信號與系統(tǒng)：第五章 連續(xù)系統(tǒng)的s域分析V4.0

1、5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換5.2 5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3 5.3 拉普拉斯變換逆變換拉普拉斯變換逆變換5.4 5.4 復頻域分析復頻域分析一、從傅里葉到拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換相應的傅里葉逆變換為相應的傅里葉逆變換為 Fb(s)稱為稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)）， f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。二、收斂域二、收斂域 使使f(t)拉氏變換存在的拉氏變換存在的取值范圍稱為取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。的收斂域。 下面舉例說明下面舉例說明Fb(s)收

2、斂域的問題。收斂域的問題。解：解：例例1 1 因果信號因果信號f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。可見，對于因果信號，僅當可見，對于因果信號，僅當Res=時，其拉氏變換時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。存在。收斂域如圖所示。解：解：例例2 2 反因果信號反因果信號f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換?？梢?，對于反因果信號，僅可見，對于反因果信號，僅當當Res=時，其收斂域時，其收斂域為為Res的一個帶的一個帶狀區(qū)域，如圖所示。狀區(qū)域，如圖所示。解解: :例例4 求下列信號的雙邊拉氏變換。求下列信號的雙邊拉氏變換。 f1(t)= e

3、-3t(t) + e-2t(t) f2(t)= e -3t (t) e-2t(t) f3(t)= e -3t(t) e-2t( t) 可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標出收斂域。氏變換必須標出收斂域。1 1、對于雙邊拉普拉斯變換而言，、對于雙邊拉普拉斯變換而言，F(xiàn) F( (s s) )和收斂域和收斂域一起，可以唯一地確定一起，可以唯一地確定f f( (t t) )。即：。即：2 2、不同的信號可以有相同的、不同的信號可以有相同的F F( (s s) )，但他們的收斂，但他們的收斂 域不同；不同信號如果有相同的收斂域，則他們的域不同；不同信號

4、如果有相同的收斂域，則他們的F F( (s s) ) 必然不同！必然不同！ 通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其初始時刻為刻為0 0。這樣，。這樣，t t0 ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。f(t) F(s)0,1)(,)(, 1)(ststtRe,1)(sstetReRe,1)(000sssstets（教材第（教材第215頁頁 例例5.1-4）解：解：例例:求復指數(shù)函數(shù)求復指數(shù)函數(shù)f(t)=es0t (t)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 （式中（式中s0為復常數(shù)）為復常數(shù)） (教材第教材第216頁例頁例5.1-5

5、)ReRe,1)(000)(0000ssssdtedteeteLtsssttsts若若s0為實數(shù)，令為實數(shù)，令s0 ，則有，則有Re,1)(Re,1)(sstesstett若若s0為虛數(shù)，令為虛數(shù)，令s0 j ，則有，則有0Re,1)(0Re,1)(sjstesjstetjtj5.25.2拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏變換的基本性質(zhì)一一 線性（線性（Linearity Linearity ）：）：例：教材第例：教材第217頁例頁例 5.2-1若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2則則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1,

6、 2) 22)()cos(sstt22)()sin(stt112( )1,11sX sss ROC:121( ),1XssROC:1 12( )( )1x tx tt而而ROC為整個為整個S平面平面 當當 與與 無交集時，表明無交集時，表明 不存在。不存在。1R2R( )X s例：求下列信號的拉普拉斯變換。例：求下列信號的拉普拉斯變換。)()()(1tettxt)()(2tetxt注：注：解：解： 二二 尺度變換（尺度變換（Time ScalingTime Scaling）若若f(t) F(s) , Res 0，且有實數(shù)，且有實數(shù)a0 ，則則f(at) )(1asFa，Resa 0 例：右圖所

7、示信號例：右圖所示信號f(t)的拉氏變換的拉氏變換 F(s) =)ee1 (e2sssss求圖中信號求圖中信號y(t)的拉氏變換的拉氏變換Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t解：解： y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss三三 時移性質(zhì)（時移性質(zhì)（Time ShiftingTime Shifting）: :若若f(t) F(s) , Res 0, 且有實常數(shù)且有實常數(shù)t00 ,則則f(t-t0) (t-t0) e-st0F(s) , Res 0 與尺度變換相結(jié)合：則：與尺度變換相結(jié)合：則：

8、 若若f(t) (t) F(s) , Res 0 則：則：0Re),(1)()(asasFeabatbatfsab例例:求圖示信號的單邊拉氏變換。求圖示信號的單邊拉氏變換。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1) f2(t) = (t+1) (t-1) )e1 (1ssF2(s)= F1(s)F1(s)=例例:求求f(t)= e-2(t-1) (t) F (s)=?教材第教材第219頁例頁例5.2-2，5.2-3。四四 S S域平移（域平移（Shifting in the s-DomainShifting in the s-Domain）: :若若f(

9、t) F(s) , Res 0 , 且有復常數(shù)且有復常數(shù)sa= a+j a,則則f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 例例:已知因果信號已知因果信號f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)F(s)= 求求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss12ss例：教材第例：教材第220頁頁 例例5.2-4。（教材第（教材第220頁例頁例5.2-5）22)()()cos(ssttet22)()()sin(sttet五、時域的微分特性（微分定理）五、時域的微分特性（微分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則f(t) sF(s

