二叉樹(shù)和三叉樹(shù)的期權(quán)定價(jià)方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七章 期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)和三叉樹(shù)方法 在這一章中，我們利用二叉樹(shù)和三叉樹(shù)方法為期權(quán)定價(jià)。在第2.1節(jié)中我們已經(jīng)介紹了利用基礎(chǔ)途徑的二叉樹(shù)方法解決期權(quán)價(jià)格不確定性的模型。二叉樹(shù)方法依賴(lài)于對(duì)相關(guān)隨機(jī)過(guò)程的離散化并利用計(jì)算和內(nèi)存的結(jié)合以滿足易于管理的要求。我們也在，我們必須把原來(lái)的單步格方法擴(kuò)展到多步格方法，但是我們必須校對(duì)格使它能夠反映出相關(guān)模型，且這個(gè)模型是連續(xù)時(shí)間、連續(xù)狀態(tài)的隨機(jī)微分方程。然后我們就可以推廣到多步的二叉樹(shù)格和三叉樹(shù)格。 在7.1節(jié)中，我們從如何利用在離散概率分布的時(shí)刻下隨機(jī)價(jià)格波動(dòng)校準(zhǔn)簡(jiǎn)單的二叉樹(shù)格。從這點(diǎn)來(lái)看，弄清楚網(wǎng)格技術(shù)和蒙特卡洛模擬之間的聯(lián)系是

2、非常重要的，而利用時(shí)刻匹配技術(shù)縮減方差可以看作一種快捷的抽樣排序。然后我們討論內(nèi)存效率的實(shí)現(xiàn)是如何設(shè)計(jì)的，美式期權(quán)定價(jià)是7.2節(jié)的主題。同時(shí)，還是要注重它和其他技術(shù)方法的聯(lián)系?，F(xiàn)在我們要做的本質(zhì)上是一個(gè)非常簡(jiǎn)單滿足動(dòng)態(tài)規(guī)劃原則的程序，我們將在第10章程序中進(jìn)一步拓展。在7.3節(jié)中，我們把上述方法推廣到雙標(biāo)的資產(chǎn)的情形，雖然這是一個(gè)最簡(jiǎn)單的情形，但是我們可以從這個(gè)情形中看出內(nèi)存控制是這一情形的基礎(chǔ)。另一種一般化的代表是三叉樹(shù)格方法，三叉樹(shù)格方法可以作為一種更普遍的有限差分方法（具體將在，最后，我們?cè)?.5節(jié)中具體討論網(wǎng)格化方法的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)。期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)和三叉樹(shù)格方法 圖7.1 單時(shí)期二叉樹(shù)格

3、7.1 二叉樹(shù)定價(jià)方法 在，我們已經(jīng)考慮過(guò)單步二叉樹(shù)方法在無(wú)套利情況下的期權(quán)定價(jià)，這里我們?yōu)榱朔奖阒苯永脠D7.1。其主要思想是復(fù)制兩個(gè)資產(chǎn)，一個(gè)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一個(gè)是相關(guān)股票。利用這兩項(xiàng)資產(chǎn)，我們可以通過(guò)它們的組合塑造任何收益率的資產(chǎn)。如果我們令和為任意兩個(gè)價(jià)格的角標(biāo)，我們可以看到期權(quán)的價(jià)格應(yīng)該為則， （7.1）在公式7.1中和是標(biāo)的資產(chǎn)在漲跌兩種情況的期權(quán)價(jià)格，是風(fēng)險(xiǎn)中性前提下相關(guān)資產(chǎn)升值的概率。為了尋找一個(gè)更好的不確定性模型，我們可以增加分類(lèi)的情況，復(fù)制期權(quán)收益，甚至我們可以使用更多的資產(chǎn)，或允許中間日期交易。第二種可能性更為實(shí)際，并且也是必不可少的，例如，對(duì)于在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)可以隨時(shí)執(zhí)

4、行的美式期權(quán)來(lái)說(shuō)。對(duì)其求極限，就會(huì)得到連續(xù)時(shí)間模型，并且其最后收斂于Blacksholes方程。當(dāng)Blacksholes方程沒(méi)有解析解的時(shí)候，我們必須采取一些離散化的途徑，比如說(shuō)可以通過(guò)蒙特卡洛模擬從而估計(jì)出風(fēng)險(xiǎn)中性條件下預(yù)期收益，或者建立一個(gè)自適應(yīng)網(wǎng)格的有限差分方法去解決相應(yīng)的PDE模型。就像我們?cè)趫D7.2中展示的一樣，多級(jí)二叉樹(shù)格方法就是一種可以選擇的離散化方法。我們也可以考慮利用樹(shù)圖，但是要注意使計(jì)算方法易于控制。二叉樹(shù)格定價(jià)圖7.2 新生成的二叉樹(shù)圖這里我們?yōu)榱朔奖懔?。雖然這個(gè)不是必須的，但是在后面我們可以看到，這個(gè)假設(shè)令模型簡(jiǎn)化了很多即每上一步緊接著下一步都會(huì)得到相同的初始價(jià)格。正如

