高中排列組合基礎(chǔ)題(含標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、排列、組合問(wèn)題基本題型及解法同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)排列、組合的過(guò)程中，總覺(jué)得抽象，解法靈活，不容易掌握然而排列、組合問(wèn)題又是歷年高考必考的題目本文將總結(jié)常見(jiàn)的類(lèi)型及相應(yīng)的解法一、相鄰問(wèn)題“捆綁法”將必須相鄰的元素“捆綁”在一起，當(dāng)作一個(gè)元素進(jìn)行排列例1甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必須站在一起，不同的排法共有幾種？分析：先把甲、乙當(dāng)作一個(gè)人，相當(dāng)于三個(gè)人全排列，有A3=6種，然后再將甲、乙二人全排列有A；=2種，所以共有6X2=12種排法.二、不相鄰問(wèn)題“插空法”該問(wèn)題可先把無(wú)位置要求的元素全排列，再把規(guī)定不相鄰的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意兩端）.例27個(gè)同學(xué)并排站成一排，其中

2、只有A、B是女同學(xué)，如果要求A、B不相鄰，且不站在兩端，不同的排法有多少種？分析：先將其余5個(gè)同學(xué)先全排列，排列故是A5=120.再把A、B插入五個(gè)人組成的四個(gè)空位（不包括兩端）中，（如圖。XOXOX0X0“X"表示空位，“0”表示5個(gè)同學(xué)）有A2=2種方法則共有A5A2=440種排法.三、定位問(wèn)題“優(yōu)先法”指定某些元素必須排（或不排）在某位置，可優(yōu)先排這個(gè)元素，后排其他元素例36個(gè)好友其中只有一個(gè)女的，為了照像留念，若女的不站在兩端，則不同的排法有種分析：優(yōu)先排女的（元素優(yōu)先）在中間四個(gè)位置上選一個(gè)，有a4種排法.然后將其余5個(gè)排在余下的5個(gè)位置上，有A5種方法則共A4A5=480

3、種排法還可以優(yōu)先排兩端（位置優(yōu)先）四、同元問(wèn)題“隔板法”例410本完全相同的書(shū)，分給4個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)至少要有一本書(shū)，共有多少種分法？分析：在排列成一列的10本書(shū)之間，有九個(gè)空位插入三塊“隔板”如圖：XXIXIXXXIXXXX一種插法對(duì)應(yīng)于一種分法，則共有c9=84種分法五、先分組后排列對(duì)于元素較多，情形較復(fù)雜的問(wèn)題，可根據(jù)結(jié)果要求，先分為不同類(lèi)型的幾組，然后對(duì)每一組分別進(jìn)行排列，最后求和例5由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）（A）210個(gè)（B）300個(gè)（C）464個(gè)（D）600個(gè)分析：由題意知，個(gè)位數(shù)字只能是0,1,2,3,4共5種類(lèi)型，每

4、一種類(lèi)型分別有A5個(gè)、A;A;a3個(gè)、A;A;a3個(gè)、a；a；3個(gè)、A;a3個(gè)，合計(jì)300個(gè)，所以選b例6用0,1,2,3,，9這十個(gè)數(shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個(gè)奇數(shù)數(shù)字與兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)？【解法1】考慮。的特殊要求，如果對(duì)0不加限制，應(yīng)有c3c5a5種，其中0居首位的有c3c4a4種，故符合條件的五位數(shù)共有C3C；A5C3C；A：=11040個(gè)【解法2】按元素分類(lèi)：奇數(shù)字有1,3,5,7,9;偶數(shù)字有0,2,4,6,8.把從五個(gè)偶數(shù)中任取兩個(gè)的組合分成兩類(lèi)：不含。的；含0的 不含0的：由三個(gè)奇數(shù)字和兩個(gè)偶數(shù)字組成的五位數(shù)有c5c2a5個(gè)； 含。的，這時(shí)0只能排在除首位以外的四個(gè)數(shù)

5、位上，有a4種排法，再選三個(gè)奇數(shù)數(shù)與一個(gè)偶數(shù)數(shù)字全排放在其他數(shù)位上，共有c3c4a4a4種排法綜合和，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，符合條件的五位數(shù)共有c3c:Ja5+c3c4a4a4=11040個(gè)例8由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字,比20000大，且百位數(shù)字不是3的自然數(shù)？【解】設(shè)/=滿足題設(shè)條件，且百位數(shù)字是3的自然數(shù),B=滿足題設(shè)條件，且比20000大的自然數(shù)，則原題即求cardBleuA，畫(huà)韋恩圖如圖，陰影部分rj即BIeuA，從圖中看出cardBleuAcardBAlB.°伊"i?又AlB?B，由性質(zhì)2,有cardBAlBcardBcardAlB/Bl*car

