高中數(shù)學函數(shù)與方程知識點總結(jié)、經(jīng)典例題及解析、高考真題及答案_第1頁
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文檔簡介

1、函數(shù)與方程【知識梳理】1、函數(shù)零點的定義(1)對于函數(shù),我們把方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的零點。(2)方程有實根函數(shù)的圖像與x軸有交點函數(shù)有零點。因此判斷一個函數(shù)是否有零點,有幾個零點,就是判斷方程是否有實數(shù)根,有幾個實數(shù)根。函數(shù)零點的求法:解方程,所得實數(shù)根就是的零點(3)變號零點與不變號零點若函數(shù)在零點左右兩側(cè)的函數(shù)值異號,則稱該零點為函數(shù)的變號零點。若函數(shù)在零點左右兩側(cè)的函數(shù)值同號,則稱該零點為函數(shù)的不變號零點。若函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)的曲線,則是在區(qū)間內(nèi)有零點的充分不必要條件。2、函數(shù)零點的判定(1)零點存在性定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零

2、點,即存在,使得,這個也就是方程的根。(2)函數(shù)零點個數(shù)(或方程實數(shù)根的個數(shù))確定方法 代數(shù)法:函數(shù)的零點的根;(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。(3)零點個數(shù)確定有2個零點有兩個不等實根; 有1個零點有兩個相等實根;無零點無實根;對于二次函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù),要結(jié)合圖像進行確定.1、 二分法(1)二分法的定義:對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù),通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方程的近似解的步驟: 確定區(qū)間,驗證,給定精確度;求區(qū)間的中點;計算;

3、()若,則就是函數(shù)的零點;() 若,則令(此時零點);() 若,則令(此時零點);判斷是否達到精確度,即,則得到零點近似值為(或);否則重復(fù)至步.【經(jīng)典例題】1函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是 ( )A、0 B、1 C、2 D、32函數(shù) f(x)2x3x的零點所在的一個區(qū)間是 ( )A、(2,1) B、(1,0) C、(0,1) D、(1,2)3若函數(shù) (且)有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是 .4設(shè)函數(shù)f(x)滿足f()=f(x),f(x)=f(2x),且當時,f(x)=x3.又函數(shù)g(x)= |xcos|,則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點個數(shù)為 ( )A、5 B、6 C、7 D、85函數(shù)在

4、區(qū)間0,4上的零點個數(shù)為 ( )A、4 B、5 C、6 D、76函數(shù)在內(nèi) ( )A、沒有零點 B、有且僅有一個零點 C、有且僅有兩個零點 D、有無窮多個零點7對實數(shù)a和b,定義運算“”:ab設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(xx2),xR,若函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則實數(shù)c的取值范圍是 ( )A、(,2 B、(,2C、 D、8已知函數(shù)=當2a3b4時,函數(shù)的零點 .9求下列函數(shù)的零點:(1); (2). 10判斷函數(shù)yx3x1在區(qū)間1,1.5內(nèi)有無零點,如果有,求出一個近似零點(精確度0.1)【課堂練習】1、在下列區(qū)間中,函數(shù)的零點所在的區(qū)間為 ( ) A、 B、 C、 D、2、若

5、是方程的解,則屬于區(qū)間 ( )A、 B、 C、 D、3、下列函數(shù)中能用二分法求零點的是 ( )4、函數(shù)f=2+3x的零點所在的一個區(qū)間是 ( )A(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)5、設(shè)函數(shù)f=4sin(2x+1)-x,則在下列區(qū)間中函數(shù)f不存在零點的是 ( ) A、-4,-2 B、-2,0 C、0,2 D、2,46、函數(shù)=-在0,內(nèi) ( ) A、沒有零點 B、有且僅有一個零點 C、有且僅有兩個零點 D、有無窮多個零點7、若函數(shù)的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25,則可以是( ) A、 B、 C、 D、8、下列函數(shù)零點不宜用二分法的是 ( )A、 B、 C、

6、D、9、函數(shù)f(x)=log2x+2x-1的零點必落在區(qū)間 ( )A、B、C、D、(1,2)10、有解的區(qū)域是 ( )A、 B、 C、 D、11、在下列區(qū)間中,函數(shù)的零點所在的區(qū)間為 ( )A、 B、 C、 D、12、函數(shù)的零點所在區(qū)間為( )A、 B、 C、 D、13、設(shè),用二分法求方程內(nèi)近似解的過程中得則方程的根落在區(qū)間( )A、 B、 C、 D、不能確定14、設(shè)函數(shù),則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點的是( )A、 B、 C、 D、15、函數(shù), 零點個數(shù)為( )A、3 B、2 C、1 D、016、若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算,其參考數(shù)據(jù)如下:f (1) = 2f (1.5) =

