長沙中考數(shù)學復習《圓的綜合》專項綜合練習

1、一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖，AB為。的直徑，AC為。0的弦，AD平分ZBAC,交。0于點D,DEJ_AC,交AC的延長線于點E.（1）判斷直線DE與。0的位置關系，并說明理由；（2）若AE=8,。0的半徑為5,求DE的長.【答案】（1）直線DE與。0相切（2）4【解析】試題分析：（1）連接oD,VAD平分zBAC,/.ZEAD=ZOAD，OA=OD,.ZODA=ZOAD,ZODA=ZEAD/.EAIIOD,DEJLEA,.DE_LOD,又點D在。0上，.直線DE與。0相切（2）作DF1AB,垂足為F,.ZDFA=ZDEA=90。，ZEAD=ZFAD,AD=AD,EA

2、D罷FAD,二AF=AE=8,DF=DE，.OA=OD=5,OF=3,在RtADOF中，DF=JOD，-0殆=4二AF=AE=8考點：切線的證明，弦心距和半徑、弦長的關系點評：本題難度不大，第一小題通過內錯角相等相等證明兩直線平行，再由兩直線平行推出同旁內角相等.第二小題通過求出兩個三角形全等，從而推出對應邊相等，接著用弦心距和弦長、半徑的計算公式，求出半弦長.2.定義：有一個角是其鄰角一半的圓內接四邊形叫做圓內倍角四邊形.（1）如圖1,四邊形ABCD內接于。0,匕DCB匕ADONA,求證：四邊形ABCD為圓內接倍角四邊形：（2）在（1）的條件下，。0半徑為5.符AD為直徑，且sinA=y,求

3、BC的長;則四邊形ABCD的而積是若四邊形ABCD中有一個角為60。，且BC=CD,d2-b2=ab+cd.(3)在(1)的條件下，記AB=a,BC=b,CD=c,AD二d,求證:【答案】(1)見解析：(2)BC=6,至A或E；(3)見解析44【解析】【分析】(1) 先判斷出Z/4DC=180-2AA.進而判斷出ZABC=2AA.即可得出結論：(2) 先用銳角三角函數(shù)求出8D,進而得出月8,由(1)得出ZADB=Z8DC,即可得出結論：分兩種情況：利用而積和差即可得出結論：(3) 先得出BE=BC=b,DE=DA=b,進而得出CE=d-c,再判斷出EBC-ED4,即可得出結論.【詳解】(1)

4、設匕A=a,則ZDCB=180-a.匕。CB匕ADC=Z.A9:.ZADCADCB-Z4=180-a-a=1802a,/.ZABC=180-匕.四邊形ABCD是00內接倍角四邊形;(2) 連接8D.4:AD是。0的直徑，：.Z.ABD=90在RtAABD中，/4D=2x5=10,sin/A=，二8D二8,根5據(jù)勾股定理得：48=6,設ZA=a.Z/4DB=90-a.由(1)知,匕AOC=1802a,二匕8DC=90a,ZADB=ABDC,:.BC=AB=6若匕ADC=60時.四邊形A8CD是圓內接倍角四邊形，Z8CD=120或匕BAD=30.I、當ZBCD=12Q時，如圖3,連接OA,08,O

5、C,0D.BC=CD,:.ZBOCNCOD.:.ZOCDNOCB=-ZBCD=60ZCDO=60,/.AD是。O2的直徑，（為了說明也）是直徑，點。沒有畫在AD上）.ZAOC+匕8CD=180,/.BCWAD,:.AB=CD.8C=CD,.A8二8C=CD,Q48,BOC,CO。是全等的等邊三角形，二S囚邊形-3、后*75后AQBlOXX。.44H、當Z8/40=30時，如圖4,連接。4,08,OC,OD.四邊形ABCD是圓內接四邊形，二ZBCD=180-Z840=150.1BC=CD,洋BOCNCOD,匕BCO=ZDCO二一匕BCD=75二匕8OC=NDOC=30,2.匕084=45,二匕4

