人教版九年級上冊數(shù)學一元二次方程易錯題(Word版含答案)

1、人教版九年級上冊數(shù)學一元二次方程易錯題（Word版含答案）一、初三數(shù)學一元二次方程易錯題壓軸題（難）1.RIAABC中，£ACB=90。，AC=BC=6.動點P從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動，到達點C停止運動.設運動時間為t秒圖1（1）如圖1，過點P作PDL4C,交A8于D,若4PBC與PAD的而積和是ABC的而積7的土，求t的值；9（2）點Q在射線PC上，且PQ=2AP,以線段PQ為邊向上作正方形PQNM.在運動過程中，若設正方形PQNM與ABC重疊部分的面積為8,求t的值.【答案】（1）打=2,弓=4：（2）t的值為:J7或2方時，重疊面積為8.

2、【解析】【分析】（1）先求出ABC的面積，然后根據(jù)題意可得AP=t,CP=6-t,然后再APBC與PAD7的面積和是aabc的面積的虧，列出方程、解方程即可解答：（2）根據(jù)不同時間段分三種情況進行解答即可.【詳解】（1）/RtAABC中，匕AC8=90°,AC=8C=6,1Sm8c=X6x6=18,2.AP=t,CP=6t,.8（：與PAD的面枳和=-f2+-x6x（6t）,227PBC與八PAD的面積和是ABC的面積的1,17229解之,得ti=2,tz=4：(2)."=t,PQ=2AP.PQ=2t,i7 如圖1,當0懷2時，S=（2t）2：產=5產=8,解得：代=抑,t

3、2=§J7（不合題意，舍去），77112 如圖2,當2<t<3時，S=-x6x6-t2-（6-2t）2=12t-=8,22254解得：h=4（不合題意，舍去），t2=-（不合題意，舍去）， 如圖3,當3仁6時，S=；X6x6-：戶=8,解得：tC，tz=.2,（不合題意，舍去），【點睛】本題考查了三角形和矩形上的動點問題，根據(jù)題意列出方程和分情況討論是解答本題的關鍵.2. 閱讀與應用：閱讀1:。，b為實數(shù)，且。>0,b>0,因為（、而一薩）20,所以。2、廁+bN0,從而a+b?2網(wǎng)當a=b時取等號）.閱讀2：mm若函數(shù)y=x+（rn>0,x>0,

4、m為帝數(shù)），由閱設1結論可知：x+言N2",所以當x=mm叩乂=寸血時，函數(shù)y=x+的最小值為2"人人閱讀理解上述內容，解答下列問題：問題1:44已知一個矩形的而積為4,其中一邊長為x,則另一邊長為亍周長為2（x）,求當x=時，周長的最小值為:問題2：汽車的經濟時速是汽車最省油的行駛速度，某種汽車在每小時70110公里之間行駛時（含70公里和110公里)，每公里耗油(1+)L.若該汽車以每小時x公里的速度勻速行駛，lh的耗油量為yL.(1) 求V關于x的函數(shù)關系式(寫出自變量x的取值范國)：(2) 求該汽車的經濟時速及經濟時速的百公里耗油量.【答案】問題1：2,8：問題2：

5、(l)y=±+竺：(2)10.20【解析】【分析】(1) 利用題中的不等式得到x+4>?|；%4,從而得到x=2時，周長的最小值為8：(2) 根據(jù)耗油總量=每公里的耗油量x行駛的速度列出函數(shù)關系式即可，經濟時速就是耗油量最小的形式速度.【詳解】444當x=-時，2僅七)有最小值8.即x=2時，周長的最小值為8：故答案是：2；8；問題2十乂(京+竽)琴+若2扁*9,當且僅當x-405,20"即x=90時，=成立，所以，當x=90時，函數(shù)取得最小值9,此時，百公里耗油量為100x(g+鷺)=10，所以，該汽車的經濟時速為每小時90公里，經濟時速的百公里耗油量為10L.【點

