合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算

1、第七講合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算Is減小字體±1增大字體計量培訓(xùn)：測量不確定度表述講座國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局？李慎安7.1?合成標(biāo)準(zhǔn)不確定Uc的定義如何理解？合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度無例外地用標(biāo)準(zhǔn)偏差給出，其符號U以小寫正體c作為下角標(biāo)；如給出的為相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度，則應(yīng)另加正體小寫下角標(biāo)rel，成為Ucrel。按JJF1001定義為：當(dāng)測量結(jié)果是由若干個其他量的值求得時，按其他各量的方差和協(xié)方差算得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。如各量彼此獨立，則協(xié)方差為零；如不為零（相關(guān)情況下），則必須加進(jìn)去。上述定義可以理解為：當(dāng)測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度由若干標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量構(gòu)成時，按方和根（必要時加協(xié)方差）得到的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

2、有時它可以指某一臺測量儀器，也可以指一套測量系統(tǒng)或測量設(shè)備所復(fù)現(xiàn)的量值。在某個量的不確定度只以一個分量為主，其他分量可忽略不計的情況下，顯然就無所謂合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度了。7.2?什么是輸入量、輸出量？在間接測量中，被測量丫不能直接測量，而是通過若干個別的可以直接測量的量或是可以通過資料查出其值的量，按一定的函數(shù)關(guān)系得出：Y=f（Xi,X2，Xn）其中Xi為輸入量，而把丫稱之為輸出量。例如:被測量為一個立方體的體積V,通過其長I、寬b和高h(yuǎn)三個量的測量結(jié)果，按函數(shù)關(guān)系V=lbh計算，則I,b,h為輸入量，V為輸出量。7.3?什么叫作線性合成？例如在測量誤差的合成計算中，其各個誤差分量，不論是隨機誤

3、差分量還是系統(tǒng)誤差分量，當(dāng)合成為測量誤差時，所有這些分量按代數(shù)和相加。這種合成的方法稱為線性合成。不確定度的各個分量如彼此獨立，則恒用方和根的方式合成。但如果其中某兩個分量彼此強相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)r=+1，則合成時是代數(shù)相加，即線性合成而非方和根合成。7.4?什么叫靈敏系數(shù)？當(dāng)輸出量丫的估計值y與輸入量Xi的估計值X1,X2,-xn之間有y=f（X1,X2，Xn）的函數(shù)關(guān)系時，在不確定度的傳播中，把偏導(dǎo)數(shù)，#/a%=Ci稱為靈敏系數(shù)，它定量地給出了輸入量Xi,與輸出量y之間的相互變化關(guān)系之比值。它本身也是個量值，有數(shù)值和量綱，往往其量綱并非1,而是有測量單位的，這種情況下不能將它按純數(shù)對待。偏導(dǎo)

4、數(shù)應(yīng)該是在代入輸入量的估計值時作出評定，即在Xi=xi時評定的壬*1它描述了輸入估計值Xi的微小變化Xi,引起y的變化(y)i=("/axJXio如果這個變化是由估計值Xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Xi)所引起，則y相應(yīng)的變化為("/#*Ju(Xi)。因此，合成方差可以看作各項方差之和，而每一項代表了由每個輸入估計值Xi相關(guān)聯(lián)之估計方差產(chǎn)生的輸出估計值y的估計方差。也就是：c=1/2(2x1/2)B,a,b,k可以是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)或等于當(dāng)用實驗方法求靈敏系數(shù)時，特別是在y與Xi之間不存在簡單函數(shù)關(guān)系時，可以通過將其余輸入量保持不變，僅變化第i個X-設(shè)變化量為Xi，由此而導(dǎo)致的y的變化設(shè)

5、為y,則Ci=y/xi。但也可通過函數(shù)關(guān)系計算出yo輸入量Xi的不確定度u(x)只有在乘了相應(yīng)的靈敏系數(shù)ci之后，才是輸出量丫的不確定度u(y)的一個分量Ui(y)o它們也才會有相同的量綱。7.5?在線性函數(shù)關(guān)系中輸入量的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度urel(xi)是否可以也按方和根合成為輸出量丫的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度Urel(y)?在輸入量Xi,X2,，Xn彼此獨立的情況下，如果它們與輸出量丫的函數(shù)關(guān)系是線性的，例如最簡的一種情況：?Y=Xi+X2若已知urel(X1)與urel(X2),是不能按方和根Jo+計算Y的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度urel(y)的。例如：由兩個500g的硬碼相加，組成為輸出量1000g。每

