化工傳遞工程;第七章-熱傳導(dǎo)-精品課件

1、化工傳遞過程基礎(chǔ) 1化工傳遞過程基礎(chǔ) 2 第七章第七章 熱熱 傳傳 導(dǎo)導(dǎo) 熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)( (導(dǎo)熱導(dǎo)熱) )是介質(zhì)內(nèi)無宏觀運(yùn)動(dòng)時(shí)的傳熱現(xiàn)象，是介質(zhì)內(nèi)無宏觀運(yùn)動(dòng)時(shí)的傳熱現(xiàn)象，導(dǎo)熱在固體、液體和氣體中均可發(fā)生，但嚴(yán)格而言，導(dǎo)熱在固體、液體和氣體中均可發(fā)生，但嚴(yán)格而言，只有在固體中才是單純的導(dǎo)熱，而流體即使處于靜止只有在固體中才是單純的導(dǎo)熱，而流體即使處于靜止?fàn)顟B(tài)，其中也會(huì)由于溫度梯度所造成的密度差而產(chǎn)生狀態(tài)，其中也會(huì)由于溫度梯度所造成的密度差而產(chǎn)生自然對(duì)流，因此在流體中對(duì)流與導(dǎo)熱同時(shí)發(fā)生。鑒于自然對(duì)流，因此在流體中對(duì)流與導(dǎo)熱同時(shí)發(fā)生。鑒于此，本章將針對(duì)固體中的熱傳導(dǎo)問題進(jìn)行討論，重點(diǎn)此，本章將針對(duì)固

2、體中的熱傳導(dǎo)問題進(jìn)行討論，重點(diǎn)研究某些情況下熱傳導(dǎo)方程的求解方法，并結(jié)合實(shí)際研究某些情況下熱傳導(dǎo)方程的求解方法，并結(jié)合實(shí)際情況，探討一些導(dǎo)熱理論在工程實(shí)際中的應(yīng)用。情況，探討一些導(dǎo)熱理論在工程實(shí)際中的應(yīng)用。 描述導(dǎo)熱的基本微分方程已在第六章中導(dǎo)出如描述導(dǎo)熱的基本微分方程已在第六章中導(dǎo)出如式式(6-17a)(6-17a)所示，即所示，即kqtt21化工傳遞過程基礎(chǔ) 3式式(6-17a)(6-17a)在不同坐標(biāo)系的一般形式為在不同坐標(biāo)系的一般形式為直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)球坐標(biāo)球坐標(biāo)kqztytxtt2222221kqzttrrtrrrt22222111kqtrtrrtrrrt222222si

3、n1sinsin111(7-1)(7-1)(7-3)(7-3)(7-2)(7-2)化工傳遞過程基礎(chǔ) 4 求解熱傳導(dǎo)的規(guī)律問題，即解出上述微分方程，獲求解熱傳導(dǎo)的規(guī)律問題，即解出上述微分方程，獲得溫度得溫度t t與時(shí)間與時(shí)間 及位置及位置(z(z，y y，z)z)的函數(shù)關(guān)系，即不的函數(shù)關(guān)系，即不同時(shí)刻溫度在空間的分布同時(shí)刻溫度在空間的分布( (溫度場(chǎng)溫度場(chǎng)) )，所得的解為，所得的解為t=t=f(xf(x，y y，z)z)，它不但要滿足式，它不但要滿足式(7-1)(7-1)或式或式(7-2)(7-2)、式、式(7-3)(7-3)，而且要滿足每一問題的初始條件與邊界條件。，而且要滿足每一問題的初始

4、條件與邊界條件。 上述熱傳導(dǎo)方程的求解方法是相當(dāng)復(fù)雜的，除了幾上述熱傳導(dǎo)方程的求解方法是相當(dāng)復(fù)雜的，除了幾種簡(jiǎn)單的典型問題可以采用數(shù)學(xué)分析方法求解外，絕種簡(jiǎn)單的典型問題可以采用數(shù)學(xué)分析方法求解外，絕大部分問題常常需要采用特殊的方法，例如數(shù)值計(jì)算大部分問題常常需要采用特殊的方法，例如數(shù)值計(jì)算等方法進(jìn)行求解。等方法進(jìn)行求解。本章將主要針對(duì)以直角坐標(biāo)系和柱本章將主要針對(duì)以直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系表達(dá)的某些簡(jiǎn)單的工程實(shí)際導(dǎo)熱問題的求解方坐標(biāo)系表達(dá)的某些簡(jiǎn)單的工程實(shí)際導(dǎo)熱問題的求解方法進(jìn)行研究。法進(jìn)行研究。化工傳遞過程基礎(chǔ) 5 第一節(jié)第一節(jié) 穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo) 一、無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)一、無內(nèi)熱源的一

5、維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo) 對(duì)于無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，由于溫度與時(shí)間對(duì)于無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，由于溫度與時(shí)間無關(guān)，無關(guān)， ，且無內(nèi)熱源，且無內(nèi)熱源， 。又設(shè)沿。又設(shè)沿x x或或r r方向進(jìn)行一維導(dǎo)熱，則熱傳導(dǎo)方程方向進(jìn)行一維導(dǎo)熱，則熱傳導(dǎo)方程(7-1)(7-1)、(7-2)(7-2)、(7-3)(7-3)可簡(jiǎn)化為一可簡(jiǎn)化為一維維的拉普拉斯方程，即的拉普拉斯方程，即直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)0t0q 022dxtd0drdtrdrd)47( )57( kqztytxtt2222221化工傳遞過程基礎(chǔ) 6球坐標(biāo)球坐標(biāo) 工程上一維工程上一維( (沿沿x x或或r r方向方向) )穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的例子很多，穩(wěn)

6、態(tài)熱傳導(dǎo)的例子很多，如方形燃燒爐的爐壁、蒸汽管的管壁、列管式換熱器如方形燃燒爐的爐壁、蒸汽管的管壁、列管式換熱器的管壁以及球形壓力容器的器壁等。的管壁以及球形壓力容器的器壁等。21,)2(, 0) 1 (ttbxttx02drdtrdrd ( (一一) )單層平壁一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)單層平壁一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo) 單層平壁單層平壁( (如方形燃燒爐的爐壁如方形燃燒爐的爐壁) )沿一個(gè)方向的導(dǎo)沿一個(gè)方向的導(dǎo)熱問題是最簡(jiǎn)單的熱傳導(dǎo)問題，當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)熱問題是最簡(jiǎn)單的熱傳導(dǎo)問題，當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)k k 為常數(shù)為常數(shù)時(shí)，式時(shí)，式(7-4)(7-4)即為描述該導(dǎo)熱過程的微分方程，即即為描述該導(dǎo)熱過程的微分方程，即設(shè)邊界條件為設(shè)

