解三角形常見題型歸納

1、角形常見題型歸納正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關系轉化為角的關系或邊的關系。題型之一:求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角（或二角一邊或三邊），求其它三個元素問題,進而求出三角形的三線（高線、角平分線、中線）及周長等基本問題.1.在AABC中,AB=3,AC=2,BC=VTc,則ABAC=A.B.-C.-333D.22.(1)在華BC中，已知A72.00,B-81.80,a=42.9cm,解三角形;(2)在MBC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°，解三角形（角度精確到1°,邊長精確到1cm）。3.(1

2、)在ABC中，已知a=2j3,c=J6+72,B=60°，求b及A;(2)在AABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形JI4（2005年全國高考江蘇卷）MBC中，A=-,BC=3,則AABC的周長為（）3A.4j3sinB十十3b.4J3sinB+1+3<3J<6JC.6sinB十一+3<3JD.6sinB+)+3<6J分析：由正弦定理，求出b及c,或整體求出b+c,則周長為3+b+c而得到結果.選（D）.46-.65（2005年全國高考湖北卷）在AABC中，已知AB=，cosB=，AC邊上的中線BD=J5，求sinA3

3、6的值.分析：本題關鍵是利用余弦定理，求出AC及BC,再由正弦定理，即得sinA.12.6解：設E為BC的中點，連接DE,貝UDE/AB,且DE=;AB=二一，設BE=x.222在ABDE中利用余弦定理可得：BD=BE十ED-2BEEDcosBED,5=*2+8+2'逆、互，解得x=1,x=336-7（舍去）,3故BC=2,從而AC2=aB"BC2-2ABBC&osB=28,32.21.30即AC=,又sinB=36故sinAsinA=、14在ZABC中，已知a=2,b=2>f2,C=15°,求A。答案：二BA,且0°<A<180

4、0,.A=300題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀.1.（2005年北京春季高考題AABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么AABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解法1：由2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosBcosAsinB=0,得sin(AB)=0,得A=B.故選(B).解法2：由題意，得cosB=迦9=£，再由余弦定理，得cosB=a2+c2b22sinA2a2acafJ2勺即a2=b2,得a=b,故選(B).2a2ac評注：判斷三

5、角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷（如解法1）,統(tǒng)一化為邊，再判斷（如解法2).2.在AABC中，若2cosBsinA=sinC，則AABC的形狀一定是（A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB=sin(A+B)+sin(AB)又'2sinAcosB=sinC,-sin(AB)=0,-A=B3. 在8BC中，若曳=胞呸，試判斷AABC的形狀。btanB答案：故AABC為等腰三角形或直角三角形。4. 在ZABC中，O（COSA=bCOsE，判斷AABC的形狀。答案：AABC為等腰三角形或直角三角形。題型之三:解決與面積有關

6、問題主要是利用正、余弦定理，并結合三角形的面積公式來解題.1.（2005年全國高考上海卷）在MBC中，若2A=120，AB=5,BC=7,則AABC的面積S=2.在皿中，935=號ac=2,AB=3，求tanA的值和MBC的面積。,、1.1：63,_一、答案：Sabc=ACABsinA=z23-=言(，2.6)3.(07浙江理18)已知ABC的周長為J2+1,且sinA+sinB=J2sinC.（I）求邊AB的長；（II）若ABC的面積為1sinC，求角C的度數(shù).6解：（I）由題意及正弦定理，得AB+BC+AC=J2+1,BC+AC=J?AB,兩式相減，得AB=1.(ACBC)2-2ACLbC

7、-AB212ACLBC2(II)由ABC的面積1BCJAC土inC=1sinC，得BCUAC=1,2"63入AC2BC2-AB2由余弦定理，得cosC=.2ACl_BC所以C=60*.題型之四：三角形中求值問題1.（2005年全國高考天津卷）在Mbc中，A、b、c所對的邊長分別為a、b、c,設a、b、c滿足條件b2+c2bc=a2和'=【+J3，求匕A和tanB的值.b2分析：本題給出一些條件式的求值問題，關鍵還是運用正、余弦定理.222bc-a1解：由余弦定理cosA=一，因此，2A=60。22bc在AABC中，ZC=180-ZA-ZB=120-ZB1 _由已知條件，應用正