6、睛】本題考查了配方法及反比例函數(shù)的應用，最值問題，解題的關鍵是讀憧題目提供的材料，易錯點是了解"耗油總量=每公里的耗油量X行駛的速度"，難度中等偏上.3. 問題提出：(1) 如圖1,在四邊形ABCD中，已知：AD/BC,Z£>=90°,8C=4,ABC的而積為8,求8C邊上的高.問題探究(2) 如圖2在(1)的條件下，點E是CD邊上一點,且CE=2,ZEAB=ZCBA,連接BE，求MBE的面積問題解決(3) 如圖3,在(1)的條件下，點E是CD邊上任意一點，連接AE.BE,若ZEAB=ZCBA,ABE的面積是否存在最小值：若存在，求出最小值：若不存

7、在；請說明理由.【答案】（1）4：（2）乎：（3）存在，最小值為16扼16AM=8x2【解析】【分析】（1）作BC邊上的高AM,利用三角形而積公式即可求解：（2）延長DA,過B點作BF±DA于點F,作BH±AE于點H,易得四邊形BCDF為矩形，在（1）的條件下BC=CD=4,則BCDF為正方形，由匕EAB=ZCBA,結合ZFAB=ZCBA可得ZFAB=ZEAB,從而推出BF=BH=4,易證RtABCERtABHE,所以EH=CE=2,設AD=a,則AF=AH=4-a,在RtAADE中利用勾股定理建立方程可求出a,最后根據(jù)Saabe=-AE.BH即可求解：2（3）輔助線同（2

8、）,設AD=a,CE=m,則DE=4-m,同（2）可得出m與a的關系式，設ABE的面積為y,由y=|AE.BH得到m與y的關系式，再求y的最小值即可.【詳解】（1）如圖所示，作BC邊上的高AM,=4即BC邊上的高為4：（2）如圖所示，延長DA,過B點作BF1DA于點F,作BH1AE于點H,:ADBC,ZD=90°AZBCD=ZD=90°=ZF.四邊形BCDF為矩形，又BC=CD=4.四邊形BCDF為正方形，ADF=BF=BC=4,又VAD/7BCAZFAB=ZCBA又VZEAB=ZCBAAZFAB=ZEABVBF±AF,BH1AEABH=BF=4,在RtABCE和

9、RtABHE中,VBE=BE.BH=BC=4ARtABCERtABHE(HL)AEH=CE=2同理可證RtABAFRtABAH(HL)AAF=AH設AD=a,則AF=AH=4-a在Rt/kADE中，AD=a,DE=2,AE=AH+EH=4-a+2=6-a由勾股定理得adE,11020Sabe=AEBH=xx4=233(3)存在，如圖所示，延長DA,過B點作BF±DA于點F,作BH±AE于點H,+de2=ae2,即后+2?=(60)2解得310AAE=6-a=3同(2)可得CE=EH,AF=AH,設AD=a,CE=EH=m,貝IDE=4-m,AF=AH=4-a在RtAADE中

10、,AD2+DE2=AEBPa2+(4-/n)2=(4-a+z«)2.acaljor<.m2+16.AE=AH+HE=4一+m=m+4m+4設ZABE的面積為v，則yAEBHQ.4=2(E6)22?+4in+4:.y(z+4)=2(7,+16)整理得：2m2+yi+32-4y=0.方程必有實數(shù)根A=y2-4x2x(32-4y)>0整理得y2+32y-256Z。.），一（I6jl16），一（I6jlI6）zo（注：利用求根公式進行因式分解）又.面積yNO.y>!6V2-l6即ZABE的面積最小值為16JI16.【點睛】本題考查四邊形綜合問題，正確作出輔助線，得出AB平分

11、ZFAC,利用角平分線的性質定理得到BF=BH,結合勾股定理求出AE是解決（2）題的關鍵，（3）題中利用一元二次方程的判別式求最值是解題的關鍵.4. 閱讀下列材料11111計算：（】-2»（我+：+；）（我+；），令擊+：=匕則:1111原式=(1-t)(t柘)-t=t與t2-;_%+產=5在上而的問題中，用一個字母代表式子中的某一部分，能達到簡化計算的目的，這種思想方法叫做“換元法"，請用"換元法”解決下列問題：111(1) 計算：(1-須X(式+.+2_)-(1._J_)XL320183丁4丁丁2019320191«+上)z3于2018(2) 因式分

