電力系統(tǒng)規(guī)劃與可靠性講座9_可靠性原理及其在電力規(guī)劃中的應(yīng)用(2015_05_12)

1、電力系統(tǒng)規(guī)劃與可靠性（第第9 9專題：專題：可靠性原理及其在電力規(guī)劃中的應(yīng)用可靠性原理及其在電力規(guī)劃中的應(yīng)用）20152015版版武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院電力信息與控制研究所武漢大學(xué)電氣工程及其自動(dòng)化專業(yè)選修課張蓮梅email：lloottuuss 可靠性原理及其在電力規(guī)劃中的應(yīng)用 1 1 概述概述 2 2 可靠性基本概念與分析方法可靠性基本概念與分析方法 3 3 電力系統(tǒng)規(guī)劃的可靠性評(píng)價(jià)方法電力系統(tǒng)規(guī)劃的可靠性評(píng)價(jià)方法 4 4 發(fā)電系統(tǒng)規(guī)劃的可靠性評(píng)價(jià)方法發(fā)電系統(tǒng)規(guī)劃的可靠性評(píng)價(jià)方法 5 5 電網(wǎng)規(guī)劃的可靠性分析方法電網(wǎng)規(guī)劃的可靠性分析方法 6 6 電氣主接線的可靠性分析電氣主接線的可靠性分析

2、1 概述 1.1 1.1 可靠性理論產(chǎn)生的背景可靠性理論產(chǎn)生的背景 1.2 1.2 可靠性理論的發(fā)展概況可靠性理論的發(fā)展概況 1.3 1.3 可靠性理論的的應(yīng)用范疇可靠性理論的的應(yīng)用范疇 1.4 1.4 電力規(guī)劃中的可靠性問題電力規(guī)劃中的可靠性問題 可靠性理論產(chǎn)生的背景 可靠性理論可靠性理論 以產(chǎn)品的壽命特征作為主要研究對(duì)象的一門新興的邊緣以產(chǎn)品的壽命特征作為主要研究對(duì)象的一門新興的邊緣性學(xué)科，它涉及到基礎(chǔ)科學(xué)、技術(shù)科學(xué)和管理科學(xué)的許多領(lǐng)性學(xué)科，它涉及到基礎(chǔ)科學(xué)、技術(shù)科學(xué)和管理科學(xué)的許多領(lǐng)域。域。四個(gè)主要領(lǐng)域四個(gè)主要領(lǐng)域 可靠性數(shù)學(xué)：可靠性數(shù)學(xué)： 可靠性物理可靠性物理 ； 可靠性工程；可靠性工

3、程； 可靠性教育與管理?？煽啃越逃c管理。產(chǎn)生和發(fā)展的背景產(chǎn)生和發(fā)展的背景 是社會(huì)的需要，與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，尤其與電子技術(shù)的是社會(huì)的需要，與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，尤其與電子技術(shù)的發(fā)展是分不開的。能帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益。發(fā)展是分不開的。能帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益?？煽啃岳碚摰陌l(fā)展概況國外發(fā)展概況：國外發(fā)展概況：18821882年年IEEIEE出版了第一個(gè)電氣設(shè)備安全條例涉及到可靠性概出版了第一個(gè)電氣設(shè)備安全條例涉及到可靠性概念；念； 2020世紀(jì)世紀(jì)3030年代在年代在電世界電世界等國外雜志上開始發(fā)表有關(guān)電等國外雜志上開始發(fā)表有關(guān)電容量概率分析的學(xué)術(shù)論文；容量概率分析的學(xué)術(shù)論文；工業(yè)可靠性研究始于工業(yè)可靠性研

4、究始于2020世紀(jì)世紀(jì)4040年代。年代。2020世紀(jì)世紀(jì)8080年代，一些發(fā)達(dá)國家大都進(jìn)行了可靠性立法，遵年代，一些發(fā)達(dá)國家大都進(jìn)行了可靠性立法，遵循國際標(biāo)準(zhǔn)，制定了較為完善的國家標(biāo)準(zhǔn)，并設(shè)有國家級(jí)循國際標(biāo)準(zhǔn)，制定了較為完善的國家標(biāo)準(zhǔn)，并設(shè)有國家級(jí)和行業(yè)級(jí)的可靠性中心和數(shù)據(jù)交換網(wǎng)絡(luò)。和行業(yè)級(jí)的可靠性中心和數(shù)據(jù)交換網(wǎng)絡(luò)。國內(nèi)發(fā)展概況：國內(nèi)發(fā)展概況：2020世紀(jì)世紀(jì)6060年代，中國在通信、電子和航空等行業(yè)啟動(dòng)了可年代，中國在通信、電子和航空等行業(yè)啟動(dòng)了可靠性工程；靠性工程； 7070年代末，以電子工業(yè)部為重點(diǎn)推行可靠性工程；年代末，以電子工業(yè)部為重點(diǎn)推行可靠性工程； 8080年代末，開始可靠性

5、立法，頒布多個(gè)可靠性國家標(biāo)準(zhǔn)。年代末，開始可靠性立法，頒布多個(gè)可靠性國家標(biāo)準(zhǔn)。8080年代末至年代末至9090年代初，中國電力系統(tǒng)可靠性研究和應(yīng)用取年代初，中國電力系統(tǒng)可靠性研究和應(yīng)用取得了較大的發(fā)展；與此同時(shí)，在學(xué)術(shù)上促進(jìn)了交叉學(xué)科的得了較大的發(fā)展；與此同時(shí)，在學(xué)術(shù)上促進(jìn)了交叉學(xué)科的發(fā)展，如可靠性管理發(fā)展，如可靠性管理 、可靠性技術(shù)、可靠性技術(shù) 、可靠性數(shù)學(xué)等。、可靠性數(shù)學(xué)等?？煽啃岳碚摰膽?yīng)用范疇 可靠性貫穿于產(chǎn)品和系統(tǒng)的整個(gè)生命周期可靠性貫穿于產(chǎn)品和系統(tǒng)的整個(gè)生命周期。 可靠性技術(shù)也在可靠性技術(shù)也在電力系統(tǒng)的規(guī)劃電力系統(tǒng)的規(guī)劃、運(yùn)行運(yùn)行等領(lǐng)域的具體應(yīng)等領(lǐng)域的具體應(yīng)用大致有：用大致有： 1.

6、1.準(zhǔn)則和標(biāo)準(zhǔn)的制定；準(zhǔn)則和標(biāo)準(zhǔn)的制定； 2.2.規(guī)劃和現(xiàn)運(yùn)行系統(tǒng)的可靠性評(píng)估；規(guī)劃和現(xiàn)運(yùn)行系統(tǒng)的可靠性評(píng)估； 3.3.可靠性成本收益分析；可靠性成本收益分析； 4.4.發(fā)電容量和電網(wǎng)最優(yōu)規(guī)劃；發(fā)電容量和電網(wǎng)最優(yōu)規(guī)劃； 5.5.備用容量和位置分布；備用容量和位置分布； 6.6.電力設(shè)備備用規(guī)劃；電力設(shè)備備用規(guī)劃； 7.7.運(yùn)行方式和薄弱環(huán)節(jié)識(shí)別和優(yōu)化調(diào)度；運(yùn)行方式和薄弱環(huán)節(jié)識(shí)別和優(yōu)化調(diào)度； 8.8.以可靠性為中心的維修（狀態(tài)檢修）；以可靠性為中心的維修（狀態(tài)檢修）； 9.9.電力市場營運(yùn)策略；電力市場營運(yùn)策略； 10.10.資產(chǎn)全壽命周期成本分析。資產(chǎn)全壽命周期成本分析。電力規(guī)劃中的可靠性問題

7、傳統(tǒng)的電力規(guī)劃方法傳統(tǒng)的電力規(guī)劃方法考慮到可靠性的電力規(guī)劃方法考慮到可靠性的電力規(guī)劃方法 特特點(diǎn)點(diǎn)基于確定性準(zhǔn)則和方法進(jìn)基于確定性準(zhǔn)則和方法進(jìn)行發(fā)電容量和電網(wǎng)的規(guī)劃行發(fā)電容量和電網(wǎng)的規(guī)劃 。考慮事件隨機(jī)性質(zhì)和計(jì)及各種考慮事件隨機(jī)性質(zhì)和計(jì)及各種不確定影響；對(duì)于各種可能的不確定影響；對(duì)于各種可能的規(guī)劃方案通過供電可靠性定量規(guī)劃方案通過供電可靠性定量評(píng)估及經(jīng)濟(jì)分析計(jì)算，進(jìn)行方評(píng)估及經(jīng)濟(jì)分析計(jì)算，進(jìn)行方案之間的比較案之間的比較 優(yōu)優(yōu)缺缺點(diǎn)點(diǎn)只能對(duì)系統(tǒng)在待定狀態(tài)下只能對(duì)系統(tǒng)在待定狀態(tài)下的性能的的性能的“好好”與與“壞壞”做定性的判斷，不能表征做定性的判斷，不能表征出系統(tǒng)可靠性性能的數(shù)值出系統(tǒng)可靠性性能的

