高斯小學(xué)奧數(shù)四年級下冊含答案第17講_牛吃草問題

1、第十七講牛吃草問題什么是“牛吃草問題呢？同學(xué)們先來看看一個簡單的例子：倉庫里有一堆草,給4頭牛吃,6天可以吃完,如果給3頭牛吃,幾天能吃完？這道題該怎么處理呢？我們可以借助下面這個關(guān)系式來進(jìn)行求解：牛數(shù)天數(shù)吃草的總量由于每頭牛每天的吃草量是不變的,因此可以把它設(shè)為單位“1.這樣4頭牛6天吃掉的草量就等于4624個單位,而3頭牛每天吃掉“3個單位的草,因此3頭牛需要2438天才能吃完.大家看,牛吃草問題是不是很簡單？但是,這道題還不是真正的“牛吃草問題呢.真正的“牛吃草問題不是讓一群牛去倉庫里吃草,而是去一片草地上吃草.大家能看出這其中的區(qū)別嗎？地方更寬敞？草更新鮮？當(dāng)然不是這些,最大的區(qū)別在于

2、,倉庫里草的總量是固定不變的,而草地上的草還在不停地生長,這樣一來問題一下子就變復(fù)雜了.不過大家不用害怕,有了上面設(shè)單位“1的方法后,這類題目的解法是很容易的,大家可以從下面的例子中學(xué)到這種方法.首先我們來看一下例題1,當(dāng)草地原草量和生長量都告訴我們的時候,我們該如何解決“牛吃草問題.-例題1一塊草地有草180份,每天長5份.如果每頭牛每天吃1份草,那么：(1)要使得草永遠(yuǎn)吃不完,那么最多放養(yǎng)頭牛；(2) 6頭牛,吃天；(3) 10頭牛,吃天；(4) 頭牛,吃18天；(5) 頭牛,吃15天.分析原有草量,要計算多少天可以把草吃完,關(guān)鍵是找出每天減少多少草量.練習(xí)1一塊草地有草60份,每天長2份

3、.那么：(1)要使得草永遠(yuǎn)吃不完,那么最多放養(yǎng)頭牛；(2) 5頭牛,吃天；(3) 7頭牛,吃天；(4) 頭牛,吃10天；(5) 頭牛,吃15天.當(dāng)原草量和生長量都未知時,我們該怎么辦呢？例題2有一片牧場,草每天都在均勻地生長.如果在牧場上放養(yǎng)18頭牛,那么10天就把草吃完了；如果放養(yǎng)24頭牛,那么7天就把草吃完了.(1)要放養(yǎng)多少頭牛,才能恰好14天把草吃完？(2)如果放養(yǎng)32頭牛,多少天可以把草吃完？分析這是最常見的牛吃草問題,這類問題的難點(diǎn)在于牛吃草的同時,草還在生長.假設(shè)1頭牛1天吃1份草,會發(fā)現(xiàn)兩種放養(yǎng)方法吃的總草量不同.為什么會這樣呢？由于兩次草生長的天數(shù)不同,于是就可以算出草生長的

4、速度了.練習(xí)2有一片牧場,草每天都在均勻地生長.如果放養(yǎng)24頭牛,那么6天就把草吃完了；如果放養(yǎng)21頭牛,那么8天就把草吃完了.(1)放養(yǎng)多少頭牛,12天才能把草吃完？(2)要使得草永遠(yuǎn)吃不完,那么最多放養(yǎng)多少頭牛？我們可以把例2的方法總結(jié)一下,得出牛吃草問題的根本解題步驟：1 .將每頭牛每天的吃草量設(shè)為單位“1；2 .比擬條件中的牛的吃草總量,算出草每天的生長量；3 .計算草地原有草的總量；4 .根據(jù)所問問題求解.前面的兩道題都是草在生長,草的總量在增加.而實(shí)際生活中,草量有時也會隨著時間不斷減少,那么碰到這樣的問題我們該怎么辦呢？下面就來看一道這樣的問題.例題3進(jìn)入冬季后,有一片牧場上的草