12、解：(a2-5。+3)(a?5a+7)+4(3) 解方程：(x2+4x+l)(x2+4x+3)=31【答案】(1)20§；(2)(疽-5o+5)七(3)xi=0,X2=-4,X3=xa=-2【解析】【分析】1(1) 仿照材料內容，令驢！+.+_J_=t代入原式計算.2018(2) 觀察式子找相同部分進行換元，令a2-Sa=t代入原式進行因式分解，最后要記得把t換為a.(3) 觀察式子找相同部分進行換元，令】+4x=t代入原方程，即得到關于t的一元二次方程，得到t的兩個解后要代回去求出4個x的解.【詳解】1(1) 令虧+!+_L_=t貝z3丁2018、11111原式(t+2019)-(

13、1-f-2019)t=t+2019-+2019=2019(2) 令。25a=t,則：原式=(t+3)(t+7)+4=+7+31+21+4=+101+25=(t+5)2=(a2-5a+5)2(3) 令x2+4x=t,則原方程轉化為：(t+1)(t+3)=3W+4t+3=3t(t+4)=0Ati=0,&=-4當】+4、=0時，x(x+4)=0解得：Xi=0tX2=-4當】+4x=4時，x2+4x+4=0(x+2)2=0解得：X3=X4=-2【點睛】本題考查用換元法進行整式的運算，因式分解，解一元二次方程.利用換元法一般可達到降次效果，從而簡便運算.5. 己知關于x的一元二次方程（x-3）（

14、x-4）-m2=0.（1）求證：對任意實數(shù)m,方程總有2個不相等的實數(shù)根：（2）若方程的一個根是2,求m的值及方程的另一個根.【答案】（1）證明見解析；（2）m的值為土、夕，方程的另一個根是5.【解析】【分析】（1）先把方程化為一般式，利用根的判別式左=b2-4ac證明判斷即可：（2）根據(jù)方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后還原方程求出另一個解即可.【詳解】（1）證明：.（x-3）（x-4）-m2=0,x2-7x+12-m2=0,.=（-7）2-4（12-m2）=l+4m2,Vm2>0,.對任意實數(shù)m,方程總有2個不相等的實數(shù)根：（2）解:.方程的一個根是2,.*.4-14+12-n

15、i，=O,解得ni=±A!/2,.原方程X2-7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值為±框，方程的另一個根是5.【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根的判別式與根的關系是關鍵.當左=b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；'當4=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根：當左=b2-4ac<。時，方程沒有實數(shù)根.6. 如圖，已知AB是。0的弦，半徑0A二2,0A和AB的長度是關于x的一元二次方程必-4x+a=0的兩個實數(shù)根.（1）求弦AB的長度：（2）計算（3）G>0上一動點P從A點出發(fā)，沿逆時針方向運

16、動一周，當S.wfSh時，求P點所經過的弧長（不考慮點P與點B重合的情形）.3:W0（3）當時，P點所經過的弧長分別是33【解析】試題分析：（1）0A和AB的長度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系即可求出AB的長度；（2）作出AAOB的高0C,然后求出0C的長度即可求出面積：（3由題意知：兩三角形有公共的底邊，要而積相等，即高要相等.試題解析：（1）由題意知：0A和AB的長度是x'-4x+a=0的兩個實數(shù)根,AOA+AB=-=4,1.0A=2,AB=2：（2）過點C作OC±AB于點C,V0A=AB=0B=2,.AOB是等邊三角形，AAC=-AB=b2在R

17、tAACO中，由勾股定理可得：0C=JJ，S.w=；AB0C=;X2X二JJ：（3）延長A0交于點D,由于AAOB與ZPOA有公共邊0A,當二Seo時，.AAOB與APOA高相等，由（2）可知：等邊AAOB的高為JJ，點P到直線0A的距離為J?，這樣點共有3個 過點B作BP/OA交。于點P：,/.ZB0Pi=60a,120/rx24;r此時點P經過的弧長為：1803 作點P”使得R與R關于直線0A對稱,.ZPSOD=60°,I5240;rx28/r此時點P經過的弧長為：一-1803 作點P”使得B與P,關于直線0A對稱，.匕00?三60°,.,/八八十300x2l°