8、數(shù)值特征。特征。 能夠處理更大的系統(tǒng)；能得出能夠處理更大的系統(tǒng)；能得出更科學(xué)合理的規(guī)劃方案，使電更科學(xué)合理的規(guī)劃方案，使電力系統(tǒng)的綜合效益達(dá)到最佳。力系統(tǒng)的綜合效益達(dá)到最佳。目的：目的：對(duì)系統(tǒng)可能出現(xiàn)的故障進(jìn)行故障分析，采取措施減少故對(duì)系統(tǒng)可能出現(xiàn)的故障進(jìn)行故障分析，采取措施減少故障造成的影響，對(duì)可靠性投資與響應(yīng)帶來的經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行綜障造成的影響，對(duì)可靠性投資與響應(yīng)帶來的經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行綜合分析，以確定合理的可靠性水平，并使電力系統(tǒng)的綜合效合分析，以確定合理的可靠性水平，并使電力系統(tǒng)的綜合效益達(dá)到最佳。益達(dá)到最佳。 手段：手段：確定可靠性目標(biāo)，應(yīng)用評(píng)估手段，確定故障準(zhǔn)則，并對(duì)確定可靠性目標(biāo)，應(yīng)用評(píng)估

9、手段，確定故障準(zhǔn)則，并對(duì)電力系統(tǒng)故障嚴(yán)重性作出估計(jì)。電力系統(tǒng)故障嚴(yán)重性作出估計(jì)。規(guī)劃系統(tǒng)的可靠性評(píng)估規(guī)劃系統(tǒng)的可靠性評(píng)估主要工作任務(wù)主要工作任務(wù)： 1.1.對(duì)未來的電力系統(tǒng)和電能量進(jìn)行預(yù)測，收集設(shè)備的技術(shù)經(jīng)對(duì)未來的電力系統(tǒng)和電能量進(jìn)行預(yù)測，收集設(shè)備的技術(shù)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)；濟(jì)數(shù)據(jù)； 2.2.制定可靠性準(zhǔn)則和設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)評(píng)估系統(tǒng)性能，識(shí)制定可靠性準(zhǔn)則和設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)評(píng)估系統(tǒng)性能，識(shí)別系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)；別系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)； 3.3.選擇優(yōu)化方案。選擇優(yōu)化方案。電力系統(tǒng)可靠性評(píng)估1.1.可靠性理論在電力系統(tǒng)中的具體應(yīng)用有哪些？可靠性理論在電力系統(tǒng)中的具體應(yīng)用有哪些？ 2.2.比較傳統(tǒng)的電力規(guī)劃方法和考慮

10、到可靠性的電力系統(tǒng)規(guī)劃比較傳統(tǒng)的電力規(guī)劃方法和考慮到可靠性的電力系統(tǒng)規(guī)劃法，說明各自的特點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)。法，說明各自的特點(diǎn)和優(yōu)缺點(diǎn)。 3.3.敘述在電力系統(tǒng)規(guī)劃中進(jìn)行可靠性評(píng)估的目的、手段和主敘述在電力系統(tǒng)規(guī)劃中進(jìn)行可靠性評(píng)估的目的、手段和主要工作任務(wù)。要工作任務(wù)。思 考 題2 可靠性基本概念與分析方法 2.1 2.1 可靠性的基本概念可靠性的基本概念 2.2 2.2 基本可靠性指標(biāo)及其計(jì)算基本可靠性指標(biāo)及其計(jì)算 2.3 2.3 不可修復(fù)和可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性分析不可修復(fù)和可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性分析 2.4 2.4 馬爾可夫隨機(jī)過程概念與分析方法馬爾可夫隨機(jī)過程概念與分析方法 可靠性的基本概念可靠性可靠

11、性(Reliability)(Reliability)的一個(gè)工程定義：的一個(gè)工程定義： 指一個(gè)元件、設(shè)備或系統(tǒng)在指一個(gè)元件、設(shè)備或系統(tǒng)在預(yù)定的時(shí)間預(yù)定的時(shí)間內(nèi)，在內(nèi)，在規(guī)定的條件規(guī)定的條件下下完成其完成其規(guī)定的功能規(guī)定的功能的能力。的能力。基本可靠性指標(biāo)及其計(jì)算 基本可靠性指標(biāo)基本可靠性指標(biāo) 可靠性相關(guān)概率的基本計(jì)算可靠性相關(guān)概率的基本計(jì)算 基本可靠性指標(biāo) 可靠性指標(biāo)可靠性指標(biāo)(Reliability indices)(Reliability indices)：用數(shù)值大小來表示各：用數(shù)值大小來表示各個(gè)方面性質(zhì)的量?？梢詮某晒Φ挠^點(diǎn)出發(fā)，也可以從失敗的觀個(gè)方面性質(zhì)的量。可以從成功的觀點(diǎn)出發(fā)，也可

12、以從失敗的觀點(diǎn)出發(fā)。點(diǎn)出發(fā)。 可靠性指標(biāo)的量化信息：可靠性指標(biāo)的量化信息： 1. 1. 概率，如可靠度和可用率概率，如可靠度和可用率(Availability)(Availability)。 2. 2. 頻率，如單位時(shí)間里發(fā)生故障的平均次數(shù)。頻率，如單位時(shí)間里發(fā)生故障的平均次數(shù)。 3. 3. 平均持續(xù)時(shí)間，如故障的平均持續(xù)時(shí)間。平均持續(xù)時(shí)間，如故障的平均持續(xù)時(shí)間。 4. 4. 期望值，如一年中系統(tǒng)發(fā)生故障的期望天數(shù)。期望值，如一年中系統(tǒng)發(fā)生故障的期望天數(shù)。 以上信息都是概率量，可靠性理論中概率用以表達(dá)可靠性以上信息都是概率量，可靠性理論中概率用以表達(dá)可靠性水平的量化信息。水平的量化信息。 一般

13、用一般用可靠度可靠度來作為可靠性的特性指標(biāo)，它表示元件可靠來作為可靠性的特性指標(biāo)，它表示元件可靠工作的概率。工作的概率。 衡量一個(gè)元件、設(shè)備或系統(tǒng)可靠性水平有若干的指標(biāo)，衡量一個(gè)元件、設(shè)備或系統(tǒng)可靠性水平有若干的指標(biāo)，有定量的，也有定性的，有時(shí)要用幾個(gè)指標(biāo)去度量一種元件、有定量的，也有定性的，有時(shí)要用幾個(gè)指標(biāo)去度量一種元件、設(shè)備或系統(tǒng)的可靠性，但最基本最常用的特性指標(biāo)有以下幾設(shè)備或系統(tǒng)的可靠性，但最基本最常用的特性指標(biāo)有以下幾個(gè)。個(gè)。1 1 可靠度可靠度R R（t t）；它是指一個(gè)元件、設(shè)備或系統(tǒng)在規(guī)定條件）；它是指一個(gè)元件、設(shè)備或系統(tǒng)在規(guī)定條件和規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率。和規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成

14、規(guī)定功能的概率。 例例1 1：一批產(chǎn)品的數(shù)量為：一批產(chǎn)品的數(shù)量為N N，從，從t = 0t = 0時(shí)開始使用，隨著時(shí)時(shí)開始使用，隨著時(shí)間的推移，失效的產(chǎn)品件數(shù)間的推移，失效的產(chǎn)品件數(shù)n(t)n(t)逐漸增加，而正常工作的產(chǎn)逐漸增加，而正常工作的產(chǎn)品件數(shù)品件數(shù)N-n(t)N-n(t)逐漸減少，用逐漸減少，用R(t)R(t)表示產(chǎn)品在任意時(shí)刻表示產(chǎn)品在任意時(shí)刻t t的可的可靠度。靠度。 離散隨機(jī)變量表示：離散隨機(jī)變量表示： R(t)=N-n(t)/NR(t)=N-n(t)/N N N：試驗(yàn)樣品總數(shù)：試驗(yàn)樣品總數(shù) n(t):n(t):到到t t時(shí)刻樣品失效的總數(shù)。時(shí)刻樣品失效的總數(shù)。 0R(t)1,