6、08=90.連接AC,:.ZDAC=-ZBAD=15.2ZADO=ZOAB-Z8/40=15%/.ZDAC=AADO.:.ODWAC,:.SAoao=Saocd.過點C作CHOB于H./.,15.RtAOCH中，CH=OC=,S四邊脆&cq=Sacod+Saooc+Saaob-2 21 5175Saaqq=Sa6oc+SaAqb=Xx5+x5x5=-2 224故答案為：或E：44朗（3）延長DC,AB交于點E.四邊形ABCD是00的內接四邊形，二匕8CE=NA=L匕A8C.2ZABC=Z8CE+2A.:.ZE=ZBCENA.LBE=BC=b,DE=DA=b,:.CE=d-c.CEBCdcb,/

7、ZBCE=A.ZE=ZE.EBC=。EDA,:.=,/.=一,/.d2-AEADa+bdb2=abcd.備用圖【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的內接四邊形的性質，新定義，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.3.如圖，AB為。0的直徑，點D為A8下方00上一點，點C為孤A8D的中點，連接CD,CA.(1) 求證：ZABD=2ZBDC；(2) 過點C作CHAB于H,交AD于E,求證：EA=EC；(3) 在(2)的條件下，若0H=5,AD=249求線段DE的長度.9【答案】(1)證明見解析；(2)見解析：(3)DE=-.2【解析】【分析】(1) 連接

8、AD，如圖1，設ZBDC=a,匕ADC邛，根據(jù)圓周角定理得到ZC48=ZBDC=a,由AB為。0直徑，得到NAD8=90。，根據(jù)余角的性質即可得到結論；(2) 根據(jù)已知條件得到ZACE=AADC,等量代換得到ZACE=ZCAE,于是得到結論：(3) 如圖2,連接0C,根據(jù)圓周角定理得到ZC0B=2ACAB,等量代換得到/C08NABD,根據(jù)相似三角形的性質得到0H=5,根據(jù)勾股定理得到AB=AD2+BD2=26,由相似三角形的性質即可得到結論【詳解】(1)連接AD.如圖1,設匕BDC=a,匕/WC邛，則匕CAB=ZBDC=a,.點C為弧A8D中點，.AC=CD，.DAC邛，ZDAB=-a.A8

9、為00直徑，二匕AD8=90,.a+8=9O,邛=90a,.匕人8。=90匕DA8=90（P-a）,/.ZABD=2a.:.ZABD=2ABDC：c(2)CHAB.:.ZACE+ZCAB=ZADC+ZBDC=90,.ZCABZCDB,二Z4CE=ZADC.:ZCAENADC.:.ZACE=ACAE,二AE=CE；(3) 如圖2,連接OC,ZCOB=2ZCAB.:ZABD=2A8DC,ZBDCNCAB,/.ZCOB=ZABD.OHOC1.ZOHCNADB=90二OCH-ABD,:.=-BDAB2OH=5,.8D=10,?.AB=+BD2=26二40=13,/.AH=18.9DE=-.2AHAEn

10、n18AE39AHEfADB,=一,即一=一,/.AE=一,ADAB24262【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.4.如圖，CD為。的直徑，點8在00上，連接8C、BD,過點8的切線AE與CD的延長線交于點A,ZAEO=ZC,0E交BC于點F.(1) 求證：OfIIBD：2(2) 當00的半徑為5,sinZDBA=-時，求EF的長.【答案】（1）證明見解析；（2）EF的長為2【解析】試題分析：（1）連接0B,利用已知條件和切線的性質證明；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和相似三角形的性質，直接求解即可.試題解析：（1）連接08,vcd