18、;r此時P經過的弧長為：一二一廠，1803綜上所述：當S,g=Sg時，P點所經過的弧長分別是區(qū)、了、華3 33【點睛】本題主要考查了一元二次方程與圓的綜合知識.涉及等邊三角形性質，圓的對稱性等知識，能綜合運用所學知識，選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行解題是關鍵.7.圖1是李晨在一次課外活動中所做的問題研究：他用硬紙片做了兩個三角形，分別為ABC和八DEF,其中ZB=90°,匕A=45°,BC=6V7,ZF=90°,匕EDF=30°,EF=2,將DEF的斜邊DE與AABC的斜邊AC重合在一起，并將ADEF沿AC方向移動.在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上（移動開始時

19、點D與點A重合）.（1）請回答李晨的問題：若CD=10,則AD=_；（2）如圖2,李晨同學連接FC,編制了如下問題，請你回答： 匕FCD的最大度數(shù)為 當FCIIAB時，AD=_； 當以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且FC為斜邊時，AD=_j FCD的面積s的取值范圍是2【答案】（1）2：（2）60。：9項；&2x/3<s<6>/3.【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質，求出AC的長，即可得到AD的長.（2）當點E與點C重合時，ZFCD的角度最大，據(jù)此求解即可. 過點F作FH±AC于點H,應用等腰直角三角形的判定和性質，含

20、30度角直角三角形的性質求解即可. 過點F作FHXAC于點H,AD=x,應用含30度角直角三角形的性質把FC用x來表示，根據(jù)勾股定理列式求解. 設AD=x,把八FCD的而積s表示為x的函數(shù)，根據(jù)x的取值范困來確定s的取值范圍.試題解析：（1）ZB=90ZA=45%BC=62,ac=12./CD=10,AD=2.（2）、ZF=90°,ZEDF=30°,/.ZDEF=60°.當點E與點C重合時，ZFCD的角度最大，.ZFCD的最大度數(shù)NDE時60?！叭鐖D，過點F作FH±AC于點H,ZEDF=30EF=2,二DF=2V3.DH=3,FH=V3.FCIIAB,Z

21、A=45°,ZFCH=”45°.”二HC3.二DC=DH+HC=3+W.AC=12,AD=9淄如圖，過點F作FH±AC于點H,設AD=x,由知DH=3,FH=A/3,則HC=12-(x+3)=9-x.在RtACFH中，根據(jù)勾股定理，得FC：=FH2+HC2=(a/3)24-(9-x)2=x2-18x+84*.以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且FC為斜邊，2W=AD2+BC2,即乂2_&+84=妒+(6廚，解得"W設AD=x,易知0狎貌?2豎?，即0<x<8.而s=:'DC'FH=;,(12-x

22、),由=當12-x),s=牛(12簽PPP?)=6。s=牛(12簽PPP?)=2S當X-0時，2:當一8時，2FCD的而積s的取值范|T<s<6S.考點：1.而動平移問題：2.等腰直角三角形的判定和性質：3.平行的性質：4.含30度角直角三角形的性質：5.勾股定理：6.由實際問題列函數(shù)關系式：7.求函數(shù)值.8.如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在正方形EFGH的四條邊上，我們稱正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形.探究一：已知邊長為1的正方形ABCD,是否存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD而積的2倍？如圖，假設存在正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD的2

23、倍.因為正方形ABCD的而積為1,則正方形EFGH的而積為2,所以EF=FG=GH=HE=設EB=x,則BF=JJ-x,/RtAAEBRtABFC,-.BF=AE=72-X在RtAAEB中，由勾股定理，得x2+（/2-x）2=12解得，X1=X2=2BE=BF,即點B是EF的中點.同理，點C,D,A分別是FG,GH,HE的中點.所以，存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD面積的2倍探究二：已知邊長為1的正方形ABCD,是否存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD而積的3倍？（仿照上述方法，完成探究過程）探究三：已知邊長為1的正方形ABCD,一個外接正方形EFGH,它的