15、 R(t)0R(t)1, R(t)越接近于越接近于1,1,產(chǎn)品的可靠度越高。產(chǎn)品的可靠度越高。 不可靠度不可靠度F(t) F(t) 為：為：F(t)=n(t)/N=1-R(t)F(t)=n(t)/N=1-R(t) 可靠度與不可靠度的關(guān)系：可靠度與不可靠度的關(guān)系：R(t)+F(t)=1R(t)+F(t)=1基本可靠性指標(biāo)基本可靠性指標(biāo)2 2 失效率失效率（故障率故障率）（t t）：它是指一個(gè)元件、設(shè)備或系統(tǒng)）：它是指一個(gè)元件、設(shè)備或系統(tǒng)工作到時(shí)間工作到時(shí)間t t之后，在單位時(shí)間之后，在單位時(shí)間t t內(nèi)發(fā)生失效的概率。內(nèi)發(fā)生失效的概率。 離散隨機(jī)變量表示：離散隨機(jī)變量表示： (t)= (t)= n

16、(t) /N-n(t)n(t) /N-n(t)t t 失效率單位失效率單位:(t):(t)對(duì)目前具有高可靠性的產(chǎn)品來說對(duì)目前具有高可靠性的產(chǎn)品來說, ,需用需用更小的單位來作為失效率的基本單位更小的單位來作為失效率的基本單位, ,采用一個(gè)菲特采用一個(gè)菲特(Fit)(Fit)來定來定義義, , 它的意義是每它的意義是每10001000個(gè)產(chǎn)品工作個(gè)產(chǎn)品工作 h h，只有一個(gè)失效。，只有一個(gè)失效。 -6391Fit=10/1010/hh610失效率曲線失效率曲線( (浴盤曲線浴盤曲線Bathtub-curve):Bathtub-curve): 產(chǎn)品的失效率隨工作時(shí)間的變化具有不同的特點(diǎn)，根據(jù)產(chǎn)品的失

17、效率隨工作時(shí)間的變化具有不同的特點(diǎn)，根據(jù)長期以來的理論研究和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)長期以來的理論研究和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì), ,發(fā)現(xiàn)多數(shù)設(shè)備失效率曲線形發(fā)現(xiàn)多數(shù)設(shè)備失效率曲線形同浴盤的剖面同浴盤的剖面, ,它明顯地分為三段它明顯地分為三段, ,分別對(duì)元器件的三個(gè)不同分別對(duì)元器件的三個(gè)不同階段或時(shí)期。階段或時(shí)期。第一階段是第一階段是早期失效期早期失效期(Infant Mortality);(Infant Mortality);表明器件在開表明器件在開始使用時(shí)始使用時(shí), ,失效率很高失效率很高, ,但隨著產(chǎn)品工作時(shí)間的增加但隨著產(chǎn)品工作時(shí)間的增加, ,失效率迅失效率迅速降低速降低, ,這一階段失效的原因大多是由于設(shè)計(jì)、原材

18、料和制造這一階段失效的原因大多是由于設(shè)計(jì)、原材料和制造過程中的缺陷造成的。過程中的缺陷造成的。 為了縮短這一階段的時(shí)間，產(chǎn)品應(yīng)在投入運(yùn)行前進(jìn)行試為了縮短這一階段的時(shí)間，產(chǎn)品應(yīng)在投入運(yùn)行前進(jìn)行試運(yùn)轉(zhuǎn)，以便及早發(fā)現(xiàn)、修正和排除故障；或通過試驗(yàn)進(jìn)行篩運(yùn)轉(zhuǎn)，以便及早發(fā)現(xiàn)、修正和排除故障；或通過試驗(yàn)進(jìn)行篩選，剔除不合格品。選，剔除不合格品。第二階段是第二階段是偶然失效期偶然失效期，也稱隨機(jī)失效期，也稱隨機(jī)失效期(Random (Random Failures)Failures)；這一階段的特點(diǎn)是失效率較低，且較穩(wěn)定，往往；這一階段的特點(diǎn)是失效率較低，且較穩(wěn)定，往往可近似看作常數(shù)，產(chǎn)品可靠性指標(biāo)所描述的就

19、是這個(gè)時(shí)期，可近似看作常數(shù)，產(chǎn)品可靠性指標(biāo)所描述的就是這個(gè)時(shí)期，這一時(shí)期是產(chǎn)品的良好使用階段，由于在這一階段中，產(chǎn)品這一時(shí)期是產(chǎn)品的良好使用階段，由于在這一階段中，產(chǎn)品失效率近似為一常數(shù)，故設(shè)失效率近似為一常數(shù)，故設(shè)(t)=(t)=(常數(shù)常數(shù)) ) 由可靠度計(jì)算公由可靠度計(jì)算公式得式得: :第三階段是第三階段是耗損失效期耗損失效期(Wearout);(Wearout);該階段的失效率隨時(shí)間的該階段的失效率隨時(shí)間的延長而急速增加延長而急速增加, ,主要原因是器件的損失己非常的嚴(yán)重主要原因是器件的損失己非常的嚴(yán)重, ,壽命壽命快到盡頭了快到盡頭了, ,可適當(dāng)?shù)木S修或直接更換了?？蛇m當(dāng)?shù)木S修或直接更

20、換了。3 3 平均無故障工作時(shí)間平均無故障工作時(shí)間MTBF(Mean Time Between Failure)MTBF(Mean Time Between Failure)： 指相鄰兩次故障之間的平均工作時(shí)間，也稱為平均故障間指相鄰兩次故障之間的平均工作時(shí)間，也稱為平均故障間隔。它僅適用于可維修產(chǎn)品。同時(shí)也規(guī)定產(chǎn)品在總的使用階段隔。它僅適用于可維修產(chǎn)品。同時(shí)也規(guī)定產(chǎn)品在總的使用階段累計(jì)工作時(shí)間與故障次數(shù)的比值為累計(jì)工作時(shí)間與故障次數(shù)的比值為MTBFMTBF。 MTBF=MTBF=總的工作時(shí)間總的工作時(shí)間/ /故障數(shù)故障數(shù)可靠性相關(guān)概率的基本計(jì)算一、概率的古典定義一、概率的古典定義 如果某一試

21、驗(yàn)的全部可能結(jié)果為如果某一試驗(yàn)的全部可能結(jié)果為n n個(gè)，且每個(gè)結(jié)果都具有個(gè)，且每個(gè)結(jié)果都具有等可能性和互不相容性，而其中對(duì)應(yīng)于等可能性和互不相容性，而其中對(duì)應(yīng)于A A的結(jié)果是的結(jié)果是m m個(gè)，則時(shí)個(gè)，則時(shí)間間A A發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 二、概率的統(tǒng)計(jì)定義二、概率的統(tǒng)計(jì)定義 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n n足夠大時(shí)，事件足夠大時(shí)，事件A A出現(xiàn)的頻率漸趨于一個(gè)穩(wěn)出現(xiàn)的頻率漸趨于一個(gè)穩(wěn)定值，則稱這一穩(wěn)定值為事件定值，則稱這一穩(wěn)定值為事件A A發(fā)生的概率，記為發(fā)生的概率，記為 三、概率的基本運(yùn)算規(guī)則三、概率的基本運(yùn)算規(guī)則 1.1.事件的分類事件的分類: : 獨(dú)立事件：一件事件的發(fā)生并不影響另一事件發(fā)生

22、的概率。獨(dú)立事件：一件事件的發(fā)生并不影響另一事件發(fā)生的概率。 ( )mP An( )()limnfP An互斥事件互斥事件 ：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生。：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生。 對(duì)立事件對(duì)立事件 ：如果一個(gè)事件只有兩種可能結(jié)果：如果一個(gè)事件只有兩種可能結(jié)果A A和和B B，則，則條件事件條件事件 ：研究事件：研究事件B B發(fā)生條件下事件發(fā)生條件下事件A A發(fā)生的概率，則將發(fā)生的概率，則將其記為其記為 ，2.2.事件的交和并事件的交和并(1)(1)事件的交：多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生事件的交：多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生 。對(duì)多個(gè)獨(dú)立事件對(duì)多個(gè)獨(dú)立事件 、 、 ，其同時(shí)發(fā)生的概率，其同時(shí)發(fā)生的概率 對(duì)相關(guān)事件對(duì)相關(guān)事

