數(shù)學(xué)建模配送中心選址

1、配送中心選址摘 要本文針對配送中心的選址問題進行了研究。在設(shè)計配送中心選址問題方案時，所追求的目標(biāo)應(yīng)該是總費用最小，因此應(yīng)該建立優(yōu)化模型來解決。遵循從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般，循序漸進，逐步貼近實際情況的策略進行建模。針對問題（ 1），先對 92 個城市的位置進行繪圖分析 ,進而在 92 個城市之間建立最短路模型 ,將最短路和該省標(biāo)號前 20 位的城市的產(chǎn)品銷售量結(jié)合 ,求解出配送中心建立在各個城市中對前 20 位城市的運輸成本 ,得到成本由高到低的排序 ,最終可得建立在 35 號城市 ,運輸成本最低。針對問題（ 2），本問題針對配送中心的選址問題進行了線性規(guī)劃，對第 j 個直銷中心歸不歸第

2、i 個配送中心配送進行了 0-1 規(guī)劃，結(jié)合問題一的最短路模型， 確定問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，運用 Lingo 軟件對該模型進行求解，得到了成本最小的 5 年產(chǎn)品配送計劃，即應(yīng)在該省建立 3 個配送中心，分別建在第 8 個城市、第 11 個城市和第 69 個城市，得到的成本最小為 254.033 萬元。針對問題（3），在第二問的模型上進行了改變， 引入是否在該城市建立直銷中心的 0-1 變量，得到目標(biāo)函數(shù)為求得最大利潤，運用 Lingo 軟件對該目標(biāo)函數(shù)進行了求解，得到最終結(jié)果為：只有在第 9 個城市、第 70 個城市和第 88 個城市建立 3 個配送中心，在第 6、7、8、9、16、37、

3、45；2、3、17、 66、68、70、74；20、 83、86、88、 90、91 城市建立直銷中心，取得的利潤最大為 608.6152 萬元。針對問題（ 4），依據(jù)圖 1 劃分為兩個區(qū)域，以62-4-39-38 的公路為邊界，左邊的為一個地區(qū)，右邊的為一個地區(qū)。對不同的地區(qū)分別求解最低成本，最終得到最佳的 5 年產(chǎn)品銷售、配送計劃。結(jié)果為：第一個地區(qū)在 21、25 城市建設(shè) 2 個配送中心，在 12、13、21、22、23、 23、25 城市設(shè)立直銷中心；第二個地區(qū)在 16、 53、57 城市建設(shè)配送中心，在 5、6、16、49、 50、51、 52、53、56、 57、58、59、 61

4、 城市設(shè)立直銷中心。最后，對所建模型的特點進行了評價，對模型的應(yīng)用范圍進行了推廣本文使用 MATLAB軟件和 LINGO軟件計算。關(guān)鍵詞：Floyd 算法 線性規(guī)劃 (0-1 規(guī)劃 ) 配送中心選址 最短路模型純整數(shù)線性規(guī)劃1 問題重述某省共有 92 個城市，城市位置、標(biāo)號，公路交通網(wǎng)數(shù)據(jù)見附件1。某企業(yè)在該省標(biāo)號前 20 位的城市建立了直銷中心，各直銷中心負責(zé)所在城市的銷售，銷售量見附件 1。該企業(yè)欲在該省設(shè)立一個配送中心負責(zé)給直銷中心配送產(chǎn)品，配送中心建設(shè)成本為 30 萬元。每噸公里運費 2 元，每噸產(chǎn)品的銷售利潤為 300 元。試建立數(shù)學(xué)模型分析研究下面的問題：（1）為了降低運輸成本，配

5、送中心應(yīng)選在哪個城市？（2）請為該企業(yè)制定一個成本最小的 5 年產(chǎn)品配送計劃：應(yīng)設(shè)立幾個配送中心、各設(shè)在何處？（3）如果該企業(yè)考慮重新為 20 個直銷中心選址，請給出最佳的 5 年產(chǎn)品銷售、配送計劃。潘夏霖 3（4）假定沒有直銷中心城市的客戶按就近的原則購買產(chǎn)品，請重新考慮問題（3）。2問題分析2.1 研究現(xiàn)狀綜述隋崴崴等 1 在對物流配送中心選址問題進行理論綜述和分析的基礎(chǔ)上 ,以綜合運輸成本最低為基本約束條件構(gòu)建了選址的數(shù)學(xué)模型 ,并通過啟發(fā)式算法求得了模型的最優(yōu)解 ,得出了各工廠對各物流配送中心以及物流配送中心到各貨物配送需求點的最佳配送數(shù)量 ,并通過一個實例對模型進行驗證和分析 ,結(jié)果

