微分方程的概念,可分離變量,齊次

1、6-1微分方程的基本概念微分方程的基本概念第六章第六章 微分方程微分方程解解)(xyy 設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為2xdxdy dxxy22,1 yx時(shí)時(shí)其中其中,313Cxy 即即,35 C求求得得.35313 xy所求曲線方程為所求曲線方程為一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出解解,)(tvv 設(shè)所求函數(shù)為設(shè)所求函數(shù)為gdtdv 則則Cgtv 代入條件后知代入條件后知0vC ,0vgtv 故故1.1.微分方程微分方程: :及其階的概念及其階的概念含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程. .未未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程為常微分方程；未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方

2、程為常微分方程；未知函數(shù)為多元函數(shù)微分方程稱(chēng)為偏微分方程本知函數(shù)為多元函數(shù)微分方程稱(chēng)為偏微分方程本章只討論常微分方程（簡(jiǎn)稱(chēng)微分方程）章只討論常微分方程（簡(jiǎn)稱(chēng)微分方程）例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量, ,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)某些導(dǎo)數(shù)( (或微分或微分) )之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念,2xdxdy 4 . 022 dtsd分類(lèi)分類(lèi)1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的

3、最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱(chēng)之高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱(chēng)之. ., 0),( yyxF一階微分方程一階微分方程);,(yxfy 高階高階( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分類(lèi)分類(lèi)2:2:.2:是是一一階階微微分分方方程程如如xdxdy .4 . 022是是二二階階微微分分方方程程 dtsd微分方程的解微分方程的解: :任何代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱(chēng)任何代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱(chēng)為為微分方程的解微分方程的解,)(階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)上有上有在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn

4、微分方程的解的分類(lèi)：微分方程的解的分類(lèi)：2 2、微分方程的解、特解與通解、微分方程的解、特解與通解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且任且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .xdxdy2 例例4 . 022 dtsd2122 . 0CtCts 的通解為的通解為,2Cxy 的通解為的通解為(2)(2)特解特解: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. .特解的圖象特解的圖象: : 微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線. .通解的圖象通解的圖象: : 積分曲線族積分曲線族. ., 12

5、xy的特解為的特解為xdxdy2 例例4 . 022 dtsd,202 . 02tts 的的特特解解為為這就是微分方程的這就是微分方程的幾何意義幾何意義.過(guò)定點(diǎn)的積分曲線過(guò)定點(diǎn)的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問(wèn)題初值問(wèn)題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題. .初始條件初始條件: : 用來(lái)確定任意常數(shù)的條件用來(lái)確定任意常數(shù)的條件. .解解.2.2)( 12的特解的特解并求滿足初始條件并求滿足初始條件

6、的通解的通解為方程為方程為任意常數(shù)為任意常數(shù)驗(yàn)證驗(yàn)證 xyxyyCCxyCxyCxy2:2 得得由由,的表達(dá)式代入原方程的表達(dá)式代入原方程和和將將yy 例例3右邊右邊=.2222左邊左邊 yCxxCxxy.2是原方程的解是原方程的解故故Cxy , 21 xy. 2 C所求特解為所求特解為.22xy 例例4 函函數(shù)數(shù)xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?解解,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常數(shù)中不含任意常數(shù),故為微分方程的故為微分方程的特特解解.一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程)()(xgxfdxdy 的

7、方程叫可分離變量的微分方程的方程叫可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法 dxxfdyyg)()(CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.這種解法叫分離變量法這種解法叫分離變量法6-2 一階微分方程一階微分方程0),( yyxF形如形如1.分離變量分離變量:2.兩邊積分兩邊積分dxxfdyyg)()( 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),例例1 1 求微分方程求微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy

8、.2為所求通解為所求通解xCey 注意注意:.,0. 1以后不要求找以后不要求找叫“奇解”叫“奇解”也是原方程的解也是原方程的解 y.,lnln. 2但但結(jié)結(jié)果果的的形形式式不不變變應(yīng)應(yīng)為為yy).(ln. 31為任意常數(shù)為任意常數(shù)也可以寫(xiě)成也可以寫(xiě)成CCC解解這是可分離變量方程，分離變量得：這是可分離變量方程，分離變量得：dxxxydy)cos(sin12 dxxxydy)cos(sin12Cxxy )sin(cosarcsin得：得：.這就是所給方程的通解這就是所給方程的通解隱式通解隱式通解例例221)cos(sinyxxdxdy 解微分方程解微分方程兩端積分兩端積分解解這是可分離變量方程

9、，分離變量得：這是可分離變量方程，分離變量得：dxxydy1 dxxydy1Cxylnlnln .:xCy 所給方程的通解為所給方程的通解為例例3.xyy 解解微微分分方方程程兩端積分兩端積分解解這是可分離變量方程，分離變量得：這是可分離變量方程，分離變量得：xdxydysin2 xdxydysin2Cxy cos1.cos1:Cxy 所給方程的通解為所給方程的通解為例例4.sin2xyy 解解微微分分方方程程兩端積分兩端積分10 xy2cos1 xy二、可以化為可分離變量的一階方程二、可以化為可分離變量的一階方程 齊次方程齊次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱(chēng)為的微分方程稱(chēng)為齊次方

10、程齊次方程. .2.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式：代入原式：,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程1.1.定義定義例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，則則uuxyuxy ,uuuuxucos1cos)( , 1cos uux即即,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解為微分方程的解為解解原方程可變?yōu)椋涸匠炭勺優(yōu)椋簒yxyxyycos1cos ,cosxdxudu , 1cos udxdux例例 2 2 求解微分方程

11、求解微分方程，令令xyu ，則則uuxyuxy ,)()(2uxuuuxuu ,)11( , 1xdxduuuuux 即即,lnlnlnCxuu .,lnxyeCyCyxy 即即微分方程的解為微分方程的解為解解原方程可變?yōu)椋涸匠炭勺優(yōu)椋篸xdyxydxdyxy 2)(.22dxdyxydxdyxy Cuxuln 即即利用變量代換求微分方程的解利用變量代換求微分方程的解.)(2)(32的通解的通解求求例例yxyxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程uudxdu212 )( ,11 為任意常數(shù)為任意常數(shù)解得解得CCxu 得得代回代回, yxu ,11Cxyx 原方

12、程的通解為原方程的通解為. 1)(1( Cxyxdxudu 2)1(即即. 4的通解的通解求方程求方程例例yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy則則代入原式代入原式,1udxdu 兩邊積分得兩邊積分得,ln)1ln(Cxu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為,ln)1ln(Cxyx 1 xCeyx或或一般地：形如一般地：形如的的方方程程)(byaxfy .方方程程將將其其化化為為可可分分離離變變量量的的可可以以用用代代換換byaxu ,1dxudu 1.1.可分離變量的方程可分離變量的方程 : :(1)分離變量分離變量;(2)兩端積分兩端積分-隱式通解隱式通解.2.齊

13、次方程齊次方程:).(xyfdxdy 齊次方程的解法齊次方程的解法:.xyu 令令微分方程；微分方程； 微分方程的階；微分方程的階；微分方程的解；微分方程的解； 通解通解; ; 初始條件；初始條件；特解；特解；初值問(wèn)題；初值問(wèn)題； 積分曲線積分曲線 小小 結(jié)結(jié)基本概念基本概念：dxxfdyyg)()( 解法解法: ( (分離變量法分離變量法) ) 思考題思考題 設(shè)曲線設(shè)曲線)(xfy 過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn))3 , 2(，且，且)(xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與與x軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積是另一條平圍成的面積是另一條平行線與行線與y軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積的兩圍成的面積的兩倍，求曲線方程倍，求曲線方程.思考題解答思考題解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfx