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文檔簡介

1、人教版九年級上冊數(shù)學一元二次方程易錯題(Word版含答案)一、初三數(shù)學一元二次方程易錯題壓軸題(難)1.RIAABC中,£ACB=90。,AC=BC=6.動點P從點A出發(fā),在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動,到達點C停止運動.設運動時間為t秒圖1(1)如圖1,過點P作PDL4C,交A8于D,若4PBC與PAD的而積和是ABC的而積7的土,求t的值;9(2)點Q在射線PC上,且PQ=2AP,以線段PQ為邊向上作正方形PQNM.在運動過程中,若設正方形PQNM與ABC重疊部分的面積為8,求t的值.【答案】(1)打=2,弓=4:(2)t的值為:J7或2方時,重疊面積為8.

2、【解析】【分析】(1)先求出ABC的面積,然后根據(jù)題意可得AP=t,CP=6-t,然后再APBC與PAD7的面積和是aabc的面積的虧,列出方程、解方程即可解答:(2)根據(jù)不同時間段分三種情況進行解答即可.【詳解】(1)/RtAABC中,匕AC8=90°,AC=8C=6,1Sm8c=X6x6=18,2.AP=t,CP=6t,.8(:與PAD的面枳和=-f2+-x6x(6t),227PBC與八PAD的面積和是ABC的面積的1,17229解之,得ti=2,tz=4:(2)."=t,PQ=2AP.PQ=2t,i7 如圖1,當0懷2時,S=(2t)2:產=5產=8,解得:代=抑,t

3、2=§J7(不合題意,舍去),77112 如圖2,當2<t<3時,S=-x6x6-t2-(6-2t)2=12t-=8,22254解得:h=4(不合題意,舍去),t2=-(不合題意,舍去), 如圖3,當3仁6時,S=;X6x6-:戶=8,解得:tC,tz=.2,(不合題意,舍去),【點睛】本題考查了三角形和矩形上的動點問題,根據(jù)題意列出方程和分情況討論是解答本題的關鍵.2. 閱讀與應用:閱讀1:。,b為實數(shù),且。>0,b>0,因為(、而一薩)20,所以。2、廁+bN0,從而a+b?2網(wǎng)當a=b時取等號).閱讀2:mm若函數(shù)y=x+(rn>0,x>0,

4、m為帝數(shù)),由閱設1結論可知:x+言N2",所以當x=mm叩乂=寸血時,函數(shù)y=x+的最小值為2"人人閱讀理解上述內容,解答下列問題:問題1:44已知一個矩形的而積為4,其中一邊長為x,則另一邊長為亍周長為2(x),求當x=時,周長的最小值為:問題2:汽車的經濟時速是汽車最省油的行駛速度,某種汽車在每小時70110公里之間行駛時(含70公里和110公里),每公里耗油(1+)L.若該汽車以每小時x公里的速度勻速行駛,lh的耗油量為yL.(1) 求V關于x的函數(shù)關系式(寫出自變量x的取值范國):(2) 求該汽車的經濟時速及經濟時速的百公里耗油量.【答案】問題1:2,8:問題2:

5、(l)y=±+竺:(2)10.20【解析】【分析】(1) 利用題中的不等式得到x+4>?|;%4,從而得到x=2時,周長的最小值為8:(2) 根據(jù)耗油總量=每公里的耗油量x行駛的速度列出函數(shù)關系式即可,經濟時速就是耗油量最小的形式速度.【詳解】444當x=-時,2僅七)有最小值8.即x=2時,周長的最小值為8:故答案是:2;8;問題2十乂(京+竽)琴+若2扁*9,當且僅當x-405,20"即x=90時,=成立,所以,當x=90時,函數(shù)取得最小值9,此時,百公里耗油量為100x(g+鷺)=10,所以,該汽車的經濟時速為每小時90公里,經濟時速的百公里耗油量為10L.【點