6、證明該模型和算法可以有效優(yōu)化物流系統(tǒng)的運作和提高運行效益。李婷婷等 2 在綜合考慮存儲費用、運輸費用、固定建設(shè)成本的前提下，建立了使總費用最低的配送中心選址問題的數(shù)學(xué)模型，分別給出了精確算法和近似算法，并通過具體的案例進行了求解及分析。選擇向零售商配送次數(shù)這個重要變量來研究物流配送中心選址及庫存管理問題 .首先構(gòu)建了基于向零售商配送次數(shù)的物流配送中心選址及庫存管理模型 ,模型的構(gòu)建從對零售商經(jīng)營總成本的分解及其定量化描述為起點 ,分析了在多次配送情況下其運輸成本、庫存持有成本和訂貨成本的變化，接著使用粒子群算法和相關(guān)參數(shù)設(shè)定對其進行了實證分析，定量地分析了該模型中運輸成本系數(shù)、中心建設(shè)投入成本

7、系數(shù)、庫存成本系數(shù)以及目標(biāo)函數(shù)滿意值之間的關(guān)系、變化和互相影響情況，從而為配送中心選址及庫存管理決策提供一定的支持?？傊?，現(xiàn)有的文獻在解決問題的過程中解題過程不夠完美，或多或少存在缺憾之處。2.2 本文研究思路本文在解決三個問題的過程中遵循從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的建模規(guī)律，使用最短路模型、 Floyd 算法和線性規(guī)劃一氣呵成， 將問題（1）的模型推廣就成為問題 (2)的模型，將問題（ 2）的模型推廣就成為問題 (3)的模型。針對問題（ 1），利用 MATLAB和附件一所給數(shù)據(jù)將 92 個城市的具體位置以圖的形式展示出來，根據(jù)公式：運輸成本 =所走公里數(shù) * 每噸公里運費 * 產(chǎn)品質(zhì)量噸數(shù)，

8、利用 Floyd 算法求得鄰接矩陣，進而求出前 20 位城市配送成本最低的城市；針對問題（ 2），給該企業(yè)制定一個成本最小的 5 年配送計劃，即引入了是否在第 i 城市建立配送中心的 0-1 變量，并在此基礎(chǔ)上考慮到成本的最小值，即可利用公式：最終獲利 =銷售利潤 -運輸成本 -建造成本，利用 lingo 軟件求得最優(yōu)解， 獲得一個最佳的五年配送計劃；針對問題（ 3），在第二問的基礎(chǔ)上，引入了是否在第j 城市建立銷售中心的0-1 變量，利用公式： 最終獲利 =銷售利潤 -運輸成本 -建造成本，利用 lingo 軟件求得最優(yōu)解，獲得一個獲利最高的五年配送計劃；針對問題（ 4），依圖 1 劃分為兩

9、個區(qū)域，以62-4-39-38 的公路為邊界，左邊的為一個地區(qū)，右邊的為一個地區(qū)。對不同的地區(qū)分別求解最低成本，最終得到最佳的 5 年產(chǎn)品銷售、配送計劃。結(jié)果為：第一個地區(qū)在 21、 25 城市建設(shè) 2 個配送中心，在 12、13、 21、22、23、 23、25 城市設(shè)立直銷中心；第二個地區(qū)在 16、 53、57 城市建設(shè)配送中心，在 5、6、16、49、 50、51、 52、53、56、 57、58、59、 61 城市設(shè)立直銷中心。3符號說明i:分配中心下標(biāo)j:銷售中心下標(biāo)Wj:j 地每月銷售量Dij: 分配中心 i 到銷售中心 j 的最短路Aij： i 地是否為 j 地運送Pi : 是否