5、我們從圖中看到的一樣，我們僅用了有限個(gè)價(jià)格步。這個(gè)有可能就是實(shí)施該方法的優(yōu)勢(shì)。但是，我們?cè)撛趺辞‘?dāng)?shù)拇_定和的值呢，我們應(yīng)該利用近似相關(guān)的連續(xù)過(guò)程去校對(duì)網(wǎng)格。二叉樹(shù)格方法應(yīng)該是風(fēng)險(xiǎn)中性過(guò)程一個(gè)良好的相似。因此，我們應(yīng)以這樣的方式參數(shù)設(shè)置晶格，即保持著連續(xù)時(shí)間模型的一些基本屬性，這一過(guò)程就叫做校準(zhǔn)。從開(kāi)始，經(jīng)過(guò)一個(gè)小的時(shí)間步，從2.5節(jié)我們可以看到新價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)變量，且利用對(duì)數(shù)正態(tài)對(duì)數(shù)分布的特性，我們得到 (7.2)和 （7.3）一個(gè)合理的要求是這些離散的動(dòng)態(tài)點(diǎn)必須和它們的時(shí)刻相匹配。要注意的是，我們只有兩個(gè)個(gè)等式，卻有3個(gè)參數(shù)，p,u和d,所以三個(gè)變量有一個(gè)為自由變量，我們令，這樣做是為了計(jì)算

6、簡(jiǎn)便，但不是必須的。在網(wǎng)格點(diǎn)上，我們有：，和（7.2）聯(lián)立得注意，是風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的概率，它不依賴(lài)于真實(shí)浮動(dòng)，為了和方差匹配，在晶格上我們看到從（7.3）中我們也可以看到把最后兩個(gè)等式聯(lián)立可得最終得到將帶入最后一個(gè)等式的右側(cè)，化簡(jiǎn)得最后我們得到這樣的等式其中，利用，可以轉(zhuǎn)化為二次方程：方程的一個(gè)跟為利用一階條件拓展，只受的影響，我們可以簡(jiǎn)化表達(dá)式，對(duì)平方根近似化簡(jiǎn)可得因此但是對(duì)于二階條件，我們對(duì)拓展，最終獲得參數(shù) ， ， ， （7.4）這就是著名的CRR公示這里強(qiáng)調(diào)一下：這個(gè)方法以及文獻(xiàn)中所用的參數(shù)都不是唯一的，例如我們可以取，經(jīng)計(jì)算可得：， ， 這就是杰諾-拉德參數(shù)，此外，我們一直在努力結(jié)束

7、涉及計(jì)算以及線性方程組的計(jì)算，通過(guò)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換的方法，我們盡量的避免這些困難。在以后，我們都將采用這個(gè)方法。 假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)是時(shí)間常數(shù)，我們所得的結(jié)果適用于整個(gè)晶格參數(shù)，為一個(gè)期權(quán)定價(jià)，我們需要對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)制定一個(gè)網(wǎng)格，然后從以往的時(shí)間倒推。事實(shí)上，期權(quán)價(jià)格在到期日的時(shí)候已經(jīng)知道了，那時(shí)已經(jīng)給出了期權(quán)的收益。因此，我們利用方程(7.1)按每一個(gè)時(shí)間步倒推遞歸，直到到達(dá)我們的初始節(jié)點(diǎn)。二叉樹(shù)格方法在歐式看漲期權(quán)得到最佳的應(yīng)用。例7.1假設(shè)我們假設(shè)為一個(gè)歐式看漲期權(quán)定價(jià)，存續(xù)期為5個(gè)月，利用B-S模型，我們知道結(jié)果是：如果我們想用二叉樹(shù)格方法逼近結(jié)果的話，我們首先就要定義格參數(shù)，假定每個(gè)時(shí)間步為一

8、個(gè)月，然后對(duì)股票價(jià)格產(chǎn)生的格和選項(xiàng)值顯示在圖7.3，在晶格的最右面是期權(quán)的價(jià)格，為了便于計(jì)算，讓我們考慮如何從最后一層至第二層逐層倒推：在遞歸后，我們看到，由此計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格大約為6.36，結(jié)果不太接近確切價(jià)格，一個(gè)更好的改進(jìn)近似就是縮小時(shí)間步長(zhǎng)。為了更好的在MATLAB中實(shí)現(xiàn)這一方法，我們需要一個(gè)向前倒推的代數(shù)式。令為在節(jié)點(diǎn)的期權(quán)的價(jià)值，其中j為第j個(gè)時(shí)期 ,i表示為在j時(shí)期內(nèi)上升了i。我們利用倒推思想，N是我們考慮的時(shí)間步，因此總共有N+1格，即整個(gè)期權(quán)存續(xù)期。在這樣的定義下，晶格點(diǎn)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格即為，在存續(xù)期內(nèi)，我們有： ， 時(shí)間逆推（下降時(shí)間標(biāo)j）,我們得到 （7.5）這些工作在MA

9、TLAB中生成非常簡(jiǎn)單，代碼在圖7.4給出，唯一要注意的一點(diǎn)是，矩陣索引在MATLAB中要從一開(kāi)始，這需要一個(gè)微小的調(diào)整。7.3 歐式看漲期權(quán)的二叉樹(shù)格function price, lattice = LatticeEurCall(SO,K,r,T,sigma,N) deltaT = T/N; u=exp(sigma * sqrt (deltaT) ; d=l/u; p=(exp(r*deltaT) - d)/(u-d) ; lattice = zeros(N+l,N+l); for i=O:N end for j=N-1 : -1 : 0 for i=O:j lattice(i+l,N+l