6、睛】本題考查了配方法及反比例函數(shù)的應用,最值問題,解題的關鍵是讀憧題目提供的材料,易錯點是了解"耗油總量=每公里的耗油量X行駛的速度",難度中等偏上.3. 問題提出:(1) 如圖1,在四邊形ABCD中,已知:AD/BC,Z£>=90°,8C=4,ABC的而積為8,求8C邊上的高.問題探究(2) 如圖2在(1)的條件下,點E是CD邊上一點,且CE=2,ZEAB=ZCBA,連接BE,求MBE的面積問題解決(3) 如圖3,在(1)的條件下,點E是CD邊上任意一點,連接AE.BE,若ZEAB=ZCBA,ABE的面積是否存在最小值:若存在,求出最小值:若不存

7、在;請說明理由.【答案】(1)4:(2)乎:(3)存在,最小值為16扼16AM=8x2【解析】【分析】(1)作BC邊上的高AM,利用三角形而積公式即可求解:(2)延長DA,過B點作BF±DA于點F,作BH±AE于點H,易得四邊形BCDF為矩形,在(1)的條件下BC=CD=4,則BCDF為正方形,由匕EAB=ZCBA,結合ZFAB=ZCBA可得ZFAB=ZEAB,從而推出BF=BH=4,易證RtABCERtABHE,所以EH=CE=2,設AD=a,則AF=AH=4-a,在RtAADE中利用勾股定理建立方程可求出a,最后根據(jù)Saabe=-AE.BH即可求解:2(3)輔助線同(2

8、),設AD=a,CE=m,則DE=4-m,同(2)可得出m與a的關系式,設ABE的面積為y,由y=|AE.BH得到m與y的關系式,再求y的最小值即可.【詳解】(1)如圖所示,作BC邊上的高AM,=4即BC邊上的高為4:(2)如圖所示,延長DA,過B點作BF1DA于點F,作BH1AE于點H,:ADBC,ZD=90°AZBCD=ZD=90°=ZF.四邊形BCDF為矩形,又BC=CD=4.四邊形BCDF為正方形,ADF=BF=BC=4,又VAD/7BCAZFAB=ZCBA又VZEAB=ZCBAAZFAB=ZEABVBF±AF,BH1AEABH=BF=4,在RtABCE和

9、RtABHE中,VBE=BE.BH=BC=4ARtABCERtABHE(HL)AEH=CE=2同理可證RtABAFRtABAH(HL)AAF=AH設AD=a,則AF=AH=4-a在Rt/kADE中,AD=a,DE=2,AE=AH+EH=4-a+2=6-a由勾股定理得adE,11020Sabe=AEBH=xx4=233(3)存在,如圖所示,延長DA,過B點作BF±DA于點F,作BH±AE于點H,+de2=ae2,即后+2?=(60)2解得310AAE=6-a=3同(2)可得CE=EH,AF=AH,設AD=a,CE=EH=m,貝IDE=4-m,AF=AH=4-a在RtAADE中

10、,AD2+DE2=AEBPa2+(4-/n)2=(4-a+z«)2.acaljor<.m2+16.AE=AH+HE=4一+m=m+4m+4設ZABE的面積為v,則yAEBHQ.4=2(E6)22?+4in+4:.y(z+4)=2(7,+16)整理得:2m2+yi+32-4y=0.方程必有實數(shù)根A=y2-4x2x(32-4y)>0整理得y2+32y-256Z。.),一(I6jl16),一(I6jlI6)zo(注:利用求根公式進行因式分解)又.面積yNO.y>!6V2-l6即ZABE的面積最小值為16JI16.【點睛】本題考查四邊形綜合問題,正確作出輔助線,得出AB平分

11、ZFAC,利用角平分線的性質定理得到BF=BH,結合勾股定理求出AE是解決(2)題的關鍵,(3)題中利用一元二次方程的判別式求最值是解題的關鍵.4. 閱讀下列材料11111計算:(】-2»(我+:+;)(我+;),令擊+:=匕則:1111原式=(1-t)(t柘)-t=t與t2-;_%+產=5在上而的問題中,用一個字母代表式子中的某一部分,能達到簡化計算的目的,這種思想方法叫做“換元法",請用"換元法”解決下列問題:111(1) 計算:(1-須X(式+.+2_)-(1._J_)XL320183丁4丁丁2019320191«+上)z3于2018(2) 因式分