7、邊界條件為022dxtd化工傳遞過程基礎(chǔ) 7將式將式(7-7)(7-7)積分兩次，可得積分兩次，可得)87( 21CxCt21,CCxbtttt211式中，式中， 為積分常數(shù)，代人邊界條件為積分常數(shù)，代人邊界條件(1)(1)，可求，可求出出 ；代入邊界條件；代入邊界條件(2),(2),可求出可求出 。將將 代入式代入式(7-7)(7-7)，即可得到此情況下的溫度，即可得到此情況下的溫度分布方程為分布方程為1C2C12tC bttC)(121 由式由式(7-8)(7-8)可知可知, ,平壁穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程的溫度分平壁穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程的溫度分布為一條直線。該式也可由傅立葉定律導(dǎo)出布為一條直線。該式也可

8、由傅立葉定律導(dǎo)出 求出溫度分布之后，便可進(jìn)一步求出沿求出溫度分布之后，便可進(jìn)一步求出沿x x方向通過方向通過平壁的導(dǎo)熱通量。根據(jù)傅立葉定律平壁的導(dǎo)熱通量。根據(jù)傅立葉定律, ,通過某通過某x x處的導(dǎo)熱處的導(dǎo)熱通量通量q/A q/A 可表示為可表示為21,)2(, 0) 1 (ttbxttx化工傳遞過程基礎(chǔ) 8dxdtkAq將式將式(7-8)(7-8)對(duì)對(duì)x x求導(dǎo)后代入上式，得求導(dǎo)后代入上式，得)(21ttbkAqxbtttt211化工傳遞過程基礎(chǔ) 9(二二) )單層單層筒筒壁的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)壁的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo) 化工生產(chǎn)中，經(jīng)常遇到筒壁的熱傳導(dǎo)問題，求解化工生產(chǎn)中，經(jīng)常遇到筒壁的熱傳導(dǎo)問題，求解筒壁的

9、徑向熱傳導(dǎo)問題時(shí)，應(yīng)用柱坐標(biāo)系比較方便，筒壁的徑向熱傳導(dǎo)問題時(shí)，應(yīng)用柱坐標(biāo)系比較方便，若筒壁的長(zhǎng)度很長(zhǎng)，若筒壁的長(zhǎng)度很長(zhǎng)，L Lr r，則沿軸向的導(dǎo)熱可略去不，則沿軸向的導(dǎo)熱可略去不計(jì)，于是可認(rèn)為溫度僅沿徑向變化，在此情況下，描計(jì)，于是可認(rèn)為溫度僅沿徑向變化，在此情況下，描述無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程為式述無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程為式(7-5)(7-5)，即，即 設(shè)邊界條件為設(shè)邊界條件為 0drdtrdrd2211,)2(,) 1 (ttrrttrrkqzttrrtrrrt22222111化工傳遞過程基礎(chǔ) 10將式將式(7-5)(7-5)積分兩次，可得積分兩次，可得式中，式中，C C1

10、1、C C2 2為積分常數(shù)，經(jīng)向該式代人邊界條件為積分常數(shù)，經(jīng)向該式代人邊界條件(1)(1)和和(2)(2)后，可得后，可得)ln(12121rrttC21lnCrCt1121212ln)ln(rrrtttC 將將C C1 1、C C2 2代人式代人式(7-11)(7-11) ，即可得到沿筒壁徑向一維穩(wěn)態(tài)即可得到沿筒壁徑向一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)的溫度分布方程為導(dǎo)熱時(shí)的溫度分布方程為112211ln)ln(rrrrtttt2211,)2(,) 1 (ttrrttrr(7-12)(7-12)化工傳遞過程基礎(chǔ) 11上式表明，通過筒壁進(jìn)行徑向一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)時(shí)，溫上式表明，通過筒壁進(jìn)行徑向一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)時(shí)，溫度

11、分布是度分布是r r的對(duì)數(shù)函數(shù)。的對(duì)數(shù)函數(shù)。 通過半徑為通過半徑為r r的筒壁處的傳熱速率或熱通量，可由的筒壁處的傳熱速率或熱通量，可由柱坐標(biāo)系的傅立葉定律導(dǎo)出即柱坐標(biāo)系的傅立葉定律導(dǎo)出即drdtkAqrdrdtkAqr 式中，式中，q q和和q qArAr分別為半徑分別為半徑r r處的導(dǎo)熱速率和熱通量；處的導(dǎo)熱速率和熱通量；ArAr為該處的導(dǎo)熱面積，為該處的導(dǎo)熱面積，ArAr=2=2丌丌rLrL，其中，其中L L為筒壁的長(zhǎng)度；為筒壁的長(zhǎng)度； 為該處的溫度梯度。為該處的溫度梯度。將式將式(7-12)(7-12)對(duì)對(duì)r r求導(dǎo)并代入式求導(dǎo)并代入式(7-13)(7-13)和式和式(7-13a)(7

12、-13a)可得可得)ln(21221rrttkLq)ln(1221rrttrkAqrdrdt(7-13)7-13)112211ln)ln(rrrrtttt化工傳遞過程基礎(chǔ) 12 式式(7-14)(7-14)即為單層筒壁的導(dǎo)熱速率方程。以上諸即為單層筒壁的導(dǎo)熱速率方程。以上諸式表明，式表明，盡管壁溫、筒壁的傳熱面積和熱通最均隨半盡管壁溫、筒壁的傳熱面積和熱通最均隨半徑徑r r而變，但傳熱速率在穩(wěn)態(tài)時(shí)依然是常量，即而變，但傳熱速率在穩(wěn)態(tài)時(shí)依然是常量，即常量LrAqLrAqLrAqq3322112)(2)(2)(常量或332211)()()(rAqrAqrAq式式(7-14)(7-14)亦可寫成與平