7、 0.625f (1.25) = 0.984f (1.375) = 0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = 0.054那么方程的一個近似根(精確到0.1)為( ) A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.517、方程的實數(shù)解的個數(shù)為 .18、已知函數(shù)的一個零點比1大,一個零點比1小,求實數(shù)的取值范圍。19、判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù),并說明理由。20 、求函數(shù)的一個正數(shù)零點(精確度0.1)【課后作業(yè)】1、下列函數(shù)圖象與x軸均有交點,但不宜用二分法求交點橫坐標的是 ( )2、設(shè),則在下列區(qū)間中,使函數(shù)有零點的區(qū)間是 ( )A、0,1 B、1,2 C、2,1

8、D、1,03、已知唯一的零點在區(qū)間、內(nèi),那么下面命題錯誤的 ( )A、函數(shù)在或內(nèi)有零點 B、函數(shù)在內(nèi)無零點C、函數(shù)在內(nèi)有零點 D、函數(shù)在內(nèi)不一定有零點4、若函數(shù)有3個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是 ( )A、 B、 C、 D、5、函數(shù)的零點所在的區(qū)間為 ( )A、(1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(1,e)6、求函數(shù)零點的個數(shù)為 ( )A、 B、 C、 D、7、如果二次函數(shù)有兩個不同的零點,則的取值范圍是 ( )A、 B、 C、 D、8、方程根的個數(shù)為 ( ) A、無窮多 B、 C、 D、9、用二分法求方程在(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0,則方程的根在區(qū)間 ( )

9、A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能確定10、設(shè)函數(shù)f(x)xlnx(x0),則yf(x) ( )A、在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均有零點 B、在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均無零點C、在區(qū)間內(nèi)有零點,在區(qū)間(1,e)內(nèi)無零點 D、在區(qū)間內(nèi)無零點,在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點11、設(shè)函數(shù),則函數(shù) ( )A、在區(qū)間(0,1),(1,2)內(nèi)均有零點 B、在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點,在區(qū)間(1,2)內(nèi)無零點C、在區(qū)間(0,1),(1,2)內(nèi)均無零點 D、在區(qū)間(0,1)內(nèi)無零點,在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點12、用二分法研究函數(shù)的零點時,第一次經(jīng)計算,可得其中一個零點 , 第二次應(yīng)計算

10、. 以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為 ( )A、(0,0.5), B、(0,1), C、(0.5,1), D、(0,0.5),13、函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是 ( )A、0 B、1 C、2 D、314、(已知函數(shù)當是,函數(shù)的零點則n= .15、用二分法求函數(shù)在區(qū)間(2,4)上的近似解,驗證f(2)·f(4)<0,給定精確度0.01,取區(qū)間(2,4)的中點x13,計算得f(2)·f(x1)<0,則此時零點x0_16、已知函數(shù) f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點,則實數(shù)m的取值范圍是_17、函數(shù)的零點組成的集合是 .18、用“二分法”求方程在區(qū)間內(nèi)的實根,取區(qū)

11、間中點為,那么下一個有根的區(qū)間是 19、函數(shù)的零點個數(shù)為 .20、證明方程63x2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一一個實數(shù)解,并求出這個實數(shù)解(精確度0.1) 函數(shù)與方程【考綱說明】2、 了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系,能判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)。3、 能夠根據(jù)具體函數(shù)的圖像,用二分法求出相應(yīng)方程的近似解。【知識梳理】1、函數(shù)零點的定義(1)對于函數(shù),我們把方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的零點。(2)方程有實根函數(shù)的圖像與x軸有交點函數(shù)有零點。因此判斷一個函數(shù)是否有零點,有幾個零點,就是判斷方程是否有實數(shù)根,有幾個實數(shù)根。函數(shù)零點的求法:解方程,所得實數(shù)根就是的零點(3)變號零點與不變號零點若函數(shù)在零點

12、左右兩側(cè)的函數(shù)值異號,則稱該零點為函數(shù)的變號零點。若函數(shù)在零點左右兩側(cè)的函數(shù)值同號,則稱該零點為函數(shù)的不變號零點。若函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)的曲線,則是在區(qū)間內(nèi)有零點的充分不必要條件。2、函數(shù)零點的判定(1)零點存在性定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,并且有,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,即存在,使得,這個也就是方程的根。(2)函數(shù)零點個數(shù)(或方程實數(shù)根的個數(shù))確定方法 代數(shù)法:函數(shù)的零點的根;(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。(3)零點個數(shù)確定有2個零點有兩個不等實根; 有1個零點有兩個相等實根;無零點無實根;對于二次函數(shù)