10、)=max(O , SO*(u-i)*(d-(N-i) - K); lattice(i+l,j+l) = exp(-r*deltaT) * . (p * lattice(i+2,j+2) + (1-p) * lattice(i+l,j+2); end end price = lattice(1,l) ;圖7.4 MATLAB代碼為歐式看漲期權(quán)定價(jià)歐式看漲期權(quán)接收到通常我們所定義的參數(shù)和在此情況下的時(shí)間步N，通過(guò)增加最后一個(gè)參數(shù)，我們得到了更為精確的價(jià)格（同一計(jì)算時(shí)間的增加）。 6.3595 6.1140更有趣的是探討二叉樹(shù)方法計(jì)算的價(jià)格如何收斂于正確價(jià)格的。我們可以通過(guò)圖7.5的代碼和圖7.6

11、的結(jié)果輸出來(lái)看出。在這種情況下，我們看到隨著時(shí)間步的增加的震蕩情況。我們剛才討論的執(zhí)行結(jié)果也有一些缺陷。首先，它使用的是一個(gè)大型的矩陣存儲(chǔ)格，但是其中近一半為空，我們把返回的整個(gè)存儲(chǔ)格作為一個(gè)輸出參數(shù)，這個(gè)也許對(duì)與之相關(guān)的圖7.3非常有用，但是可能在實(shí)際運(yùn)用中毫無(wú)作用，實(shí)際上為我們只需要連續(xù)的兩個(gè)存儲(chǔ)層存儲(chǔ)所需資料就能有所改善。在內(nèi)循環(huán)中，我們用貼現(xiàn)系數(shù)乘以時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，我們可以通過(guò)循環(huán)外計(jì)算節(jié)省時(shí)間。我們將努力在7.3節(jié)中進(jìn)行改進(jìn)，在下一節(jié)中，我們將把二叉樹(shù)方法運(yùn)用到其它非標(biāo)準(zhǔn)型期權(quán)定價(jià)中。C0mpLatticeBLS.m SO = 50; K = 50; r = 0.1; sigma

12、 = 0.4; T = 5/12; N=50 ; BlsC = blsprice (SO,K,r ,T, Sigma) ; LatticeC = zeros(1,N); for i=(l:N) end plot(l:N, ones(l,N)*BlsC); hold on; plot(l:N, LatticeC); Latt iceC (i) = Latt iceEurCal1 (SO, K , r , T, sigma, i)圖7.5 腳本檢查減少的二叉樹(shù)格的精確性圖7.6 二叉樹(shù)方法中精確價(jià)格和增加了時(shí)間步后相似價(jià)格的差距7.1.2 把倆者結(jié)合起來(lái)，為后付費(fèi)期權(quán)定價(jià)在這里，我們無(wú)紅利股票的付

13、費(fèi)后期權(quán) 這個(gè)例子是建立在（參考文獻(xiàn)5 第13章 練習(xí)11）。后付費(fèi)期權(quán)的特點(diǎn)是預(yù)先不支付擔(dān)保金，當(dāng)合約成立以后，將在以后支付。如果期權(quán)的存期滿后，則期權(quán)必須執(zhí)行，并歸還擔(dān)保金，否則期權(quán)就毫無(wú)價(jià)值可言，因?yàn)闆](méi)有擔(dān)保金。請(qǐng)注意，期權(quán)持有者的凈盈利可以是負(fù)數(shù)，當(dāng)期權(quán)的收益小于擔(dān)保金的時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)凈盈利為負(fù)。在無(wú)套利的情況下，如果凈回報(bào)總是為負(fù)，我們不能擁有一份在時(shí)刻價(jià)值為0的合約，我們?cè)趺礃硬拍苷业焦降膿?dān)保金價(jià)值呢？給出一個(gè)擔(dān)保金為，則回報(bào)是：對(duì)于每一個(gè)給定的價(jià)格，我們都可以利用二叉樹(shù)方法算出期權(quán)價(jià)格，現(xiàn)在我們必須尋找到一個(gè)值，使得在風(fēng)險(xiǎn)中性的前提下，于相關(guān)的期望回報(bào)為0：注意這里的貼現(xiàn)因子，因

14、為利率是恒定的，因此貼現(xiàn)因子并沒(méi)有任何作用。為了解決這個(gè)含的方程，我們對(duì)晶格利用二分法解決非線性方程組（見(jiàn)，我們建立一個(gè)函數(shù)對(duì)給定條件下的期望進(jìn)行估計(jì)；MATLAB代碼在圖7.7中給出。讓我們考慮一個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)為股票的期權(quán)，股票的價(jià)格為12美元，波動(dòng)率為20%；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%；執(zhí)行價(jià)格為14美元；存續(xù)期為10個(gè)月。我們用二叉樹(shù)方法為其定價(jià)，取時(shí)間步長(zhǎng)為一個(gè)月，所以總共有10個(gè)時(shí)間步。當(dāng)給定的時(shí)候，我們可以建立匿名函數(shù)返回貼現(xiàn)后的回報(bào)。然后我們利用二分法，以fzero為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行探討。f = (PI Lll(P,12,14,0.1, 0.2, 10/12, 10) f = (P) Lll(P,

