一階線性常系數(shù)雙曲性方程的有限差分方法的研究

1、引言主要討論雙曲性方程及雙曲性方程組的差分方法。從簡(jiǎn)單的一屆線性雙曲型方程開始，構(gòu)造差分格式，分析其穩(wěn)定性及其他性質(zhì)，然后推廣到一屆線性雙曲性方程組。雙曲方程與橢圓方程，拋物方程的重要區(qū)別，是雙曲方程具有特征和特征關(guān)系，其解對(duì)初值有局部依賴性質(zhì)。初值的函數(shù)性質(zhì)（如間斷，弱間斷等）也沿特征傳播，因而解一般無(wú)光滑性，迄今已發(fā)展許多逼近雙曲方程的差分格式，這里只介紹常見(jiàn)的九種方法，討論了各種求解方法，分析了其性質(zhì)，最后對(duì)初邊值問(wèn)題及二維問(wèn)題進(jìn)行了討論。1一階線性常系數(shù)雙曲型方程先考慮線性常系數(shù)方程1a0,xR,t>0x(1.1)其中a為給定常數(shù)，這是最簡(jiǎn)單的雙曲型方程，一般稱其為對(duì)流方程。雖然

2、（1.1）式非常簡(jiǎn)單，但是其差分格式的構(gòu)造以及差分格式性質(zhì)的討論是討論復(fù)雜的雙曲型方程和方程組的基礎(chǔ)。它的差分格式可以推廣到變系數(shù)方程，方程組以及擬線性方程和方程組。對(duì)于方程（1.1）附以初始條件1u(x,0)=u0(x),xR(1.2)在第一章中討論了初值問(wèn)題（1.1）,（1.2）式的解，其解沿方程（1.1）的特征線1xat(1.3)是常數(shù)，并可表小為u（x,t）Uo（）Uo（xat）下面討論雙曲性方程的應(yīng)風(fēng)格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-wendrof格式,Courant-Friedrichs-Lewy條件利用偏微分方程的特征線來(lái)構(gòu)造有限差分格式，蛙跳格式，數(shù)值例子。1.1

3、迎風(fēng)格式迎風(fēng)格式在實(shí)際計(jì)算中引起了普遍的重視，從而產(chǎn)生了很多好的方法和技巧。迎風(fēng)各式的基本思想是簡(jiǎn)單的，就是在雙曲型方程中關(guān)于空間偏導(dǎo)數(shù)用在特征線方向一側(cè)的單邊差商來(lái)代替，（1.1）式的迎風(fēng)各式1是n1nujujnnujuj1aha>0(1.4)的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性：n1nujujnnujuj1ha>0uj12u213u32!t23!t3nuj（兩邊乘于a）,得hn1n2ujuju12u2t2!t213u3!t3nuj1/2/3u,1u,21u,：h2h3hx2!x3!t2!24h20h4111nnnujujujuj1ahu12u13u23070t2!t23!t32!0h4ua2!a

4、2u22!x23!3uh23hX所以T(Xj,tn)2!2!截?cái)嗾`差為迎風(fēng)格式對(duì) 一階精度，對(duì)h 一階精度.當(dāng)0,h0 時(shí) T(Xj,tn)下面討論迎風(fēng)格式（1.4）的穩(wěn)定性:先把差分格式變化為便于計(jì)算的形式n ujn ujnujnuj其中-網(wǎng)格式hnujnujnujnujn ujikjheikjheikjhikjhnikjveikjheikjheikjheikjhikh)？eikh,kikhaeikhcoskhsinkhcoskhasinkh1coskhaisinkhG,k2coskhsin2kh2acoskh2coskh22-2asinkh2acoskhsin2kh=122a1coskh2