13、壁導(dǎo)熱速率方程相類似的形式，即亦可寫成與平壁導(dǎo)熱速率方程相類似的形式，即1221rrttkAqm將式將式(7-17)(7-17)與式與式(7-14)(7-14)對(duì)比，可知對(duì)比，可知LrLrrrrAmm2)ln(21212(7-15)(7-15)ln(21221rrttkLq(7-17(7-17)化工傳遞過程基礎(chǔ) 13mmAr式中式中 簡(jiǎn)壁的對(duì)數(shù)平均半徑；簡(jiǎn)壁的對(duì)數(shù)平均半徑； 筒壁的對(duì)數(shù)平均面積。筒壁的對(duì)數(shù)平均面積。 應(yīng)予指出，當(dāng)應(yīng)予指出，當(dāng) 2 2時(shí)，上述各式中的對(duì)數(shù)平時(shí)，上述各式中的對(duì)數(shù)平均值可用算術(shù)平均值代替。均值可用算術(shù)平均值代替。 通常，筒壁的導(dǎo)熱速率采用單位筒長(zhǎng)來表示，則通常，筒壁的

14、導(dǎo)熱速率采用單位筒長(zhǎng)來表示，則由式由式(7-14)(7-14)可得可得12221212ln22ln22AAAALrLrLrLrAm或12rr)ln(21221rrttkLq化工傳遞過程基礎(chǔ) 14 以上均假定導(dǎo)熱系數(shù)以上均假定導(dǎo)熱系數(shù)k k為與溫度無關(guān)的常數(shù)。當(dāng)為與溫度無關(guān)的常數(shù)。當(dāng)k k為為溫度溫度t t的線性函數(shù)時(shí)，上述各式中的導(dǎo)熱系數(shù)的線性函數(shù)時(shí)，上述各式中的導(dǎo)熱系數(shù)k k可采可采用用 、 算術(shù)平均溫度下的值算術(shù)平均溫度下的值 來代替。來代替。1tmk2t 二、有內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)二、有內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo) 有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱設(shè)備，以柱體最為典型，例如核反有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱設(shè)備，以柱體最為典

15、型，例如核反應(yīng)堆的鈾棒、管式固定床反應(yīng)器和電熱棒等。應(yīng)堆的鈾棒、管式固定床反應(yīng)器和電熱棒等。若柱體若柱體很長(zhǎng)，且溫度分布沿軸向?qū)ΨQ，在此情況下的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)很長(zhǎng)，且溫度分布沿軸向?qū)ΨQ，在此情況下的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，可視為沿徑向的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，熱問題，可視為沿徑向的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，此時(shí)，柱此時(shí)，柱坐標(biāo)下的能量方程式坐標(biāo)下的能量方程式(7-2)(7-2)可化為可化為01kqrtrrrkqzttrrtrrrt22222111化工傳遞過程基礎(chǔ) 15式式(7(7- -19)19)系用來描述具有內(nèi)熱源、沿徑向作一維穩(wěn)態(tài)系用來描述具有內(nèi)熱源、沿徑向作一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)時(shí)的微分方程。若內(nèi)熱源均勻，則熱傳導(dǎo)時(shí)的微分方程。若

16、內(nèi)熱源均勻，則 為常數(shù)為常數(shù)。 結(jié)合具體的邊界條件可求出柱體內(nèi)的溫度分布，為結(jié)合具體的邊界條件可求出柱體內(nèi)的溫度分布，為此，將式此，將式(7-19)(7-19)進(jìn)行第一次積分，進(jìn)行第一次積分，得得再積分一次，又得再積分一次，又得 式中，式中， 為積分常數(shù)，可根據(jù)兩個(gè)邊界條件確定，為積分常數(shù)，可根據(jù)兩個(gè)邊界條件確定，具體方法參見例具體方法參見例7-17-1和例和例7-27-2。q )217( 212ln4CrCrkqt21,CCrCrkqdrdt12)207( 01kqrtrrr化工傳遞過程基礎(chǔ) 16例例7-1 7-1 有一半徑為有一半徑為R R，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為L(zhǎng) L的實(shí)心圓柱體，其發(fā)熱的實(shí)心圓

17、柱體，其發(fā)熱 速率為速率為 ，圓柱體的表面溫度為，圓柱體的表面溫度為 ，L LR R，溫度僅，溫度僅為徑向距離的函數(shù)，設(shè)熱傳導(dǎo)是穩(wěn)態(tài)的，圓柱體的導(dǎo)為徑向距離的函數(shù)，設(shè)熱傳導(dǎo)是穩(wěn)態(tài)的，圓柱體的導(dǎo)熱系數(shù)熱系數(shù)k k為常數(shù)，試求圓柱體內(nèi)的溫度分布及最高溫度為常數(shù)，試求圓柱體內(nèi)的溫度分布及最高溫度處的溫度值。處的溫度值。 解：柱體內(nèi)一維徑向穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)時(shí)的溫度分布方程為解：柱體內(nèi)一維徑向穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)時(shí)的溫度分布方程為Wtq 212ln4CrCrkqtdrdtRLkLRqRrttRrW2,)2(,) 1 (2依題意，設(shè)邊界條件為依題意，設(shè)邊界條件為化工傳遞過程基礎(chǔ) 17邊界條件邊界條件(2)(2)表示穩(wěn)態(tài)熱

18、傳導(dǎo)時(shí)，圓柱體內(nèi)的發(fā)熱速表示穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)時(shí)，圓柱體內(nèi)的發(fā)熱速率必等于表面熱損失速率。率必等于表面熱損失速率。 由由邊界邊界條件條件(2)(2)可得可得將上式代入式將上式代入式(7-20)(7-20)中，并取中，并取r=Rr=R，得，得故故 將將C Cl l=0=0及邊界條件及邊界條件(1)(1)代人式代人式(7-21)(7-21)中，得中，得故故 01CRCkRqkRq122rCrkqdrdt12kRqdrdtRr2|224CkRqtWkRqtCW422drdtRLkLRqRr2,)2(2212ln4CrCrkqt化工傳遞過程基礎(chǔ) 18最后解出溫度分布為最后解出溫度分布為由于圓柱體向外導(dǎo)熱，顯然

