第一章引論

1、數值分析數值分析一、什么是數值分析一、什么是數值分析 數值分析是計算數學的一個主要部分,計算數學是數學科學的一個分支,它研究用計算機求解各種數學問題的數值計算方法及其理論與軟件實現.實際問題實際問題數學模型數學模型數值計算方法數值計算方法 程序設計程序設計上機計算求出結果上機計算求出結果第第1 1章章 緒論緒論1 數值分析的研究對象與特點數值分析的研究對象與特點二、數值分析的基本內容二、數值分析的基本內容1 1、數值逼近、數值逼近 插值法 函數逼近與曲線擬和 數值積分與數值微分2 2、數值代數、數值代數 線性代數問題(方程組和特征值) 非線性方程(組)數值解法 3 3、常微方程數值解法和偏微方

2、程數值解法、常微方程數值解法和偏微方程數值解法三、數值分析的特點三、數值分析的特點,1) 1(312112ln1nn).31713151313131(22ln753vs,32)1ln(32xxxx1 1、面向計算機、面向計算機 2 2、可靠的理論分析、可靠的理論分析, ,保證收斂性、穩(wěn)定性保證收斂性、穩(wěn)定性3 3、良好的計算復雜性、良好的計算復雜性4 4、數值實驗、數值實驗Cramer法則 vs Gauss消去法.31ln12()313xxxxx取四、如何學好數值分析四、如何學好數值分析1 1、注意掌握基本原理、處理技巧，誤差分析、注意掌握基本原理、處理技巧，誤差分析 3 3、積極動手上機實踐

3、、積極動手上機實踐2 2、注重實際問題，練習、作業(yè)、注重實際問題，練習、作業(yè) 五、教學參考書五、教學參考書 數值計算引論 白峰杉 高等教育出版社 科學和工程計算基礎 施妙根等 清華大學出版社 數值分析，易大義等編，浙江科學技術出版社 數值方法教程，劉欽圣等編 , 冶金出版社,1998 計算方法，秦林祥等編, 兵器工業(yè)出版社,1992 數值分析基礎，關治等編 , 高教出版社,1998一、誤差來源、分類一、誤差來源、分類 觀測誤差觀測誤差截斷誤差截斷誤差或方法誤差方法誤差模型誤差模型誤差 2 數值計算的誤差數值計算的誤差截斷誤差：nnnxnfxfxffxPxf!)0(! 2)0(! 1)0()0(

4、)()()(2 1) 1()!1()()(nnnxnfxR舍入誤差舍入誤差.0000026. 014159. 3R數制轉換、機器數. 在用數值方法解題過程中可能產生的誤差歸納起來有如下幾類： 1. 模型誤差 2. 觀測誤差 3. 截斷誤差 4. 舍入誤差誤差誤差誤差誤差誤差誤差 用數學方法解決一個具體的實際問題，首先要建立數學模型，這就要對實際問題進行抽象、簡化，因而數學模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差 數學模型是指那些利用數學語言模擬現實而建立起來的有關量的描述 數學模型的準確解與實際問題的真解不同實際問題的實際問題的真解真解數學模型的數學模型的真解真解為減化模型忽略次要為減化模型忽

5、略次要因素因素定理在特定條件下建立與實定理在特定條件下建立與實際條件有別際條件有別模型誤差模型誤差 在數學模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長度、電壓等，這些參數往往是通過觀測得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差 數學模型中的參數和原始數據，是由觀測和試驗得到的 由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制,使數據含有測量誤差,這類誤差叫做觀測誤差或數據誤差 根據實際情況可以得到誤差上下界 數值方法中需要了解觀測誤差,以便選擇合理的數值方法與之適應觀測誤差觀測誤差 精確公式用近似公式代替時,所產生的誤差叫截斷誤差 例如, 函數f(x)用泰勒(Taylor)多項式 截斷誤差截斷誤差

6、nnnxnfxfxffxp!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2 1) 1()!1()()()()(nnnnxnfxpxfxR（介于0與x之間）近似代替，則數值方法的截斷誤差是近似代替，則數值方法的截斷誤差是p 截斷誤差的大小直接影響計算結果的精度和計算截斷誤差的大小直接影響計算結果的精度和計算 工作量，是數值計算中必須考慮的一類誤差工作量，是數值計算中必須考慮的一類誤差 在數值計算中只能對有限位字長的數值進行運算 需要對參數、中間結果、最終結果作有限位字長的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理 用有限位數字代替精確數，這種誤差叫做舍入誤差，是數值計算中必須考慮的一類誤差舍入誤差舍入誤