23、件 ，( )( )1P AP B(/)P A BB( / )BAP A B 和 可能同時(shí)發(fā)生的方式數(shù)可能發(fā)生的方式數(shù)1A2AnAn12nii=1P(AAA )=P(A )()(/)( )(/)( )P ABP B A P AP A B P B可靠性相關(guān)概率的基本計(jì)算(2)(2)事件的并事件的并 ：幾個(gè)事件中至少有一個(gè)事件發(fā)生：幾個(gè)事件中至少有一個(gè)事件發(fā)生 。對(duì)兩個(gè)獨(dú)立而不互斥事件對(duì)兩個(gè)獨(dú)立而不互斥事件A A和和B B，有，有 推廣到推廣到n n個(gè)隨機(jī)事件的情形個(gè)隨機(jī)事件的情形對(duì)互斥事件對(duì)互斥事件A A和和B B ：3.3.全概率公式全概率公式條件概率可以推廣到事件條件概率可以推廣到事件A A和

24、充滿樣本空間和充滿樣本空間( (一個(gè)統(tǒng)計(jì)記錄的全一個(gè)統(tǒng)計(jì)記錄的全部可能結(jié)果的集合部可能結(jié)果的集合) )的的n n個(gè)互斥事件個(gè)互斥事件 ，特別是對(duì)樣本空間，特別是對(duì)樣本空間 的情形。的情形。對(duì)每一個(gè)事件對(duì)每一個(gè)事件 ，有計(jì)算式：，有計(jì)算式：即可得到即可得到全概率公式全概率公式 ：()( )( )( )( )P ABP AP BP A P Bn121111()()()()()nniiijijkniiij nij k nPAP AP A AP A A AP A AA （-1）()( )( )P ABP AP BiBiiSB iB11()(/)()nniiiiiP A BP A BP B1( )(/)

25、()niiiP AP A BP BiB可靠性相關(guān)概率的基本計(jì)算 評(píng)估系統(tǒng)失效評(píng)估系統(tǒng)失效( (或運(yùn)行或運(yùn)行) )的概率，如果能夠知道系統(tǒng)狀態(tài)的概率，如果能夠知道系統(tǒng)狀態(tài)( (失效或運(yùn)行失效或運(yùn)行) )與系統(tǒng)中某個(gè)元件與系統(tǒng)中某個(gè)元件X X正常與故障兩個(gè)互斥事件的正常與故障兩個(gè)互斥事件的相關(guān)信息，就可以按照全概率計(jì)算公式相關(guān)信息，就可以按照全概率計(jì)算公式, ,得：得： 上式中：上式中：X X代表元件代表元件X X正常運(yùn)行；正常運(yùn)行； 代表元件代表元件X X故障。故障。_()(X)()(X)()(/)()(/)()PPP XPPXPXP XPPXX系統(tǒng)失效給定 正常的條件下系統(tǒng)失效給定 故障的條件

26、下系統(tǒng)失效系統(tǒng)失效系統(tǒng)失效_X4.4.概率分布概率分布 (1)(1)隨機(jī)變量隨機(jī)變量的定義的定義：由樣本空間中每一個(gè)元素所確定的由樣本空間中每一個(gè)元素所確定的函數(shù)。其取值是隨機(jī)的函數(shù)。其取值是隨機(jī)的, ,可用概率來量化。有連續(xù)和離散隨機(jī)可用概率來量化。有連續(xù)和離散隨機(jī)變量之分。工程問題中變量之分。工程問題中, ,通常計(jì)算數(shù)據(jù)是離散隨機(jī)變量通常計(jì)算數(shù)據(jù)是離散隨機(jī)變量, ,測量數(shù)測量數(shù)據(jù)是連續(xù)的。據(jù)是連續(xù)的。 (2)(2)可靠性計(jì)算中常用的分布函數(shù)應(yīng)用舉例可靠性計(jì)算中常用的分布函數(shù)應(yīng)用舉例 概率分布概率分布的定義的定義：用概率的方法來研究隨機(jī)變量這種函數(shù)用概率的方法來研究隨機(jī)變量這種函數(shù)取值范圍的

27、分布規(guī)律。取值范圍的分布規(guī)律。 應(yīng)用：研究工程中通過試驗(yàn)或觀察取得的數(shù)據(jù)，根據(jù)可靠應(yīng)用：研究工程中通過試驗(yàn)或觀察取得的數(shù)據(jù)，根據(jù)可靠性評(píng)估要求來研究對(duì)它們進(jìn)行處理和估計(jì)的方法。性評(píng)估要求來研究對(duì)它們進(jìn)行處理和估計(jì)的方法。 【基本可靠性函數(shù)（連續(xù)隨機(jī)變量）基本可靠性函數(shù)（連續(xù)隨機(jī)變量）】1 1 ( (不可修復(fù)元件不可修復(fù)元件) )的可靠度的可靠度: :在規(guī)定條件下和規(guī)定的時(shí)間區(qū)在規(guī)定條件下和規(guī)定的時(shí)間區(qū)( , )( , )內(nèi)無故障持續(xù)完成規(guī)定功能的概率，常用內(nèi)無故障持續(xù)完成規(guī)定功能的概率，常用R(t)R(t)表表示。示。式中式中:T:T表示產(chǎn)品發(fā)生故障表示產(chǎn)品發(fā)生故障( (失效失效) )的時(shí)間，

28、有時(shí)也稱為壽命；的時(shí)間，有時(shí)也稱為壽命；t t為規(guī)定的時(shí)間。為規(guī)定的時(shí)間。 在工程計(jì)算中常使用不能完成規(guī)定功能的概率在工程計(jì)算中常使用不能完成規(guī)定功能的概率F(t),F(t),或稱或稱為為不可靠度不可靠度,F(t),F(t)稱為累積故障分布函數(shù)稱為累積故障分布函數(shù), ,即即 并有并有 。 根據(jù)概率的基本概念，根據(jù)概率的基本概念，故障密度函數(shù)故障密度函數(shù)為：為：1t2tF(t)=P(Tt)R(t)+F(t)=1( )( )dF tf tdt)()(tTPtR故障率函數(shù)故障率函數(shù)為：為： 上式等號(hào)兩邊積分上式等號(hào)兩邊積分, ,并當(dāng)并當(dāng) 為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí), ,上式可以化為：上式可以化為：將這種特殊情

29、形稱為指數(shù)分布將這種特殊情形稱為指數(shù)分布, ,它是系統(tǒng)可靠性問題中應(yīng)用的它是系統(tǒng)可靠性問題中應(yīng)用的最廣泛的一種分布。并可推導(dǎo)出隨機(jī)變量最廣泛的一種分布。并可推導(dǎo)出隨機(jī)變量t t的均值的均值m m的函數(shù)式為：的函數(shù)式為：01()( )( )1( )( )lim( )( )( )tF ttF tf tdR tttR tR tR tdt ( )tR te0( )mR t dt工程上常用工程上常用m m稱為稱為平均失平均失效前時(shí)間效前時(shí)間，它有一個(gè)專門術(shù)語它有一個(gè)專門術(shù)語MTTFMTTF, ,就是不可修復(fù)元件的平均就是不可修復(fù)元件的平均壽命。壽命?？煽慷群瘮?shù)可靠度函數(shù)R(t)R(t)的形狀如的形狀如圖

30、圖2-12-1所示：所示：MTTFmMTTF2)2)典型應(yīng)用典型應(yīng)用- -泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布描述的是：在給定時(shí)間或空間內(nèi)事件發(fā)生率為常數(shù)時(shí)，描述的是：在給定時(shí)間或空間內(nèi)事件發(fā)生率為常數(shù)時(shí)，一定次數(shù)下單個(gè)事件發(fā)生的頻率。事件的發(fā)生必須是隨機(jī)的，一定次數(shù)下單個(gè)事件發(fā)生的頻率。事件的發(fā)生必須是隨機(jī)的，一個(gè)系統(tǒng)的故障數(shù)就是這種例子。一個(gè)系統(tǒng)的故障數(shù)就是這種例子。利用泊松分布來模擬失效過程時(shí)，常將其參數(shù)利用泊松分布來模擬失效過程時(shí)，常將其參數(shù) 稱為稱為故障故障率率。故有故有 = =單位時(shí)間的平均故障數(shù)。單位時(shí)間的平均故障數(shù)。泊松分布的密度分布函數(shù)為：泊松分布的密度分布函數(shù)為：式中：式中：x