12、解:(a2-5。+3)(a?5a+7)+4(3) 解方程:(x2+4x+l)(x2+4x+3)=31【答案】(1)20§;(2)(疽-5o+5)七(3)xi=0,X2=-4,X3=xa=-2【解析】【分析】1(1) 仿照材料內容,令驢!+.+_J_=t代入原式計算.2018(2) 觀察式子找相同部分進行換元,令a2-Sa=t代入原式進行因式分解,最后要記得把t換為a.(3) 觀察式子找相同部分進行換元,令】+4x=t代入原方程,即得到關于t的一元二次方程,得到t的兩個解后要代回去求出4個x的解.【詳解】1(1) 令虧+!+_L_=t貝z3丁2018、11111原式(t+2019)-(

13、1-f-2019)t=t+2019-+2019=2019(2) 令。25a=t,則:原式=(t+3)(t+7)+4=+7+31+21+4=+101+25=(t+5)2=(a2-5a+5)2(3) 令x2+4x=t,則原方程轉化為:(t+1)(t+3)=3W+4t+3=3t(t+4)=0Ati=0,&=-4當】+4、=0時,x(x+4)=0解得:Xi=0tX2=-4當】+4x=4時,x2+4x+4=0(x+2)2=0解得:X3=X4=-2【點睛】本題考查用換元法進行整式的運算,因式分解,解一元二次方程.利用換元法一般可達到降次效果,從而簡便運算.5. 己知關于x的一元二次方程(x-3)(

14、x-4)-m2=0.(1)求證:對任意實數(shù)m,方程總有2個不相等的實數(shù)根:(2)若方程的一個根是2,求m的值及方程的另一個根.【答案】(1)證明見解析;(2)m的值為土、夕,方程的另一個根是5.【解析】【分析】(1)先把方程化為一般式,利用根的判別式左=b2-4ac證明判斷即可:(2)根據(jù)方程的根,利用代入法即可求解m的值,然后還原方程求出另一個解即可.【詳解】(1)證明:.(x-3)(x-4)-m2=0,x2-7x+12-m2=0,.=(-7)2-4(12-m2)=l+4m2,Vm2>0,.對任意實數(shù)m,方程總有2個不相等的實數(shù)根:(2)解:.方程的一個根是2,.*.4-14+12-n

15、i,=O,解得ni=±A!/2,.原方程X2-7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值為±框,方程的另一個根是5.【點睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式,熟練掌握一元二次方程的根的判別式與根的關系是關鍵.當左=b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;'當4=b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根:當左=b2-4ac<。時,方程沒有實數(shù)根.6. 如圖,已知AB是。0的弦,半徑0A二2,0A和AB的長度是關于x的一元二次方程必-4x+a=0的兩個實數(shù)根.(1)求弦AB的長度:(2)計算(3)G>0上一動點P從A點出發(fā),沿逆時針方向運

16、動一周,當S.wfSh時,求P點所經過的弧長(不考慮點P與點B重合的情形).3:W0(3)當時,P點所經過的弧長分別是33【解析】試題分析:(1)0A和AB的長度是一元二次方程的根,所以利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系即可求出AB的長度;(2)作出AAOB的高0C,然后求出0C的長度即可求出面積:(3由題意知:兩三角形有公共的底邊,要而積相等,即高要相等.試題解析:(1)由題意知:0A和AB的長度是x'-4x+a=0的兩個實數(shù)根,AOA+AB=-=4,1.0A=2,AB=2:(2)過點C作OC±AB于點C,V0A=AB=0B=2,.AOB是等邊三角形,AAC=-AB=b2在R

17、tAACO中,由勾股定理可得:0C=JJ,S.w=;AB0C=;X2X二JJ:(3)延長A0交于點D,由于AAOB與ZPOA有公共邊0A,當二Seo時,.AAOB與APOA高相等,由(2)可知:等邊AAOB的高為JJ,點P到直線0A的距離為J?,這樣點共有3個 過點B作BP/OA交。于點P:,/.ZB0Pi=60a,120/rx24;r此時點P經過的弧長為:1803 作點P”使得R與R關于直線0A對稱,.ZPSOD=60°,I5240;rx28/r此時點P經過的弧長為:一-1803 作點P”使得B與P,關于直線0A對稱,.匕00?三60°,.,/八八十300x2l°