5、開始枯萎,因此草會均勻地減少.現(xiàn)在開始在這片牧場上放羊,如果放38只羊,需要25天把草吃完；如果放30只羊,需要30天把草吃完.(1) 放養(yǎng)多少只羊,12天才能把草吃完？(2) 如果放20只羊,這片牧場可以吃多少天？分析此題在羊吃草的同時,草也在不斷的減少,這也是牛吃草問題的一種.同前面的問題一樣,我們還是要比照一下兩個條件,算出草的減少速度和原有草總量.練習(xí)3進(jìn)入冬季,有一片牧場上的草開始枯萎,因此土勻地減少.假設(shè)在這兒放牛,可以供32頭牛吃24天,或者供27頭牛吃28天.(1)放養(yǎng)多少頭牛,12天才能把草吃完？(2)如果在這片牧場上養(yǎng)21頭牛,那么草可以供吃多少天？例題4有一片草場,草每天

6、的生長速度相同.假設(shè)14頭牛30天可將草吃完,70只羊16天也可將草吃完(4只羊一天的吃草量相當(dāng)于1頭牛一天的吃草量).那么17頭牛和20只羊多少天可將草吃完？分析這道題既有牛又有羊,只需將牛羊統(tǒng)一,然后根據(jù)根本的牛吃草問題求解即可.練習(xí)4一片草場,草每天都在均勻生長.如果在這片草場上放20頭牛和24頭羊,那么18天可以吃完；如果在這片草場上放15頭牛和54頭羊,那么15天就把草吃完.,一頭牛每天吃的草量相當(dāng)于3只羊每天吃的草量,請問如果在這片草地上放12頭牛和18頭羊可以吃幾天？在前面的例題中,?？偸锹犜挼卮粼谀骋粔K草地上吃草,因此在吃的過程中,牛的數(shù)量不會發(fā)生改變.而實(shí)際上,牛有時不會老老

7、實(shí)實(shí)呆在一塊草地上的,它們會四處走動,而牛一走動就會改變草地上牛的數(shù)量.那么在吃草的過程中,牛的數(shù)量發(fā)生變化又該如何處理呢？請大家來看下面的問題.例題5一片草地,草每天都在均勻生長.有15頭牛吃草,8天可以把草全部吃完.如果起初這15頭牛吃了2天后,又來了2頭牛,那么總共7天就可以把草吃完.如果起初這15頭牛吃了2天后,又來了5頭牛,那么總共需要多少天可以把草吃完？假定草生長的速度不變,每頭牛每天吃的草量相同.分析這道題牛的數(shù)量在變化,但同其他牛吃草問題一樣,還是需要通過比擬草量的變化求出每天生長的草量和原有草量.有很多的問題看上去和“牛吃草毫無聯(lián)系,但仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn),它們都只是換了個形式的

8、“牛吃草而已.這樣的問題通常都可以看成牛吃草問題來求解,下面我們來看一個這樣的例子.例題6有一個蓄水池裝有8根排水管,某天天降大雨,雨水以均勻的速度不停地向這個蓄水池注入.后來有人想翻開排水管,使池內(nèi)的水全部排光這時池內(nèi)已注入了一些水.如果把8根排水管全部翻開,需3小時把池內(nèi)的水全部排光；如果翻開5根水管,需6小時把池內(nèi)的水全部排光.想要4.5小時把池內(nèi)的水全部排光,需同時翻開多少根排水管？分析雨水注入蓄水池,排水管往外排水,這和牛吃草問題有什么類似呢？什么量相當(dāng)于牛、什么量相當(dāng)于草呢？課堂內(nèi)外牛頓的故事牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場,是17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓提出來的.牛頓Newto

