點C是平面上的一個動點,/ACB=45,作出頂點C的運動路徑.圖7圖X當(dāng)點C位置不同時,/ACB度數(shù)不變,根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等,可以將ZACB看作弦AB所對的一個圓周角,圓心O必在弦AB的垂直

4、平分線上,且/AOB=2/ACB=90,計算可得半徑OA=2j2.所以,點C的運動路徑是優(yōu)弧ACB,且不與點A、點B重合如圖8.引例3如圖9,線段AB=4,點C是平面上的一個動點,/ACB=120作出頂點C的運動路徑.圖9圖10作出NACB的補角NACB為60.,/ACB的位置不同時度數(shù)為定值.類比弓I例2,可將/ACB看作弦AB所對的一個圓周角,圓心O必在弦AB的垂直平分線上,且/AOB=2ACB=120:計算可得半徑OA=4J3.在所以點C的運動路徑是劣弧Ab,3且不與點A、點B重合如圖10.二、方法歸納例l如圖11,在FtABC中,AC=6,BC=8,NC=90.點P是邊AB上一動點,點

5、D是AC延長線上的一個定點,連結(jié)PD,過點D作DE_LPD,連名nPE,且tanZDPE=-,當(dāng)點P從點A運動到點B時,點E運動的路徑長為.51.精準(zhǔn)作圖由于tanDPE=2,所以通過計算很難得到5/DPE的度數(shù)不借助方f算器,但可以運用量角器測量圖12中/DPE生22.在圖11的根底上,先作起點圖.當(dāng)點P與點A重合時記作點P1,在圖中作出ZDPQ=22*如圖12,過點D作DE1_LPD交射線AQ于點E1如圖13.當(dāng)點P與點B重合時記作點F2,運用類似的方法在圖13的根底上作出終點圖,并去掉多余局部,得到一幅完整的三點圖如圖14.A3)圖132、大膽猜測通過三點圖發(fā)現(xiàn)點E1,點E,點E2根本在

6、一條直線上如圖14,所以可以大膽的猜測點E的運動路徑是一條線段,點E運動的路徑長就是線段E1E2的長度.于是提出猜測一“在三點圖中,從動點的起點,終點,過程點三點共線時,從動點的運動路徑為線段月PJd片圖14圖i5在三點圖中,從動點的起點,終點,過程點三點不共線時,就初中數(shù)學(xué)而言,不共線的三點確定一個圓,這里提出猜測二“在三點圖中,從動點的起點,終點,過程點三點不共線時,從動點的運動路徑為圓弧.當(dāng)運動路徑為圓弧時,考慮尋找固定度數(shù)的角與固定長度的線段,運用“定角定長定圓的方法作出運動路徑3.小心驗證在圖15中,由于/E1DE+/RDE=90：/RDP+NRDE=90,ZPDP=/E1DE.DE

7、1DEDPi-DP .DEE1;DPP1.同理AE2DE:AP2DP,可得/DEE2=/DPP2.又DPP1DPP2W80,.DEEiDEE2W80.,點Ei,點E,點E2三點共線.E1DE2+jPDE2=90*,/RDP2+/RDE2=90, /PDP2=/E1DE2.DE1_DE2=2DP1DP25 AE1DE2:APDP2,E1E2=2 PP2=10, E1E2=4.通過上述論證得到結(jié)論一：“當(dāng)主動點在一條線段上運動,從動點也在一條線段上運動時,主動點的起點、終點、某個定點構(gòu)成的三角形和從動點的起點、終點、某個定點構(gòu)成的三角形相似.因此可以先求出主動點的運動路徑長再乘以相似比得到從動點的

8、運動路徑長.三、運用求解例2如圖16,在FtdCOD中,/COD=90.OC=OD=2,以O(shè)為圓心,AB為直徑的圓經(jīng)過點C,點D.連結(jié)AD,BC相交于點P,將RMCOD從OA與OC重合的位圖16圖17在圖16的根底上先作起點圖,當(dāng)點C與點A重合時記作點Ci,此時點D在點Di,位置,BC-ADi,交于點此時點與點A重合如圖17.再作終點圖,此時點C與點Di重合記作點C2,點D與點B重合記作點D2,AD?與BC?交于點P2,點B與點B重合如圖18.通過三點圖,發(fā)現(xiàn)點點P,點P2三點不共線,考慮從動點的運動路徑為圓弧,但需要運用“定角定長定圓的方法加以證實(P1)A(Ct)(P1)(A)圖18圖19

9、在APAB中,AB=4為定長,由于/COD=90.所以/COA+/DOB=90,又“同弧所對的圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半1得到CBADAB90=45,2置開始,繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90q那么交點P所經(jīng)過的路徑長是.所以/APB=135口為定角.所以點P在以AB=4為弦,/APB=135口為圓周角的定圓上運動.類比引例2,NAPB的補角/APB=45口也為定角,可將NAPB看作弦AB所對的一個圓周角,圓心O必在弦AB的垂直平分線上,且ZAOB=2ZAPB=90i.又由于“直徑所對的圓周角為90o,所以O(shè)是弦AB的垂直平分線與圓O的一個交點所以半徑OA=2.2.所以點P的運動路徑是劣弧AB如圖19,根據(jù)弧長公式得到l=9022=、2二.180通過上述論證可以發(fā)現(xiàn),主動點C1,點C2與點O構(gòu)成的扇形C1OC2圓心角為900,半徑為2;從動點P1,F2與點0構(gòu)成的扇形POP2的圓心角為900,半彳仝為2匹.由于兩個扇形的圓心角都為900,所以扇形C1OC2:扇形P1OP2,相似比為1：J5,因此扇形的弧長之比90、2也為1：J2.主動點c的運動