31、 x為故障發(fā)生次數(shù)，取值為為故障發(fā)生次數(shù)，取值為0,1,0,1,。x()P ( )!xttetx實(shí)例分析實(shí)例分析例例2-1 2-1 計(jì)算如圖計(jì)算如圖2-22-2所示兩相同元件構(gòu)成的旁待備用系統(tǒng)的可所示兩相同元件構(gòu)成的旁待備用系統(tǒng)的可靠性。設(shè)檢測信號(hào)和切換裝置均十分可靠，備用元件處于備靠性。設(shè)檢測信號(hào)和切換裝置均十分可靠，備用元件處于備用狀態(tài)時(shí)不發(fā)生故障。用狀態(tài)時(shí)不發(fā)生故障。解：當(dāng)備用元件不工作時(shí)該系統(tǒng)的工作概率即可靠度應(yīng)等于系解：當(dāng)備用元件不工作時(shí)該系統(tǒng)的工作概率即可靠度應(yīng)等于系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率統(tǒng)不發(fā)生故障的概率, ,即由泊松分布即由泊松分布X=0X=0得：得：00()P ( )0!ttte

32、te當(dāng)工作元件發(fā)生故障時(shí)，由于系統(tǒng)中有當(dāng)工作元件發(fā)生故障時(shí)，由于系統(tǒng)中有1 1個(gè)備用元件可以被切個(gè)備用元件可以被切換，使系統(tǒng)不致失效，故工作元件發(fā)生一次故障時(shí)也屬于系換，使系統(tǒng)不致失效，故工作元件發(fā)生一次故障時(shí)也屬于系統(tǒng)的工作狀態(tài)，于是這個(gè)系統(tǒng)的工作概率為統(tǒng)的工作狀態(tài)，于是這個(gè)系統(tǒng)的工作概率為其平均持續(xù)工作時(shí)間為其平均持續(xù)工作時(shí)間為 這個(gè)例子的計(jì)算可以推廣到這個(gè)例子的計(jì)算可以推廣到n n個(gè)相同備用元件的情形：個(gè)相同備用元件的情形：01( )( )( )(1)tttR tP tP teteet0112(1)tmet dt0()( )!xtnxteR tx1nm例例2-2 2-2 研究圖研究圖2-

33、32-3所示兩相同元件并聯(lián)工作冗余系統(tǒng)的可靠性。所示兩相同元件并聯(lián)工作冗余系統(tǒng)的可靠性。解：設(shè)每個(gè)元件的故障率為解：設(shè)每個(gè)元件的故障率為 , ,并且其壽命服從指數(shù)分布。并且其壽命服從指數(shù)分布。根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知, ,當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)元件都發(fā)生故障時(shí)系統(tǒng)才失效。當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)元件都發(fā)生故障時(shí)系統(tǒng)才失效。因此系統(tǒng)的失效率為因此系統(tǒng)的失效率為系統(tǒng)工作概率為系統(tǒng)工作概率為系統(tǒng)平均持續(xù)工作時(shí)間系統(tǒng)平均持續(xù)工作時(shí)間2( )(1)(1)1 2ttttF teeee 2( )1( )2ttR tF tee 201113(2)2ttmeedt不可修復(fù)和可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性分析 從可靠性觀點(diǎn)來看從可靠性觀點(diǎn)來看,

34、,元件可以分為元件可以分為可修復(fù)元件可修復(fù)元件和和不可修不可修復(fù)元件復(fù)元件兩大類。兩大類。【可修復(fù)元件可修復(fù)元件】使用一段時(shí)間后發(fā)生故障，經(jīng)過修理就能再使用一段時(shí)間后發(fā)生故障，經(jīng)過修理就能再次恢復(fù)到原來的工作狀態(tài)。次恢復(fù)到原來的工作狀態(tài)?！静豢尚迯?fù)元件不可修復(fù)元件】工作一段時(shí)間后發(fā)生了故障不能修復(fù)或者工作一段時(shí)間后發(fā)生了故障不能修復(fù)或者雖能修復(fù)，但很不經(jīng)濟(jì)。電力元件大部分是可修復(fù)元件。雖能修復(fù)，但很不經(jīng)濟(jì)。電力元件大部分是可修復(fù)元件。 由元件組成的系統(tǒng)也可以分為兩大類，即由元件組成的系統(tǒng)也可以分為兩大類，即可修復(fù)系統(tǒng)可修復(fù)系統(tǒng)和和不可修復(fù)系統(tǒng)不可修復(fù)系統(tǒng)。電力系統(tǒng)屬于可修復(fù)系統(tǒng)。電力系統(tǒng)屬于可

35、修復(fù)系統(tǒng)。 工程可靠性分析常用網(wǎng)絡(luò)圖形的形式來模擬元件的可靠工程可靠性分析常用網(wǎng)絡(luò)圖形的形式來模擬元件的可靠性性能及相互間的影響。性性能及相互間的影響。 可靠性框圖可靠性框圖：根據(jù)系統(tǒng)的原理圖和元件與系統(tǒng)的功能關(guān)：根據(jù)系統(tǒng)的原理圖和元件與系統(tǒng)的功能關(guān)系，按系統(tǒng)可靠性等效的原則繪制的網(wǎng)絡(luò)圖形。系，按系統(tǒng)可靠性等效的原則繪制的網(wǎng)絡(luò)圖形。不可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性分析(1)(1)串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)特征特征: :當(dāng)系統(tǒng)中任一元件故障時(shí)當(dāng)系統(tǒng)中任一元件故障時(shí), ,系統(tǒng)即失效。系統(tǒng)即失效。由代表元件的框全部串聯(lián)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)記為原系統(tǒng)串聯(lián)等效的可由代表元件的框全部串聯(lián)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)記為原系統(tǒng)串聯(lián)等效的可靠性框圖?？啃钥驁D

36、?？疾煊蓛蓚€(gè)獨(dú)立元件考察由兩個(gè)獨(dú)立元件A A和和B B構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng), ,如圖如圖2-42-4所示。所示。A A和和B B都必須工作才能保證系統(tǒng)的運(yùn)行。若都必須工作才能保證系統(tǒng)的運(yùn)行。若 和和 分別表示分別表示元件元件A A和和B B成功運(yùn)行的概率成功運(yùn)行的概率, ,而而 和和 分別表示元件分別表示元件A A和和B B失效失效的概率的概率, ,則以交集的概念可知系統(tǒng)可靠度為則以交集的概念可知系統(tǒng)可靠度為: :ARBRAFBFsABRR RsABRR R不可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性分析推廣到推廣到n n個(gè)元件串聯(lián)的系統(tǒng)的可靠度乘法法則個(gè)元件串聯(lián)的系統(tǒng)的可靠度乘法法則: :在一些實(shí)際應(yīng)用中在

37、一些實(shí)際應(yīng)用中, ,計(jì)算系統(tǒng)的不可靠度比計(jì)算系統(tǒng)的可靠度計(jì)算系統(tǒng)的不可靠度比計(jì)算系統(tǒng)的可靠度更方便更方便. .由于系統(tǒng)成功和失效是互斥事件由于系統(tǒng)成功和失效是互斥事件, ,所以兩元件系統(tǒng)的所以兩元件系統(tǒng)的不可靠度為不可靠度為: :對(duì)對(duì)n n個(gè)元件串聯(lián)的系統(tǒng)個(gè)元件串聯(lián)的系統(tǒng): :11 (1)(1)sABABABABFR RFFFFF F 11nsiiFR 1nsiiRR(2)(2)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)特征特征: :系統(tǒng)中任一元件運(yùn)行系統(tǒng)中任一元件運(yùn)行, ,系統(tǒng)就能完成規(guī)定的功能。系統(tǒng)就能完成規(guī)定的功能?？疾煊蓛蓚€(gè)獨(dú)立元件考察由兩個(gè)獨(dú)立元件A A和和B B構(gòu)成的并聯(lián)系統(tǒng)構(gòu)成的并聯(lián)系統(tǒng), ,如前面的圖如

38、前面的圖2-32-3所示所示. .這樣的系統(tǒng)只有當(dāng)兩個(gè)元件都失效時(shí)系統(tǒng)才失效。此時(shí)，系這樣的系統(tǒng)只有當(dāng)兩個(gè)元件都失效時(shí)系統(tǒng)才失效。此時(shí)，系統(tǒng)可靠度為：統(tǒng)可靠度為：推廣到推廣到n n個(gè)元件并聯(lián)的系統(tǒng)：個(gè)元件并聯(lián)的系統(tǒng)：結(jié)論結(jié)論：系統(tǒng)的可靠性越串越低，越并越高。但是增加并聯(lián)元件：系統(tǒng)的可靠性越串越低，越并越高。但是增加并聯(lián)元件個(gè)數(shù)會(huì)增加系統(tǒng)的初投資、質(zhì)量和體積，并增加所需要的維個(gè)數(shù)會(huì)增加系統(tǒng)的初投資、質(zhì)量和體積，并增加所需要的維修量。修量。 (3)(3)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的分析方法復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的分析方法一般采用網(wǎng)絡(luò)簡化法分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。一般采用網(wǎng)絡(luò)簡化法分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)?；舅枷牖舅枷? :把復(fù)雜系統(tǒng)的可靠

39、性模型中相應(yīng)的串并聯(lián)支路歸并把復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性模型中相應(yīng)的串并聯(lián)支路歸并起來逐步得到簡化，直到簡化為一個(gè)等效元件。此時(shí)的等效起來逐步得到簡化，直到簡化為一個(gè)等效元件。此時(shí)的等效元件的參數(shù)就代表了原始網(wǎng)絡(luò)的可靠度元件的參數(shù)就代表了原始網(wǎng)絡(luò)的可靠度( (或不可靠度或不可靠度) )。1pABABABRF FRRR R 11npiiRF 不可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性分析定義定義： 為可修復(fù)元件的無故障工作時(shí)間，為可修復(fù)元件的無故障工作時(shí)間， 為故障修復(fù)為故障修復(fù)時(shí)間。它們都是非負(fù)的隨機(jī)變量。時(shí)間。它們都是非負(fù)的隨機(jī)變量。一個(gè)可修復(fù)元件的整個(gè)壽命流程是工作、修復(fù)一個(gè)可修復(fù)元件的整個(gè)壽命流程是工作、修復(fù)( (故障

40、故障) )、再工作、再工作、再修復(fù)的過程。如圖再修復(fù)的過程。如圖2-52-5所示。所示?？尚迯?fù)元件的故障率表達(dá)式和不可修復(fù)元件相同。用可修復(fù)元件的故障率表達(dá)式和不可修復(fù)元件相同。用修復(fù)率修復(fù)率 來表明可修復(fù)元件修復(fù)的難易程度及效果。來表明可修復(fù)元件修復(fù)的難易程度及效果。修復(fù)率修復(fù)率: : 修理時(shí)間修理時(shí)間已達(dá)到某個(gè)時(shí)刻但尚未修復(fù)的產(chǎn)品，在該時(shí)刻后的單位時(shí)間內(nèi)已達(dá)到某個(gè)時(shí)刻但尚未修復(fù)的產(chǎn)品，在該時(shí)刻后的單位時(shí)間內(nèi)完成修理的概率。完成修理的概率。UTDT01( )()limDttP tTttt 可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性分析可修復(fù)系統(tǒng)的可靠性分析可修復(fù)元件衡量工作壽命的指標(biāo)可修復(fù)元件衡量工作壽命的指標(biāo):

41、:平均無故障工作時(shí)間平均無故障工作時(shí)間(MTTF);(MTTF);另一指標(biāo)是另一指標(biāo)是平均相鄰故障間隔時(shí)間平均相鄰故障間隔時(shí)間(MTBF),(MTBF),它是指元件在相鄰它是指元件在相鄰兩次故障之間兩次故障之間( (包括修復(fù)時(shí)間在內(nèi)包括修復(fù)時(shí)間在內(nèi)) )的時(shí)間平均值。還有一個(gè)的時(shí)間平均值。還有一個(gè)指標(biāo)是指標(biāo)是平均失效間隔時(shí)間平均失效間隔時(shí)間(MTTR)(MTTR)。并成立下列關(guān)系式：。并成立下列關(guān)系式： 衡量可修復(fù)元件可靠工作程度的指標(biāo)：衡量可修復(fù)元件可靠工作程度的指標(biāo)：可用度可用度A A。并定義并定義不可用度不可用度 ，不可修復(fù)系統(tǒng)使用的可靠性框圖模式模擬方法完全可以推廣到不可修復(fù)系統(tǒng)使用的

42、可靠性框圖模式模擬方法完全可以推廣到應(yīng)用于可修系統(tǒng)的分析，只是由于計(jì)及了維修過程，其相應(yīng)的應(yīng)用于可修系統(tǒng)的分析，只是由于計(jì)及了維修過程，其相應(yīng)的算式會(huì)復(fù)雜一些。算式會(huì)復(fù)雜一些。1mMTTF1rMTTR1TMTBFmrf111mAmr_A_1AA (1)(1)串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)圖圖2-62-6中中, , 和和 分別表示元件和系統(tǒng)相應(yīng)的分別表示元件和系統(tǒng)相應(yīng)的失效率失效率和和修復(fù)率修復(fù)率。根據(jù)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算規(guī)則可知根據(jù)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算規(guī)則可知當(dāng)系統(tǒng)中任一元件故障時(shí)當(dāng)系統(tǒng)中任一元件故障時(shí), ,系統(tǒng)失效系統(tǒng)失效, ,有有整理上述兩個(gè)式子，并當(dāng)條件整理上述兩個(gè)式子，并當(dāng)條件 成立時(shí)，

43、可化簡得成立時(shí)，可化簡得推廣到推廣到n n個(gè)元件串聯(lián)系統(tǒng)的計(jì)算公式：個(gè)元件串聯(lián)系統(tǒng)的計(jì)算公式：121122sss 12s11 122ssrrr1nsiiAA1nsii1ni iissssrUr1nsi iiUr(2)(2)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)兩個(gè)元件并聯(lián)系統(tǒng)的邏輯框圖如圖兩個(gè)元件并聯(lián)系統(tǒng)的邏輯框圖如圖2-72-7所示。所示。其推導(dǎo)過程與不可修復(fù)串聯(lián)系統(tǒng)的推理過程類似。其推導(dǎo)過程與不可修復(fù)串聯(lián)系統(tǒng)的推理過程類似。 可得可得 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時(shí)，工程系統(tǒng)近似計(jì)算中時(shí)，工程系統(tǒng)近似計(jì)算中n n個(gè)元件并聯(lián)個(gè)元件并聯(lián)系統(tǒng)的計(jì)算公式為系統(tǒng)的計(jì)算公式為 12p121122ppp 1 212prrrrr11

44、11ninipiniii1npii1npp piiUrU馬爾可夫隨機(jī)過程概念與分析方法 2.4.1 2.4.1 概述概述 2.4.2 2.4.2 離散馬爾可夫鏈離散馬爾可夫鏈 2.4.3 2.4.3 連續(xù)馬爾可夫過程連續(xù)馬爾可夫過程 2.4.1 概述馬爾可夫過程馬爾可夫過程是一種常見的無后效性隨機(jī)過程是一種常見的無后效性隨機(jī)過程 。特點(diǎn)：隨機(jī)過程在將來的狀態(tài)僅與其所在所處的狀態(tài)有關(guān)特點(diǎn)：隨機(jī)過程在將來的狀態(tài)僅與其所在所處的狀態(tài)有關(guān), ,而而與過去所處的狀態(tài)無關(guān)。與過去所處的狀態(tài)無關(guān)。馬爾可夫方法馬爾可夫方法：馬爾可夫過程在工程系統(tǒng)可靠性模擬時(shí)的簡：馬爾可夫過程在工程系統(tǒng)可靠性模擬時(shí)的簡稱。稱。

45、馬爾可夫方法既可模擬離散，也可模擬連續(xù)隨機(jī)變量，對(duì)于馬爾可夫方法既可模擬離散，也可模擬連續(xù)隨機(jī)變量，對(duì)于離散的情形系則特別地稱為離散的情形系則特別地稱為馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈。在工程系統(tǒng)可靠性領(lǐng)域中，我們常常研究的是時(shí)間連續(xù)和空在工程系統(tǒng)可靠性領(lǐng)域中，我們常常研究的是時(shí)間連續(xù)和空間離散的問題。間離散的問題。2.4.2 離散馬爾可夫鏈1.1.基本模型基本模型隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣如圖如圖2-82-8所示的系統(tǒng)狀態(tài)空間圖所示的系統(tǒng)狀態(tài)空間圖, ,它是一個(gè)馬爾可夫鏈它是一個(gè)馬爾可夫鏈, ,具有具有1 1和和2 2二個(gè)狀態(tài)二個(gè)狀態(tài), ,圖中帶箭頭的線條及相應(yīng)的權(quán)值分別表示狀態(tài)圖中帶箭頭的線條及