11、O0的直徑，/.ZCBD=ZCBO+ZOBD=90.:AE是。的切線，二ZABO=ZABD+AOBD=90.-ZABD=ZCBO.。8、oc是。o的半徑，/-ob=oc.:.ZC=ZCBO.:.ZC=ZABD.ZE=ZC,/.E=ZABDOEWBD.9BD7（2）由（1）可得sinZC=ZDBA=-,在RtAOBE中sin/C=-,OC=5,5CD5BD=4：ZCBD=ZEBO=90。ZE=ZC,/.CBD-EBO.BDCDBOEO=.2OEIIBD,CO=OD.:.CF=FB.IOF=-BD=2.221.EF=OEOF=25.如圖，2XABC內接于00,弓玄ADBC垂足為H,ZABC=2ZC

12、AD.（1）如圖1,求證：AB=BC：（2）如圖2,過點B作BMCD垂足為M,BM交。于E,連接AE、HM,求證：AEIIHM;（3）如圖3,在（2）的條件下，連接BD交AE于N,AE與BC交于點F,若NH=2j?，AD=11,求線段AB的長.M（E3）M證明：延長AD、BM交于點N,連接ED.ZDEN=ZDAB,ZN=ZBCD,/BCD=ZBAN.DE=DN,BA=BN又.BHAN,DMEN/.EM=NM/HN=HA/.MHIIAE（3）連接CE.ZBDA=ZBCA,ZBDM=ZBAC,由（1）知匕BCA=ZBAC.ZBDA=ZBDM,BDM罷BDH,DH=MH,ZMBD=ZHBD,BDMH

13、又.MHIIAE,/.BDJLEF；.FNB竺ENB,同理可證左AFH竺ACH,HF=HC/又：FN=NE二NHIIEC,EC=2NH,又NH=2/,.EC=47?ZEAC=2ZAEC=2a=ZABC.可證弧AC=弧EC,AC=EC=4/5設HD=x,AH=llx,ZADC=2ZCAD,翻折CHD至八CHG,可證CG=CD=AGAH=CD+DH/CD=AH-DH=ll-x-x=ll-2x又.ACAH2=CD/5)2-(11-x)2=(11-2x)2-x227.xi=3zx2=(舍去).CD=5,CH=4/AH=8.AHCHc/；rr又T77=E=tan2c/.BH=6/.AB=yBM2+AH2

14、=62+82=10t)nLfn點睛：此題主要考查了圓的綜合，結合圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質，解直角三角形的性質，綜合性比較強，靈活添加輔助線，構造方程求解是解題關鍵.6.如圖，在RtAABC中，點O在斜邊A8上，以。為圓心，08為半徑作圓，分別與8C.48相交于點。，E,連接已知ZCAD=AB.(1) 求證：是00的切線；(2) 若CD=2,AC=4,8D=6,求。0的半徑.【答案】(1)詳見解析：(2)W.2【解析】【分析】(1)解答時先根據(jù)角的大小關系得到匕l(fā)=z3,根據(jù)直角三角形中角的大小關系得出0DJLM,從而證明/W為圓。的切線：(2)根據(jù)直角三角形勾股定理和兩三角

15、形相似可以得出結果【詳解】(1證明：連接0D,AOB=OD,:.Z3=Z8,ZB=Z1,Z1=Z3,在RtAACD中，Z1+Z2=90%./4=180(Z2+Z3)=90,ODAD,則AD為圓O的切線：(2)過點O作O/LL8C,垂足為F,.OFBD1DF=BF=-BD=32.AC=4,CD=2,ZACD=90jAb+Cb=2必ZCAD=AB,ZOFB=ZACD=90.BFO-ACD BF_QBAC3 OB即一=7=4 2扼 OR-3后2.。的半徑為*E2【點睛】此題重點考查學生對直線與圓的位置關系，圓的半徑的求解，掌握勾股定理，兩三角形相似的判定條件是解題的關鍵7.如圖，已知AB為。的直徑，