9、n16421727,英國人是大科學(xué)家,是近代科學(xué)的象征.他在世時作為科學(xué)界的主宰幾乎被當(dāng)作偶像崇拜.他作為英國皇家學(xué)會連任24年的終身會長,法國科學(xué)院至尊的外國院士,還兼任英國造幣局局長和國會議員,并前所未有地被封為貴族,獲得爵士稱號.他死后作為自然科學(xué)家又第一個獲得國葬,長眠于威斯敏斯特教堂,這是歷代帝王和一流名人的墓地.牛頓去世之后,他的聲望有增無減.他不僅有不朽的著作?自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理?光學(xué)?等流傳于世,而且由于后繼大師們的開展,他的思想觀念長期統(tǒng)率著科學(xué)戰(zhàn)線上的土卒.他在物理、數(shù)學(xué)研究上的主要成果,至今仍是各國大中學(xué)生必修的功課.牛頓名言：“我不知道在別人看來,我是什么樣的人；但在我

10、自己看來,我不過就像是一個冉海濱玩耍的小孩,為不時發(fā)現(xiàn)比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜,而對于展現(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋,卻全然沒有發(fā)現(xiàn)."“如果說我比別人看得更遠(yuǎn)些,那是由于我站在了巨人的肩上.“無知識的熱心,猶如在黑暗中遠(yuǎn)征.“你該將名譽(yù)作為你最高人格的標(biāo)志.“我能算出天體運(yùn)行的軌道,卻算不出人性的貪婪.作業(yè)1.有一片牧場,草每天都在均勻地生長.如果在牧場上放養(yǎng)24頭牛,那么6天就把草吃完了；如果只放養(yǎng)21頭牛,那么8天才把草吃完.那么要使得草永遠(yuǎn)吃不完,最多可以放養(yǎng)多少頭牛？2.有一片牧場,草每天都在均勻地生長.如果放養(yǎng)8頭牛,8天就把草吃完了；

11、如果放養(yǎng)10頭牛,6天就把草吃完了.如果放養(yǎng)14頭牛,多少天就能把草吃完?3 .有一片均勻生長的草地,可以供1頭牛吃40天,或者供5只羊吃20天,如果1頭牛每天吃草量相當(dāng)于3只羊每天吃的草.那么這片草地每天生長的草可供多少只羊吃1天？這片草地的原草量可供多少只羊吃1天？如果讓1頭牛與6只羊一起吃可以吃多少天？4 .由于天氣逐漸變冷,牧場上的草每天以均勻的速度減少.經(jīng)計算,牧場上的草可供20頭牛吃5天,或可供16頭牛吃6天.那么,如果沒有放養(yǎng)牛,牧場上的草全部枯萎需要多少天？5 .一片草地,可供8頭牛吃30天或者供10頭牛吃25天.那么這片草地可供4頭牛吃多少天？第十七講牛吃草問題1. 例題1答

12、案：5;180;36;15;17詳解：(1)要使得草永遠(yuǎn)吃不完,放養(yǎng)的牛數(shù)又要最多,就一定是長多少吃多少,所以需要放養(yǎng)5頭牛；(2)方法一：6頭牛每天吃6份,而草每天長5份,實(shí)際相當(dāng)于每天消耗1份草,一共能吃1801180天；方法二：6頭牛派5頭牛去吃每天新生長的草,而1頭牛吃原草,仍然是180天；(3)方法同第二問,18010536天；(4)方法一：18天,原草與新草一共是180518270份,口了18天,所以每天要吃2701015份,所以需要15頭牛；方法二：原草180份,吃18天,需要10頭牛,但是還要有5頭牛吃每天新長的草,一共要15頭牛；(5)方法同第四問,18015517頭.2.

13、例題2答案：14;5詳解：(1)設(shè)每頭牛每天吃1份草,18頭牛10天吃180份,24頭牛7天吃168份.相差了18016812份,是由于多長了1073天的草,所以草每天的生長量是1234份.10天后是180份,10天長了40份新草,所以原草量是18040140份.140份草要14天吃完,需要10頭牛,其中還需要4頭牛吃每天的新草,一共需要10414頭牛；(2) 32頭牛中有4頭牛吃新草,剩下28頭牛吃原有的140份草,所以需要吃140285天.3. 例題3答案：90;40詳解：(1)設(shè)每只羊每天吃1份草,38只羊25天吃950份,30只羊30天吃900份.相差了95090050份,是由于多枯萎