7、差誤差誤差誤差誤差誤差誤差 例例如在計算時用如在計算時用3.141593.14159近似代替近似代替 ，產生的誤差產生的誤差R= R= -3.14159=0.0000026-3.14159=0.0000026就是舍入誤差。就是舍入誤差。 上述種種誤差都會影響計算結果的準確上述種種誤差都會影響計算結果的準確性，因此需要了解與研究誤差，在數值計算性，因此需要了解與研究誤差，在數值計算中將著重研究截斷誤差、舍入誤差，并對它中將著重研究截斷誤差、舍入誤差，并對它們的傳播與積累作出分析們的傳播與積累作出分析二、誤差、有效數字二、誤差、有效數字定義定義1 1 絕對誤差，絕對誤差，簡稱誤差：誤差：.* ,*

8、的近似值為準確值其中xxxxe誤差限：誤差限：.|*|*的一個上界e相對誤差：相對誤差：,*xeer相對誤差限：相對誤差限：.|*的一個上界rre.*xeer或5 . 0765 x例如，毫米尺5.1000 1,10 yx例如，0.5%.| %,10|*yxyx.000008. 0 ,1416. 3 ,002. 0 ,14. 3 ,1415926. 3*5*5*3*3xxx取五位取三位定義定義2 2 .*,* 有效數字有效數字位有位，就說的第一位非零數字共有到該位的半個單位的誤差限是某一位數字若近似值nxnxx例例1 1 42.195, 0.0375551, 8.00033 8.00033, 2

9、.71828,按四舍五入寫出上述各數具有四位有效數字的近似數.(2.2) 1021* . 0(2.1) )1010(10* 11) 1(121nmnnmxxaaaax并且其中即例例2 2 考察三位有效數字重力加速度g,若以m/s2為單位, g9.80m/s2, 若以km/s2為單位, g0.00980km/s2,102180. 9g 23. 0, ) 1 . 2(nm，按,102100980. 0g 53. , 3 ) 1 . 2(nm，按.10212*1絕對誤差限.10215*2絕對誤差限.0.00980/0.0000050.005/9.80 *r而相對誤差限相同：11021*nm30 4

10、10.00009260.5 100.5 10 xx 解解1：若取近似值x*=3.1415，絕對誤差是0.0000926，有，即m=0,n4，故近似值x*=3.1415只有4位有效數字解2：x*3.1415的絕對誤差限絕對誤差限0.0005，它是x的小數后第第3位位的半個單位，故近似值x*=3.1415準確到小數點后第3位故近似值x*=3.1415只有4位有效數字例例3 設x= =3.1415926，求x*=3.1415的近似值及有效數字1(1)121*(1)1 * *10(1010) (2.1)0 . *1 10 2mnnnrxxaaaaxna 設近似數表示為其中若具有 位有效數字，則其相對誤

11、差限為；定理定理 *(1)11 * 10*2(1).nrxxan反之， 若的相對誤差限為，則至少具有 位有效數字 200.1%要使的相對誤差限小于，要取幾位有效數字？例例4 4 111102na 1*111204.4,41100.125 100.1%42nnrana 只要取解：解：設取n位有效數字，相對誤差限*r=，1 31100.00252216110= 0.000 000 5629例例5 指出下列各數具有幾位有效數字，及其絕對誤差限和相對誤差限：0.002 009 000.00解解 因為x1*=0.002 00， m=3絕對誤差限0.000 005= 因為m=3，n=3， x1*= 0.0

12、02 00有3位有效數字. a1=2，相對誤差限r=x2*=9 000.00，絕對誤差限0.005，因為m=3，n=6，x2*=9 000.00有6位有效數字，相對誤差限為r 如果認為小數點后邊的0無用，將9 000.00隨便寫作90009103，那么它的絕對誤差就是=0.5=0.51034+1，即m=3，n=4，表明這個數有4位有效數字可見，小數點之后的0，不是可有可無的，它是有實際意義的.53 3 110.5 100.5 100.5 10m n 三、數值運算的誤差估計三、數值運算的誤差估計*1212,x xxx四則運算，設為準確值為近似值，則：誤差限.|)(|)(|)/( ),(|)(|)

13、( ),()()( 2*2*1*2*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1xxxxxxxxxxxxxxxxx,*, ,*)(*)*)(*)()( ,*,)(22)(之間在公式由為近似值為準確值，一元函數xxxxxxxfxfxfTaylorxxxff *).(|*)(|*)( *)(xxfxfxf的誤差限得).(*)( ),(,),(*1*11*11knkknnnnxxffxxfxxxxxxf的誤差限同理得的近似值為準確值，多元函數* (8) ( *)( *)( *).sldsssldld場地面積：書上第 頁例例6 6ABC*(1000.10) , *(1200.10) ,*(6

