定積分的5大幾何應(yīng)用和4大物理應(yīng)用

1、定積分的5大幾何應(yīng)用和4 大物理應(yīng)用定積分幾何應(yīng)用的智軒記憶歌訣上下（曲）原函橫（繞X軸旋轉(zhuǎn)）面積（縱周長），左右（曲）反函橫周長（縱面積）；兩軸輪換形（心）除外，平移（軸）雙函識(shí)減符。一、5大幾何應(yīng)用1.1平面圖形的面積應(yīng)用稱為左右曲不相交圖形，稱為上下曲相交圖形評(píng) 注既然是定積分應(yīng)用，當(dāng)然積分方向以常數(shù)區(qū)間為準(zhǔn)。對(duì)上下曲不相交圖形，被積函數(shù)為上原函數(shù)減去下原函數(shù)（遠(yuǎn)減近），對(duì)左右曲不相交圖形，被積函數(shù)為右反函數(shù)減去下反函數(shù)（遠(yuǎn)減近），對(duì)于相交圖形則為遠(yuǎn)減近的絕對(duì)值，畫圖以面積所在的位置定正負(fù)。1.2 平面曲線的弧長1.3 旋轉(zhuǎn)體積評(píng) 注對(duì)左右曲圖形。如果旋轉(zhuǎn)軸為平行于或的直線，比如上下曲繞

2、，如在兩曲線的上方，則旋轉(zhuǎn)的體積，則計(jì)算如下（其余類推）： 設(shè)為離旋轉(zhuǎn)軸的近曲線，為離旋轉(zhuǎn)軸的遠(yuǎn)曲線，則體積元及體積為：形象記憶法：上述公式靠死記是不行的，時(shí)間長了必會(huì)混淆，但你仔細(xì)觀察一下有規(guī)律： 上下曲繞及其平行軸和上下曲繞及其平行軸利用圓面積，其余情形用圓的周長。而且上下曲，定積分方向?yàn)?，左右曲為，這是定積分要求的；和在形式上滿足“導(dǎo)數(shù)”關(guān)系；還有個(gè)特征就是，是交替出現(xiàn)的，如中，而中。1.4 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（對(duì)于上下曲圖形）形象記憶法：，交替出現(xiàn)。1.5 形心（重點(diǎn)） 質(zhì)心是針對(duì)實(shí)物體而言的，而形心是針對(duì)抽象幾何體而言的，對(duì)于密度均勻的實(shí)物體，質(zhì)心和形心是重合的。 曲線形心（在多元函數(shù)積

3、分應(yīng)用時(shí)，還有平面和圖形和空間圖形的形心問題，請(qǐng)對(duì)照。） 靜力矩定義： 形心坐標(biāo) 評(píng) 注對(duì)質(zhì)心只要在每項(xiàng)積分中加入線密度為即可，當(dāng)常數(shù)，即幾何體均勻時(shí)， 質(zhì)心與形心完全重合，上述公式通用，下同。上述形心公式與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積聯(lián)系起來，便得到：古爾金第一定理： 面密度為的均勻平面薄板的形心（上下曲型）評(píng) 注對(duì)質(zhì)心只要在每項(xiàng)積分中加入密度函數(shù)即可。上述形心公式與旋轉(zhuǎn)體的體積積聯(lián)系起來，便得到：古爾金第二定理：二、4大物理應(yīng)用（物理應(yīng)用幾何應(yīng)用+物理定理）2.1壓力或浮力問題（以球形物體受到的水壓為例）2.2引力（萬有引力或電場(chǎng)力）問題 例如在軸上有一根長為，均勻質(zhì)量密度為的木棒，中心放在原點(diǎn)，在軸上處有一個(gè)單位質(zhì)點(diǎn)，則萬有引力計(jì)算如下： 又如在軸上有一根長為，均勻電荷密度