18、;r此時P經過的弧長為:一二一廠,1803綜上所述:當S,g=Sg時,P點所經過的弧長分別是區(qū)、了、華3 33【點睛】本題主要考查了一元二次方程與圓的綜合知識.涉及等邊三角形性質,圓的對稱性等知識,能綜合運用所學知識,選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行解題是關鍵.7.圖1是李晨在一次課外活動中所做的問題研究:他用硬紙片做了兩個三角形,分別為ABC和八DEF,其中ZB=90°,匕A=45°,BC=6V7,ZF=90°,匕EDF=30°,EF=2,將DEF的斜邊DE與AABC的斜邊AC重合在一起,并將ADEF沿AC方向移動.在移動過程中,D、E兩點始終在AC邊上(移動開始時

19、點D與點A重合).(1)請回答李晨的問題:若CD=10,則AD=_;(2)如圖2,李晨同學連接FC,編制了如下問題,請你回答: 匕FCD的最大度數(shù)為 當FCIIAB時,AD=_; 當以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形,且FC為斜邊時,AD=_j FCD的面積s的取值范圍是2【答案】(1)2:(2)60。:9項;&2x/3<s<6>/3.【解析】試題分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質,求出AC的長,即可得到AD的長.(2)當點E與點C重合時,ZFCD的角度最大,據(jù)此求解即可. 過點F作FH±AC于點H,應用等腰直角三角形的判定和性質,含

20、30度角直角三角形的性質求解即可. 過點F作FHXAC于點H,AD=x,應用含30度角直角三角形的性質把FC用x來表示,根據(jù)勾股定理列式求解. 設AD=x,把八FCD的而積s表示為x的函數(shù),根據(jù)x的取值范困來確定s的取值范圍.試題解析:(1)ZB=90ZA=45%BC=62,ac=12./CD=10,AD=2.(2)、ZF=90°,ZEDF=30°,/.ZDEF=60°.當點E與點C重合時,ZFCD的角度最大,.ZFCD的最大度數(shù)NDE時60?!叭鐖D,過點F作FH±AC于點H,ZEDF=30EF=2,二DF=2V3.DH=3,FH=V3.FCIIAB,Z

21、A=45°,ZFCH=”45°.”二HC3.二DC=DH+HC=3+W.AC=12,AD=9淄如圖,過點F作FH±AC于點H,設AD=x,由知DH=3,FH=A/3,則HC=12-(x+3)=9-x.在RtACFH中,根據(jù)勾股定理,得FC:=FH2+HC2=(a/3)24-(9-x)2=x2-18x+84*.以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形,且FC為斜邊,2W=AD2+BC2,即乂2_&+84=妒+(6廚,解得"W設AD=x,易知0狎貌?2豎?,即0<x<8.而s=:'DC'FH=;,(12-x

22、),由=當12-x),s=牛(12簽PPP?)=6。s=牛(12簽PPP?)=2S當X-0時,2:當一8時,2FCD的而積s的取值范|T<s<6S.考點:1.而動平移問題:2.等腰直角三角形的判定和性質:3.平行的性質:4.含30度角直角三角形的性質:5.勾股定理:6.由實際問題列函數(shù)關系式:7.求函數(shù)值.8.如圖,正方形ABCD的四個頂點分別在正方形EFGH的四條邊上,我們稱正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形.探究一:已知邊長為1的正方形ABCD,是否存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD而積的2倍?如圖,假設存在正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD的2

23、倍.因為正方形ABCD的而積為1,則正方形EFGH的而積為2,所以EF=FG=GH=HE=設EB=x,則BF=JJ-x,/RtAAEBRtABFC,-.BF=AE=72-X在RtAAEB中,由勾股定理,得x2+(/2-x)2=12解得,X1=X2=2BE=BF,即點B是EF的中點.同理,點C,D,A分別是FG,GH,HE的中點.所以,存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD面積的2倍探究二:已知邊長為1的正方形ABCD,是否存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD而積的3倍?(仿照上述方法,完成探究過程)探究三:已知邊長為1的正方形ABCD,一個外接正方形EFGH,它的