14、了30255天的草,所以草每天的枯萎量是50510份.30天后是900份,30天枯萎了3010300份草,所以原草量是9003001200份.1200份草要12天吃完,即每天減少100份,其中每天枯萎10份草,所以每天羊吃90份草,所以放養(yǎng)90只羊；(2)每天枯萎10份,放養(yǎng)20只羊,那么每天一共減少30份,把1200份草吃光,需要12003040天.4. 例題4答案：10詳解：設(shè)每只羊每天吃1份草.14頭?？蓳Q為56只羊,所以56只羊30天吃56301680份；70只羊16天吃70161120份.每天的生長量是16801120301640份,原草量是16803040480份.17頭牛和20只

15、羊相當(dāng)于88只羊,其中有40只羊吃新草,剩下48只羊吃480份原草,需要10天.5. 例題5答案：6天詳解：設(shè)每頭牛每天吃1份草,15頭牛8天吃120份；15頭牛7天,2頭牛5天吃15725115份.每天草的生長量是120115875份.原草量是1205880份.如果15頭牛吃了2天,有5頭牛吃原草,相當(dāng)于還有10頭牛在吃原草,原草還剩下8010260份.20頭牛中5頭牛吃每天新長的草,剩下的15頭牛吃原有草,需要60154天.一共用了246天.6. 例題6答案：6根詳解：設(shè)每根水管每小時排1份水,8根3小時排24份水,5根6小時排30份水,雨水每小時注入3024632份水,池內(nèi)原有24231

16、8份水.2根水管用來排新注入的雨水,原水需要184.54根水管,一共需要同時翻開6根水管.7. 練習(xí)1答案：2;20;12;8;6簡答：(1)要使得草永遠(yuǎn)吃不完,放養(yǎng)的牛數(shù)又要最多,就一定是長多少吃多少,所以需要放養(yǎng)2頭牛；(2)方法一：5頭牛每天吃5份,而草每天長2份,實(shí)際相當(dāng)于每天消耗3份草,一共能吃60320天；方法二：5頭牛派2頭牛去吃每天新生長的草,而3頭牛吃原草,仍然是20天；(3)方法同第二問,607212天；(4)方法一：10天,原草與新草一共是6021080份,口了10天,所以每天要吃80108份,所以需要8頭牛；方法二：原草60份,吃10天,需要6頭牛,但是還要有2頭牛吃每

17、天新長的草,一共要8頭牛；(5)方法同第四問,601526頭.8. 練習(xí)2答案：18;12簡答：(1)設(shè)每頭牛每天吃1份草,24頭牛6天吃144份,21頭牛8天吃168份.相差了16814424份,是由于多長了862天的草,所以草每天的生長量是24212份.6天后是144份,6天長了72份新草,所以原草量是1447272份.72份草要12天吃完,需要6頭牛,其中還需要12頭牛吃每天的新草,一共需要61218頭牛；(2)要使得草永遠(yuǎn)吃不完,放養(yǎng)的牛數(shù)又要最多,就一定是長多少吃多少,所以需要放養(yǎng)12頭牛.9. 練習(xí)3答案：67;35簡答：(1)設(shè)每頭牛每天吃1份草,32頭牛24天吃768份,27頭

18、牛28天吃756份.相差了76875612份,是由于多枯萎了28244天的草,所以草每天的枯萎量是1243份.24天后是768份,24天枯萎了24372份草,所以原草量是76872840份.840份草要12天吃完,即每天減少70份,其中每天枯萎3份草,所以每天牛吃67份草,所以放養(yǎng)67頭牛；(2)每天枯萎3份,放養(yǎng)21頭牛,那么每天一共減少24份,把840份草吃光,需要8402435天.10. 練習(xí)4答案：30天簡答：設(shè)每只羊每天吃1份草.20頭牛可換為60只羊,所以84只羊18天吃84181512份；15頭?？蓳Q為45只羊,所以99只羊15天吃99151485份.每天的生長量是1512148518159份,原草量是151291