10、) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 10)(1)0(nmmmnfs若若f(t)為因果信號，則為因果信號，則f(n)(t) snF(s) 例例: (n)(t) ? 例例:?2cosddtt例例:?)(2cosddttt例：已知流經(jīng)電感的電流例：已知流經(jīng)電感的電流i iL L( (t t) )的拉式變換為的拉式變換為I IL L( (s s) )， 求電感的電壓求電感的電壓u uL L( (t t) )的拉式變換。的拉式變換。解：解：dttdiLtuLL)()()0()()0()()(LLLLLLissLIissILsU)()(ssLIs

11、ULL若若iL(0-)=0，則：，則：這個結(jié)論與正弦穩(wěn)態(tài)分析中的相量法形式相似這個結(jié)論與正弦穩(wěn)態(tài)分析中的相量法形式相似LLILjUs對應對應j六、時域積分特性（積分定理）六、時域積分特性（積分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 )(1d)(0sFsxxfnnt)0()(d)()()1(11)1(fssFsxxftft例例: t2 (t) ? )(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt)0(1)(1)()()()(11)(mnmmnntnnfssFsdxxftf教材第教材第225頁例頁例5.2-8。例例2:已知因果信號已知因果信號f(t

12、)如圖如圖 ,求求F(s)。f(t)t022解：對解：對f(t)求導得求導得f(t)，如圖，如圖f(t)t(-2)120)0()(d)( 0ftfxxft由于由于f(t)為因果信號，故為因果信號，故 f(0-)=0txxftf0d)( )(f(t)= (t) (t2) 2 (t 2) F1(s)sss22e2)e1 (1ssFsF)()(1結(jié)論：若結(jié)論：若f(t)為因果信號，已知為因果信號，已知f(n)(t) Fn(s) 則則 f(t) Fn(s)/sn例：已知流經(jīng)電容的電流例：已知流經(jīng)電容的電流iC(t)的拉式變換為的拉式變換為IC(s)， 求電容的電壓求電容的電壓uC(t)的拉式變換。的拉

13、式變換。解：解：diCtutCC)(1)()0(1)(1)0(1)(11)()1()1(CCCCCisCsIsCissIsCsU這個結(jié)論與正弦穩(wěn)態(tài)分析中的相量法形式相似這個結(jié)論與正弦穩(wěn)態(tài)分析中的相量法形式相似CCICjU1s對應對應jsusIsCsUCCC)0()(1)(若若uC(0-)=0，則：，則：)(1)(sIsCsUCC七、卷積定理七、卷積定理 時域卷積定理：時域卷積定理： 若因果函數(shù)若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 復頻域（復頻域（s域）卷積定理域）卷積定理 jcjcsF

14、Ftftfd)()(j21)()(2121例：例：t (t) ?例：已知例：已知F(s)= ?)e1 (12 ss00)2()2(*)(nnntntt教材第教材第226-227頁例頁例5.2-9、5.2-10。八、八、s域微分和積分域微分和積分 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例：例：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 322)2(2)21(ddssssdFttf)()()()(ttetft例：求例：求 的象函數(shù)。的象函數(shù)。參考：教材第參考：教材第228頁例頁例5.2-1

15、1九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理 初值定理和終值定理常用于由初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和 f(），而不必求出原函數(shù)），而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理初值定理: :設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)不含不含(t)及其各階導數(shù)，及其各階導數(shù)，終值定理終值定理: :若若f(t)當當t 時存在，并且時存在，并且f(t) F(s), Res0 例：已知例：已知) 1(1)(sssF，求，求f(t)的初值和終值。的初值和終值。011lim)(lim)0(sssFfss111lim)(lim)(00sssFfss驗證：驗證：解：解：)()1 ()(111) 1(1)(tet

16、fsssssFt0)()1 (lim)(lim)0(00tetffttt1)()1 (lim)(lim)(tetffttt注意：利用象函數(shù)注意：利用象函數(shù)F(s)求初值時，求初值時， F(s)必須是真分式；必須是真分式； 求終值時，求終值時，s=0的點應在的點應在sF(s)收斂域內(nèi)。收斂域內(nèi)。例：已知例：已知) 1()(sssF，求，求f(t)的初值。的初值。解：解：11lim)(lim)0(1ssssFfss)()()(tettft)(111111) 1(1)(1sFssssssF驗證：驗證：11)0()(lim)0(0tfft例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22

17、sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221)(2ssssF若若mn （假分式）（假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分解為分解為有理多項式有理多項式P(s)與有理真分式之和。若與有理真分式之和。若 可提出可提出 。1nbnb下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。部分分式展開法部分分式展開法若若F(s)是是s的實系數(shù)有理真分式（的實系數(shù)有理真分式（m0dtetfjFtj)()(分析因果信號兩種變換的關(guān)系分析因果信號兩種變換的

18、關(guān)系設(shè)設(shè)Res 0(1) 00;收斂域在虛軸右邊，在收斂域在虛軸右邊，在s=j 處不收斂，處不收斂， 傅立葉變換不存在傅立葉變換不存在這時有：這時有：(1) 00;收斂域包含虛軸，在收斂域包含虛軸，在s=j 處收斂，傅立葉變處收斂，傅立葉變換存在。換存在。jssFjF| )()(例：例：Re,1)(, 0),()(sssFtetft其拉普拉斯變換為其傅立葉變換為其傅立葉變換為jsFjFjs1| )()(分析：因為分析：因為 00，所以在虛軸上有極點，即，所以在虛軸上有極點，即F(s)的的 分母多項式分母多項式A(s)=0必有虛根。必有虛根。設(shè)設(shè)A(s)=0有有N個虛根（單根）個虛根（單根）j 1, j 2, j n,將將F(s)展展開成部分分式，并把它分成兩部分，極點在左半開成部