公平的席位分配問(wèn)題

1、公平的席位分配問(wèn)題 席位分配在社會(huì)活動(dòng)中經(jīng)常遇到，如：人大代表或職工學(xué)生代表的名額分配和其他物質(zhì)資料的分配等。通常分配結(jié)果的公平與否以每個(gè)代表席位所代表的人數(shù)相等或接近來(lái)衡量。目前沿用的慣例分配方法為按比例分配方法，即： 某單位席位分配數(shù) = 某單位總?cè)藬?shù)比例´總席位 如果按上述公式參與分配的一些單位席位分配數(shù)出現(xiàn)小數(shù),則先按席位分配數(shù)的整數(shù)分配席位,余下席位按所有參與席位分配單位中小數(shù)的大小依次分配之。這種分配方法公平嗎？下面來(lái)看一個(gè)學(xué)院在分配學(xué)生代表席位中遇到的問(wèn)題：某學(xué)院按有甲乙丙三個(gè)系并設(shè)20個(gè)學(xué)生代表席位。它的最初學(xué)生人數(shù)及學(xué)生代表席位為 系名 甲 乙 丙 總數(shù) 學(xué)生數(shù) 1

2、00 60 40 200 學(xué)生人數(shù)比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20后來(lái)由于一些原因，出現(xiàn)學(xué)生轉(zhuǎn)系情況，各系學(xué)生人數(shù)及學(xué)生代表席位變?yōu)?系名 甲 乙 丙 總數(shù) 學(xué)生數(shù) 103 63 34 200 學(xué)生人數(shù)比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20 按慣例席位分配 10 6 4 20 由于總代表席位為偶數(shù)，使得在解決問(wèn)題的表決中有時(shí)出現(xiàn)表決平局現(xiàn)象而達(dá)不成一致意見(jiàn)。為改變這一情況，學(xué)院決定再增加一個(gè)代表席位，總代表席位變?yōu)?1個(gè)。重新按慣例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 總數(shù) 學(xué)生數(shù) 103 63

3、34 200 學(xué)生人數(shù)比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按慣例席位分配 11 7 3 21這個(gè)分配結(jié)果出現(xiàn)增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情況，這使人覺(jué)得席位分配明顯不公平。這個(gè)結(jié)果也說(shuō)明按慣例分配席位的方法有缺陷，請(qǐng)嘗試建立更合理的分配席位方法解決上面代表席位分配中出現(xiàn)的不公平問(wèn)題。模型構(gòu)成 先討論由兩個(gè)單位公平分配席位的情況，設(shè) 單位 人數(shù) 席位數(shù) 每席代表人數(shù)單位A p1 n1 單位B p2 n2 要公平，應(yīng)該有=， 但這一般不成立。注意到等式不成立時(shí)有 若 >，則說(shuō)明單位A 吃虧(即對(duì)單位A不公平 )

4、若<，則說(shuō)明單位B 吃虧 (即對(duì)單位B不公平 )因此可以考慮用算式 來(lái)作為衡量分配不公平程度，不過(guò)此公式有不足之處（絕對(duì)數(shù)的特點(diǎn)），如：某兩個(gè)單位的人數(shù)和席位為 n1 =n2 =10 ， p1 =120， p2=100， 算得 p=2另兩個(gè)單位的人數(shù)和席位為 n1 =n2 =10 ， p1 =1020，p2=1000, 算得 p=2雖然在兩種情況下都有p=2，但顯然第二種情況比第一種公平。下面采用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)公式給予改進(jìn)，定義席位分配的相對(duì)不公平標(biāo)準(zhǔn)公式：若 則稱(chēng) 為對(duì)A的相對(duì)不公平值， 記為 若 則稱(chēng) 為對(duì)B的相對(duì)不公平值 ，記為 由定義有對(duì)某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，

5、因此可以用使不公平值盡量小的分配方案來(lái)減少分配中的不公平。確定分配方案： 使用不公平值的大小來(lái)確定分配方案，不妨設(shè)>，即對(duì)單位A不公平，再分配一個(gè)席位時(shí)，關(guān)于,的關(guān)系可能有 1.        > ,說(shuō)明此一席給A后,對(duì)A還不公平;2.        < ,說(shuō)明此一席給A后,對(duì)B還不公平,不公平值為3.        > ,說(shuō)明此一席給B后,對(duì)A不公平,不公平值為

6、4.< ,不可能 上面的分配方法在第1和第3種情況可以確定新席位的分配，但在第2種情況時(shí)不好確定新席位的分配。用不公平值的公式來(lái)決定席位的分配，對(duì)于新的席位分配，若有則增加的一席應(yīng)給A ，反之應(yīng)給B。對(duì)不等式 rB(n1+1,n2)<rA (n1,n2+1)進(jìn)行簡(jiǎn)單處理，可以得出對(duì)應(yīng)不等式引入公式于是知道增加的席位分配可以由Qk的最大值決定，且它可以推廣到多個(gè)組的一般情況。用Qk的最大值決定席位分配的方法稱(chēng)為Q值法。對(duì)多個(gè)組（m個(gè)組）的席位分配Q值法可以描述為： 1先計(jì)算每個(gè)組的Q值： Qk , k=1,2,m 2求出其中最大的Q值Qi（若有多個(gè)最大值任選其中一個(gè)即可） 3將席位分

7、配給最大Q值Qi對(duì)應(yīng)的第i組。這種分配方法很容易編程處理。模型求解 先按應(yīng)分配的整數(shù)部分分配，余下的部分按Q值分配。 本問(wèn)題的整數(shù)名額共分配了席，具體為： 甲 10.815 n1 =10 乙 6.615 n2 =6 丙 3.570 n3 =3對(duì)第席的分配，計(jì)算Q值Q1=1032/(10´11) = 96.45 ; Q2=632/(6´7)= 94.5; Q3 =342/(3´4)=96.33因?yàn)镼1最大，因此第席應(yīng)該給甲系; 對(duì)第席的分配，計(jì)算Q值Q1=1032/(11´12)=80.37 ; Q2 =632/(6´7)=94.5; Q3 =342/(3´4)=96.33因?yàn)镼3最大，因此第1席應(yīng)該給丙系最后的席位分配為： 甲席乙席 丙席