14、00.02) ,ABCSobm cmA例 設觀測數據為試估計面積的絕對誤差限和相對誤差限。21sin2()( )( )()11sin0.1sin0.1221cos0.0210.572180SbcASSSSbcAbcAcAbAbcAm解由則3( )10.57|( )| |2.035 101sin2rsssbcA誤差分析簡介誤差分析簡介 向后誤差分析法區(qū)間分析法概率分析法3 誤差定性分析、避免誤差危害誤差定性分析、避免誤差危害).,(),(111nnflnaagxaagx，xyyx ,一、病態(tài)問題與條件數一、病態(tài)問題與條件數 ., ,)()()()(*)(條件數稱為計算函數值問題的考慮計算函數值問

15、題ppxfxf xxxxfxfxfCC%.24%,2,24. 1)02. 1 (, 1) 1 (,10,)(10函數值相對誤差為誤差為自變量相對例如ffCxxfp.10認為是病態(tài)一般pC.,考慮是否病態(tài)條件數其他計算問題也要考慮二、算法的數值穩(wěn)定性二、算法的數值穩(wěn)定性考慮初始數據誤差在計算中的傳播問題. . 1107 d , 0,1, .nxnIex ex n計算并估計誤差例例 ,.舍入義一個算法若輸入數據有誤差 而在計算過程中不增長 則稱此算法是數值穩(wěn)定的 否則是不誤差穩(wěn)定的定定3 3, 2 , 1 ,11nnIInn., 2 , 1 ,1,6321. 0)(10nInIIAnn.110eI

16、. 1 , 8 , 9 ),1 ( ,0684. 0)(*1*1*9nIIIBnnn)0684. 0)10101(21(19eI控制遞推公式中誤差的傳播控制遞推公式中誤差的傳播 對于一個數學問題的求解往往有多種數值方法對于一個數學問題的求解往往有多種數值方法在選擇數值方法時，要注意所用的數值方法不應將在選擇數值方法時，要注意所用的數值方法不應將計算過程中難以避免的誤差放大的較快，造成計算計算過程中難以避免的誤差放大的較快，造成計算結果完全失真。結果完全失真。例例 計算積分計算積分 并估計誤差并估計誤差解解 容易得到遞推公式容易得到遞推公式 10(0,1,2,10)10nnxIdxnx1 . 1

17、ln)10ln(10110100 xdxxI 1.1ln)10ln(10110100 xdxxI1011011011101010101010101010dxxxdxxxxdxxxxxdxxxInnnnnnnn11011011011010nnnIndxxxdxx)10, 2 , 1(n即即 為為 nI111 0(1, 2 ,1 0 )nnIInn(1,2,10)n 則準確的理論遞推式則準確的理論遞推式 實際運算的遞推式實際運算的遞推式 兩式相減有兩式相減有 01101II*0*1101II)(10)(10*0*00*11IeIIII*2*112200( )10()( 10) ()( 1) 10

18、()nnnnnnnnne IIIIIIIII 這就是說這就是說, ,若若 與與 的誤差為的誤差為 = = - , ,即即 ，則誤差的遞推規(guī)律為，則誤差的遞推規(guī)律為 0I*0I)(*0Ie0I*0I)(*0*00IeII于是于是 )(10)(10)(10)(*010*82*9*10IeIeIeIe計算計算 時的誤差被擴大了時的誤差被擴大了 倍倍, ,顯然算法是顯然算法是數值不穩(wěn)定的。數值不穩(wěn)定的。 如果將遞推公式如果將遞推公式 變換一種形式變換一種形式 *10I10101101nnInI101011nnInI準確的理論遞推式準確的理論遞推式實際運算的遞推式實際運算的遞推式從而有從而有 10101

19、1nnInI10101*1nnInI)(101*11nnnnIIII)(10) 1()(101)(101*222*11*00nnnnIIIIIIII即即)(101)(101)(101)(*1010*22*1*0IeIeIeIe于是有于是有則這個算法的誤差傳遞規(guī)律為則這個算法的誤差傳遞規(guī)律為 *1()()10nne Ie I 即每計算一步的誤差的絕對值是上一步的十分即每計算一步的誤差的絕對值是上一步的十分之一，誤差的傳播逐步縮小，得到很好的控制，這之一，誤差的傳播逐步縮小，得到很好的控制，這個算法是數值穩(wěn)定的個算法是數值穩(wěn)定的 算法的數值穩(wěn)定性 算法優(yōu)劣的標準 從截斷誤差觀點看,算法必須是截斷誤