15、l2,14,0.1, 0.2, 10/12, 10) fzero(f ,2) ans 2.0432exercise 11 chapter 13 from Luenberger, Investment Science % exercise 11, chapter 13, from Luenberger, Investment Sciencefunction ExpPayoff = L11(premium,S0,K,r,sigma,T,N)deltaT = T/N;u=exp(sigma * sqrt(deltaT);d=1/u;p=(exp(r*deltaT) - d)/(u-d);lattic

16、e = zeros(N+1,N+1);for i=0:N if (S0*(ui)*(d(N-i) = K) lattice(i+1,N+1)=S0*(ui)*(d(N-i) - K - premium; endendfor j=N-1:-1:0 for i=0:j lattice(i+1,j+1) = p * lattice(i+2,j+2) + (1-p) * lattice(i+1,j+2); endendExpPayoff = lattice(1,1);圖7.7 用二叉樹(shù)方法為后支付期權(quán)定價(jià)的MATLAB代碼7.1.3 二叉樹(shù)方法的一個(gè)執(zhí)行改進(jìn)我們?cè)瓉?lái)使用過(guò)的改進(jìn)后的二叉樹(shù)方法現(xiàn)在也可以

17、改進(jìn)了（從CPU運(yùn)行時(shí)間和內(nèi)存要求上）。首先，循環(huán)中沒(méi)有必要重復(fù)計(jì)算貼現(xiàn)的概率，我們可以乘以貼現(xiàn)因子和概率一次來(lái)計(jì)算。此外，我們可以看到，隨著對(duì)二叉樹(shù)晶格的校準(zhǔn)，即令ud=1，我們可以使用向量而不是二維矩陣來(lái)記憶資產(chǎn)價(jià)格從而節(jié)約存儲(chǔ)。例如在圖7.3中，我們看到只有11個(gè)不同的值用于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。用此種格校準(zhǔn)，如果有N個(gè)時(shí)間步，則我們就有了2N+1個(gè)不同的價(jià)格。因此，他們可以存儲(chǔ)在單一列中，可以節(jié)省相當(dāng)大的存儲(chǔ)空間。如果我們需要1000步來(lái)準(zhǔn)確估計(jì)，那么1000*1000的矩陣就和2001項(xiàng)的向量有了很大的差距。一個(gè)可行性方案存儲(chǔ)價(jià)格的方法可以見(jiàn)圖7.8。這些數(shù)字如圖所示是在矢量的位置。1是存儲(chǔ)

18、中的最小值，造成步驟序列是下跌序列。我們可以看到奇數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的是最后一層，偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的是倒數(shù)第二層。在格上是奇數(shù)還是偶數(shù)取決于時(shí)間步。圖7.8 節(jié)省存儲(chǔ)的二叉樹(shù)格 同樣方法可以用來(lái)存儲(chǔ)期權(quán)價(jià)值。原則上，我們應(yīng)該使用倆個(gè)向量對(duì)應(yīng)時(shí)間的連續(xù)倆個(gè)層。但是，我們可以利用讓偶數(shù)的元素一層，奇數(shù)的元素另一層，這樣就可以使用含有2N+1個(gè)元素的向量了。由此產(chǎn)生的代碼可以看圖7.9。下面是我們上述工作的一些評(píng)論。 *我們預(yù)先計(jì)算的，包括貼現(xiàn)概率等等的數(shù)量不變（在代碼第一部分）。 *當(dāng)我們編寫(xiě)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的載體SVals時(shí)，我們從最小的元素開(kāi)始，即；然后乘以u(píng);為了更好的準(zhǔn)確性，最好把存到中間元素SVals（N+

19、1）中，然后繼續(xù)正推或者倒推。 *注意的是我們?cè)谂c調(diào)用值（通過(guò)索引）計(jì)算的時(shí)候分為2步，其數(shù)額為交替奇數(shù)和偶數(shù)索引值連續(xù)對(duì)應(yīng)層。 *當(dāng)?shù)狡跁r(shí)間為T(mén)的時(shí)候，我們只須考慮CVals數(shù)組中的2（N-T）+1個(gè)核心元素。期權(quán)的價(jià)格是儲(chǔ)存在格中的，它對(duì)應(yīng)的是與之相對(duì)應(yīng)的格位置。我們可以檢查一下一個(gè)計(jì)算上更有效率的版本。blsprice(50,50,0.1,5/12,0.4) ans = function price = SmartEurLattice(S0,K,r,T,sigma,N)% Precompute invariant quantitiesdeltaT = T/N;u=exp(sigma *

20、sqrt(deltaT);d=1/u;p=(exp(r*deltaT) - d)/(u-d);discount = exp(-r*deltaT);p_u = discount*p;p_d = discount*(1-p);% set up S valuesSVals = zeros(2*N+1,1);SVals(1) = S0*dN;for i=2:2*N+1 SVals(i) = u*SVals(i-1);end% set up terminal CALL valuesCVals = zeros(2*N+1,1);for i=1:2:2*N+1 CVals(i) = max(SVals(i)

