2012文科數(shù)學(xué)回歸教材 6數(shù)列VIP

1、新課標(biāo)回歸教材數(shù)列1、數(shù)列的概念:數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的特殊函數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.典例:1)已知,則在數(shù)列的最大項(xiàng)為;2)數(shù)列的通項(xiàng)為,則與的大小關(guān)系為;3)數(shù)列的通項(xiàng)為,若遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍;4)一給定函數(shù)的圖象在下列圖中,并且對任意,由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足,則該函數(shù)的圖象是( A )A B C D2.等差數(shù)列的有關(guān)概念:(1)等差數(shù)列的判斷方法:定義法、等差中項(xiàng)法.典例:設(shè)是等差數(shù)列,求證:以bn=為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列.(2)等差數(shù)列的通項(xiàng):或.典例:1)等差數(shù)列中,則通項(xiàng);2)首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列,從第10項(xiàng)起開始為正數(shù),則公差的取

2、值范圍是;(3)等差數(shù)列的前和:,.典例:1)數(shù)列 中,則 -3 ,= 10 ;2)已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和,求數(shù)列的前項(xiàng)和（答:）.(4)等差中項(xiàng):若成等差數(shù)列,則A叫做與的等差中項(xiàng),且.提醒:(1)等差數(shù)列的公式中,涉及到5個(gè)元素:其中稱作為基本元素.只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè),便可求出其余2個(gè),即知3求2.(2)為減少運(yùn)算量,要注意設(shè)元的技巧:如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為,（公差為）;偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為,（公差為2）3.等差數(shù)列的性質(zhì):(1)當(dāng)公差時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù),且斜率為公差;所以, 1)若公差,則為遞增等差數(shù)列;2)若公差,則為遞減等差數(shù)列,3)若公差,則為常數(shù)

3、列.前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.提醒:若時(shí),不是等差數(shù)列,但從第二項(xiàng)起(含第二項(xiàng))為等差數(shù)列.(3)當(dāng)時(shí),則有,特別地,當(dāng)時(shí),則有.典例:1)等差數(shù)列中,則 27 ;2)在等差數(shù)列中,且,是其前項(xiàng)和,則( B )A.都小于0,都大于0 B.都小于0,都大于0C.都小于0,都大于0 D.都小于0,都大于0(4)若,是等差數(shù)列,則、 (、是非零常數(shù))、 ,也成等差數(shù)列(注:其新公差與原數(shù)列的公差關(guān)系為:),而成等比數(shù)列;若是等比數(shù)列,且,則是等差數(shù)列. 典例:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25,前2n項(xiàng)和為100,則它的前3n和為 225 ;(5)等差數(shù)列中,項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),(這里即);

4、.典例:1)在等差數(shù)列中,S1122,則 2 ;2)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中,求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)(答:5;31).(6)若等差數(shù)列,的前和分別為,則.典例:若,是等差數(shù)列,它們前項(xiàng)和分別為,若,則.(7)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值求法:法一(二次函數(shù)法):由解析式結(jié)合二次函數(shù)圖象求解;法二(通項(xiàng)比較法):具體操作如下當(dāng)時(shí),可求的最大值;第一,若時(shí),顯然;若時(shí),設(shè)前項(xiàng)和最大,則應(yīng)滿足;特別地,當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),可求的最小值;第一,若時(shí),顯然;若時(shí),設(shè)前項(xiàng)和最小,則應(yīng)滿足;特別地,當(dāng)時(shí),則;典例:1)等差數(shù)列中,則數(shù)列前 13 項(xiàng)和最大,最大值為 169 .2)若是等差數(shù)列,首項(xiàng),則使前n項(xiàng)和成立的最

5、大正整數(shù)n是 4006 ;4.等比數(shù)列的有關(guān)概念:(1)等比數(shù)列的判斷方法:定義法,其中;等比中項(xiàng)法或.注:是數(shù)列等比的 必要不充分條件 .(想想為什么?)典例:1)一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng),奇數(shù)項(xiàng)之積為100,偶數(shù)項(xiàng)之積為120,則為;2)數(shù)列中,且=1,若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng):或.典例:數(shù)列等比,求和公比.(答:,或2)(3)等比數(shù)列的前和:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.典例:1)等比數(shù)列中,求（答:44）;2)已知等比,其成等差數(shù)列,則公比.特別提醒:等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式,為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí),首先要判斷公比是否為1,再由的情況選擇求和公式的形式,當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)

6、,要對分和兩種情形討論求解.（4）等比中項(xiàng):若成等比數(shù)列,那么A叫做與的等比中項(xiàng).提醒:不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng),只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng),且有兩個(gè).典例:兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為,等比中項(xiàng)為,則A與B的大小關(guān)系為.提醒:(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中,涉及到5個(gè)元素:、及,其中、稱作為基本元素.只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè),便可求出其余2個(gè),即知3求2;(2)為減少運(yùn)算量,要注意設(shè)元的技巧,如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比,可設(shè)為,（公比為）;但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí),不能設(shè)為,因公比不一定為正數(shù),只有公比為正時(shí)才可如此設(shè),且公比為.典例:有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)成等比數(shù)列,且第一個(gè)數(shù)與第四