5、coskh22.coskha22sinkh4a.2sinkh4a4a2,2khsin-2.2khsin22a2-2242a14a4a.2khsin2.2khsin-222a2224a4a.2khsin-22a22coskh2coskhcoskh21coskh2.2khsin一2當(dāng)a1時(shí)原差分格式是穩(wěn)定的。所以迎風(fēng)格式（1.4)理,迎風(fēng)格式的收斂性條件為迎風(fēng)格式1nuj1的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性:un1unn1nujujaunun1兩邊除于，得12u2!t23!t3是條件穩(wěn)定。根據(jù)Lax等價(jià)定(1.5)n1nujuj1_2_u2!t213u23!nuj1nuj12u2!3!h3丁h（兩邊乘于a）hnu

6、j1ahnuj所以截?cái)嗾`差為迎風(fēng)格式2!3!3uh23hx0h4n1ujnujnuj1nuj1_2u2!t2a3u3h2!x3x,t=12!2ut72!2uh2hxnujnuj1的穩(wěn)定性：將方程改變便于計(jì)算的形式:n1ujnujnuj1nujn1ujnujunun所以12a2a2a12anujeikjhvneikjheikjheikjhe,k,kcoskhcoskhcoskh1差分格式時(shí)（討論差分格式2a22a224a4a1.5)eikjheikjheikjhikhecoskh222a2anikjve_ikjhikhe?eikhcoskhcoskh2coskh2coskh2coskh22a22

7、coskh2a21coskh2a1nikjhvevneikjhsinkhaisinkh222asinkhcos2khcos2kh)a22coskh1coskhcoskh21coskh1coskh4a-(a1)sin是穩(wěn)定的2kh222asinkha22sin2khcoskh的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性解因?yàn)榻財(cái)嗾`所以T(x,t)所以差分格式的截?cái)嗾`差為n1nUjUjnnujuj1a!-hnUjnUjn1UjnUja一nUjunnUjnUj1uhxaua一x即差分格式是一階精度的。討論它的穩(wěn)定性：12U2j-F2!t212U2!h22!2!3!3!t313U3!t3h32u一2x3!0h43u-3xh20

8、h32ut23!3u-3x2!2u一2x3!3uhx203h3nUjnUj、士學(xué)位論文兀BACHELORSTHESIS先把差分格式n1nujujnujhnuj1-J-±0改寫為nujnujnujnuj1.7nujnikjhve并將其代入1.7時(shí)有eikjheikjhnikvenikjhve1eikjhvneikjhikheikh,kikhaaeikhacoskhisinkhacoskhaisinkhcoskhisinkh,k2coskh22sinkh4a2sin2sin2khkh4a22kh2sin22.4khsin2khcos一24a22khsin一22khcos一214asin2

9、kh22.4kh4asin222.4asin2kh12sin2獨(dú)24asin2kh4a22.4khsin4a22一khsin一24a2.4khsin一2由于a<0所以kh八取sin=02差分格式是絕對(duì)不穩(wěn)定的。4a4a4a.2khsin一2.2khsin一2(1,knauj8a24a21.2Lax-Friedrichs格式討論逼近對(duì)流方程（1.1）的一個(gè)中心差分格式nUj1a的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性Lax-Friedrichs格式的截?cái)嗾`差:2.4khsin一22一.2khsin一22kh、22s1n)sin4a2.2khsin一22kh2sin-2kh2nUj1nUj12h(1.8)1n1u

10、jnuj2!x2因?yàn)閚1ujn1nujujuax12!n1uj2ut2nuj13!nujnuj13!t3h314u4!nujnujnuj2hnujnujnuj1a1Ju2!t2nj12h3u3尸12u2!t213!nujnujnuj12!h23!t3h3o(h4)uhx23!h3h4（兩邊乘于2hnuj12h13!h2ut3u3x2!13!3ut33u3xh20h3nuuatxj所以T(x , t)12!2 u t213!3u-3xa 3u3!h20h2 .差分格式（1.8）的截?cái)嗾`差為討論（1.8）穩(wěn)定性先把差分格式（1.8）改寫為nuj 1nuj 1一a 2hnujn uj1)（其中ikj

