與絕對值有關(guān)的結(jié)論與運用

1、與絕對值有關(guān)的結(jié)論與運用絕對值是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個十分重要的概念，它也是命題的永恒主題，而且是?？汲Ｐ?，變化無窮。如何正確地理解并運用絕對值的概念解題是的解決數(shù)學(xué)綜合題的必備技能。在本質(zhì)上應(yīng)抓住絕對值的非負性（即長度屬性和區(qū)域?qū)傩裕?，結(jié)合實數(shù)的符號特征全面思考，在技巧上，應(yīng)注意題目具體內(nèi)容的內(nèi)在規(guī)律、靈活處理，那么這樣就會有化難為易之功效。結(jié)論一：若,則例1 (2010江西)不等式的解集是( )A B C D 解析:由結(jié)論得選A結(jié)論二：函數(shù)是"V"型折線,頂點為,對稱軸為,增區(qū)間為,減區(qū)間為例2 若函數(shù)在為增函數(shù)，則a、b的取值范圍是_ 答案：由結(jié)論容易畫圖得:且結(jié)論三:|xb

2、|表示在數(shù)軸上，數(shù)x和數(shù)對應(yīng)點之間的距離;|xa|xb|表示在數(shù)軸上x對應(yīng)的點到數(shù)a及數(shù)對應(yīng)的點之間的距離和.例3 對于任意的實數(shù)x ，不等式|x1|x2|a恒成立，求實數(shù)a的最大值是 解法一：如圖,由結(jié)論得:| 當(dāng)2x1時，|x1|x2|取最小值3，a的最大值時3例4(2007全國聯(lián)賽)設(shè)實數(shù)使得不等式對一切實數(shù)恒成立,則實數(shù)的范圍為( )A B C D 解析:設(shè)在數(shù)軸上設(shè)A()B()及P(x)則由絕對值幾何意義有:f (x)=2|PA|3|PB|=2(|PA|PB|)+|PB|,顯然當(dāng)點P在線段AB上且和點B重合時,|PA|PB|取最小值,而|PB|為0.所以當(dāng)x=時, f (x)由最小值

3、由題意得:,所以選A結(jié)論四:|a|b|a±b|a|b|由結(jié)論例1有解法2：y|x1|x2|1x |x2|1xx2|3，當(dāng)且僅當(dāng)(1x)( x2)0時，取等號即當(dāng)2x1時，ymin3，無最大值例5（2009廣東14題）已知，若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是 解:方程可化為,由結(jié)論一或二得:當(dāng)時,所以實數(shù)的取值范圍為推廣：對于函數(shù)f (x)|xx1|xx2|xx3|xxn|nx(x1x2x3xn)|(其中x1，x2，x3，xn為已知常數(shù)，且x1x2x3xn)，則有若n為奇數(shù)時，則當(dāng)x時，y取最小值；若n為偶數(shù)時，則當(dāng)x時，y取最小值例6（06年高考12題）求函數(shù)的最小值。解：函數(shù)，當(dāng)x

4、=10時取得最小值為2(9+8+7+1)=10（101）=90， W推廣：對于二元函數(shù)f (x,y)|xx1|xx2|xx3|xxn|+|yy1|yy2|yy3|yyn| |nx(x1x2x3xn)|+|ny(y1y2y3yn)|,故當(dāng)x=(x1x2x3xn)/n 且y=(y1y2y3yn)/n時,f (x,y)0例7（2009上海13題）某地街道呈現(xiàn)東西、南北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1.兩街道相交的點稱為格點。若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點，為報刊零售點.請確定一個格點（除零售點外）_為發(fā)行站，使6個零售點沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短. W分析：由推廣可知,這6個點

5、的橫、縱坐標(biāo)的平均值并比較驗得分別為2和3.5,設(shè)A(2,3.5)AH由 由 結(jié)合圖形比較得,并比較驗證得(3,3)處滿足條件. 由 畫UA畫A解析 結(jié)論五: 把f (x)的圖象分成兩部分，在x軸上方的圖象保持不變，而x軸下方的圖象，則作出它關(guān)于x軸的對稱圖象，這樣合起來就得到了函數(shù)y=| f (x)|的圖象(簡記:上不變,下翻折) . 結(jié)論六:y = f (|x|)的圖象就是與f (x)（當(dāng)x0時）的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象 (簡記:右不變,左對稱) .例8 已知關(guān)于的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為 分析：直接求解，繁難！。由方程聯(lián)想二次函數(shù)進行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形，則簡潔明了。 圖

6、1設(shè)。又為偶函數(shù)，由圖可知例9（2005上海）已知函數(shù)， xy201關(guān)于x的方程有7個不同的根的充要條件是（ ）A、 ， B、 ，C、 ， D、 ，。 圖1解： 可知函數(shù)的圖像如圖所示，包括（1，0）點關(guān)于x的方程有7個不同的根，需要關(guān)于的二次方程的兩個根一個是0，另一個大于0，即，于是答B(yǎng)。1、常用結(jié)論： 定義： （n是自然數(shù)） 1、 若不等式對于均成立，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）A、（，0， B、1，0，C、0，1 D、（0，+）2、 解不等式：的解集 3、 成立的一個充要條件為（ ）A、ab0; B、abR; C、a2+b20 ;D、a,bR- 3、(上海題)三個同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 解：由25|5|，而，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立；且，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立；所以，等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立；故；4已知函數(shù)若互不相等，且則的取值范圍是(A) (B) (C) (D) (B) 5