20、差小,收斂斂速要快。即運算量小,機器用時少. 從舍入誤差觀點看,舍入誤差在計算過程中要能控制,即算法的數值要穩(wěn)定. 從實現算法的觀點看,算法的邏輯結構不宜太復雜，便于程序編制和上機實現. 設計算法時應遵循的原則 要有數值要穩(wěn)定性,即能控制誤差的傳播. 避免大數吃小數,即兩數相加時,防止較小的數加不到較大的數上. 避免兩相近的數相減,以免有效數字的大量丟失. 避免分母很小(或乘法因子很大),以免產生溢出.三、避免誤差危害的若干原則三、避免誤差危害的若干原則除了分清問題是否病態(tài)和算法是否數值穩(wěn)定外,還要考慮避免誤差危害和防止有效數字損失的如下原則.1.避免大數除以小數例例8 仿計算機，采用3位十進

21、制，用消元法求解方程組 51.00 101.001.00 1.001.002.00 xyxy)1000. 100. 2()1000. 100. 1 ( 00. 100. 11000. 1555yyxx，得消00. 1 00. 100. 11000. 15yyx00. 1* ,00. 0* yx解：解：錯.為什么,怎么辦？9999899. 000001. 1555510110210110yx510) 1 () 2(減少運算誤差原則減少運算誤差原則2 2、兩個相近的數相減，會嚴重損失有效數字、兩個相近的數相減，會嚴重損失有效數字 例如例如x =1958.75x =1958.75，y =1958.3

22、2y =1958.32都具有五位都具有五位 有效數字，但有效數字，但x-y=0.43x-y=0.43只有兩位有效數字只有兩位有效數字 通常采用的方法是改變計算公式通常采用的方法是改變計算公式, ,例如當與例如當與 很接近時很接近時, ,由于由于2121lglglgxxxx用右端代替左端公式計算用右端代替左端公式計算, ,有效數字就不會損失有效數字就不會損失 減少運算誤差原則減少運算誤差原則當當x很大時可作相應的變換很大時可作相應的變換 xxxx111) 1(11) 1(xxarctgarctgxxarctg則用右端來代替左端。則用右端來代替左端。 減少運算誤差若干原則減少運算誤差若干原則當當x

23、接近接近0 0時時 xxxxsin1sinsincos1一般情況，當一般情況，當f(x)f(xf(x)f(x* *) )時，可用泰勒展開時，可用泰勒展開 2*)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf取右端的有限項近似左端。取右端的有限項近似左端。 如果計算公式不能改變，則可采用增加有效位如果計算公式不能改變，則可采用增加有效位數的方法保證精度數的方法保證精度 212 1610.x863 ,863xxx 求解例例9 972 A10 1 cos2 .1 cos2sin2xx。計算（）例例1010 xxxx11112301. 001. 001. 001. 001. 001. 0123100

24、100項項例例11 仿計算機在3位十進制下，、防止防止大數大數吃吃小數小數例 求二次方程x2-105x+1=0的根 解：按二次方程求根公式 x1=(105+(1010-4)1/2)/2 x2=(105-(1010-4)1/2)/2 在8位浮點數計算得 x1=(105+105 )/2=105 (正確）, x2=(105-105 )/2=0 (錯誤） 產生錯誤的原因 出現大數1010吃掉小數4的情況 分子部分出現兩個相近數相減而喪失有 效數位常稱為災難性的抵消4、絕對值太小的數不宜做除數當分母為兩個相近數相減時,會喪失有效數字4()()10 ()0.14560.14550.0001分子分子分子這里

25、分子的誤差被擴大這里分子的誤差被擴大104104倍倍, ,再如再如若將分母變?yōu)槿魧⒎帜缸優(yōu)?.0011,0.0011,即分母只有即分母只有0.00010.0001的變化的變化時時, ,計算結果卻有了很大變化計算結果卻有了很大變化 減少運算誤差若干原則減少運算誤差若干原則3.14153141.50.0019 .28550011.01415.3例 計算0135. 00125. 00003. 00012. 00143. 00005. 0D 解: 分子分母分別計算后相除(取9位小數)A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012 =0.000000009(有舍入)B=

26、0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135 =0.000000051(有舍入)D=A/B=0.17647真值為0.16948148，所以D只準確到小數后一位減少運算誤差若干原則減少運算誤差若干原則 算法2。分成三組因子。每組只取六位小數計算 a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入) b=0.0143/0.0125=1.144000 c=0.0012/0.0135=0.088889 (有舍入) D=a*b*c=1. 666667* 1.144000* 0.088889 =0.169482,準確到小數后5位。0135.00125.00003.00012.00143.00005.0Db bc ca a減少運算誤差若干原則減少運算誤差若干原則5、簡化計算步驟，減少運算次數減少運算次數可以不但節(jié)省時間，而且減少舍入誤差 例：x255=xx2x4x8x16x32x64x128 原先要做254次乘法現只需14次即可例 如計算多項式 p(x)=anxn an-1xn-1 a1x a0 的值 若直接計算akxk,再逐項相加，一共要做 n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2次乘法和n次加法 減少運算誤差若干原則減少運算誤差若干原則如果將前n項提出x，則