21、-K,0);end% work backwardsfor tau=1:N for i= (tau+1):2:(2*N+1-tau) CVals(i) = p_u*CVals(i+1) + p_d*CVals(i-1); endendprice = CVals(N+1);SVals(i) = u*SVals(i-l); CVals(i) = max(SVals(i)-K,O) ; for i= (tau+l):2: (2*N+l-tau) end CVals(i) = p-u*CVals(i+l) + p-d*CVals(i-l) ; end price = CVals(N+l);6.1165

22、tic,LatticeEurCa11(50,50,0.1,5/12,0.4,2000,toc)ans = 6.1159 Elapsed time is 0. seconds. tic,SmartEurLattice(50,50,0.1,5/12,0.4,2000),toc ans = 6.1159 Elapsed time is 0. seconds.圖7.9 歐式看漲期權(quán)二叉樹(shù)方法的改進(jìn)代碼 我們可以通過(guò)矢量代碼尋求進(jìn)一步的改善，或者采取不同的方法。我們不會(huì)追求這樣的方法以避免模糊的代碼，但是我們把握容易的方法以尋求進(jìn)一步改進(jìn)。也許在節(jié)省CPU處理時(shí)間上效果并不明顯，但是當(dāng)處理多維期權(quán)定價(jià)的

23、時(shí)候?qū)?nèi)存的節(jié)省就顯得非常必要。7.2 用二叉樹(shù)方法對(duì)美式期權(quán)定價(jià) 利用二叉樹(shù)技術(shù)為美式期權(quán)定價(jià)我們已經(jīng)在上一節(jié)講過(guò)，是相當(dāng)簡(jiǎn)單的。唯一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是如何解釋早期的運(yùn)動(dòng) 相對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)我們不敢興趣，因?yàn)槲覀兛梢宰C明，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行時(shí)沒(méi)有意義的，除非在期權(quán)存續(xù)期內(nèi)存在股息支付。在這里，我們解決的是標(biāo)的資產(chǎn)為無(wú)紅利支付股票的普通美式看跌期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。考慮在最后一個(gè)晶格層的點(diǎn)（1,N）。如果期權(quán)獲利，這顯然是最佳的執(zhí)行點(diǎn)。因此，在最后一層我們有：是該節(jié)點(diǎn)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格?，F(xiàn)在我們考慮一個(gè)在倒數(shù)第二層的點(diǎn)。如果期權(quán)沒(méi)有獲利即，我們就不執(zhí)行。如果期權(quán)已經(jīng)盈利，我們就想知道是現(xiàn)在立即執(zhí)行好，還是將來(lái)

24、在某個(gè)機(jī)會(huì)執(zhí)行獲取更大的收益更好。換句話說(shuō)，我們必須解決一個(gè)最優(yōu)停止問(wèn)題，在每個(gè)時(shí)間步上，我們必須觀察這個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，從而決定是否應(yīng)該立即執(zhí)行，以保持現(xiàn)有收益，或者繼續(xù)存有期權(quán)。解決這個(gè)問(wèn)題有個(gè)簡(jiǎn)單的方法，就是通過(guò)比較直接的回報(bào)（期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值）和繼續(xù)持有的價(jià)值。如果我們繼續(xù)持有資產(chǎn)，我們擁有的資產(chǎn)價(jià)值為：（備注：相應(yīng)的看漲期權(quán)我們不感興趣，因?yàn)榭梢宰C明，提前執(zhí)行是從來(lái)沒(méi)有最優(yōu)選擇的，除非股息在期權(quán)的存續(xù)期支付。）這里和都是風(fēng)險(xiǎn)中性概率，我們應(yīng)該執(zhí)行，如果內(nèi)在價(jià)值大于繼續(xù)持有的價(jià)值。因此期權(quán)在從第二到最后一層節(jié)點(diǎn)上的價(jià)值為同樣的事情會(huì)在任意層的遞歸過(guò)程中發(fā)生。這意味著，我們應(yīng)該從最后一層開(kāi)始，在

25、那里期權(quán)的價(jià)值就是期權(quán)的收益。然后我們應(yīng)該對(duì)時(shí)間倒推通過(guò)對(duì)通常期望稍加修改的方程（7.5） （7.6）這種想法看似簡(jiǎn)單，但它是一個(gè)所謂動(dòng)態(tài)規(guī)劃原則的普遍運(yùn)用。我們將會(huì)在第10章看到動(dòng)態(tài)規(guī)劃原則在理論上多么的有效，但是有時(shí)卻由于”維數(shù)災(zāi)”而很難運(yùn)用。在二叉樹(shù)格中，我們使用了一個(gè)對(duì)相關(guān)隨機(jī)過(guò)程的簡(jiǎn)單離散化，動(dòng)態(tài)規(guī)劃看起來(lái)微不足道。事實(shí)上，我們的推理有些誤導(dǎo)，因?yàn)槲覀円呀?jīng)采取了期權(quán)持有的觀點(diǎn)是愿意行使其期權(quán)的最佳狀態(tài)。但我們要問(wèn)為什么我們只注重預(yù)期價(jià)值，而忽略風(fēng)險(xiǎn)厭惡。一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碛善鋵?shí)沒(méi)那么簡(jiǎn)單，它應(yīng)該包括無(wú)套利理論和期權(quán)賣(mài)方應(yīng)該也關(guān)系他最糟糕的情況，就是期權(quán)持有人最優(yōu)化執(zhí)行他的期權(quán)。撇開(kāi)理論的問(wèn)

26、題，其實(shí)很容易采用我們已經(jīng)做出來(lái)的歐式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)。結(jié)果代碼顯示在圖7.10.我們以不同的方式輕微初始化晶格，但唯一顯著的變化就是后面的時(shí)間步長(zhǎng)，我們比較了持有價(jià)值和內(nèi)在價(jià)值。金融工具箱為我們提供了一個(gè)binprice函數(shù)，利用該函數(shù)可以給普通美式看漲和看跌期權(quán)定價(jià)且允許連續(xù)紅利。我們可以通過(guò)比較美式看跌期權(quán)格定價(jià)和binprice去檢驗(yàn)我們的實(shí)現(xiàn)： SO = 50; K = 50; r = 0 . 0 5 ; T = 5/12; sigma = 0.4; N = 1000; price = AmPut Lattice (SO, K, r , T , sigma, N) price

27、= p, 01 = binprice(SO,K,r,T,T/N,sigma,O); 4.6739 416 OPTION PRICING BY BINOMIAL AND TRINOMIAL LATTICESfunction price = AmPutLattice(SO,K,r,T,sigma,N) % Precompute invariant quantities deltaT = T/N; u=exp(sigma * sqrt(de1taT) ; d=l/u; p=(exp(r*deltaT) - d)/(u-d) ; discount = exp(-r*deltaT); p-u = dis

28、count*p; p-d = discount*(l-p) ; % set up S values SVals = zeros (2*N+1,1 ; SVals(N+l) = SO; for i=l:N SVals(N+l+i) = u*SVals(N+i); SVals (N+l-i) = d*SVals (N+2-i) ; end % set up terminal values PVals = zeros (2*N+1,1) ; for i=1:2:2*N+1 end % work backwards for tau=l:N PVals(i) = max(K-SVals(i) ,O) ;

29、 for i= (tau+l) :2: (2*N+l-tau) hold = p-u*PVals(i+l) + p-d*PVals(i-l); PVals(i) = max(hold, K-SVals(i); end end price = PVals(N+l);圖7.10 二叉樹(shù)方法為美式看跌期權(quán)定價(jià)的matlab代碼。 o ( l , l ) ans = 4.6739該函數(shù)binprice需要一個(gè)標(biāo)志，表明如果選擇看跌（標(biāo)志設(shè)置為0）或選擇看漲（標(biāo)志設(shè)置為1）。此條件為上面條件的一個(gè)快速反應(yīng)。這里計(jì)算函數(shù)binprice需要期權(quán)的存續(xù)期T和時(shí)間步長(zhǎng)，令。我們忽略了可用于分紅比例的期權(quán)參數(shù)。

30、輸出的binprice是倆個(gè)價(jià)格，一個(gè)是標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，一個(gè)是期權(quán)的價(jià)值；重要的一點(diǎn)是當(dāng)時(shí)間步很小的時(shí)候，利用分號(hào)控制屏幕上的輸出。7.3 利用二叉樹(shù)方法為雙標(biāo)的期權(quán)定價(jià)為了說(shuō)明晶格技術(shù)擴(kuò)展到多維期權(quán)，這里我們考慮兩種資產(chǎn)的美式利差期權(quán)。這種期權(quán)的回報(bào)為：基本方法可以推廣到許多種期權(quán)，但是不包括強(qiáng)依賴(lài)路徑的期權(quán)。為了進(jìn)一步推廣，我們也考慮持續(xù)股息收益率和。其實(shí)我們并沒(méi)有對(duì)問(wèn)題進(jìn)行很大的改變，因?yàn)槲覀冎皇钦{(diào)整了風(fēng)險(xiǎn)中性的動(dòng)態(tài)，這里我們關(guān)于它的方程（2.42）。這里兩個(gè)維納過(guò)程是相互關(guān)聯(lián)的，且（見(jiàn)為了避免我們?cè)谛?zhǔn)過(guò)程中涉及到非線性問(wèn)題所遇到的困難，我們對(duì)資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理。令 ，利用伊藤引理

31、，我們得到兩個(gè)隨機(jī)微分方程：這里現(xiàn)在，作為典型的二叉樹(shù)格，我們假設(shè)這兩個(gè)資產(chǎn)上升或者下降在價(jià)格方面的對(duì)數(shù)數(shù)額為，校準(zhǔn)格。我們對(duì)一 ,二階的距進(jìn)行匹配。這兩只股票可能上行或者低走。因此每個(gè)節(jié)點(diǎn)有4個(gè)數(shù)值和4個(gè)概率，。我們首先需要一個(gè)關(guān)于增量預(yù)期的匹配條件：這里我們要區(qū)別隨機(jī)變量和他們的現(xiàn)值。然后我們需要一個(gè)相似的二階條件： ，這里我們用到了常用恒等式，我們也忽略了高階無(wú)窮小的。當(dāng)概率趨近于1的時(shí)候，這些方程將被極大的簡(jiǎn)化：， 我們還應(yīng)該說(shuō)明協(xié)方差，以及與它等價(jià)的交叉向量：現(xiàn)在我們對(duì)4個(gè)未知概率有4個(gè)等式：這些方程可以通過(guò)反轉(zhuǎn)矩陣解決，或者通過(guò)適當(dāng)?shù)木€性方程組組合。得出：這些條件有個(gè)直觀的解釋。就