46、相應(yīng)的權(quán)值分別表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移的方向和常數(shù)轉(zhuǎn)移概率。研究相繼的離散時(shí)間點(diǎn)上系統(tǒng)轉(zhuǎn)移的方向和常數(shù)轉(zhuǎn)移概率。研究相繼的離散時(shí)間點(diǎn)上系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過程。狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過程。用矩陣來模擬這一過程，則可以構(gòu)造以下矩陣用矩陣來模擬這一過程，則可以構(gòu)造以下矩陣: :式中：式中： 表示開始時(shí)位于狀態(tài)表示開始時(shí)位于狀態(tài)i i，經(jīng)過一個(gè)時(shí)間間隔后位于狀，經(jīng)過一個(gè)時(shí)間間隔后位于狀態(tài)態(tài)j j的概率。的概率。111221223/41/41/21/2PPPPPijP推廣到推廣到n n個(gè)狀態(tài)的情況，如右所示：個(gè)狀態(tài)的情況，如右所示：矩陣元素矩陣元素 的定義是：行號(hào)的定義是：行號(hào)i i表示轉(zhuǎn)移發(fā)生的起始狀態(tài)表示轉(zhuǎn)移發(fā)生的起始狀態(tài),

47、,列列號(hào)號(hào)j j表示轉(zhuǎn)移到達(dá)的狀態(tài)。這個(gè)矩陣表示隨機(jī)過程的轉(zhuǎn)移概表示轉(zhuǎn)移到達(dá)的狀態(tài)。這個(gè)矩陣表示隨機(jī)過程的轉(zhuǎn)移概率率, ,被稱為系統(tǒng)的被稱為系統(tǒng)的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣。不難知道。不難知道, ,矩陣每一行矩陣每一行的概率之和必為的概率之和必為1 1。ijP( )(0)nP xPP2.2.時(shí)間相關(guān)概率時(shí)間相關(guān)概率由前面所介紹的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣由前面所介紹的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣, ,我們可以計(jì)算任何時(shí)間間我們可以計(jì)算任何時(shí)間間隔后系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)的概率隔后系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)的概率: :式中：式中： 為第為第x x步時(shí)間間隔后系統(tǒng)的狀態(tài)概率矢量；為隨機(jī)轉(zhuǎn)步時(shí)間間隔后系統(tǒng)的狀態(tài)概率矢量；為隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣

48、移概率矩陣P P的的n n 次自乘。次自乘。以圖以圖2-82-8所示的系統(tǒng)為例，假設(shè)開始處于狀態(tài)所示的系統(tǒng)為例，假設(shè)開始處于狀態(tài)1 1，則系統(tǒng)初始狀，則系統(tǒng)初始狀態(tài)矢量為態(tài)矢量為P(0)=1 0,P(0)=1 0,可計(jì)算可計(jì)算2 2個(gè)時(shí)間間隔后系統(tǒng)的狀態(tài)概率個(gè)時(shí)間間隔后系統(tǒng)的狀態(tài)概率為為 ( )(0)nP xPP( )P x223/4 1/4(2)(0)1 011/16 5/161/2 1/2PPP3.3.極限狀態(tài)概率極限狀態(tài)概率 若研究的系統(tǒng)一旦達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的極限狀態(tài)若研究的系統(tǒng)一旦達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的極限狀態(tài), ,這時(shí)再用隨這時(shí)再用隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣與系統(tǒng)極限狀態(tài)概率相乘機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣與系統(tǒng)極限狀

49、態(tài)概率相乘, ,乘積不變。即如果乘積不變。即如果用用 表示極限概率矢量表示極限概率矢量, ,而而P P為隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣為隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣, ,則有則有 仍以圖仍以圖2-82-8所示的系統(tǒng)為例所示的系統(tǒng)為例, ,令令 和和 分別為在狀態(tài)分別為在狀態(tài)1 1和和2 2時(shí)的極限概率時(shí)的極限概率, ,則有則有并聯(lián)立式并聯(lián)立式 , ,可解出該系統(tǒng)兩個(gè)狀態(tài)的極限概率分可解出該系統(tǒng)兩個(gè)狀態(tài)的極限概率分別為別為P =1P2P12123/4 1/41/2 1/2PPPP121PP12/30.667P 21/30.333P 4.4.吸收狀態(tài)吸收狀態(tài)狀態(tài)期望停留時(shí)間計(jì)算狀態(tài)期望停留時(shí)間計(jì)算 在不可修系統(tǒng)中，一旦進(jìn)入

50、就不再向外轉(zhuǎn)移的狀態(tài)稱為在不可修系統(tǒng)中，一旦進(jìn)入就不再向外轉(zhuǎn)移的狀態(tài)稱為吸吸收狀態(tài)收狀態(tài)?？煽啃苑治龅囊粋€(gè)主要要求是計(jì)算系統(tǒng)在進(jìn)入某一個(gè)?？煽啃苑治龅囊粋€(gè)主要要求是計(jì)算系統(tǒng)在進(jìn)入某一個(gè)吸收狀態(tài)前的平均運(yùn)行時(shí)間間隔。對(duì)于可修系統(tǒng)，將不希望系吸收狀態(tài)前的平均運(yùn)行時(shí)間間隔。對(duì)于可修系統(tǒng)，將不希望系統(tǒng)進(jìn)入的一個(gè)或幾個(gè)狀態(tài)統(tǒng)進(jìn)入的一個(gè)或幾個(gè)狀態(tài)( (如失效狀態(tài)如失效狀態(tài)) )規(guī)定為吸收狀態(tài)規(guī)定為吸收狀態(tài), ,就可就可以計(jì)算系統(tǒng)平均持續(xù)運(yùn)行時(shí)間時(shí)間間隔數(shù)。以計(jì)算系統(tǒng)平均持續(xù)運(yùn)行時(shí)間時(shí)間間隔數(shù)。仍以圖仍以圖2-82-8所示的系統(tǒng)為例，如果定義狀態(tài)所示的系統(tǒng)為例，如果定義狀態(tài)2 2為吸收狀態(tài)為吸收狀態(tài), ,

51、則系則系統(tǒng)最終必然進(jìn)入狀態(tài)統(tǒng)最終必然進(jìn)入狀態(tài)2 2。這時(shí)需要計(jì)算進(jìn)入吸收狀態(tài)。這時(shí)需要計(jì)算進(jìn)入吸收狀態(tài)2 2之前的平之前的平均時(shí)間隔。設(shè)均時(shí)間隔。設(shè)P P為任意系統(tǒng)的隨機(jī)概率轉(zhuǎn)移矩陣，為任意系統(tǒng)的隨機(jī)概率轉(zhuǎn)移矩陣，Q Q為為P P中刪去中刪去與吸收狀態(tài)對(duì)應(yīng)的行和列后的降階矩陣與吸收狀態(tài)對(duì)應(yīng)的行和列后的降階矩陣, ,稱為稱為截尾矩陣截尾矩陣。應(yīng)用。應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的概念得出：數(shù)學(xué)期望的概念得出：式中：式中：N N為期望時(shí)間間隔數(shù)。為期望時(shí)間間隔數(shù)。考慮到考慮到 中的元素都是概率小于中的元素都是概率小于1 1的值的值, ,即即 , ,通過通過一定的初等數(shù)學(xué)變換一定的初等數(shù)學(xué)變換, ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,可

52、得可得 。1P2n-11N Q+QQQ0limnnQn 11NQ算例：研究圖算例：研究圖2-92-9所示的三狀態(tài)系統(tǒng)，轉(zhuǎn)移概率已經(jīng)在圖中標(biāo)所示的三狀態(tài)系統(tǒng)，轉(zhuǎn)移概率已經(jīng)在圖中標(biāo)明。明。計(jì)算：每個(gè)狀態(tài)的極限狀態(tài)概率；計(jì)算：每個(gè)狀態(tài)的極限狀態(tài)概率；當(dāng)狀態(tài)當(dāng)狀態(tài)3 3為吸收狀態(tài)時(shí)，停留在每一個(gè)非吸收狀態(tài)的平均時(shí)為吸收狀態(tài)時(shí)，停留在每一個(gè)非吸收狀態(tài)的平均時(shí)間間隔數(shù)。間間隔數(shù)。解解:(1):(1)該系統(tǒng)的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣為該系統(tǒng)的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣為3/41/4001/21/21/31/31/3P極限狀態(tài)概率分別為極限狀態(tài)概率分別為 ， ， , ,由極限狀態(tài)公式可得：由極限狀態(tài)公式可得：并聯(lián)立并聯(lián)立 ，解