19、最高溫度在圓柱體中心處，由于圓柱體向外導(dǎo)熱，顯然最高溫度在圓柱體中心處，即即201RrttttWW)(422rRkqttWkRqttttWr4|200max上式亦可寫成無因次形式，即上式亦可寫成無因次形式，即(上兩式相比)化工傳遞過程基礎(chǔ) 19【例例7-27-2】 有一外徑為有一外徑為4cm4cm、內(nèi)徑為、內(nèi)徑為1.5 cm1.5 cm、載有電、載有電流密度流密度I I為為5000 A5000 A 的內(nèi)冷鋼制導(dǎo)體。導(dǎo)體單位時(shí)的內(nèi)冷鋼制導(dǎo)體。導(dǎo)體單位時(shí)間發(fā)出的熱量等于流體同時(shí)帶走的熱量，導(dǎo)體內(nèi)壁面間發(fā)出的熱量等于流體同時(shí)帶走的熱量，導(dǎo)體內(nèi)壁面的溫度為的溫度為7070。假定外壁面完全絕熱。試確定導(dǎo)

20、體內(nèi)。假定外壁面完全絕熱。試確定導(dǎo)體內(nèi)部的溫度分布并求算導(dǎo)體內(nèi)部最高溫度處的溫度值。部的溫度分布并求算導(dǎo)體內(nèi)部最高溫度處的溫度值。 已知鋼的熱傳導(dǎo)系數(shù)已知鋼的熱傳導(dǎo)系數(shù)k=380 wk=380 w( (m mK K) ) 電阻率電阻率2cm1Cm8102解：由式解：由式(7-21)(7-21)出發(fā)，求出導(dǎo)體內(nèi)部的溫度分布。為出發(fā)，求出導(dǎo)體內(nèi)部的溫度分布。為此首先求出此首先求出 、 、 各值。各值。q 2C72482105)105000)(102(Iq3/mW根據(jù)題意，可知本題的兩個(gè)邊界條件為根據(jù)題意，可知本題的兩個(gè)邊界條件為化工傳遞過程基礎(chǔ) 20212ln4CrCrkqt3 .261C,2)2

21、(70,75. 0) 1 (211cmrtcmr00drdtdrdtk即將邊界條件將邊界條件(2)(2)代人式代人式(720)(720)中，得中，得002. 002. 0380210517Cdrdt由此得由此得再將邊界條再將邊界條件件(1)(1)代入式代入式(7-21)(7-21)中，得中，得2227)1075. 0ln(3 .2610075. 0380210570C解之得解之得6 .2002CrCrkqdrdt12化工傳遞過程基礎(chǔ) 21將將C C1 1、C C2 2代入式代入式(7-21)(7-21)中，即可求出導(dǎo)體內(nèi)部的溫度中，即可求出導(dǎo)體內(nèi)部的溫度分布方程為分布方程為或或最高溫度發(fā)生在外

22、壁面處，該處最高溫度發(fā)生在外壁面處，該處r r2 2=2cm =0.02 m=2cm =0.02 m，故，故6 .200ln3 .26328952rrt6 .200ln3 .26380210527rrt6 .846 .20002. 0ln3 .26)02. 0(328952maxt化工傳遞過程基礎(chǔ) 22 三、二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)三、二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo) 上面討論的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題，其溫度均可以用一個(gè)上面討論的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題，其溫度均可以用一個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)來表示，但空間坐標(biāo)的函數(shù)來表示，但工程中還常遇到二維或三維工程中還常遇到二維或三維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題。對(duì)于這類問題，僅當(dāng)邊界條件比較簡(jiǎn)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題。對(duì)于這類

23、問題，僅當(dāng)邊界條件比較簡(jiǎn)單時(shí)，才有可能應(yīng)用分析解法，單時(shí)，才有可能應(yīng)用分析解法，但求解過程相當(dāng)麻煩，但求解過程相當(dāng)麻煩，結(jié)果也很復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用。而對(duì)于邊界條件比較結(jié)果也很復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用。而對(duì)于邊界條件比較復(fù)雜的熱傳導(dǎo)問題，其分析求解就更加困難，有的甚至復(fù)雜的熱傳導(dǎo)問題，其分析求解就更加困難，有的甚至根本不能得到分析解，此時(shí)，根本不能得到分析解，此時(shí)，解決問題最有效的方法是解決問題最有效的方法是數(shù)值計(jì)算法，數(shù)值計(jì)算法，這種方法有許多優(yōu)越性，特別是計(jì)算機(jī)的這種方法有許多優(yōu)越性，特別是計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，使得人們能夠?qū)σ郧罢J(rèn)為不能求解的許多問迅速發(fā)展，使得人們能夠?qū)σ郧罢J(rèn)為不能求解的許多問

24、題得到數(shù)值解。題得到數(shù)值解。下面以無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)為下面以無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)為例，說明數(shù)值計(jì)算法的應(yīng)用。例，說明數(shù)值計(jì)算法的應(yīng)用。 化工傳遞過程基礎(chǔ) 23 ( (一一) )物體內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)溫度方程物體內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)溫度方程 無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，在直角坐標(biāo)系中以二無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，在直角坐標(biāo)系中以二維的拉普拉斯方程描述，即維的拉普拉斯方程描述，即根據(jù)上式求出的溫度分布根據(jù)上式求出的溫度分布t=t=f(zf(z，y)y)為一連續(xù)曲面，為一連續(xù)曲面，數(shù)值計(jì)算法的基礎(chǔ)是將上述連續(xù)變化的偏微分方程用數(shù)值計(jì)算法的基礎(chǔ)是將上述連續(xù)變化的偏微分方程用差分方程近似表達(dá)，從而求出溫度分布。差

25、分方程近似表達(dá)，從而求出溫度分布。 如圖如圖7-17-1所示，將物體分割成若干個(gè)由所示，將物體分割成若干個(gè)由x x、y y組組成的小方格，分割線的交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，成的小方格，分割線的交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，x x及及y y的長(zhǎng)的長(zhǎng)度視對(duì)計(jì)算精度的要求選取，度視對(duì)計(jì)算精度的要求選取，x x或或y y越小，所得結(jié)越小，所得結(jié)果就越接近于真實(shí)溫度分布，當(dāng)然相應(yīng)的計(jì)算量也就果就越接近于真實(shí)溫度分布，當(dāng)然相應(yīng)的計(jì)算量也就越大。越大。 02222ytxtkqztytxtt2222221化工傳遞過程基礎(chǔ) 24化工傳遞過程基礎(chǔ) 25溫度梯度可以寫為溫度梯度可以寫為xttxtjijiji, 1,21|xttxtjijiji

26、, 1,21|yttytjijiji,1,21,|yttytjijiji1,21,|化工傳遞過程基礎(chǔ) 262, 1, 1,21,21,222|xtttxxtxtxtjijijijijiji2,1,1,21,21,222|ytttyytytytjijijijijiji由此，可將式由此，可將式(7-22)(7-22)近似地寫成差分形式，即近似地寫成差分形式，即令令x=x=y y，上式化為，上式化為0222,1,1,2, 1, 1ytttxtttjijijijijiji04,1, 1, 11jijiijijitttttj02222ytxt(7-23)(7-23)化工傳遞過程基礎(chǔ) 27 式式(7-23

27、)(7-23)稱為物體內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)溫度分布方程，它表稱為物體內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)溫度分布方程，它表達(dá)任一結(jié)點(diǎn)達(dá)任一結(jié)點(diǎn)(i(i，j)j)的溫度的溫度t ti,ji,j與鄰近四個(gè)結(jié)點(diǎn)溫度之間與鄰近四個(gè)結(jié)點(diǎn)溫度之間的關(guān)系，即在無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)中，其內(nèi)部的關(guān)系，即在無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)中，其內(nèi)部某結(jié)點(diǎn)的溫某結(jié)點(diǎn)的溫度度可用鄰近四個(gè)結(jié)點(diǎn)溫度的算術(shù)平均值表可用鄰近四個(gè)結(jié)點(diǎn)溫度的算術(shù)平均值表示。示。顯然，若將所有內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的溫度分別與其相鄰顯然，若將所有內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的溫度分別與其相鄰的的四個(gè)結(jié)點(diǎn)的溫度按式四個(gè)結(jié)點(diǎn)的溫度按式(7-23)(7-23)的形式聯(lián)系起來，便可建的形式聯(lián)系起來，便可建立物體內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)溫度方

28、程組。立物體內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)溫度方程組。 ( (二二) )物體邊界上的結(jié)點(diǎn)溫度方程物體邊界上的結(jié)點(diǎn)溫度方程 處于物體表面的結(jié)點(diǎn)，由于外界的影響，其溫度處于物體表面的結(jié)點(diǎn)，由于外界的影響，其溫度就不能應(yīng)用式就不能應(yīng)用式(7-23)(7-23)來表達(dá)，而要根據(jù)具體情況來來表達(dá)，而要根據(jù)具體情況來建立。建立。 化工傳遞過程基礎(chǔ) 28 簡(jiǎn)單的邊界情況如圖簡(jiǎn)單的邊界情況如圖7-2(a)7-2(a)(d)(d)所示，圖所示，圖7-2(a)7-2(a)為絕熱邊界，其余三種為對(duì)流邊界，下面分別建立此為絕熱邊界，其余三種為對(duì)流邊界，下面分別建立此四種邊界情況下的結(jié)點(diǎn)溫度方程，為簡(jiǎn)便計(jì)，推導(dǎo)時(shí)，四種邊界情況下的結(jié)點(diǎn)溫度

29、方程，為簡(jiǎn)便計(jì)，推導(dǎo)時(shí)，均取垂直紙面的距離為單位長(zhǎng)度。均取垂直紙面的距離為單位長(zhǎng)度。 1 1絕熱邊界絕熱邊界化工傳遞過程基礎(chǔ) 29化工傳遞過程基礎(chǔ) 30如圖如圖7-2(a)7-2(a)所示，對(duì)虛線包圍的微元體作熱量衡算所示，對(duì)虛線包圍的微元體作熱量衡算, ,得得022,1,1, 1xyttkxyttkyxttkjijijijijiji042, 11,1,jiijijittttj)(22,1,1, 1,bjijijijijijijittyhyttxkyttxkxttyk令令x=x=y y，則上式化為，則上式化為2 2對(duì)流邊界對(duì)流邊界如圖如圖7-2(b)7-2(b)所示，設(shè)周圍流體主體溫度為所示，

30、設(shè)周圍流體主體溫度為t tb b且維持且維持不變，微元體表面與流體之間的對(duì)流傳熱系數(shù)為不變，微元體表面與流體之間的對(duì)流傳熱系數(shù)為h h，亦維持不變，對(duì)虛線包圍的微元體作熱量衡算，可亦維持不變，對(duì)虛線包圍的微元體作熱量衡算，可得得化工傳遞過程基礎(chǔ) 31bjijijiitkxhtkxhtttj,1,1, 1)2()2(21bjijiitkxhtkxhttj2) 1(2,1, 1bjijijijiitkxhtkxhttttj2)3(222,1, 11, 1令令x=x=y y，則上式化為，則上式化為 同理可求得圖同理可求得圖7-2(c)7-2(c)中對(duì)流邊界上的外角結(jié)點(diǎn)中對(duì)流邊界上的外角結(jié)點(diǎn)( (i,

31、ji,j) )的結(jié)點(diǎn)溫度方程為的結(jié)點(diǎn)溫度方程為 及圖及圖 7-2(d)7-2(d)中對(duì)流邊界上的內(nèi)角結(jié)點(diǎn)中對(duì)流邊界上的內(nèi)角結(jié)點(diǎn)( (i,ji,j) )的結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)溫度方程為溫度方程為化工傳遞過程基礎(chǔ) 32 ( (三三) )二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的結(jié)點(diǎn)溫度方程組二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的結(jié)點(diǎn)溫度方程組 式式(7-23)(7-23)、(7-24)(7-24)表達(dá)了無內(nèi)熱源二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)表達(dá)了無內(nèi)熱源二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)中結(jié)點(diǎn)溫度之間的關(guān)系，各式均為線性代數(shù)方程。中結(jié)點(diǎn)溫度之間的關(guān)系，各式均為線性代數(shù)方程。求求解溫度場(chǎng)時(shí)，可根據(jù)物體內(nèi)部及邊界情況，并考慮精解溫度場(chǎng)時(shí)，可根據(jù)物體內(nèi)部及邊界情況，并考慮精度要求，將物體分割成若