11、hnuj并將其代入1.8則有eikjhvneikjhnikjveikjikhikhevn1vnG,kaikhikh1-ee21 -coskhisinkhcoskhisinkhvn22 a2isinkh31asinkh2G,k1a22sin2kh（sinkh0）所以G,k1差分格式（1.8）是絕對(duì)不穩(wěn)定的。'1.3Lax-Wendroff格式前面討論的應(yīng)風(fēng)格是和Lax-Friedrichs格式是一階精度白差分格式。1960年Lax-Friedrichs構(gòu)造出一個(gè)二階精度的二層格式，這個(gè)差分格式在實(shí)際計(jì)算中得到了充分的重視。這個(gè)格式的構(gòu)造與前面格式的推導(dǎo)有不同，采用Taylor級(jí)數(shù)展開之外

12、，還用到微分方程本身。設(shè)Xi ,tn處做Taylor展開ux,t是微分方程（1.1）的光滑解，將uXi，tn1在點(diǎn)Uxj,tn1Uxj,tn利用微分方程（1.1）有22ua2x把這兩式代入前式有uxj,tn1uxj,tna再采用中心差商逼近上式中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，有12huxjJuxj1,tn0h2因此得到1h7uxj1,tn2uxj,tnuxj,tn0h2uxj,tnxj,tnuxj1,tn1,tn0h22uxj2h2j1,tn2uxj,tnuxj1,tn2h2略去高階項(xiàng)，可以得到如下的差分格式n1nujujnujnuj22a2h2nuj2unnuj1(1.14)的截?cái)嗾`差和穩(wěn)定性截?cái)嗾`差：nujn

13、ujunun2h2un2unun1nujnujuhx2!h2h3nujnujuhx2!2u-2xh23!h3nujnuj2!h3h5nuj1nuj12un2!xh24!x2h40h6uxj,tn1uxj,tnh22u2x0h2u2hxj1,tnuxj1,tn0h22u2x1h7uxj1,tn2uxj,tnxj1,tn0h2uxj,tnxj,tnuxj1,tnuxj1,tn0h22u2h2xj1,tn2uxj,tnuxj1,tn02h2容易求出差分格式（1.14）的增長(zhǎng)因子為從差分格式的構(gòu)造可以看出稱為L(zhǎng)ax-Friedrichs格式（1.14）是二階精度的差分格式其節(jié)點(diǎn)分布差分格式（1.14）

14、G22.2kh.,k12aSiniasinkh2G|,2/.22/22.4kh,k14a221asin2于是，如果滿足條件a1那么有G,k1所以Lax-wendroff格式的穩(wěn)定Tt條件為（1.15）式1.4 Courant-Friedrichs-Lewy條件先分析差分格式的解依賴區(qū)域，然后從差分格式解的依賴區(qū)域和對(duì)流方程初值問(wèn)題解的依賴區(qū)域的關(guān)系推導(dǎo)出差分格式收斂的一個(gè)必要條件。這個(gè)條Courant-Friedrichs-Lewy條件或稱C,F,L條件，也又稱為Courant條件。為確定起見(jiàn)，令微分方程（1.1）中的常數(shù)a>0.差分格式采用Lax-wendroff格式作為例子進(jìn)行分析為

15、了計(jì)算U；,要用到u；un1,u；I；而為計(jì)算這3個(gè)值，又要用到u；2,u；2,u；2。如此遞推下去，為了計(jì)算u；,就要用到u0n,u0（；1）,，u0,u0（；1）,u0；見(jiàn)圖（3.4）這說(shuō)明計(jì)算u；僅依賴于微分方程（1.1）的初值（1.2）ux,0u。x在區(qū)間Xj；,Xj；1，上的網(wǎng)格點(diǎn)Xj；,Xj（；1），xj,xj（；1）,xj；上的值u。Xi,ij；,jj；1,j；稱區(qū)域Xj；,Xj；上所有網(wǎng)格點(diǎn)為差分格式的解在點(diǎn)p（Xj,t；）的依賴區(qū)域差分格式的解收斂到微分方程初值問(wèn)題的解的必要條件為DXjn,Xjn,即差分格式解的依賴區(qū)域端點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間必須包含相應(yīng)的偏微分方程初值問(wèn)題的依賴區(qū)域