32、是當(dāng)相對(duì)波動(dòng)較大的時(shí)候，與其正相關(guān)的概率也跳躍較大。例如在向上浮動(dòng)，向下浮動(dòng)的概率下，即成為一個(gè)負(fù)標(biāo)志（即向上浮動(dòng)越大，就越向下跳），并呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，使得這一聯(lián)動(dòng)成為可能，類(lèi)似的考慮也適合于p， d ，u 。即當(dāng)p，d，u越小，正相關(guān)的浮動(dòng)就越大。二叉樹(shù)格方法的需要仔細(xì)的內(nèi)存管理控制，因?yàn)槲覀儾荒茈S意的存儲(chǔ)一個(gè)多維矩陣。由于上線倆個(gè)資產(chǎn)的浮動(dòng)的絕對(duì)值是相同的，我們就可以利用我在已在，在二叉樹(shù)方法中，我們運(yùn)用的是價(jià)格，不是價(jià)格的對(duì)數(shù)。因此，上升的價(jià)格為：這里。概率的百分號(hào)在主循環(huán)之外。兩個(gè)相關(guān)資產(chǎn)的價(jià)值存儲(chǔ)在兩個(gè)向量S1val和S2vals，這個(gè)定價(jià)的方法完全相似于對(duì)普通期權(quán)的定價(jià)。期權(quán)的價(jià)格將

33、存儲(chǔ)于二叉樹(shù)格矩陣中，這個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)期權(quán)收益的初始化，這里令i指資產(chǎn)1，j指資產(chǎn)2。我們可以用兩個(gè)連續(xù)的一次矩陣，因此奇數(shù)層和偶數(shù)層都是連續(xù)層且交替使用。因?yàn)檫@是一個(gè)美式期權(quán)，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性的前提下計(jì)算出來(lái)的繼續(xù)持有的價(jià)值要和與期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值進(jìn)行比較。為了檢測(cè)執(zhí)行的具體情況，我們用下面這個(gè)例子 該例子引用于（藏考文獻(xiàn)一 p47-51） s10 = 100; s20 = 100; K = 1; r = 0 . 0 6 ; sigmal = 0.2; sigma2 = 0.3; rho = 0.5; q l = 0.03; q2 = 0.04; AmSpreadLattice (S10 ,S20 ,

34、K,r ,T, sigmal , sigma2,rho ,ql .q2,N) T = 1; N = 3 ; ans = 10.0448function price = AmSpreadLattice 610, S20 ,K ,r ,T, sigma1 , sigma2 ,rho ,ql, q2, N) 1 Precompute invariant quantities deltaT = T/N; nu1 = r - ql - 0.5*sigmal-2; nu2 = r - q2 - 0.5*sigma2-2; ul = exp(sigmal*sqrt(deltaT) ; dl = l / u

35、l ; u2 = exp(sigma2*sqrt(deltaT); d2 = l/u2; discount = exp(-r*deltaT) ; p-uu = discount*O.25*(1 + sqrt(deltaT)*(nul/sigmal + nu2/sigma2) + rho); p-ud = discount*O.25*(1 + sqrt(deltaT)*(nul/sigmal - nu2/sigma2) - rho); p-du = discount*0.25*(1 + sqrt(deltaT)*(-nul/sigmal + nu2/sigma2) - rho); p-dd =

36、discount*O.25*(1 + sqrt(deltaT)*(-nul/sigmal - nu2/sigma2) + rho); % set up S values Slvals = zeros(2*N+l,l); S2vals = zeros(2*N+1,1) ; Slvals(1) = SlO*dl-N; S2vals(l) = S20*d2-N; for i=2:2*N+1 Slvals(i) = ul*Slvals(i-l) ; S2vals(i) = u2*S2vals(i-l) ; end % set up terminal values Cvals = zeros(2*N+1

37、,2*N+i); for i=1:2:2*N+1 for j=1: 2 : 2*N+1 end end % roll back for tau= 1 : N Cvals(i, j) = max(Slvals(i)-S2vals(j)-K,O); for i= (tau+l) :2: (2*N+l-tau) for j= (tau+l) :2: (2*N+l-tau) hold = p-uu * Cvals(i+l,j+l) + p-ud * Cvals(i+l,j-1) + . p-du * Cvals(i-l,j+l) + p-dd * Cvals(i-1,j-1); Cvals(i,j)

38、= max(ho1d. Slvals(i) - S2vals(j) - K); end end end price = Cvals(N+l,N+l);圖7.11 利用二叉樹(shù)方法給美式利差期權(quán)定價(jià)的matlab代碼 顯然，三個(gè)步驟是不夠獲得可以接受的近似結(jié)果的，但是通過(guò)層與層檢查，并通過(guò)這個(gè)例子了解矩陣Cvals管理存儲(chǔ)格。在matlab中，我們可以逐步調(diào)試，就可以顯示我們得到的基本信息。最初的晶格是為清晰度準(zhǔn)備的，我們用一個(gè)星號(hào)標(biāo)記其中無(wú)關(guān)的數(shù)據(jù)（當(dāng)顯示與調(diào)試你會(huì)看到一些數(shù)字有Cvals）:經(jīng)過(guò)一次循環(huán)，一次次逼近結(jié)果，相關(guān)數(shù)據(jù)是：請(qǐng)注意，新的價(jià)值是作為臨近4個(gè)值的平均值獲得的，其中存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)

