11彈性力學(xué)試題及答案

1、2012年度彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案（絕密試題）、填空題1、彈性力學(xué)研究彈性體由丁受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長時(shí)為正,縮短時(shí)為負(fù),與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正、變大時(shí)為負(fù)、與切應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)牛內(nèi)力、它的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量、也就是正應(yīng)和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是L-1M2。5、彈性力學(xué)的基本假定為許續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應(yīng)力問題和

2、平面應(yīng)變問題。7、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量x100MPa,y50MPa,xy10/50MPa,則主應(yīng)力1150MPa、2QMPa,13516。8、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，x200MPa,y0MPa,xy400MPa,則主應(yīng)力1512MPa,2-312MPa,1-3757。9、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，x2000MPa,y1000MPa,xy400MPa,則主應(yīng)力11052MPa,2-2052MPa,1-8232。10、在彈性力學(xué)里分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件、分別建立三套方程。11、表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之

3、間的關(guān)系式。分為位移奈界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問顆時(shí)常采用渺解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引和的,另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而許帶引起的。16、每個單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點(diǎn)不相同的，即所訓(xùn)變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的、是各點(diǎn)相同的，即所謂常量應(yīng)變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常景應(yīng)變

4、，還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)也18、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把I位移模式取為坐標(biāo)的單伯許續(xù)函數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們在公共結(jié)點(diǎn)處具有相同的位移時(shí),也能在整個公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)Ni在i結(jié)點(diǎn)Ni=1;在其他結(jié)點(diǎn)Ni=0及Ni=。20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用面中方法：一是將單元的尺寸瘋小,以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移和應(yīng)力的精度提高。、判斷題(請?jiān)谡_命題后的括號內(nèi)打，在錯誤命題后的括號內(nèi)打“X”)1、連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介

5、質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。(V)5、如果某一問題中，zzxzy0,只存在平面應(yīng)力分量x,y,xy,且它們不沿Z方向變化，僅為x,y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)力問題。(/)6、如果某一問題中,zzxzy0,只存在平面應(yīng)變分量x,y,xy,且它們不沿Z方向變化，僅為x,y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)變問題。(/)9、當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。(/)10、當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。E)14、在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對單元的作用力。(/)15、在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。(/)四、分析計(jì)算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存

6、在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。(1)xAxBy,yCxDy,xyExFy；(2)xA(x2y2),yB(x2y2),xyCxy；其中,A,B,C,D,E,F為。應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下歹0條件：x上022xy;(2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程22yxy八xy0yx(1)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程解：xyO；(3)在邊界上的應(yīng)力1邊界條件yxsfxy1xysfyS;(4)對丁多連體的位移單值條件。s(1)此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F,D=-E。此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。(2)為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=0;為了滿足平衡

7、微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、已知應(yīng)力分量Qxy2C1x3,yxy2,xyC2y3C3x2y，體力不計(jì)，Q為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)C1,C2,C3。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程2_2_3C2yC3x022Qy3Cix3C?xy2C3xy022-3C1C3xQ3C2y03C22C3xy0由x,y的任意性,3C1C30Q3C203C22C30由此解得，CiQ6C2CQC323、已知應(yīng)力分量0,判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應(yīng)力分量xq,xy0,代入平衡微分方程可知，已知應(yīng)力分量xy0一股不滿足平衡

8、微分方程，只有體力忽略不計(jì)時(shí)才滿足按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程:xyyy(xy)*yx)2(1).xy將已知應(yīng)力分量xq,yq,xy0代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程：2292（）（）xyy2（x1y）x2（y1x）1xy將已知應(yīng)力分量xq,yq,xy0代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下歹0平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在。（1）xAxy,yBy3,約CDy2;（2）xAy2,yBx2y,xyCxy；（3）x0,y0,xyCxy；其中，A,B,C,D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即222xyxy

9、22-yxxy將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：（1）相容。（2）2A2ByC（1分）；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：B=0,2A=C。（3）0=C;這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：C=0,貝Ux0,y0,xy0（1分）5、證明應(yīng)力函數(shù)by2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)，b0）。O1h/2Ix1h/2,1/21/2-解：將應(yīng)力函數(shù)by2代入相容方程可知，所給應(yīng)力函數(shù)by2能滿足相容方程。由丁不計(jì)體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為2xyxr2b,y20xy根據(jù)邊界條件，上下左右四上邊,h2,l0,m1,fx(xy)h0,fxxy0;下邊,h-,l0,m1

10、,fx(xy)yh0,fyy)0;左邊,l歹l1,m0,fx(xify(xy)I0；2右邊,i2,l1,m0,fx(x)*!2b,fy(xy)l0。x-2對丁圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí),個邊上的面力分別為：可見,應(yīng)力函數(shù)上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此,by2能解決矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布壓力（b0）的問題。6、證明應(yīng)力函數(shù)axy能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)，a0）。6xh/21h/2.l/2l/2.!y解：將應(yīng)力函數(shù)axy代入相容方程42乙22xy可知，所給應(yīng)力函數(shù)axy能滿足相容方