16、AB=8,點C和點D是。0上關于直線AB對稱的兩個點，連接OC、AC,且匕BOCV90。，直線BC和直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F,與直線AD相交于點G,且ZGAF=ZGCE（1）求證：直線CG為。的切線：（2）若點H為線段0B上一點，連接CH,滿足CB=CH,ACBH乙OBC求OH4-HC的最大值【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；5.【解析】分析：（1）由題意可知：匕CABNGAF,由圓的性質可知：匕CABNOCA,所以ZOCA=ZGCE,從而可證明直線CG是00的切線：（2）由于CB=CH,所以ZCBH=ZCHB,易證匕CBHNOCB,從而可證明

17、CBH-也OBC；Behbbc由CBHsOBC可知：=所以HB=,由于BC二HC,所以OCBC40H+HC=4-一+BC,利用二次函數(shù)的性質即可求出OH+HC的最大值.4詳解:（1）由題意可知：匕CABNGAF,AB是00的直徑，.ZACB=90OA=OC,.ZCAB=ZOCA,.ZOCA+ZOCB=90ZGAF=ZGCE,.ZGCE+ZOCB=ZOCA+ZOCB=90,OC是00的半徑，直線CG是00的切線：（2）.CB=CH,ZCBH=ZCHB,.OB=OC,.ZCBH=ZOCB,BC_HBOCBC.CBHOBC由CBHOBC可知AB=8,BC2=HBOC=4HB,BC1:.OH=OB-H

18、B=44CB二CH,BC2:.0H+HO4+BC,4當匕BOC=90,此時BC=4J歹ZBOCV90。,0BCsin60=史(x+m),CG=ACcos60=!(x+m),22BGBC-CG=(x+。)-(x+m),在RtAABG中，根據(jù)勾股定理可得：也(x+m)2+(xJ-n)(x+m)2=(m+n)整理，得：X2+(m+n)x=3mn9abc=BC*AG=X(x+n)也(x+m)22/T=+(m+n)x+mn4=x(3mn+fnn)4=y/3mr).【點睛】本題考查了圓中的計算問題、與圓有關的位置關系以及直角三角形，注意掌握方程思想與數(shù)形結合思想的應用.9.如圖，在。0中，直徑AB垂直弦C

19、D于E,過點A作匕DAFNDAB,過點D作AF的垂線，垂足為F,交AB的延長線于點P,連接CO并延長交00于點G,連接EG.(1) 求證：DF是。0的切線；(2) 若AD=DP,0B=3,求BD的長度：(3) 若DE=4,AE=8,求線段EG的長.【解析】試題分析：(1)連接0D,由等腰三角形的性質得出ZDAB=ZADO,再由已知條件得出ZADO=ZDAF,證出0DllAF,由已知DFAF,得出DJ0D,即可得出結論；(2) 易得NBOD=60。，再由弧長公式求解即可：(3) 連接DG,由垂徑定理得出DE=CE=4,得出CD=8,由勾股定理求出DG,再由勾股定理求出EG即可.試題解析：(1)證

20、明：連接0D,如圖1所示：OA=OD,/.ZDAB=ZADO,ZDAF=ZDAB,二ZADO=ZDAF,ODIIAF.又DFAF,DFOD,DF是。的切線;（2）.AD=DP二ZP=ZDAF=ZDAB=x/.ZP+ZDAF+ZDAB=3x=90.x=30ZBOD=60%.8D的長度=勿（3）解：連接DG,如圖2所示：AB_LCD,DE=CE=4,CD=DE+CE=8,設OD=OA=x,則OE=8x,在RtAODE中，由勾股定理得:OE2+DE2=OD2,即（8-x）2+42,解得：x=5,.CG=2OA=10,.CG是OO的直徑，.ZCDG=90,-DG=yJcG2-CD2=/102-82=6，EG=JdG：+M=J6?+42=2應.10.己知A8是半圓。的直徑，點C在半圓O上.如圖1,若AC=3,匕CA8=30,求半圓。的半徑：（2）如圖2,M是BC的中點，E是直徑A8上一點，AM分別交CE,8C于點