16、。簡(jiǎn)單地說(shuō)，差分格式的依賴區(qū)域包含偏微分方程初值問(wèn)題的依賴區(qū)域。這個(gè)條件成為Courant-Friedrichs-Lriedrichs-Lewy條件。1.5 利用偏微分方程的特征線來(lái)構(gòu)造有限差分格式特征線概念在雙曲型方程中有很重要作用。借助于雙曲性方程的解在特征線上為常數(shù)這一事實(shí)，可以構(gòu)造出(1.1)式，(1.2)式的各種差分格式。為確定起見(jiàn)設(shè)在ttn時(shí)間層上網(wǎng)格點(diǎn)A,B,C和D上u的值已給定(已計(jì)算出的近似值或初值)。要計(jì)算出在ttn1時(shí)間層上的網(wǎng)格點(diǎn)p上的U值，見(jiàn)圖(1.5).假定C,F,L條件成立。那么過(guò)p點(diǎn)特征線與BC交于點(diǎn)Q由微分方程解的性質(zhì)知U(P)U(Q),但當(dāng)Q不是網(wǎng)格點(diǎn)時(shí)，u

17、(Q)是未知的由于u(A),u(B),u(C)和u(D)為ttn時(shí)間層上網(wǎng)格點(diǎn)上值已給定，因此可用插值方法給出u(Q)的近似值利用b,C兩點(diǎn)上的值進(jìn)行線性插值就可以得到u(P)u(Q)(1a)u(C)au(B)由此可推導(dǎo)出差分格式n1nnnujUjaujuj1其中h'這就是迎風(fēng)格式，如果改用B,D兩點(diǎn)進(jìn)行線性插值，則有u(p)u(Q)由此得到n11nuj2(1a)uj11 n(1a)uj12我們可以把此式改寫為n1nnauj1uj1uj1一222(1 a )u(D) 7(1 a)u(B)圖(1.5 )nnuj1uj1立即可以看出，這是Lax-Friedrichs格式.1.6蛙跳格式1卜

18、面考慮逼近對(duì)流方程1.1）的一個(gè)三層格式nnuj1uj1(1.18)a02h此格式的節(jié)點(diǎn)分布如圖（1.6）。這個(gè)差分格式稱為蛙條格式。容易看出這是一個(gè)二階精度的格式?？梢园眩?.18）式寫成便于計(jì)算的形成nUj1 nUjn na ujuj 1(1.18)其中在計(jì)算時(shí)，初值（）的離散處，還要用一個(gè)二層格式計(jì)算出 t.1那一層值uj ,由于（1.18）式比Lax-wendroff格式，Beam-warming格式要簡(jiǎn)單。卜面討論蛙條格式（1.18）的穩(wěn)定性:nuj1anuj12h(1.18)unnUjunununun2!3!04)等式兩邊除于2!3!2得:3!n1ujnujun2!2!unun.一

19、a等式兩邊乘上一2hnuj1a-2h3!unun12u2x3!3!3!3!3u3x3u3x3u3x0h5h2h3h30h40h40h4*士學(xué)位論文n1n1ujuj因?yàn)門(x,t)截?cái)嗾`差為:3!T(x,t)0(2h3!3!3!h2)nuj3u3x3!0h43u3x3!3!h23u-3x3!3u3xh2證畢.2hn1nnn、UjVja(UjiUjJn1nVUjJUu,vT,nuj用FoUrier方法eikjhnuj并將其代入上式就可得到增長(zhǎng)矩陣eikjhi(k1)jheikjhei(k1)jhvn1eikjheikjhikheikh)ikhikh、ne)v所以增長(zhǎng)矩陣為G,k2aisinkh110它的特征值為U1aisinkh1a22sin2khu2aisinkh1a22sin2kh如果、士學(xué)位論文BACHELORSTHESIS貝U有u1.21因此，當(dāng)a1時(shí)，如當(dāng)a1,那么,k那么1時(shí),k2aisinkh2i,k2i2i2i2i4i,k由此得出從而知，當(dāng)a1時(shí),k)2n蛙跳格式不穩(wěn)定.