數(shù)值分析：5-4 Hermite插值法

1、第五章第五章 函數(shù)近似計算的插值法函數(shù)近似計算的插值法 5.4 Hermite插值法插值法 5.4 Hermite插值法插值法Lagrange插值雖然構(gòu)造比較簡單，但插值曲線只是在節(jié)點處與原函數(shù)吻合，若還要求在節(jié)點處兩者相切，即導(dǎo)數(shù)值相等，使之與被插函數(shù)的”密切”程度更好，這就要用到帶導(dǎo)數(shù)的插值.0101( ),nnf xax xxbfff設(shè)在節(jié)點處的函數(shù)值為值函數(shù)上的具有一階導(dǎo)數(shù)的插的在區(qū)間為設(shè),)()(baxfxP處必須滿足在節(jié)點即nxxxxP,)(10()()iiiP xf xf()()iiiP xfxf)(,)()1(一階光滑度上具有一階導(dǎo)數(shù)在若要求baxPni, 1 ,0ni, 1

2、,0-(1)處必須滿足在節(jié)點即nxxxxP,)(10()()iiiP xf xf()()iiiP xfxf)(,)(,)2(階光滑度階導(dǎo)數(shù)上具有在若要求同樣mmbaxP個待定的系數(shù)可以解出22n次的多項式可以是最高次數(shù)為因此12)(nxP次多項式作為插值函數(shù)兩個節(jié)點就可以用3112()()iiiP xfxf()()()()()mmmiiiPxfxfni, 1 ,0-(2)22n 共個方程定義1. 稱滿足(1)或(2)式的插值問題為Hermite插值，稱滿足(1)或(2)式的插值多項式P(x)為Hermite插值多項式，記為 , 為多項式次數(shù).,( )(),kkHermiteHxkRungek一

3、般次插值多項式的次數(shù) 如果太高會影響收斂性和穩(wěn)定性現(xiàn)象,將在后面章節(jié)講到因此 不宜太大.一、兩點三次Hermite插值先考慮只有兩個節(jié)點的插值問題0101( ),f xxxff設(shè)在節(jié)點處的函數(shù)值為0101,xxff在節(jié)點處的的一階導(dǎo)數(shù)值為作為插值函數(shù)多項式次兩個節(jié)點最高可以用)(33xHHermite( )kHxk應(yīng)滿足插值條件)(3xH300()Hxf311()Hxf300()Hxf311()Hxf示可用四個插值基函數(shù)表)(3xH3 ,2 ,1 ,0),()(3ixhxHi的插值基函數(shù)為設(shè))()()()()(332211003xhaxhaxhaxhaxH希望插值系數(shù)與Lagrange插值一樣

4、簡單重新假設(shè)300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx其中1)(00 x0)(00 x1)(00 x300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx 0)(10 x0)(01x1)(11x0)(10 x0)(01x0)(11x0)(00 x0)(10 x0)(01 x0)(11 x0)(10 x0)(01 x1)(11 x可知即可假設(shè)的二重零點是,)(01xx)()()(210baxxxx1)(00 x0)(00 x由300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx可得310)(2xxa3100210)(2)(1xxxxxb)(

5、)()(210baxxxx21)(xx 310)(2xxx3100210)(2)(1xxxxx21021)()(xxxx102xxx10021xxx01021xxxx2101xxxx)()(21(201xlxlLagrange插值基函數(shù))(1x)()(21(210 xlxl類似可得)(0 x)()(200 xlxx)(1x)()(211xlxx10121xxxx2010 xxxx0 xx 2101xxxx2010 xxxx1xx )(0 x01021xxxx2101xxxx)()(21(201xlxl即將以上結(jié)果代入300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx得兩個節(jié)點

6、的三次Hermite插值公式300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx2101(12 ( )( )flxlx2000()( )fxxlx2111()( )f xxlx2010(12 ( )( )fl xlx110112xxfxx2010 xxxx00fxx2101xxxx2010 xxxx11fxx001012xxfxx2101xxxx二、兩點三次Hermite插值的余項兩點三次Hermite插值的誤差為)()()(33xHxfxR0)()()(33iiixHxfxR0)()()(33iiixHxfxR1 , 0i因此可設(shè)的二重零點均為,)(,310 xRxx2120

7、3)()()(xxxxxKxR待定其中)(xK21203)()()()()(xtxtxKtHtft構(gòu)造輔助函數(shù)0)()()()()(21203xxxxxKxHxfxiiiii1 , 0i0)()()()()(21203xxxxxKxHxfx均是二重零點個零點至少有因此5)(t連續(xù)使用4次Rolle定理，可得，,10 xx至少存在一點使得0)()4(0)(! 4)()()4()4(xKf即! 4)()()4(fxK所以,兩點三次Hermite插值的余項為2120)4(3)()(! 4)()(xxxxfxR10 xx以上分析都能成立嗎？上述余項公式成立上存在時在當(dāng),)(10)4(xxxf11()(

8、),0,1,()()iiiininiHfinHxxxyfxyHermite插值滿足插值條件:Hermite值問題的解存在法定理1 且唯一.(22)221210( )( )( )() , , (2(2 !)nnnnjja bf xHfxnRxxx Hermite插值多項式的余項為Hermite插2:值法定理例1.1)2(,0)1(21)(3)2(,2)1(21)(ffxfffxf處的導(dǎo)數(shù)值為，在節(jié)點處的函數(shù)值為，在節(jié)點已知.7 . 1 , 5 . 1)(,)(處的函數(shù)值在及的兩點三次插值多項式求xxfxf解:2, 110 xx012,3ff010,1ff 300110011( )( )( )( )( )Hxfxfxfxfx110112xxfxx2010 xxxx00fxx2101xxxx2010 xxxx11fxx001012xxfxx2101xxxx)2(213x21x21x2 x)1(212x22x)(3xH91713323xxx)5 . 1(f)5 . 1(3H625. 2)7 . 1(f)7 . 1(3H931. 2作為多項式插值作為多項式插值,三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生可能發(fā)生Runge現(xiàn)象現(xiàn)象,因