6、個500g硬碼的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)=u(X2)=0.5g，則這輸出量1000g的不確定度實際上u(y)=0.71g。對1000g來說，其相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為urel(y)=0.71g/1000g-0.7x1C3。但如果用相對不確定度來合成，urel(X1)=urel(X2)=0.5g/500g=1X10-3，它們未合成前已大于urel(y)。顯然是不合理的。?有些情況下，例如在化學(xué)分析中，在給定濃度下的某些不確定度的分量，這些分量的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度均是除以某個相同的分母，而輸出量的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度也是這同一個分母，這時是可以采用方和根來合成相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度的。?必須注意，盡管相對標(biāo)準(zhǔn)不確定

7、度urel(Xi)都無例外地是無量綱量，它們都用純數(shù)給出，但是這些純數(shù)并不都是無條件地可以相對減或是進(jìn)行方和根運算的。因為這些數(shù)都是量值，而且往往是不同定義的量值。?也往往在這種相互獨立的線性函數(shù)中，輸入量X1與X2按B類方法評定時，一開始就是給出的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度urel(X1)和urel(X2)，例如通過測量儀器引用誤差評定的結(jié)果。那么，由于分母不同(輸出量與輸入量)，也是不能采用方和根得出輸出量的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度ucrel(y)的。在這種情況下，必須先把urel(X1)與urel(X2)算成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(X1)與u(X2)后再合成為uc(y)；如這時要求給出ucrel(y),即可將

8、uc(y)除以V。這是當(dāng)前極易被忽略的問題之一。?7.6?當(dāng)輸入量Xi與輸出量Y之間的函數(shù)關(guān)系為Y=f(Xi,X2,，Xn)=C*I'X時，是否也應(yīng)按先算出靈敏系數(shù)Ci通過y)="iCiU(Xi)2=Rp*y)合成？?可以這樣合成，但不一定要如此復(fù)雜。采用這種方法需要麻煩的偏導(dǎo)數(shù)。更為簡單的辦法是采用輸入量的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度Urel(Xi)=U(Xi)/Xi乘以其相應(yīng)的Xi的指數(shù)Pi,即PiU(Xi)/Xi,進(jìn)行簡單的平方和得到輸出量Y的相對合成方差即?如果我們要求得到Uc(y)而不是U-crel(y)，則可將得到的Ucrel(y)乘以y即可。這是一種完全等效的計算方法。?例

9、如通過物體質(zhì)量m與其運動速度v的測量，求該物體的動能Ek。它們之間的函數(shù)關(guān)系式(稱測量模型)是：2?Ek=(1/2)mv?設(shè)輸入量m的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(m)=lg,而m的最佳估計為1kg,速度v的量佳估計為100m/s,其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(v)=0.1m/s，求輸出量Ek的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Ek)。這時，不必去求偏導(dǎo)數(shù)得出靈敏系數(shù)，而是求輸入量的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度urel(m)=u(m)/m=lg/1kg=1x10-3,Urel(v)=u(v)/v=(0.1m/s)/(100m/s)=1x10-3,m的指數(shù)為1,v的指數(shù)為2,則-32-32-6-3=(1x10)+(2x1X10)=5X10，故Ure

10、l(Ek)2.2x10?而u(Ek)=2.2X10-3x(1/2)X1kgx(100m/s)2?=2.2x10-3x0.5x104kgm2/s2?=11kgm2/s2=11J?如果pi，只是正1或負(fù)1,則在這一情況下：?這就是說：在這種情況下估計值y的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，等于輸入估計值xi的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度的方和根。舉例如下：?設(shè)以鹽酸作為標(biāo)準(zhǔn)滴定溶液，用以測量某樣品中所含氫氧化鉀的質(zhì)量分?jǐn)?shù)W(KOH),標(biāo)準(zhǔn)溶液的濃度c(HCl)=0.2(1±10-3)mol/L(k=2)，則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度urelc(HCl)=(1/2)1X10-3=0.5X10-3。滴定終點消耗50mL,按所用

11、的B級滴定管=±0.6%(為最大允許誤差)，由于通過兩次讀數(shù)之差得出，按正態(tài)分布考慮，取包含因子k=3，得消耗體積V的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度urel(V)=(1/3)X0.6%X4=0.28X10-2。氫氧化鉀的相對摩爾質(zhì)量來自國際1995年公布的相對原子質(zhì)量表，其不確定度大大小于10-5，可忽略不計，其值M(KOH)=56.10024，在本例計算中可取近似為56.10,其修約導(dǎo)致的不確定度即可忽略。樣品質(zhì)量m=10g，按所用天平和硬碼的相對擴展不確定度Urel(m)=3x10-4,包含因子k=3,得其相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為urel(m)=1X10-4。計算方程(測量模型)為：?W(KOH)=

12、f(V(HCl),c(HCl),M(KOH),m)?=(V(HCl)>C(HCl)>1M(KOH)/m代入輸出量的估計值得：-3?W(KOH)=56.1X10?_2?=0.29X102如要求給出uW(KOH)，則再乘以W(KOH)的估計值：?56.1X10-3X0.29X10-2=17X10-5?本例所討論的計算方法，提供了不需求靈敏系數(shù)對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算。?7.7?當(dāng)輸入量Xi之間出現(xiàn)了兩個或兩個以上的量Xi明顯相關(guān)時，是否可以不去計算協(xié)方差或是相關(guān)系數(shù)進(jìn)行合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算？?在«JJF1059中只提到協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的A類評定方法，將它與其他分量的方差相加

13、進(jìn)行合成。實際工作中，特別是在計量學(xué)領(lǐng)域，采用A類評定是十分復(fù)雜的。我們可以按經(jīng)驗，把輸入量Xi中強相關(guān)的那些分量(U(Xi)等也是由若干分量合成的，其中既有與其他輸入量強相關(guān)的分量，也有相互獨立的分量),按強相關(guān)(r=+1)先行單獨合成作為輸出量不確定度u(y)的一個分量，然后把不相關(guān)的那些分量按彼此獨立合成為u(y)的第二個分量，最后將此兩分量按彼此獨立來進(jìn)行合成(參閱本講座6.18)。?例如：在«JJF1059合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度Uc(y)的評定中，給過一個例子，當(dāng)標(biāo)稱值為1kQ的10個電阻器，用1個值為Rs的標(biāo)準(zhǔn)電阻器校準(zhǔn)，設(shè)校準(zhǔn)過程中的不確定度遠(yuǎn)小于Rs的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Rs)

14、而忽略不計，校準(zhǔn)證書給出u(Rs)=0.10Q?，F(xiàn)將此10個電阻器用電阻可忽略的導(dǎo)線串聯(lián)構(gòu)成一個10kQ10E¥-的參考電阻，其Rref=f(Ri)=，lRi(線性相加)。«JJF1059中給出的電阻器的相美系數(shù)為r(Ri,Rj)=1,并不可能是按A類評定的，因為不存在多個標(biāo)準(zhǔn)器分別對這10個電阻器進(jìn)行校準(zhǔn)。這里的r(R,Rj)是按其相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度UrelW(KOH)，可按Urel(V),Urel(C),Urel(m)按方和根得出為：?UrelW(KOH)=經(jīng)驗得出的。通過經(jīng)驗，當(dāng)兩個(或多個)輸入量使用了同一個標(biāo)準(zhǔn)器或同一臺測量儀器時，或使用了相同的參考數(shù)據(jù)，則它們之間

15、存在極大的正相關(guān)。10個電阻器的校準(zhǔn)正是這種情況。在r=+1的情況下,?*“'即線性相加，因而，所構(gòu)成的10kQ的Rref的合成標(biāo)傕不確正度10?Uc(Rref)=Bu(Ri)?=10X0.10Q=1.0Q?但是，如果校準(zhǔn)過程中帶來的不確定度并非可忽略不計，例如在對這10個中每個電阻器校準(zhǔn)過程中的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.5Q,10個這樣的分量彼此獨立，大小也一樣，合成起來就是0.5Qx/0=1.6Qo它應(yīng)按方和根與前面相關(guān)部分合成的1.0Q合成的u(Rref)=J】.6幻'+LOTT=1.9Qo?7.8?合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)的自由度計算中應(yīng)注意什么問題？?合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度稱為有效自由度，符號為veff輸出量估計值y不確定度的各個分量ui(y)的自由度不論是采用A、B兩類中的何種方法評定出的，ui(y)的自由度與u(Xi)的自由度相同。不因為u(Xi)乘靈敏系數(shù)Ci之后而改變。計算式5y?'"用于按ui(y)計算的情況。如有相關(guān)項，協(xié)方差只出現(xiàn)在合成前uc(y)的計算之中,在分母中不再出現(xiàn)。?當(dāng)用相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量urel(xi)合成時，