13、在區(qū)間上的零點個數(shù),要結(jié)合圖像進行確定.4、 二分法(1)二分法的定義:對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù),通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方程的近似解的步驟: 確定區(qū)間,驗證,給定精確度;求區(qū)間的中點;計算;()若,則就是函數(shù)的零點;() 若,則令(此時零點);() 若,則令(此時零點);判斷是否達到精確度,即,則得到零點近似值為(或);否則重復(fù)至步.【經(jīng)典例題】【例1】 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是 ( )A、0 B、1 C、2 D、3【答案】B【解析】解法1:因為,即且函數(shù)在內(nèi)連續(xù)不斷,故在內(nèi)的零點個數(shù)是

14、1.解法2:設(shè),在同一坐標系中作出兩函數(shù)的圖像如圖所示:可知B正確.【例2】 函數(shù) f(x)2x3x的零點所在的一個區(qū)間是 ( )A、(2,1) B、(1,0) C、(0,1) D、(1,2)【答案】B【解析】 f(1)213×(1)<0,f(0)2001>0, f(1) f(0)<0. f(x)2x3x的零點所在的一個區(qū)間為(1,0)【例3】若函數(shù) (且)有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是 .【答案】【解析】函數(shù)= (且)有兩個零點,方程有兩個不相等的實數(shù)根,即兩個函數(shù)與的圖像有兩個不同的交點,當時,兩個函數(shù)的圖像有且僅有一個交點,不合題意;當時,兩個函數(shù)的圖像有兩個

15、交點,滿足題意.【例4】設(shè)函數(shù)f(x)滿足f()=f(x),f(x)=f(2x),且當時,f(x)=x3.又函數(shù)g(x)= |xcos|,則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點個數(shù)為 ( )A、5 B、6 C、7 D、8【答案】B【解析】因為當時,f(x)=x3. 所以當時,當時,;當時,注意到函數(shù)f(x)、 g(x)都是偶函數(shù),且f(0)= g(0), f(1)= g(1),作出函數(shù)f(x)、 g(x)的大致圖象,函數(shù)h(x)除了0、1這兩個零點之外,分別在區(qū)間上各有一個零點,共有6個零點,故選B【例5】函數(shù)在區(qū)間0,4上的零點個數(shù)為 ( )A、4 B、5 C、6 D、7【答案】C【解

16、析】:f(x)=0,則x=0或cosx2=0,x2=k+,kZ,又x0,4,k=0,1,2,3,4,所以共有6個解選C【例6】函數(shù)在內(nèi) ( )A、沒有零點 B、有且僅有一個零點 C、有且僅有兩個零點 D、有無窮多個零點【答案】B【解析】解法一:數(shù)形結(jié)合法,令,則,設(shè)函數(shù)和,它們在的圖像如圖所示,顯然兩函數(shù)的圖像的交點有且只有一個,所以函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點;解法二:在上,所以;在,所以函數(shù)是增函數(shù),又因為,所以在上有且只有一個零點【例7】對實數(shù)a和b,定義運算“”:ab設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(xx2),xR,若函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則實數(shù)c的取值范圍是 ( )A、(,

17、2 B、(,2C、 D、【答案】B【解析】f(x) 則f的圖象如圖 yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個公共點, yf(x)與yc的圖象恰有兩個公共點,由圖象知c2,或1<c<.【例8】已知函數(shù)=當2a3b4時,函數(shù)的零點 .【答案】5【解析】方程=0的根為,即函數(shù)的圖象與函數(shù)的交點橫坐標為,且,結(jié)合圖象,因為當時,此時對應(yīng)直線上的點的橫坐標;當時, 對數(shù)函數(shù)的圖象上點的橫坐標,直線的圖象上點的橫坐標,故所求的.【例9】求下列函數(shù)的零點:(1);(2).【答案】(1)2,1,-1.(2)2,-2.【解析】(1)由故函數(shù)的零點是2,1,-1.(2)故函數(shù)的零點是2,-2.【例10】判斷函

18、數(shù)yx3x1在區(qū)間1,1.5內(nèi)有無零點,如果有,求出一個近似零點(精確度0.1)【答案】1.312 5【解析】因為f(1)1<0,f(1.5)0.875>0,且函數(shù)yx3x1的圖象是連續(xù)的曲線,所以它在區(qū)間1,1.5內(nèi)有零點,用二分法逐次計算,列表如下:區(qū)間中點值中點函數(shù)近似值(1,1.5)1.250.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08由于|1.3751.312 5|0.062 5<0.1,所以函數(shù)的一個近似零點為1.312 5.【課堂練習】1、在下列區(qū)間中,函數(shù)的零點所