7、個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求此四個(gè)數(shù).(答:15,9,3,1或0,4,8,16)5.等比數(shù)列的性質(zhì):(1)當(dāng)時(shí),則有,特別地,當(dāng)時(shí),則有.典例:1)在等比數(shù)列中,公比q是整數(shù),則= 512 ;2)等比數(shù)列中,若,則 10 .(2)若是等比數(shù)列,則、成等比數(shù)列;若成等比數(shù)列,則、成等比數(shù)列; 若是等比數(shù)列,且公比,則數(shù)列 ,也是等比數(shù)列(其新公比與原數(shù)列公比之間關(guān)系式為).注:當(dāng),且為偶數(shù)時(shí),數(shù)列 ,是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列. 典例:1)已知且,設(shè)數(shù)列滿足,且,則;2)在等比數(shù)列中,為其前n項(xiàng)和,若,則的值為 40 .(3)若,則為遞增數(shù)列;若,則為遞減數(shù)列;若,則為遞減

8、數(shù)列;若,則為遞增數(shù)列;若,則為擺動數(shù)列;若,則為常數(shù)列.(4)當(dāng)時(shí),這里,但,這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征,據(jù)此很容易根據(jù),判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列.典例:1)若是等比數(shù)列,且其前項(xiàng)和滿足:,則 -1 .2)等比數(shù)列前項(xiàng)和等差數(shù)列前項(xiàng)和則 -1 .(5).典例:1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,若成等差數(shù)列,則的值 -2 . 2)在等比數(shù)列中,公比,設(shè)前項(xiàng)和為.若,則的大小關(guān)系是( B ) A. B. C. D. 不確定(6)數(shù)列等比,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列.提醒:故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

9、典例:設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題:若,則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;若,則是等差數(shù)列;若,則是等比數(shù)列.這些命題中,真命題的序號是 .6.數(shù)列的通項(xiàng)求法:公式法:等差數(shù)列通項(xiàng)公式;等比數(shù)列通項(xiàng)公式.典例:已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式:.已知(即)求,用作差法:.典例:1)已知的前項(xiàng)和滿足,求.（答:）;2)數(shù)列滿足,求.（答:）已知求,用作商法:.典例:數(shù)列中,對所有的都有,則.若求用累加法:典例:已知數(shù)列滿足,則=.已知求,用累乘法:.典例:已知數(shù)列中,前項(xiàng)和,若,求（答:）已知遞推關(guān)系求,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列).(1)形如、(為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公

10、比為的等比數(shù)列后,再求.典例:1)已知,求(答:);2)已知,求(答:);(2)形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng).典例:1)已知,求(答:);2)已知數(shù)列滿足=1,求(答:)注意:(1)用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),你注意到此等式成立的條件了嗎？（,當(dāng)時(shí),）;(2)一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí),常需運(yùn)用關(guān)系式,先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式,然后再求解.典例:數(shù)列滿足,求(答:)7.數(shù)列求和的常用方法:(1)公式法:等差數(shù)列求和公式;等比數(shù)列求和公式.其它常用公式:;.,.典例:1)等比數(shù)列的前項(xiàng)和,則;2)計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的.二進(jìn)制即”逢2進(jìn)1”,如表示二進(jìn)制數(shù),將它

11、轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是,那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是.(2)分組求和法:在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和. 典例:求（答:）(3)并項(xiàng)法求和:將數(shù)列的每兩項(xiàng)(或多項(xiàng))并到一起后,再求和,這種方法常適用于擺動數(shù)列的求和.典例:求（答:;先分奇偶性討論）(4)倒序相加法:將一個(gè)數(shù)列倒過來排序,它與原數(shù)列相加時(shí),若有公因式可提,并且剩余的項(xiàng)易于求和.(這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法).典例:已知,則(4)錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法). 典例:1)

12、設(shè)為等比數(shù)列,已知,.求數(shù)列的首項(xiàng)和公比;(答:,)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（答:）2)若,數(shù)列滿足.求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(答:略;)令,求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),并比較與的大小.(答:,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),<當(dāng)時(shí),>).(5)裂項(xiàng)相消法:如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有:;,;.典例:1)求和: ;2)在數(shù)列中,且S,則n 99 ;(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法:先對通項(xiàng)進(jìn)行變形,發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征,再運(yùn)用分組求和法求和.典例:1)求數(shù)列1×4,2×5,3×6,前項(xiàng)和=）;2)求和.8.“分期付款”、“森林木材”型

13、應(yīng)用問題(1)這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中,務(wù)必“卡手指”,細(xì)心計(jì)算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.(2)利率問題:單利問題:如零存整取儲蓄(單利)本利和計(jì)算模型:若每期存入本金元,每期利率為,則期后本利和為:.(等差數(shù)列問題);復(fù)利問題:按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型:若貸款(向銀行借款)元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分期還清.如果每期利率為(按復(fù)利),那么每期等額還款元應(yīng)滿足:(等比數(shù)列問題).典例:1)從2008年到2011年期間,甲每年6月1日都到銀行存入元的一年定期儲蓄.若年利率為保持不變,且每年到期的存款本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期,到2012年6月1日,甲去銀行不再存款,而是將每年所有的存款的本息全部取回,則取回的金額是( D )A. B. C. D.2)陳老師購買安居工程集資房,單價(jià)為1000元/,一次性國家財(cái)政補(bǔ)貼28800元,學(xué)校補(bǔ)貼14400元,余款由個(gè)人負(fù)擔(dān).房地產(chǎn)開發(fā)公司對教