6、dB即由數(shù)字1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字，且比20000大的自然數(shù)的個(gè)數(shù)，易知cardBAaA4.cardAlB即由數(shù)字1，2，3，4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字、比20000大，且百位數(shù)字是3的自然數(shù)的個(gè)數(shù)'易知cardAlBA：A：，所以cardBleuAA：A：A：A：=78.即可組成78個(gè)符合已知條件的自然數(shù)典型例題例1用。到9這10個(gè)數(shù)字-可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？解法1:當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，千位，百位，十位上可以從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)來(lái)排列，故有方個(gè)；當(dāng)個(gè)位上在“2、4、6、8”中任選一個(gè)來(lái)排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)，百位，十位上再?gòu)挠嘞碌陌藗€(gè)數(shù)字

7、中任選兩個(gè)來(lái)排，按乘法原理有A4A8A2(個(gè))-沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有AgA1a8As50417922296個(gè).例2排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。(1) 任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？(2) 歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解：(1)先排歌唱節(jié)目有A5種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有/A中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：/AA4=43200.先排舞蹈節(jié)目有A：中方5個(gè)空位,恰好供5個(gè)歌(2)法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：A:4=2880種方法。例3某一天的課程表要排

8、入政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法.分析與解法1：6六門(mén)課總的排法是a6，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書(shū)有A55種排法，如圖中I;數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有K種排法，如圖中n；但這兩種排法，都包括體育排在第一書(shū)數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中川，這種情況有A:種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：>42A5a4504(種).例4現(xiàn)有3輛公交車(chē)、3位司機(jī)和3位售票員，每輛車(chē)上需配1位司機(jī)和1位售票員.問(wèn)車(chē)輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把3輛車(chē)看成排了順序的三個(gè)空：，然后把3名司機(jī)和3名售票員分別填入-因

9、此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個(gè)排列問(wèn)題.解：分兩步完成.第一步，把3名司機(jī)安排到3輛車(chē)中，有A6種安排方法；第二步把3名售票員安排到3輛車(chē)中，有/46種安排方法-故搭配方案共有AA36種.例5下表是高考第一批錄取的一份志愿表.如果有4所重點(diǎn)院校，每所院校有3個(gè)專業(yè)是你較為滿意的選擇-若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒(méi)有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒(méi)有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？學(xué)校專業(yè)112212312解：填表過(guò)程可分兩步第一步，確定填報(bào)學(xué)校及其順序，則在4所學(xué)校中選出3所并加排列，共有入3種不同的排法；第二步，從每所院校的3個(gè)專業(yè)中選出2個(gè)專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有

10、AAA種綜合以上兩步，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的填表方法有：f(AA.AlA5184種.例67名同學(xué)排隊(duì)照相.(1) 若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？(2) 若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4) 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？解:(1)/4A:>45040種.(2)第一步安排甲，有A；種排法；第二步安排乙，有A4種排法；第三步余下的5人排在剩下的5個(gè)位置上，有A5種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，符合要求的排法

11、共有A；A：Af1440種.第一步，將甲、乙、丙視為一個(gè)元素，有其余4個(gè)元素排成一排，即看成5個(gè)元素的全排列問(wèn)題，有A55種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有屁種排法-由分步計(jì)數(shù)原理得，共有AA72。種排法.（4）第一步，4名男生全排列，有A：種排法；第二步，女生插空，即將3名女生插入4名男生之間的5個(gè)空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有A3種插入方法.由分步計(jì)數(shù)原理得，符合條件的排法共有：A：A1440種.例8a,b,c,d,e,f六人排一列縱隊(duì)，限定a要排在b的前面（a與b可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法對(duì)這個(gè)題目，A、B、C、D四位同學(xué)各自給出了一種算式：A的算式是A,6;

12、B的算式是（AA；A3a4a5）A；C的算式是A;224D的算式是CeA-上面四個(gè)算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說(shuō)明理由.解：A中很顯然，“a在b前的六人縱隊(duì)”的排隊(duì)數(shù)目與“b在a前的六人縱隊(duì)”排隊(duì)數(shù)目相等，而“六人縱隊(duì)”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和-這表明：A的算式正確.B中把六人排隊(duì)這件事劃分為a占位，b占位，其他四人占位這樣三個(gè)階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到a占位的狀況決定了b占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)a占據(jù)第一個(gè)位置時(shí)，b占位方法數(shù)是A;當(dāng)a占據(jù)第2個(gè)位置時(shí)，b占位的方法數(shù)是A4;；當(dāng)a占據(jù)第5個(gè)位置時(shí)，b占位的方法數(shù)是A-1，當(dāng)a,b占位后，再排其他四人，他們有4種排法，可

13、見(jiàn)B的算式是正確的.4C中A可理解為從6個(gè)位置中選4個(gè)位置讓c,d,e,f占據(jù)，這時(shí)，剩下的兩個(gè)位置依前后順序應(yīng)是a,b的-因此C的算式也正確.2D中把6個(gè)位置先圈定兩個(gè)位置的方法數(shù)C6，這兩個(gè)位置讓a,b占據(jù)，顯然，a,b占據(jù)這兩個(gè)圈定的位置的方法只有一種（a要在b的前面），這時(shí)，再排其余四人，又有A：種排法，可見(jiàn)D的算式是對(duì)的例9八個(gè)人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類(lèi)情況.應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類(lèi)情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人