11、程。由丁不計(jì)體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為y2xyXaxy對丁圖示的矩形板和坐標(biāo)系,個邊上的面力分別為：當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四h上邊，y,l0,m1,fx(xy)2yh下邊，y二，l0,m1,fx(xy)h2y21 左邊，x-,l1,m0,fx(x)2 x1 _右邊，x,l1,m0,fx(x)l02 七可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的士ha,fy(y)h0；-y-22a,fy(y)yh0；1 0,fy(xy)、la；2 2，fy（xy）la0x_2布面力a,而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)axy能解決矩形板受均布剪力的問題7、如圖所示的矩形截面的長

12、堅(jiān)柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分x解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓,即設(shè)x0。由此可知2x20y將上式對y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式x,yf(x)yf2(x)將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得4-4-df1(x)df2(x)y4dxdx。0這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它），可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等丁零，即4_df（x）40,dx4_df2(x)dx40這兩個方程要求-a_2_f1(x)AxBxCxI,-_a2f2(x)DxExJxK代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得

13、3232y(AxBxCx)DxEx對應(yīng)應(yīng)力分量為2y(6Ax2B)6Dx2Egyxxy23Ax22BxCxy以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。1,m0,沿y方向無面力，所以有(xy)x0C0左邊,0,右邊,b,1,m0,沿y方向的面力為q,所以有2(xy)xb3Ab2Bbq上邊,0,0,m1,沒有水平面力，這就要求xy在這部分邊界上合成的主欠量和主矩均為零，即b0(xy)y0dx0將xy的表達(dá)式代入，并考慮到C=0,則有：(3Ax22Bx)dxAx3Bx2?Ab3Bb20一b,而0(xy)y0dx。自然滿足。乂由丁在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求y在這部分邊界上合成的主欠量和主矩均為零，即bb

14、0(y)ydx0,0(y)yxdx0將y的表達(dá)式代入，則有b(6Dx2E)dx3Dx22Ex：3Db22Eb0b(6Dx2E)xdx2Dx3Ex202Db3Eb20由此可得A耳，Ba,C0,D0,E0b2b應(yīng)力分量為x0,y2q=13三gy,小qf3x2bbbb雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為VfxxfyV是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為,2xy，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。xy證明：在體力為有勢力的情況下,按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，應(yīng)力分量應(yīng)當(dāng)滿

15、足平衡微分方程yx（1分）xy還應(yīng)滿足相容方程2fxfy（對丁平面應(yīng)力問題）fxfy22xy并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（對丁平面應(yīng)變問題）分）。對丁多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為yxxyy這是一個齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個方程改寫為Vyxy根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A（x,y）,使得Ayxx同樣，將第二個方程改寫為yx（1分）可見也一定存在某一函數(shù)B（x,y）,使得由此得因而乂一定存在某一函數(shù)x,y,使得A，Byx代入以上各式，得應(yīng)力分量一，yV一yxxy為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)x,y必須滿足一定的方程,將上述

16、應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問題的相容方程，得222222_，rVV1Vxyyxxy2222222V1222222xyyxxy簡寫為42(1)V將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問題的相容方程，得2222.1V-xyyx1222222.221/y2y2乂22乂2-y2V1乂2y2V簡寫為，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為解。O解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為3ax!22!3bxycxydy相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為222x2xfx2cx6dy,y2yfy6ax2bygy,冷2bx2cyyxxy這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個系數(shù),是否能滿足應(yīng)力

17、邊界條件。上邊，y0,10,m1,沒有水平面力，所以有(xy)y02bX0對上端面的任意X值都應(yīng)成立，可見b0同時(shí)，該邊界上沒有豎直面力，所以有(y)y06ax0對上端面的任意X值都應(yīng)成立，可見a0因此，應(yīng)力分量可以簡化為x2cx6dy,ygy,xy2cy斜面，yxtan,1cossin,mcoscos,沒有面力，所以有21xmyxy如0my1xyyxtan0由第一個方程，得2cx6dxtansin2cxtancos4cxsin6dxtansin0對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求4c6dtan0由第二個方程，得gxsin02cxtansingxtancos2cxtansin對斜面的任意x值都

18、應(yīng)成立，這就要求2ctang0（1分）由此解得合成的主欠應(yīng)為21xy心合成為反力7g1h。hh2.22-0x,dvglcotx102gycotdyglhcotghcot0hhL,12,1,0xyx1dy0gycotdy-ghcot-g1h反力沿x方向的分量為0,沿y方向的分量為可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件從而應(yīng)力分量為xgxcot設(shè)三角形懸臂梁的長為1,gcot（1分），2gycot2高為h,則tan1子3gcotgy,xygycot。根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束1一.，-gih。因此，所求x在這部分邊界上210、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角力及液體壓力，楔形體的密度為1,液體的密度為,下端作為無限長，承受重2，試求應(yīng)力分量。x解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意一點(diǎn)，每一個應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與3成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與2g成正比。此外，每一部分還與，x,y有關(guān)。由丁應(yīng)力的量綱是L-1MT-2,1g和2g的量綱是L-2MT-2,是量綱一的量，而x和y的量綱是L,因此，如果應(yīng)力分量具有多項(xiàng)式的解答，那么它們