24、面積是正方形ABCD面積的4倍?(填“存在”或“不存在”)探究四:已知邊長為1的正方形ABCD,是否存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形ABCD而積的n倍?(n>2)(仿照上述方法,完成探究過程)【答案】不存在,詳見解析【解析】【分析】探究二,根據(jù)探究一的解答過程、運用一元二次方程計算即可;探究三,根據(jù)探究一的解答過程、運用一元二次方程根的判別式解答:探究四,根據(jù)探究一的解答過程、運用一元二次方程根的判別式解答.【詳解】探究二:因為正方形A8CD的面積為1,則正方形&GH的面積為3,所以EF=FG=GH=HE=,設EB=x,則BF=途-x,RMAEB絲R08FC,:,BF

25、=AE=y/3-x,在RtMEB中,由勾股定理,得,x*H-X)2*,整理得X2-J?X+1=O,bz-4crc=3-4<0,此方程無解,不存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形川8CD而積的3倍:探究三:因為正方形A8CD的面積為1,則正方形EFGH的面積為4,所以EF=FG=GH=HE=2,設EB=x,貝IBF=2-x,.RMAEB£R08FC,:,BF=AE=2-x,在Rt/iAEB中,由勾股定理,得,亍+(2-x)2=。,整理得2x2-4x+3=0,b2-4crc=16-24<0,此方程無解,不存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形N8CD面積的3倍,

26、故答案為不存在;探究四:因為正方形A8CD的而積為1,則正方形&GH的而積為。,所以EF=FG=GH=HE=,設EB=x,則8F=而-x,R0AEB絲R08FC,BF=AE=由-x,在RtEB中,由勾股定理,得,"+(-x)2*,整理得2x2-2而x+n-1=0,b2-4crc=8-4n<0,此方程無解,不存在一個外接正方形EFGH,它的面積是正方形伯8CD面積的n倍.【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、一元二次方程的解法等知識.讀憧探究一的解答過程、正確運用一元二次方程根的判別式是解題的關鍵.9.己知關于x的方程x2+3x+a=O的兩個實數(shù)根的倒數(shù)

27、和等于3,且關于x的方程(S1K+3x-2“=0有實數(shù)根,又k為正整數(shù),求代數(shù)式.土一1_一的值.k2+k-6【答案】0.【解析】【分析】由于關于x的方程】+3x+q=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3,利用根與系數(shù)的關系可以得到關于。的方程求出。,又由于關于x的方程(k-1)爐+3x-2a=0有實數(shù)根,分兩種情況討論,該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k為正整數(shù),利用判別式可以求出k,最后代入所求代數(shù)式計算即可求解.【詳解】解:設方程的兩個實數(shù)根分別為X】、X2Xj+x3則x,x2=a,=9一4。2011x.=3,由條件,知一+一=工x2工內一39即一=3,且a4故。=一1,則方程為婦

28、X+3x+2=0,2 k1-1I.當k-l=0時,后一一,則=0.3 aI【當上1。0時,J=9-8(M)=17-6-8/c>0,則k<,8又k是正整數(shù),且k1,則k=2,但使-.A.無意義.岸+S6k2-1綜上,代數(shù)式一的值為0k+k-6【點睛】本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系,在解方程時一定要注意所求k的值與方程判別式的關系.要注意該方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,10.如圖1,己知ZkABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,如果點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勾速運動,同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,它們的速度均為2cm/s,連接PQ,設運動的時間為t(單位:s)(0WtW4).解答下列問題:(1)當t為何值時,PQBC.(2)是否存在某時刻t,使線段PQ恰好把AABC的而積平分?若存在求出此時t的值:若不存在,請說明理由.(3)如圖2,把沿AP翻折,得到四邊形AQPQ'.那么是否存在某時刻t使四邊形AQPQ'為菱形?若存在,求出此時菱形的面積;若不存在,請說明理由.【答案】(1)的面積平分.1-妨3cm.2【解析】當BFIPCs時,PQBC(2)不存在某時刻t,使

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