14、坐下,，三個(gè)步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理，這樣可有如下算法：a4A4a4a4a58640（種）解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)目是/VA-在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法這個(gè)數(shù)目是a1c2a3a1a5,其中第一個(gè)因數(shù)a1表示甲坐在第一排的方法數(shù)，c2表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出的這個(gè)人安排在第一排的方法數(shù)，下一個(gè)a:則表示乙、丙中沿未安排的那個(gè)人坐在第二排的方法數(shù)，芳5就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為A：A；a4c2AsA：a58640（種）.說(shuō)明：解法2可在學(xué)完

15、組合后回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí).例10計(jì)劃在某畫(huà)廊展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà)、4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同一品種的畫(huà)必須連在一起，并且水彩畫(huà)不放在兩端，那么不同陳列方式有（）.A-Aa5B.A；A：A5C.c3A：A；DA：A：>4解：將同一品種的畫(huà)“捆”在一起，注意到水彩畫(huà)不放在兩端，共有A；種排列.但4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)本身還有排列順序要求所以共有A；AA；種陳列方式.應(yīng)選D說(shuō)明：關(guān)于“若干個(gè)元素相鄰”的排列問(wèn)題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”在一起，看作一個(gè)大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列本例題就是

16、一個(gè)典型的用“捆綁”法來(lái)解答的問(wèn)題.例11由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）A-210B.300C.464D-600解法1:（直接法）：分別用123,4,5作十萬(wàn)位的排列數(shù)，共有5A5種，所以其中個(gè)位1數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有15A5300個(gè)2解法2：（間接法）：取0,1,5個(gè)數(shù)字排列有A6，而0作為十萬(wàn)位的排列有/4，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有1（A65a5）300（個(gè)）.2說(shuō)明：（1）直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或間接法要視問(wèn)題而定，有的問(wèn)題如果使用直接法解決比較困難或者比

17、較麻煩，這時(shí)應(yīng)考慮能否用間接法來(lái)解-（2）“個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對(duì)稱性，這兩類(lèi)的六位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類(lèi)問(wèn)題還有6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法-例12用1,2,3,4,5，這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）-A.24個(gè)B.30個(gè)C.40個(gè)D.60個(gè)分析：本題是帶有附加條件的排列問(wèn)題，可以有多種思考方法，可分類(lèi)，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項(xiàng)分析判斷.解法1:分類(lèi)計(jì)算.將符合條件的偶數(shù)分為兩類(lèi)-一類(lèi)是2作個(gè)位數(shù)，共有A：個(gè)，另一類(lèi)是4作個(gè)位數(shù)，也有A2個(gè).因此符合條件的偶數(shù)共有A：A4

18、”24個(gè).解法2:分步計(jì)算.先排個(gè)位數(shù)字，有A2種排法，再排十位和百位數(shù)字，有三位偶數(shù)應(yīng)有A2A424個(gè).解法3:按概率算.用15這5個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有2此三位偶數(shù)共有60-24個(gè).5解法4：利用選擇項(xiàng)判斷.用15這5個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A：種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,32A60個(gè)，其中偶點(diǎn)其中的一.因460個(gè).其中偶數(shù)少于奇數(shù),因此偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于30個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所提供的答案中，只有A符合條件.應(yīng)選A.（1）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)例13用0、1、2、3、4、5共六個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù),數(shù)字的3位偶數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被3整除的三位

19、數(shù)？分析：3位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是0,由于個(gè)位用或者不用數(shù)字0,對(duì)確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用0或者用2、4進(jìn)行分類(lèi).一個(gè)自然數(shù)能被3整除的條件是所有數(shù)字之和是3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字0進(jìn)行分類(lèi)解：（1）就個(gè)位用0還是用2、4分成兩類(lèi)，個(gè)位用0,其它兩位從1、2、3、4中任取兩數(shù)排24432（個(gè)），列，共有A12（個(gè)），個(gè)位用2或4，再確定首位，最后確定十位，共有所有3位偶數(shù)的總數(shù)為：123244（個(gè)）.（012）、（2）從0、2、3、4、5中取出和為3的倍數(shù)的三個(gè)數(shù),分別有下列取法:（015）、0,（024）、（045）、（123）、（135）、（234）、（345）'前四組中有后四組中沒(méi)有0，用它們排成三位數(shù)，如果用前4組，共有42A：16（個(gè)），如果用后四組,共有4人324（個(gè)），所有被3整除的三位數(shù)的總數(shù)為162440（個(gè)）.例14一條長(zhǎng)椅上有7個(gè)座位，4人坐，要求3個(gè)空位中，有2個(gè)空位相