8、弦定理一.32 bsinBcsinCsin(120-B)sin120cosB-cos120sinB.3sinB2.AABC的三個內角為解析：由A+B+C=B+CcosA+2cosA當sin=2sinB一11cotB+-，解得cotB=2,從而tanB=222一_BCA8C,求當A為何值時，cosA+2cos取得最大值，并求出這個最大值。2兀，得2=cosA+2sinAB+CA一，所以有cos=sin。222AAA2sin2+2sin=-2(sin-222B+C32B+C兀o21-2)2+A=121-，即A=3時，cosA+2cos取得最大值為7t2'2.22BC3.在銳角ABC中，角A

9、B,C所對的邊分力U為a,b,c,已知sinA=,(1)求tan32的值；（2）若a=2,SAabc=J2，求b的值。2、21解析：（1）因為銳角ABC中，A+B+C=兀，sinA=，所以cosA=-,331.一1.2、3(2)因為S|_abc=寸2,又Sabc=bcsinA=bc，貝Ubc=3。-223將a=2,cosA=-,c='代入余弦定理：a2=b2+c22bccosA中,3b得b46b2+9=0解得b=73。點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結果即可。4.在ABC中，內角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c,已知c=2,C=-3（）若ABC的

10、面積等于拒，求a,b;(H)若sinC+sin(BA)=2sin2A,求ABC的面積.本小題主要考查三角形的邊角關系，三角函數(shù)公式等基礎知識，考查綜合應用三角函數(shù)有關知識的能力.滿分12分.22解：（I）由余弦正理及已知條件得，a+bab=4,1_又因為ABC的面積等于J3,所以一absinC=J3，得ab=4.2a2b2ab=4,聯(lián)立方程組'解得a=2,b=2.ab=4,(H)由題意得sin(B+A)+sin(BA)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,4、.3.2.3當cosA=0時，A=,B=,a=,b=,2633當cosA#0時，得sinB=2sinA，

11、由正弦定理得b=2a,、ab-ab=4,2,34、3聯(lián)立萬程組普解得a=,b=b=2a33入一1-2、3所以ABC的面積S=absinC=二一2312分題型之五：正余弦定理解三角形的實際應用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用,如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下:（一.）測量問題1.如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點，望對岸標記物C，測得/CAB=30,ZCBA=75°,AB=120cm,求河的寬度。圖1DB分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測出AB長、/CAB、ZCBA,這個三角形可確定。.一.、一A

12、CAB解析：由正弦定理得=,.AC=AB=120msinCBAsinACB-11.Slabc=ABACsinCAB=ABCD，解得CD=60m。22點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。（二.）遇險問題2某艦艇測得燈塔在它的東15。北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進，30分鐘后又測得燈塔在它的東30。北。若此燈塔周圍10海里內有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險?解析：如圖艦艇在A點處觀測到燈塔S在東15°北的方向上；艦艇航行半小時后到達B點，測得S在東30°北的方向上。在ABC中，可知AB=30X0.5=15ZABS=150Z

13、ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，過點S作SC上直線AB,垂足為C,則SC=15sin30°=7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。點評：有關斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是：（1）準確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應用題中的有關名詞和術語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出；（3）分析與所研究問題有關的一個或幾個三角形，通過合理運用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追擊問題3如圖3,甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15

14、76;方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，應沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？解析：設用th,甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t,BC=20t,AB=9,C圖3設ZABC=a,ZBAC=3°a=180-45°-15°=120。根據(jù)余弦定理AC2=AB2+BC22ABBCcosa,2212.-3.AC=2&-=21nmile4BC=20x=15nmile43t=-49人,t=(舍)32(280=81+(20t)2W9W20tx(成)，128t260t27=0,(4t-3)(32t+9)=0,解得根據(jù)正弦定理,15BCsn2得sin-=21AC5、35.3一5.3,又-a=120,-。為銳角，3=arcsin,又v1414147、22v5、3二-arcsinv,144:5、3arcsin4的方向用可以追上乙船。點評：航海問題常涉及到解三角形的知識,本題中的/ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離,由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時間t有關。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關于t的一元二次方程，解出t的值。4.如圖，當甲船