32、干個(gè)等邊的小方格，將分割度要求，將物體分割成若干個(gè)等邊的小方格，將分割線的交點(diǎn)統(tǒng)一編號(hào)，線的交點(diǎn)統(tǒng)一編號(hào)，i=li=l，2 2，3 3，n n，然后根據(jù)每，然后根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)所在的位置，分別寫出相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)溫度方程，個(gè)結(jié)點(diǎn)所在的位置，分別寫出相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)溫度方程，從而得到整個(gè)溫度場(chǎng)的結(jié)點(diǎn)溫度方程組，即從而得到整個(gè)溫度場(chǎng)的結(jié)點(diǎn)溫度方程組，即 nnnnnnnnnnbtatatabtatatabtatata22112222212111212111化工傳遞過程基礎(chǔ) 33 式中，式中， 和和 ( (i,ji,j=1=1，2 2，n)n)均為常數(shù)；均為常數(shù)； (i=1 (i=1，2 2，n)n)為未知溫度，式為

33、未知溫度，式(7-25)(7-25)為線性方為線性方程組，共有程組，共有n n個(gè)方程個(gè)方程, ,未知溫度亦為未知溫度亦為n n個(gè)，求解此方程個(gè)，求解此方程組即可得出組即可得出 的數(shù)值，于是整個(gè)溫度場(chǎng)即的數(shù)值，于是整個(gè)溫度場(chǎng)即可解出。可解出。ib2mitnttt,21jia, 【例例7-37-3】如附圖所示，某一邊長(zhǎng)為如附圖所示，某一邊長(zhǎng)為1m1m的正方形物的正方形物體，體，左側(cè)面恒溫為左側(cè)面恒溫為100100，頂面恒溫為，頂面恒溫為500500，其余，其余兩側(cè)面暴露在對(duì)流環(huán)境中，環(huán)境溫度為兩側(cè)面暴露在對(duì)流環(huán)境中，環(huán)境溫度為100100。已知。已知物體導(dǎo)熱系數(shù)為物體導(dǎo)熱系數(shù)為l0(m)l0(m)

34、，物體與環(huán)境的對(duì)流傳熱，物體與環(huán)境的對(duì)流傳熱系數(shù)為系數(shù)為10 W/( )10 W/( )，試建立，試建立1 19 9各結(jié)點(diǎn)的溫度方各結(jié)點(diǎn)的溫度方程組并求出各點(diǎn)的溫度值。程組并求出各點(diǎn)的溫度值。 求解上述結(jié)點(diǎn)溫度方程組可采用求逆矩陣法求解上述結(jié)點(diǎn)溫度方程組可采用求逆矩陣法,迭代法迭代法 和高斯消去法等。和高斯消去法等。 化工傳遞過程基礎(chǔ) 34(1)(1)建立結(jié)點(diǎn)溫度方程組建立結(jié)點(diǎn)溫度方程組 由于內(nèi)部和邊界上的結(jié)點(diǎn)溫由于內(nèi)部和邊界上的結(jié)點(diǎn)溫度方程不同，今以內(nèi)部結(jié)點(diǎn)度方程不同，今以內(nèi)部結(jié)點(diǎn)1 1及邊界上的結(jié)點(diǎn)及邊界上的結(jié)點(diǎn)3 3、9 9為代為代表建立各結(jié)點(diǎn)溫度方程。表建立各結(jié)點(diǎn)溫度方程。 對(duì)于結(jié)點(diǎn)對(duì)

35、于結(jié)點(diǎn)l l，應(yīng)用式，應(yīng)用式(7-24a)(7-24a)，得，得31kxh04500100142ttt)/(10),/(10,100313CmWhCmWkC，tx：b已知解6004421ttt結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)3 3為一般對(duì)流邊界上的點(diǎn)，應(yīng)用式為一般對(duì)流邊界上的點(diǎn)，應(yīng)用式(7-24b)(7-24b)得得btkxhtkxhtt362)2()5002(2104,1, 1, 11jijiijijitttttjbjijijiitkxhtkxhtttj,1,1, 1)2()2(21化工傳遞過程基礎(chǔ) 35化工傳遞過程基礎(chǔ) 36代人數(shù)據(jù)，得代人數(shù)據(jù)，得56767. 42632ttt結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)9 9為對(duì)流邊界外角上的點(diǎn)，

36、應(yīng)用式為對(duì)流邊界外角上的點(diǎn)，應(yīng)用式(7-24c)(7-24c)得得btkxhtkxhtt2) 1(2986代人數(shù)據(jù)，得代人數(shù)據(jù)，得7 .6667. 2986ttt 其余各結(jié)點(diǎn)的溫度方程可用相應(yīng)的方程建立，最后其余各結(jié)點(diǎn)的溫度方程可用相應(yīng)的方程建立，最后得得l l9 9各點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)溫度方程組為各點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)溫度方程組為bjijiitkxhtkxhttj2) 1(2,1, 1化工傳遞過程基礎(chǔ) 376004421ttt56767. 42632ttt7 .6667. 2986ttt0486542ttttt50045321tttt10047541tttt7 .6667. 429653tttt16767. 42

37、874ttt7 .6667. 429875tttt化工傳遞過程基礎(chǔ) 38(2)(2)各點(diǎn)的溫度數(shù)值的計(jì)算結(jié)果各點(diǎn)的溫度數(shù)值的計(jì)算結(jié)果 采用求逆矩陣法求解上述方程組，可得采用求逆矩陣法求解上述方程組，可得() () 1904t3073t1567t2146t2791t2275t1828t1739t3272t化工傳遞過程基礎(chǔ) 39 第二節(jié)第二節(jié) 不穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)不穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo) 物體內(nèi)任一點(diǎn)的溫度均隨時(shí)間而變的導(dǎo)熱稱為不穩(wěn)物體內(nèi)任一點(diǎn)的溫度均隨時(shí)間而變的導(dǎo)熱稱為不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。態(tài)導(dǎo)熱。在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，例如燃燒爐的點(diǎn)火升溫過程和熄火降溫過程、金屬的例如燃

38、燒爐的點(diǎn)火升溫過程和熄火降溫過程、金屬的熔化、淬火等熱加工處理均為不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。熔化、淬火等熱加工處理均為不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。此外有些此外有些穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，在其初始階段也常存在不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，在其初始階段也常存在不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，如燃燒爐的點(diǎn)火階段即是如此。程，如燃燒爐的點(diǎn)火階段即是如此。 由于不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中的溫度既與時(shí)間有關(guān)又與位置由于不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中的溫度既與時(shí)間有關(guān)又與位置有關(guān)，故其求解要較穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題復(fù)雜得多。有關(guān)，故其求解要較穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題復(fù)雜得多。通常求通常求解不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題時(shí)，需應(yīng)用熱傳導(dǎo)方程解不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題時(shí)，需應(yīng)用熱傳導(dǎo)方程(7-1)(7-1)、(7-2)(7-2)或或(7-3

