定積分的背景面積和路程問題

1、定積分的背景-面積和路程問題知識與技能：通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，了解定積分的背景；借助于幾何直觀體會定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分法求簡單的定積分3.理解掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)；過程與方法：通過問題的探究體會逼近、以直代曲的數(shù)學(xué)思想方法。情感態(tài)度與價值觀：通過分割、逼近的觀點體會定積分的來歷，使學(xué)生從本質(zhì)上理解定積分的幾何意義，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重點：定積分的概念、用定義求簡單的定積分、定積分的幾何意義教學(xué)難點：定積分的概念、定積分的幾何意義教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情景問題：我們在小學(xué)、初中就學(xué)習(xí)過求平面圖形面積的問題。有的是規(guī)則的平面圖形，但現(xiàn)實生

2、活中更多的是不規(guī)則的平面圖形。對于不規(guī)則的圖形我們該如何求面積？比如浙江省的國土面積。此問題在學(xué)生九年級中已有涉及，在九年級時學(xué)生了解過以下求不規(guī)則面積的方法：方法1 將圖形放在坐標(biāo)紙上，也即將圖形分割，看它有多少個“單位面積”。方法2 將圖形從內(nèi)外兩個方面用規(guī)則圖形(或規(guī)則圖形的組合)逼近。方法3 將這塊圖形用一個正方形圍住，然后隨機地向正方形內(nèi)扔“點”(如小石子等小顆粒)，當(dāng)點數(shù)P足夠大時，統(tǒng)計落入不規(guī)則圖形中的點數(shù)A，則圖形的面積與正方形面積的比約為。方法4“稱量”面積：在正方形區(qū)域內(nèi)均勻鋪滿一層細沙，分別稱得重量是P(正方形區(qū)域內(nèi)細沙重)、A(所求圖形內(nèi)細沙重)，則所求圖形的面積與正方

3、形面積的比是重量之比。二合作探究問題一 曲邊梯形的面積如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形如何計算這個曲邊梯形的面積？探究1：分割，怎樣分割？分割成多少個？分成怎樣的形狀？有幾種方案？ （分割）探究2：采用哪種好？把分割的幾何圖形變?yōu)榇鷶?shù)的式子。（近似代替）、（求和）探究3：如何用數(shù)學(xué)的形式表達分割的幾何圖形越來越多？ （取極限）探究4：采用過剩求和與不足求和所得到的結(jié)果一樣，其意義是什么？（夾逼定理的意義）例如：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。思考：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？ （2）能否將求這個

4、曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題？解：（1）分割（2）近似代替（3）求和由，上圖中陰影部分的面積為= = = = 從而得到的近似值= （4）取極限分別將區(qū)間等分8，16，20，等份（如圖），可以看到，當(dāng)趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有從數(shù)值上看出這一變化趨勢：問題：如果不是在區(qū)間的兩個端點取，而是在每一個區(qū)間中間取任意一點作為高，會有怎樣的結(jié)果？求曲邊梯形面積的四個步驟:第一步：分割在區(qū)間中任意插入各分點，將它們等分成個小區(qū)間，區(qū)間的長度，第二步：近似代替?！耙灾贝　?，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值第三步：求和第四步：取極限

5、。（說明：最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值）問題二 汽車行駛的路程汽車以速度組勻速直線運動時，經(jīng)過時間所行駛的路程為如果汽車作變速直線運動，在時刻的速度為（單位：km/h），那么它在01(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題把區(qū)間分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值（思想：用化歸為各個小區(qū)間上勻

6、速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程）解：1分割 在時間區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：， 記第個區(qū)間為其長度為把汽車在時間段，上行駛的路程分別記作：，顯然，（2）近似代替當(dāng)很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時間段上的速度變化很小，不妨認為它近似地以時刻處的速度作勻速直線運動，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”于是用小矩形的面積近似的代替，則有（3）求和 由得，= = = = 從而得到的近似值=（4）取極限當(dāng)趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有思考結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