10、在 i 地建設(shè)分配中心Q: 是否在 j 地建設(shè)銷售中心Z:i 地的人是否去 j 地購買jij4 模型假設(shè)為了簡化問題，作如下假設(shè)：（1）選址所在區(qū)域為幾何平面，區(qū)域內(nèi)的公路交通網(wǎng)視為直線，各個城市均視為點，它們的連線視為線段。（2）配送中心和直銷中心均視為點，且位于城市點上。近似為配送中心、直銷中心和城市三點重合。（3）運輸成本只包含運費，選址費用只包括建設(shè)成本，利潤即為銷售利潤，其余費用不考慮。5模型的建立與求解5.1建模準(zhǔn)備5.2問題（ 1）的解決求解最短路模型1.通過附件 1 中數(shù)據(jù)繪制出城市路線圖 （見圖一），運用 Floyd 算法計算出城市間最短路徑矩陣 Dij；然后與 20 個城市

11、中的營銷中心的銷量矩陣相乘。運用min 函數(shù)與 find 函數(shù)，找出分配中心的建立點以及最小費用。（1）目標(biāo)函數(shù)的確立為使得運輸成本降低， 只要使配送中心前往 20 個直銷中心的總運輸成本降低， 所以求公式：運輸成本 =運輸路徑 * 運輸噸數(shù) * 單位噸公里成本 ；的最小值。（2）約束條件的確立利用只有在建立了直銷中心的市區(qū)才有產(chǎn)品銷售量這一隱含條件，引入 0-1 變量 Qj；（3）綜上所述所得的最優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)：2.運用matlab 程序得到了分別在92 個市區(qū)的城市路線圖圖 1：城市路線圖用 min 函數(shù)與 find 函數(shù)，找出分配中心的最佳建立點是5.3問題（ 2）的解決求解分配中心數(shù)

12、目及其選址模型35 號城市。1、設(shè)有 n 個配送中心，以 P1 ，P2 ， Pn 表示之，用 Dij 表示派送中心 Pi 到直銷中心 Pj 之間的距離。1）目標(biāo)函數(shù)的確立本問題是求 5 年產(chǎn)品配送計劃的最小成本， 成本包括建立配送中心的成本及運輸成本，所以可表示為公式：配送成本 =建立 n 個配送中心的成本 +n 個配送中心到 20 個直銷中心的運輸成本。2）約束條件的確立每個銷售中心有且僅有一個配送中心配送；（2）第 i 個城市是否建立配送中心影響第 j 個直銷中心由哪個配送中心配送；（3）建立了直銷中心的城市才有產(chǎn)品銷售量；3）綜上所述所得的最優(yōu)化模型（1）目標(biāo)函數(shù)（2) 約束條件2. 該

13、模型運用了規(guī)劃問題，運用了 Lingo 程序得到了在建立三個配送中心時，可以得到 5 年產(chǎn)品配送計劃的最小成本，由結(jié)果可知三個配送中心分別建在第8 個城市、第 11 個城市和第 69 個城市， 5 年產(chǎn)品配送計劃成本最小，具體結(jié)果見表1。表 1. 配送中心選址及最小成本配送中心選址81169最小成本254（萬元）5.4問題（ 3）的解決求解分配中心及銷售中心選址模型1、設(shè)有 n 個配送中心，以 V1 ， V2 ， Vn 表示之，用 D(i,j)表示派送中心 Vi 到直銷中心 Vj 之間的距離。1）目標(biāo)函數(shù)的確立本問題是求解如何選定 20 個直銷中心和若干個配送中心的位置， 使得 5 年內(nèi)公司能

14、夠獲得最大利潤，成本包括建立配送中心的成本及運輸成本，收益為銷售后所得錢數(shù)，所以可表示為公式： 利潤 =20 個直銷中心的總收益 -建立 n 個配送中心的成本 -n 個配送中心到 20 個直銷中心的運輸成本。2）約束條件的確立（1）的取值收 i 第是否為配送中心， j 第是否為銷售中心的影響；每個直銷中心只能由一個配送中心配送；（3）一共需要建立20 個銷售中心；（4）只有在建立了直銷中心的市區(qū)才有產(chǎn)品銷售量；3）綜上所述所得的最優(yōu)化模型（1）目標(biāo)函數(shù)（2)約束條件2.該模型是求解最大值問題，根據(jù)問題的分析可知它與第二問的問題具有一定的相似性，因此在第二問上進行修改；將第二問求解最小值問題轉(zhuǎn)化