39、)(7-3)，并需滿足具體的初始條件及邊界條件。通過，并需滿足具體的初始條件及邊界條件。通過求解滿足這些定解條件的偏微分方程，求得溫度分布求解滿足這些定解條件的偏微分方程，求得溫度分布隨時(shí)隨時(shí)間間的變化關(guān)系，從而求得特定時(shí)刻的傳熱速率。的變化關(guān)系，從而求得特定時(shí)刻的傳熱速率?；鬟f過程基礎(chǔ) 40 初始條件是指在導(dǎo)熱過程開始的瞬時(shí)，物體內(nèi)部的初始條件是指在導(dǎo)熱過程開始的瞬時(shí)，物體內(nèi)部的溫度分布情況。溫度分布情況。邊界條件視具體情況一般可分為三類：邊界條件視具體情況一般可分為三類：第一類邊界條件是給出任何時(shí)刻物體端面的溫度分布；第一類邊界條件是給出任何時(shí)刻物體端面的溫度分布；第二類邊界條件是給出

40、所有時(shí)刻物體端面處的導(dǎo)熱通第二類邊界條件是給出所有時(shí)刻物體端面處的導(dǎo)熱通量；第三類邊界條件是物體端面與周圍流體介質(zhì)進(jìn)行量；第三類邊界條件是物體端面與周圍流體介質(zhì)進(jìn)行熱交換，端而處的導(dǎo)熱速率等于端面與流體之間對(duì)流熱交換，端而處的導(dǎo)熱速率等于端面與流體之間對(duì)流傳熱速率。傳熱速率。 不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中的傳熱速率取決于介質(zhì)內(nèi)部熱阻不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中的傳熱速率取決于介質(zhì)內(nèi)部熱阻和表面熱阻，根據(jù)它們的相對(duì)大小和表面熱阻，根據(jù)它們的相對(duì)大小不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程程可可以分為三種情況，即忽略內(nèi)部熱阻、忽略表面熱阻和以分為三種情況，即忽略內(nèi)部熱阻、忽略表面熱阻和兩種熱阻都不能忽略。兩種熱阻都不能忽略?；鬟f過

41、程基礎(chǔ) 41 一、忽略內(nèi)部熱阻的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與集總熱容法一、忽略內(nèi)部熱阻的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與集總熱容法 內(nèi)部熱阻可忽略的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題是一種最簡(jiǎn)單的內(nèi)部熱阻可忽略的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題是一種最簡(jiǎn)單的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，若固體的導(dǎo)熱系數(shù)很大或內(nèi)熱阻很若固體的導(dǎo)熱系數(shù)很大或內(nèi)熱阻很小，而環(huán)境流體與該固體表面之間的對(duì)流傳熱熱阻又小，而環(huán)境流體與該固體表面之間的對(duì)流傳熱熱阻又比較大時(shí)，便可忽略內(nèi)熱阻比較大時(shí)，便可忽略內(nèi)熱阻，即認(rèn)為在任一時(shí)刻固體，即認(rèn)為在任一時(shí)刻固體內(nèi)部各處的溫度均勻一致。這種假設(shè)物體內(nèi)部熱阻與內(nèi)部各處的溫度均勻一致。這種假設(shè)物體內(nèi)部熱阻與外部熱阻相比，可忽略不計(jì)的一種分析方法稱為集總外

42、部熱阻相比，可忽略不計(jì)的一種分析方法稱為集總熱容法。熱容法。 例如有一個(gè)熱的金屬小球，被浸泡在冷的油類或其例如有一個(gè)熱的金屬小球，被浸泡在冷的油類或其他流體中他流體中( (參見圖參見圖7-3)7-3)，顯然小球的溫度分布除與其顯然小球的溫度分布除與其材質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)有關(guān)外，還和小球表面與周圍流體的材質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)有關(guān)外，還和小球表面與周圍流體的對(duì)流傳熱系數(shù)有關(guān)。假定對(duì)流傳熱系數(shù)有關(guān)。假定小球?qū)崃己茫鋵?dǎo)熱熱阻小球?qū)崃己?，其?dǎo)熱熱阻比表面對(duì)流熱阻小得多比表面對(duì)流熱阻小得多，則主要的溫度梯度將產(chǎn)生于，則主要的溫度梯度將產(chǎn)生于小球表面的流體層內(nèi)，而小球本身的溫度在任一瞬時(shí)小球表面的流體層內(nèi)，而小球本

43、身的溫度在任一瞬時(shí)化工傳遞過程基礎(chǔ) 42化工傳遞過程基礎(chǔ) 43均可認(rèn)為是均勻一致的。均可認(rèn)為是均勻一致的。 設(shè)金屬球的密度為設(shè)金屬球的密度為 ，比熱容為，比熱容為c c，體積為，體積為V V，表面，表面積為積為A A，初始溫度均勻，為，初始溫度均勻，為 ，環(huán)境流體的主體溫度恒，環(huán)境流體的主體溫度恒定，為定，為 。流體與金屬球表面的對(duì)流傳熱系數(shù)為。流體與金屬球表面的對(duì)流傳熱系數(shù)為h h，且，且不隨時(shí)間而變不隨時(shí)間而變。又設(shè)在又設(shè)在 時(shí)間內(nèi)，金屬球的溫度變化時(shí)間內(nèi)，金屬球的溫度變化為為dtdt。根據(jù)熱量衡算，整個(gè)金屬球的放熱速率應(yīng)等于其。根據(jù)熱量衡算，整個(gè)金屬球的放熱速率應(yīng)等于其表面與流體間的對(duì)流

44、傳熱速率，即表面與流體間的對(duì)流傳熱速率，即bt)(btthAddtVc0td0, 0tt 初始條件為初始條件為 化工傳遞過程基礎(chǔ) 44 式中，式中，t t為任一瞬時(shí)金屬球表面的溫度，由于金屬球?yàn)槿我凰矔r(shí)金屬球表面的溫度，由于金屬球的內(nèi)熱阻可以忽略不計(jì)，故金屬球各點(diǎn)的溫度均為的內(nèi)熱阻可以忽略不計(jì)，故金屬球各點(diǎn)的溫度均為t t0 0式中的式中的“負(fù)負(fù)”號(hào)表示球內(nèi)的溫度隨時(shí)間而降低。號(hào)表示球內(nèi)的溫度隨時(shí)間而降低。由于由于物體的溫度僅隨時(shí)間改變而與位置無關(guān)，因此不存在物體的溫度僅隨時(shí)間改變而與位置無關(guān)，因此不存在邊界條件。邊界條件。 令令 ，則式，則式(7-26)(7-26)可化為可化為dVchAdb