39、在下一時(shí)間層，然后回到一個(gè)步驟，我們有：格中最后的結(jié)果為：我們可以看到，我們正在處理一個(gè)金字塔結(jié)構(gòu)的遞歸排序工作，我們經(jīng)歷了一個(gè)比較小的可以接受的內(nèi)存浪費(fèi)。圖7.12單時(shí)段三叉樹(shù)7.4 三叉樹(shù)方法定價(jià)在二叉樹(shù)上衍生三叉樹(shù)想法是十分自然的。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)下節(jié)點(diǎn)，即價(jià)格向上，向下和保持不變（這只是一種可能的選擇）。晶格的校準(zhǔn)以這樣一種方式以便重組和匹配基本連續(xù)隨機(jī)變量的前兩個(gè)時(shí)刻。增加的新自由度，可用于改善銜接或提出額外條件。這種方法的最大作用是對(duì)障礙期權(quán)，我們可以在晶格中求障礙值。這里非常方便的處理隨機(jī)微分過(guò)程。經(jīng)過(guò)一個(gè)小的時(shí)間步，我們有3個(gè)方向移動(dòng)，相對(duì)應(yīng)的價(jià)格對(duì)數(shù)增量形式為,0, 三種，與之

40、相應(yīng)的價(jià)格本身的乘法。這三種等價(jià)的方向?qū)?yīng)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率為,和。樹(shù)圖的結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖7.12。這里給出一般方程： ，這里，我們寫(xiě)出這時(shí)刻相對(duì)應(yīng)的方程為：求解得：圖7.12 單步三叉樹(shù)圖7.13 三叉樹(shù)方法的全例 我們看到更多的自由度來(lái)決定。事實(shí)上，這證明了我們可以獨(dú)立的選擇和。通常我們?nèi)　＿@種關(guān)系在我們處理有限差分的時(shí)候非常好用。我們也應(yīng)該注意到，一個(gè)隨意的取值會(huì)導(dǎo)致負(fù)的概率。作為一個(gè)例子，我們考慮給一個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)為無(wú)紅利支付股票的偶是看漲期權(quán)定價(jià)：，,以及。如果我們建一個(gè)的三叉樹(shù)格，我們得到圖7.13，這里：， ， 實(shí)現(xiàn)這一三叉樹(shù)算法的MATLAB代碼見(jiàn)圖7.14.像往常一樣，概率的百分比不計(jì)入主循

41、環(huán)。這里我們有個(gè)觀察數(shù)據(jù)是必需的，不像二叉樹(shù)，我們必須儲(chǔ)存?zhèn)z個(gè)連續(xù)的時(shí)間層，因?yàn)樵谄鏀?shù)列和偶數(shù)列之間沒(méi)有互換。從此，我們使用的是兩列數(shù)組有2n + 1行，其中的列的作用可能在現(xiàn)在或?qū)?lái)。我們利用增量模2交換的作用兩個(gè)層次：是由變量索引了解和kthen，對(duì)值1和2交替。下面是改進(jìn)后格計(jì)算： S O =100 ; K=100; r=0.06; T = l ; sigma=0.3; deltaX = 0.2; EuCallTrinomial(SO,K,r,T,sigma,N,deltaX) ans = N=3; 14.6494function price = EuCallTrinomial(SO,K

42、,r,T,sigma,N,deltaX) % Precompute invariant quantities deltaT = T/N; nu = r - 0.5*sigma-2; discount = exp(-r*deltaT) ; p-u = discount*0.5*(sigma2*deltaT+nu2*deltaT-2)/deltaX2 + . nu*deltaT/deltaX) ; p-rn = discount*(l - (sigma2*deltaT+nu2*deltaT-2)/deltaX-2); p-d = discount*0.5*(sigma2*deltaT+nu2*de

43、ltaT2)/deltaX2 - . . . % set up S values (at maturity) Svals = zeros(2*N+l, 1) ; Svals(1) = SO*exp(-N*deltaX); exp-dX = exp(de1taX); for j=2: 2*N+1 Svals(j) = exp-dX*Svals(j-1) ; end % set up lattice and terminal values Cvals = zeros(2*N+1,2); t = mod(N,2)+1; for j=1:2*N+1 end for t=N-1 : -1 : 0 ; n

44、u*delt aT/delt ax) ; Cvals(j ,t) = rnax(Svals(j)-K,O); know = mod(t.2)+1; knext = mod(t+l,2)+1; for j = N-t+l:N+t+l Cvals(j ,know) = p-d*Cvals(j-l,knext)+p-m*Cvals(j,knext)+. . . p-u*Cvals(j+l,knext); end end price = Cvals(N+1,1);圖7.14 利用三叉樹(shù)為歐式看漲期權(quán)定價(jià)的MATLAB代碼我們注意到對(duì)的選擇是為了方便應(yīng)用。如下看到的經(jīng)驗(yàn)法則有一定的道理： blspr ice (SO, K , r , T, sigma) ans = 14.7171 N=100; deltaX = 0.2; EuCallTrinomial(SO,K,r,T,sigma,N,delta)() ans = 14.071