15、成求解最大值問題，再加上公司整體的凈利潤，對整體求解最大值，并且根據(jù)是否在 j 地建立直銷中心設(shè)定0-1 變量，根據(jù)在 i 地建立配送中心設(shè)定0-1 變量，根據(jù) i 地的配送中心是否給j 地的銷售中心配送貨物設(shè)定 0-1 變量。得到最終結(jié)果如下表。表 2.直銷中心、配送中心選址及配送關(guān)系配送中心城市編號直銷中心城市編號96,7,8,9,16,37,45,702,3,17,66,68,70,74,8820,83,86,88,90,915.5問題（ 4）的解決1、將該省分為兩個地區(qū)，分別為地區(qū)一和地區(qū)二，對地區(qū)一的城市進行重新編號和作圖如地區(qū)一 4.2（見附錄 6） ，再運用 Lingo 軟件對目

16、標(biāo)函數(shù)進行求解。1）目標(biāo)函數(shù)的確立本問題是在直銷中心和配送中心的位置未知及直銷中心周圍的城市可去最近的直銷中心購買產(chǎn)品的情況下，計劃出最佳的 5 年產(chǎn)品銷售、配送方案。因為直銷中心周邊城市的歸屬及月產(chǎn)品銷售量的情況不同，配送中心的建設(shè)成本及運輸成本也不同，所以為了求出最低的總成本，重新引入了第 i 個城市的人是否去第 j 個直銷中心購買產(chǎn)品的 0-1 變量，又因為對總體求解時目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)，計算量較大，所以對該省進行分區(qū)域求解。以62-4-39-38 的公路為邊界， 左邊的為一個地區(qū)， 右邊的為一個地區(qū)。 對不同的地區(qū)分別求解最低成本，最低成本的公式為：配送中心的建設(shè)成本 +運輸成本。2

17、）約束條件的確立（1） 的情況受到的影響，是否在第 j 城市建立配送中心影響配送中心的管理情況；（2） 的情況受到的影響 , 是否在第 i 城市建立配送中心影響配送中心的管理情況；（3）一共建立 20 個直銷中心；（4）每個直銷中心只接受一個配送中心的配送；（5）每個無直銷中心的城市只能去最近的一個直銷中心購買產(chǎn)品；3）綜上所述所得的最優(yōu)化模型（1）目標(biāo)函數(shù)約束條件2、將該省以 62-4-39-36 城市為界劃分為兩個地區(qū)，左側(cè)為地區(qū)一，右側(cè)為地區(qū)二，如圖 2.圖 2. 城市分布將左側(cè)的城市單獨提出， 重新編號得到地區(qū)一運用 Lingo 軟件對目標(biāo)函數(shù)進行求解， 得到結(jié)果如下 :第一個地區(qū)在

18、21、 25 城市建設(shè) 2 個配送中心，在 12、13、 21、22、23、 23、25 城市設(shè)立直銷中心；第二個地區(qū)在 16、53、57 城市建設(shè)配送中心，在 5、6、16、49、50、51、52、53、 56、57、58、59、61 城市設(shè)立直銷中心。6 模型的評價和推廣6.1 模型優(yōu)點（1）最短路問題是網(wǎng)絡(luò)理論中應(yīng)用最為廣泛的問題之一， 不少優(yōu)化問題可化為這個模型。管道的鋪設(shè)、運輸網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計、線路安排、設(shè)備更新、廠區(qū)布局等；（2）Floyd 算法容易理解，可以算出任意兩個節(jié)點之間的最短距離，代碼編寫簡單；（3）0-1 規(guī)劃是決策變量僅取值 0 或 1 的一類特殊的整數(shù)規(guī)劃。在處理經(jīng)濟管理中某些規(guī)劃問題時，若決策變量采用 0-1 變量即邏輯變量，可把本來需要分別各種情況加以討論的問題統(tǒng)一在一個問題中討論；（4）純整數(shù)線性規(guī)劃在一般線性規(guī)劃的約束條件之上，增加要求變量為整數(shù)值之后，使問題發(fā)生了深刻