關(guān)于化學(xué)平衡的數(shù)學(xué)模型

1、關(guān)于化學(xué)平衡的數(shù)學(xué)模型高等工程學(xué)院 于孟擇指導(dǎo)教師 : 摘要：本文從學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題出發(fā)，利用化學(xué)中的有關(guān)知識(shí)，通過(guò)對(duì)可逆反應(yīng)增加或減少反應(yīng)物的濃度的研究，對(duì)給定化學(xué)方程式所代表的化學(xué)反應(yīng)建立了模型，從理論上對(duì)不同情況進(jìn)行了分析，最后得到了不同情況下轉(zhuǎn)化率與投入量的關(guān)系，所得的結(jié)論對(duì)于工業(yè)生產(chǎn)具有一定指導(dǎo)意義。關(guān)鍵字：化學(xué)平衡 求導(dǎo)聲明 本人鄭重聲明：所呈交的數(shù)學(xué)化學(xué)應(yīng)用論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究的成果，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的作品或成果。對(duì)完成本論文做出貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 論文作者簽名：2016年1月30日

2、1引言 在化學(xué)的課堂教學(xué)中，有這樣一個(gè)結(jié)論：對(duì)于一個(gè)可逆反應(yīng)，我們可以通過(guò)增加一個(gè)反應(yīng)物的濃度來(lái)增加另一個(gè)反應(yīng)物的轉(zhuǎn)化率，該反應(yīng)物本身轉(zhuǎn)換率降低。但是，隨著我們的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題。為此，我們對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了深入的探究。2問(wèn)題的產(chǎn)生 我們都知道工業(yè)合成氨的化學(xué)方程式： 這是一個(gè)可逆反應(yīng)。我們假設(shè)氮?dú)獾某跏紳舛葹?，平衡常數(shù)K=3，當(dāng)氫氣的初始濃度為1時(shí)，設(shè)平衡時(shí)氮?dú)廪D(zhuǎn)化的濃度為x，則K=，解出x0.1988，此時(shí)氫氣的轉(zhuǎn)化率為0.5964。其它條件不變時(shí)，當(dāng)氫氣的初始濃度為2時(shí)，解出x0.41997，此時(shí)氫氣的轉(zhuǎn)化率為0.6299。當(dāng)氫氣的初始濃度為3時(shí)，通過(guò)計(jì)算得到氫氣的轉(zhuǎn)化率為0.6

3、27。我們發(fā)現(xiàn)氫氣的初始濃度為2時(shí)的轉(zhuǎn)化率比氫氣的初始濃度為1時(shí)的轉(zhuǎn)化率大。這說(shuō)明在可逆反應(yīng)中，并不是所有情況下都有增加其中一個(gè)原料的濃度，該原料的轉(zhuǎn)化率降低。3問(wèn)題剖析從上面的討論中，由于K的值為3是假設(shè)的，并不是真實(shí)值，那會(huì)不會(huì)是因?yàn)镵的值不同而影響結(jié)論呢？仔細(xì)想一想，我們不難發(fā)現(xiàn)其實(shí)沒(méi)有太大影響，因?yàn)镵的值會(huì)隨著溫度和壓強(qiáng)的變化而變化，我們可以假設(shè)達(dá)到某一條件時(shí)，該反應(yīng)的K值為3。所以，K的值與最后的結(jié)果除了在數(shù)值上外沒(méi)有什么影響。那轉(zhuǎn)化率與用料的投入量到底有什么關(guān)系？我們需要從一般的化學(xué)方程式入手。4有關(guān)問(wèn)題建模4.1、基本假設(shè) （1）我們對(duì)形如的化學(xué)方程式進(jìn)行研究（其中大寫字母為化學(xué)

4、物質(zhì)，小寫字母為系數(shù)）。 （2）該反應(yīng)在一定的溫度和壓強(qiáng)下進(jìn)行，平衡常數(shù)K的值為定值。 （3）反應(yīng)物與生成物均為氣體（或全部為溶液）。4.2、有關(guān)變量與常量的定義 （1）所用到的常量：K 平衡常數(shù) （2）設(shè)：C 濃度（mol/L） m 轉(zhuǎn)化率4.3、模型計(jì)算與分析 （1）考慮該化學(xué)方程式中原料的投料成比例時(shí) 反應(yīng)前： a b c 0 0 0變化量： ax bx cx dx ex fx平衡時(shí): a-ax b-bx c-cx dx ex fx 同理，把帶人可得： 將該等式看成，利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則可得： 顯然，分母是大于0的，分子的符號(hào)與a+b+c-d-e-f的符號(hào)相同 所以，當(dāng)a+b+c<d