53、得，解得 =4/11=4/11， =4/11=4/11， =3/11=3/11。(2)(2)狀態(tài)狀態(tài)3 3是吸收狀態(tài)，得截尾矩陣是吸收狀態(tài)，得截尾矩陣 計(jì)算結(jié)果表明：若系統(tǒng)開始處于狀態(tài)計(jì)算結(jié)果表明：若系統(tǒng)開始處于狀態(tài)1 1，則停留在狀態(tài)，則停留在狀態(tài)1 1的平均的平均時(shí)間間隔數(shù)是時(shí)間間隔數(shù)是4(= )4(= )。 是是0,0,表示系統(tǒng)若開始處于狀態(tài)表示系統(tǒng)若開始處于狀態(tài)2 2，則停留在狀態(tài)則停留在狀態(tài)1 1的平均時(shí)間間隔數(shù)為的平均時(shí)間間隔數(shù)為0,0,理由是從狀態(tài)理由是從狀態(tài)2 2到狀態(tài)到狀態(tài)1 1沒有直接的轉(zhuǎn)移沒有直接的轉(zhuǎn)移, ,只能通過吸收狀態(tài)只能通過吸收狀態(tài)3 3這個(gè)途徑。這個(gè)途徑。1P2

54、P3P1231233/41/4001/21/21/31/31/3PPPPPP1231PPP1P2P3P3/41/401/2Q11112212242102NNNNNQ11N21N2.4.3 連續(xù)馬爾可夫過程應(yīng)用條件應(yīng)用條件：空間離散而時(shí)間連續(xù)。特別地：空間離散而時(shí)間連續(xù)。特別地, ,當(dāng)系統(tǒng)元件失效和當(dāng)系統(tǒng)元件失效和修復(fù)的概率是常數(shù)時(shí)修復(fù)的概率是常數(shù)時(shí), ,可滿足平穩(wěn)馬爾可夫過程的條件?？蓾M足平穩(wěn)馬爾可夫過程的條件。適用范圍適用范圍：不可修或可修系統(tǒng)以及串并聯(lián)或冗余備用系統(tǒng)等。：不可修或可修系統(tǒng)以及串并聯(lián)或冗余備用系統(tǒng)等。1.1.模擬方法模擬方法如圖如圖2-102-10所示的為單個(gè)可維修元件系統(tǒng)狀

55、態(tài)空間，設(shè)其故障率所示的為單個(gè)可維修元件系統(tǒng)狀態(tài)空間，設(shè)其故障率和修復(fù)率均為常數(shù)，那么其分布特性就可用指數(shù)分布進(jìn)行模擬。和修復(fù)率均為常數(shù)，那么其分布特性就可用指數(shù)分布進(jìn)行模擬。設(shè)設(shè) 為元件在時(shí)刻為元件在時(shí)刻t t可可運(yùn)行的概率；運(yùn)行的概率； 為元件為元件在時(shí)刻在時(shí)刻t t失效的概率；失效的概率； 為失效率；為失效率； 為修復(fù)率，為修復(fù)率，運(yùn)行和故障狀態(tài)的密度函數(shù)運(yùn)行和故障狀態(tài)的密度函數(shù)為為 和和式中：參數(shù)式中：參數(shù) 、 也可稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移率也可稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移率, ,其定義為從一個(gè)給定其定義為從一個(gè)給定狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)換的次數(shù)與停留在該狀態(tài)的時(shí)間比值。狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)換的次數(shù)與停留在該狀態(tài)的時(shí)間比值。0( )P

56、 t1( )P t0( )tf te1( )tf te2.2.時(shí)間相關(guān)概率時(shí)間相關(guān)概率設(shè)前面提到的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)間間隔增量設(shè)前面提到的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)間間隔增量 足夠小，因而在足夠小，因而在增量中發(fā)生兩個(gè)或多個(gè)事件的概率可以忽略不計(jì)，則系統(tǒng)在增量中發(fā)生兩個(gè)或多個(gè)事件的概率可以忽略不計(jì)，則系統(tǒng)在 時(shí)段內(nèi)處于狀態(tài)時(shí)段內(nèi)處于狀態(tài)0 0的概率是的概率是t t時(shí)刻運(yùn)行且在時(shí)刻運(yùn)行且在 內(nèi)內(nèi)不失效的概率不失效的概率+t+t時(shí)刻失效且在時(shí)刻失效且在 時(shí)刻內(nèi)被修復(fù)的概率，即時(shí)刻內(nèi)被修復(fù)的概率，即同樣，同樣， 內(nèi)處于狀態(tài)內(nèi)處于狀態(tài)1 1的概率為的概率為則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有于是可以得到于是可以得到 001()(

57、)(1)( )()P tdtP tdtP tdtdttdtdtdttdt110()( )(1)( )()P tdtP tdtP tdt0dt 00000( )()( )( )dtdP tP tdtP tP tdtdt001( )( )( )P tP tP t 101( )( )( )P tP tP t應(yīng)用拉普拉斯變換和反變換解上式所示的線性微分方程組，并應(yīng)用拉普拉斯變換和反變換解上式所示的線性微分方程組，并假設(shè)初始條件為假設(shè)初始條件為 。解得。解得 注意注意: :上式中的概率上式中的概率 和和 分別是系統(tǒng)起始時(shí)間屬于運(yùn)分別是系統(tǒng)起始時(shí)間屬于運(yùn)行狀態(tài)時(shí)行狀態(tài)時(shí), ,作為時(shí)間函數(shù)的運(yùn)行狀態(tài)和故障狀

58、態(tài)的概率。通作為時(shí)間函數(shù)的運(yùn)行狀態(tài)和故障狀態(tài)的概率。通常分別用常分別用可用度可用度A(t)A(t)和和不可用度不可用度U(t)U(t)表示，但是與表示，但是與可靠度可靠度R(t)R(t)不是同一個(gè)概念。不是同一個(gè)概念。01(0)1,(0)0PP()0( )( )tP tA te ()1( )( )tP tU te 0( )P t1( )P t3.3.極限狀態(tài)概率極限狀態(tài)概率如果分別用如果分別用 和和 表示運(yùn)行狀態(tài)和故障狀態(tài)的極限概率值表示運(yùn)行狀態(tài)和故障狀態(tài)的極限概率值, ,則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)時(shí), ,從化簡從化簡2 2中得到的公式，可以得中得到的公式，可以得4.4.隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣評(píng)估方法隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率

59、矩陣評(píng)估方法基本原理：當(dāng)時(shí)間間隔的增量基本原理：當(dāng)時(shí)間間隔的增量 充分小充分小( (區(qū)間內(nèi)發(fā)生兩次或多區(qū)間內(nèi)發(fā)生兩次或多次的轉(zhuǎn)移概率可以忽略不計(jì)次的轉(zhuǎn)移概率可以忽略不計(jì)),),可以將連續(xù)的問題離散化可以將連續(xù)的問題離散化, ,利利用馬爾可夫鏈的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣概念分析連續(xù)過程的問題。用馬爾可夫鏈的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣概念分析連續(xù)過程的問題。因?yàn)橐驗(yàn)?充分小充分小, ,在這個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生轉(zhuǎn)移的概率等于轉(zhuǎn)移乘在這個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生轉(zhuǎn)移的概率等于轉(zhuǎn)移乘以該時(shí)間區(qū)間的長度。如果元件的故障率是以該時(shí)間區(qū)間的長度。如果元件的故障率是 , ,在在 時(shí)間時(shí)間中轉(zhuǎn)移為失效狀態(tài)的概率為中轉(zhuǎn)移為失效狀態(tài)的概率為 , ,

60、不發(fā)生故障的概率不發(fā)生故障的概率為為 。得圖。得圖2-102-10所示系統(tǒng)的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣所示系統(tǒng)的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣00( )PP 11( )PP 0P1Pt tttt1t 11ttPtt (1)(1)時(shí)間相關(guān)概率時(shí)間相關(guān)概率若難以合理確定時(shí)間增量若難以合理確定時(shí)間增量 ，可以采取估計(jì)法。，可以采取估計(jì)法。原理：可以估計(jì)一個(gè)原理：可以估計(jì)一個(gè) 的初值進(jìn)行計(jì)算，然后將的初值進(jìn)行計(jì)算，然后將 減小再進(jìn)減小再進(jìn)行重復(fù)計(jì)算行重復(fù)計(jì)算, ,直到前后兩組結(jié)果之差在可接受的范圍之內(nèi)。直到前后兩組結(jié)果之差在可接受的范圍之內(nèi)。確定確定 后，將所建立的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩陣連續(xù)自乘直到研究后，將所建立的隨機(jī)轉(zhuǎn)移概率矩