19、在的區(qū)間為 ( ) A、 B、 C、 D、2、若是方程的解,則屬于區(qū)間 ( )A、 B、 C、 D、3、下列函數(shù)中能用二分法求零點的是 ( )4、函數(shù)f=2+3x的零點所在的一個區(qū)間是 ( )A(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)5、設(shè)函數(shù)f=4sin(2x+1)-x,則在下列區(qū)間中函數(shù)f不存在零點的是 ( ) A、-4,-2 B、-2,0 C、0,2 D、2,46、函數(shù)=-在0,內(nèi) ( ) A、沒有零點 B、有且僅有一個零點 C、有且僅有兩個零點 D、有無窮多個零點7、若函數(shù)的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25,則可以是( ) A、 B、 C、 D、8、下列函

20、數(shù)零點不宜用二分法的是 ( )A、 B、 C、 D、9、函數(shù)f(x)=log2x+2x-1的零點必落在區(qū)間 ( )A、B、C、D、(1,2)10、有解的區(qū)域是 ( )A、 B、 C、 D、11、在下列區(qū)間中,函數(shù)的零點所在的區(qū)間為 ( )A、 B、 C、 D、12、函數(shù)的零點所在區(qū)間為( )A、 B、 C、 D、13、設(shè),用二分法求方程內(nèi)近似解的過程中得則方程的根落在區(qū)間( )A、 B、 C、 D、不能確定14、設(shè)函數(shù),則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點的是( )A、 B、 C、 D、15、函數(shù), 零點個數(shù)為( )A、3 B、2 C、1 D、016、若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算,其參

21、考數(shù)據(jù)如下:f (1) = 2f (1.5) = 0.625f (1.25) = 0.984f (1.375) = 0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = 0.054那么方程的一個近似根(精確到0.1)為( ) A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.517、方程的實數(shù)解的個數(shù)為 .18、已知函數(shù)的一個零點比1大,一個零點比1小,求實數(shù)的取值范圍。19、判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù),并說明理由。20 、求函數(shù)的一個正數(shù)零點(精確度0.1)【課后作業(yè)】1、下列函數(shù)圖象與x軸均有交點,但不宜用二分法求交點橫坐標的是 ( )2、設(shè),則在下列區(qū)間中,使函數(shù)有零點的區(qū)

22、間是 ( )A、0,1 B、1,2 C、2,1 D、1,03、已知唯一的零點在區(qū)間、內(nèi),那么下面命題錯誤的 ( )A、函數(shù)在或內(nèi)有零點 B、函數(shù)在內(nèi)無零點C、函數(shù)在內(nèi)有零點 D、函數(shù)在內(nèi)不一定有零點4、若函數(shù)有3個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是 ( )A、 B、 C、 D、5、函數(shù)的零點所在的區(qū)間為 ( )A、(1,0) B、(0,1) C、(1,2) D、(1,e)6、求函數(shù)零點的個數(shù)為 ( )A、 B、 C、 D、7、如果二次函數(shù)有兩個不同的零點,則的取值范圍是 ( )A、 B、 C、 D、8、方程根的個數(shù)為 ( ) A、無窮多 B、 C、 D、9、用二分法求方程在(1,2)內(nèi)近似解的過程

23、中得f(1)<0,則方程的根在區(qū)間 ( )A、(1.25,1.5) B、(1,1.25) C、(1.5,2) D、不能確定10、設(shè)函數(shù)f(x)xlnx(x0),則yf(x) ( )A、在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均有零點 B、在區(qū)間,(1,e)內(nèi)均無零點C、在區(qū)間內(nèi)有零點,在區(qū)間(1,e)內(nèi)無零點 D、在區(qū)間內(nèi)無零點,在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點11、設(shè)函數(shù),則函數(shù) ( )A、在區(qū)間(0,1),(1,2)內(nèi)均有零點 B、在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點,在區(qū)間(1,2)內(nèi)無零點C、在區(qū)間(0,1),(1,2)內(nèi)均無零點 D、在區(qū)間(0,1)內(nèi)無零點,在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點12、用二分法研究函數(shù)的零點時,第

24、一次經(jīng)計算,可得其中一個零點 , 第二次應(yīng)計算 . 以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為 ( )A、(0,0.5), B、(0,1), C、(0.5,1), D、(0,0.5),13、函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點個數(shù)是 ( )A、0 B、1 C、2 D、314、(已知函數(shù)當是,函數(shù)的零點則n= .15、用二分法求函數(shù)在區(qū)間(2,4)上的近似解,驗證f(2)·f(4)<0,給定精確度0.01,取區(qū)間(2,4)的中點x13,計算得f(2)·f(x1)<0,則此時零點x0_16、已知函數(shù) f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點,則實數(shù)m的取值范圍是_17、函數(shù)的零點組成的集合是 .18、用“二分法”求方程在區(qū)間內(nèi)的實根,取區(qū)間中點為,那么下一個有根的區(qū)間是 19、函數(shù)的零點個數(shù)為 .20、證明方程63x2x在區(qū)間1,2內(nèi)有唯一一個實數(shù)解,并求出這個實數(shù)解(精確度0.

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