5、+e+f時(shí)，即A的轉(zhuǎn)化率隨A的濃度變大而變??； 當(dāng)a+b+c=d+e+f時(shí)，即A的轉(zhuǎn)化率不隨A濃度的變化而變化； 當(dāng)a+b+c>d+e+f時(shí)，即A的轉(zhuǎn)化率隨A的濃度變大而變大。 由此可見(jiàn)，當(dāng)原料的投料成比例時(shí)，轉(zhuǎn)化率的變化與化學(xué)方程式中的系數(shù)有關(guān)。 5模型優(yōu)化與改進(jìn)在上面的建模及計(jì)算分析中，我們對(duì)于用料成比例時(shí)進(jìn)行了研究，存在一定的特殊性。一般而言，反應(yīng)物的投入量不一定成比例，可以加入任意濃度的反應(yīng)物?，F(xiàn)考慮將前述模型一般化，推廣到任意濃度的用料，使建立的模型得到優(yōu)化，并繼續(xù)探討轉(zhuǎn)化率與濃度的關(guān)系。還是同一個(gè)化學(xué)方程式：反應(yīng)前： 0 0 0變化量： ax bx cx dx ex fx平衡

6、時(shí)：-ax -bx -cx dx ex fx 由于轉(zhuǎn)化率, 把代入等式，得到：整理得： 此式中只有,兩個(gè)變量，設(shè)上式為F(,)=0，則由隱函數(shù)求導(dǎo)法則有_由于所有字母都為正值，且平衡時(shí)所有物質(zhì)的濃度也都為正值，我們不難發(fā)現(xiàn)該分式的分母大于0，且當(dāng)d+e+f-a>0時(shí)，分子小于0，此時(shí)。i) 即當(dāng)a<d+e+f時(shí)，也就是濃度變化的那種物質(zhì)的系數(shù)比生成物的系數(shù)和小時(shí)，該物質(zhì)的轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加而減小。ii) 當(dāng)a=d+e+f時(shí)，分子小于0，即，該物質(zhì)的轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加而減小。iii) 當(dāng)a>d+e+f時(shí)，分子的正負(fù)不能確定，我們可以對(duì)分子做如下變形：由得： 把代入等式，整理

7、后得到： = = 上式同理可得：=根據(jù)以上幾個(gè)等式，可以得到大分式的分子為：其中第二個(gè)中括號(hào)中的代數(shù)式是小于0的，第一個(gè)中括號(hào)中的代數(shù)式可變形為：現(xiàn)在，我們不妨令=0，即假設(shè)反應(yīng)物為兩種，可以得到：當(dāng)時(shí)，此時(shí)A的轉(zhuǎn)化率隨A濃度的增加而增加；當(dāng)時(shí)，此時(shí)A的轉(zhuǎn)化率達(dá)到最大值；當(dāng)時(shí)，此時(shí)A的轉(zhuǎn)化率隨A濃度的增加而降低。6結(jié)論當(dāng)成比例增加反應(yīng)物時(shí)，若反應(yīng)物系數(shù)和小于生成物系數(shù)和，所有反應(yīng)物的轉(zhuǎn)化率隨濃度的增大而減小，若反應(yīng)物系數(shù)和大于生成物系數(shù)和，所有反應(yīng)物的轉(zhuǎn)化率隨濃度的增大而增大，若反應(yīng)物系數(shù)和等于生成物系數(shù)和，則轉(zhuǎn)化率不會(huì)改變。對(duì)于一般情況而言，當(dāng)該物質(zhì)的系數(shù)小于或等于所有生成物系數(shù)和時(shí)，該物質(zhì)

8、的轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加而減??；當(dāng)該物質(zhì)的系數(shù)大于所有生成物系數(shù)和時(shí)，該物質(zhì)的轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加先增大后減小?；氐阶铋_(kāi)始的問(wèn)題，其實(shí)大多數(shù)情況下都和我們平時(shí)所知道的差不多，只有當(dāng)該物質(zhì)的系數(shù)大于所有生成物系數(shù)和時(shí)，才與我們所知道的有所出入。由于這種情況不是很常見(jiàn)，所以我們可以近似認(rèn)為一個(gè)物質(zhì)隨著濃度的增加轉(zhuǎn)化率降低。7模型評(píng)價(jià) 對(duì)于模型（1）而言，從理論上講，當(dāng)成比例增加反應(yīng)物濃度時(shí)，若同時(shí)將容器擴(kuò)大相應(yīng)的倍數(shù)，則平衡不變，但現(xiàn)在容積不變，相當(dāng)于壓縮了氣體增大了壓強(qiáng)，平衡向氣體分子數(shù)減小的方向移動(dòng)。若a+b+c<d+e+f,則平衡逆反應(yīng)方向移動(dòng)，A轉(zhuǎn)化率減小；若a+b+c=d+e+f,則

9、平衡不變，A轉(zhuǎn)化率不變；若a+b+c>d+e+f,則平衡正反應(yīng)方向移動(dòng)，A轉(zhuǎn)化率增大。 對(duì)于第二個(gè)模型而言，當(dāng)a<d+e+f時(shí)，我們很清晰地就知道A轉(zhuǎn)化率是遞減的。但當(dāng)a>d+e+f時(shí)，由于本人學(xué)識(shí)水平有限，三種反應(yīng)物的情況無(wú)法解決，只能考慮有兩種反應(yīng)物的情況。其中出現(xiàn)了這一新變量，這對(duì)結(jié)論沒(méi)有太大影響，因?yàn)殡S著A濃度的增加，平衡正移，B的轉(zhuǎn)化率隨之增加。最終的結(jié)論就相當(dāng)于A的轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加先增大再降低，只不過(guò)需要知道的值，才能判斷轉(zhuǎn)化率是否達(dá)到最大值。通過(guò)以上分析，我認(rèn)為在工業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)該在保證一定的成本和產(chǎn)量的情況下，盡量讓氫氣和氮?dú)獾谋壤咏?.4:1。但是實(shí)際上為

10、了提高氨氣的產(chǎn)量，同時(shí)促進(jìn)氣體與鐵觸媒催化劑接觸，加快反應(yīng)速率，實(shí)際的比例應(yīng)該略高一些。在實(shí)際生產(chǎn)中，工業(yè)合成氨使用的氫氮比為2.7:1，接近本文用數(shù)學(xué)分析得到的理想氫氮比2.4:1。在1988年以前，工業(yè)氫氮比為3:1。根據(jù)本人分析，當(dāng)時(shí)制氨成本一定居高不下，后來(lái)人們經(jīng)過(guò)不斷摸索，才將氫氮比調(diào)整為現(xiàn)在的數(shù)值。但關(guān)于這方面的理論分析未見(jiàn)于各類化學(xué)文獻(xiàn)，因此，本文得到的結(jié)論對(duì)于工業(yè)生產(chǎn)具有一定的參考價(jià)值。7附錄：相關(guān)曲線 以上都是理論上的計(jì)算，為了得到直觀的印象，我以合成氨的反應(yīng)為例，假設(shè)平衡常數(shù)K=3，繪制了如下幾幅圖像：（1）定氮?dú)獾某跏紳舛葹?，氫氣的初始濃度為橫坐標(biāo)，其轉(zhuǎn)化率為縱坐標(biāo)。得

11、到轉(zhuǎn)化率隨濃度的變化圖像： 這種情況符合a>d+e+f的情況,轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加先增大后減小,由圖像可以看出當(dāng)轉(zhuǎn)化率達(dá)到最大值時(shí)，濃度大概為2.4，設(shè)氮?dú)廪D(zhuǎn)化的濃度為x，則K=，解出x0.5055，此時(shí)氫氣的轉(zhuǎn)化率為0.6319。氮?dú)獾霓D(zhuǎn)化率為x=0.5055，與理論值相差不大，在誤差范圍內(nèi)，進(jìn)一步證實(shí)了結(jié)論。（2）定氫氣的初始濃度為1，氮?dú)獾某跏紳舛葹闄M坐標(biāo)，其轉(zhuǎn)化率為縱坐標(biāo)，得到圖像： 這種情況符合a<d+e+f的情況，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加而減小。（3）在反應(yīng)中，設(shè)反應(yīng)物成比例增加，平衡常數(shù)K=3，氮?dú)夂蜌錃獾臐舛确謩e為x和3x，y為這兩種物質(zhì)的轉(zhuǎn)化率（氮?dú)夂蜌錃獾霓D(zhuǎn)化率相等）。得到如下圖像： 這種情況符合a+b+c>d+e+f的情況，轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加而增大。（4）假設(shè)是這樣一