24、面積是正方形ABCD面積的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知邊長為1的正方形ABCD,是否存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD而積的n倍？（n>2）（仿照上述方法，完成探究過程）【答案】不存在，詳見解析【解析】【分析】探究二，根據(jù)探究一的解答過程、運用一元二次方程計算即可；探究三，根據(jù)探究一的解答過程、運用一元二次方程根的判別式解答：探究四，根據(jù)探究一的解答過程、運用一元二次方程根的判別式解答.【詳解】探究二：因為正方形A8CD的面積為1,則正方形&GH的面積為3,所以EF=FG=GH=HE=，設EB=x,則BF=途-x,RMAEB絲R08FC,：,BF

25、=AE=y/3-x,在RtMEB中，由勾股定理，得，x*H-X)2*,整理得X2-J?X+1=O,bz-4crc=3-4<0,此方程無解，不存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形川8CD而積的3倍：探究三：因為正方形A8CD的面積為1,則正方形EFGH的面積為4,所以EF=FG=GH=HE=2,設EB=x,貝IBF=2-x,.RMAEB£R08FC,：,BF=AE=2-x,在Rt/iAEB中，由勾股定理，得，亍+(2-x)2=。，整理得2x2-4x+3=0,b2-4crc=16-24<0,此方程無解，不存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形N8CD面積的3倍，

26、故答案為不存在；探究四：因為正方形A8CD的而積為1,則正方形&GH的而積為。，所以EF=FG=GH=HE=,設EB=x,則8F=而-x,R0AEB絲R08FC,BF=AE=由-x,在RtEB中，由勾股定理，得，"+(-x)2*,整理得2x2-2而x+n-1=0,b2-4crc=8-4n<0,此方程無解，不存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形伯8CD面積的n倍.【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、一元二次方程的解法等知識.讀憧探究一的解答過程、正確運用一元二次方程根的判別式是解題的關鍵.9.己知關于x的方程x2+3x+a=O的兩個實數(shù)根的倒數(shù)

27、和等于3,且關于x的方程(S1K+3x-2“=0有實數(shù)根，又k為正整數(shù)，求代數(shù)式.土一1_一的值.k2+k-6【答案】0.【解析】【分析】由于關于x的方程】+3x+q=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3,利用根與系數(shù)的關系可以得到關于。的方程求出。，又由于關于x的方程(k-1)爐+3x-2a=0有實數(shù)根，分兩種情況討論，該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k為正整數(shù)，利用判別式可以求出k,最后代入所求代數(shù)式計算即可求解.【詳解】解：設方程的兩個實數(shù)根分別為X】、X2Xj+x3則x,x2=a,=9一4。2011x.=3,由條件，知一+一=工x2工內一39即一=3,且a4故。=一1,則方程為婦

28、X+3x+2=0,2 k1-1I.當k-l=0時，后一一，則=0.3 aI【當上1。0時，J=9-8(M)=17-6-8/c>0,則k<,8又k是正整數(shù)，且k1,則k=2,但使-.A.無意義.岸+S6k2-1綜上，代數(shù)式一的值為0k+k-6【點睛】本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，在解方程時一定要注意所求k的值與方程判別式的關系.要注意該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，10.如圖1,己知ZkABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,如果點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勾速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s,連接PQ，設運動的時間為t（單位：s）（0WtW4）.解答下列問題：（1）當t為何值時，PQBC.（2）是否存在某時刻t,使線段PQ恰好把AABC的而積平分？若存在求出此時t的值：若不存在，請說明理由.（3）如圖2,把沿AP翻折，得到四邊形AQPQ'.那么是否存在某時刻t使四邊形AQPQ'為菱形？若存在，求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由.【答案】（1）的面積平分.1-妨3cm.2【解析】當BFIPCs時，PQBC（2）不存在某時刻t,使