45、tt 0, 0初始條件為初始條件為 積分式積分式(7-27)(7-27)得得dVchAd00)(btthAddtVc化工傳遞過程基礎(chǔ) 45222)/()(VAkAVhcVkAkAhVVchAVchA0lnVchAbbetttt00或或式式(7-28)(7-28)即為忽略物體內(nèi)熱阻情況下，物體溫度與時(shí)間即為忽略物體內(nèi)熱阻情況下，物體溫度與時(shí)間的定量關(guān)系式。的定量關(guān)系式。 式式(7-28)(7-28)中右側(cè)指數(shù)中的量還可以寫成如下形式中右側(cè)指數(shù)中的量還可以寫成如下形式式式(7-29)(7-29)右側(cè)的兩個(gè)數(shù)群都是無因次的，現(xiàn)在對(duì)該二右側(cè)的兩個(gè)數(shù)群都是無因次的，現(xiàn)在對(duì)該二數(shù)群的物理意義作進(jìn)一步分析。

46、數(shù)群的物理意義作進(jìn)一步分析。 (7-28)(7-28)化工傳遞過程基礎(chǔ) 46第一個(gè)數(shù)群第一個(gè)數(shù)群 稱為畢渥數(shù)，記為稱為畢渥數(shù)，記為BiBi，即，即 lkAVh)/(khlkAVhBi)/(由于畢渥數(shù)中的由于畢渥數(shù)中的V VA A具有長(zhǎng)度因次具有長(zhǎng)度因次( (以以 表示表示) )，故畢，故畢渥數(shù)的物理意義為渥數(shù)的物理意義為 對(duì)流傳熱熱阻導(dǎo)熱熱阻長(zhǎng)度導(dǎo)熱系數(shù)對(duì)流傳熱系數(shù)長(zhǎng)度)()(Bi即畢渥數(shù)表示了物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻與表面對(duì)流熱阻即畢渥數(shù)表示了物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻與表面對(duì)流熱阻之比。之比。BiBi值大時(shí)，表示傳熱過程中物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱值大時(shí)，表示傳熱過程中物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻起控制作用，阻起控制作用，

47、物體內(nèi)部存在較大的溫度梯度，此時(shí)物體內(nèi)部存在較大的溫度梯度，此時(shí)系統(tǒng)的傳熱不能采用集總熱容法處理；反之系統(tǒng)的傳熱不能采用集總熱容法處理；反之BiBi值小時(shí)，值小時(shí)，則表示物體內(nèi)部的熱阻很小，表面對(duì)流傳熱的熱則表示物體內(nèi)部的熱阻很小，表面對(duì)流傳熱的熱(7-30)(7-30)化工傳遞過程基礎(chǔ) 47阻起控制作用，物體內(nèi)部的溫度梯度很小，在同一瞬阻起控制作用，物體內(nèi)部的溫度梯度很小，在同一瞬時(shí)各處溫度較為均勻。時(shí)各處溫度較為均勻。研究表明，當(dāng)研究表明，當(dāng)Bi0.1Bi0.1時(shí)，系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的傳熱可采用集總熱容法處理，的傳熱可采用集總熱容法處理，此時(shí)用式此時(shí)用式(7-28)(7-28)計(jì)算計(jì)算物體溫度與

48、時(shí)間的關(guān)系，其結(jié)果與實(shí)際比較，誤差不物體溫度與時(shí)間的關(guān)系，其結(jié)果與實(shí)際比較，誤差不超過超過5 5。因此，求解不穩(wěn)態(tài)傳熱問題時(shí)，首先要計(jì)。因此，求解不穩(wěn)態(tài)傳熱問題時(shí)，首先要計(jì)算算BiBi的值，視其是否小于的值，視其是否小于0.10.1，以便確定該傳熱問題，以便確定該傳熱問題能否采用集總熱容法處理。能否采用集總熱容法處理。2)/(AV第二個(gè)數(shù)群第二個(gè)數(shù)群 稱為稱為“傅立葉數(shù)傅立葉數(shù)”，記為，記為F F0 0，即，即220)/(lAVF傅立葉數(shù)的物理意義表示時(shí)間之比，即無因次時(shí)間。傅立葉數(shù)的物理意義表示時(shí)間之比，即無因次時(shí)間。 將式將式(7-30)(7-30)、(7-31)(7-31)代入式代入式(

49、7-28)(7-28)中，得中，得(7-31)(7-31)化工傳遞過程基礎(chǔ) 48【例例7-47-4】 有一半徑有一半徑r r0 0為為25 mm25 mm的鋼球，初始溫度均勻，的鋼球，初始溫度均勻，為為700 K700 K，突然將此球放入某流體介質(zhì)中，介質(zhì)的溫，突然將此球放入某流體介質(zhì)中，介質(zhì)的溫度恒定，為度恒定，為400 K400 K。假定鋼球表面與流體之間的對(duì)流。假定鋼球表面與流體之間的對(duì)流傳熱系數(shù)為傳熱系數(shù)為h=11.36 wh=11.36 w ，且不隨溫度而變。，且不隨溫度而變。鋼球的物性值為：導(dǎo)熱系數(shù)鋼球的物性值為：導(dǎo)熱系數(shù)k=43.3 wk=43.3 w( (mKmK) )密密度度

50、 ，比熱容，比熱容c=0.46 kJc=0.46 kJ( (kgKkgK) )。試計(jì)算試計(jì)算1 1小時(shí)后鋼球的溫度。小時(shí)后鋼球的溫度。)(2Km 3/7849mkg00FBbbietttt解：由于解：由于h h值較小，值較小，k k值較大，估計(jì)可以采用集總熱值較大，估計(jì)可以采用集總熱容法，為此首先計(jì)算容法，為此首先計(jì)算BiBi數(shù)。數(shù)。化工傳遞過程基礎(chǔ) 49化工傳遞過程基礎(chǔ) 50Kt477mrrrAV33020301033. 83102534)34(1 . 000219. 03 .43)1033. 8)(36.11()/(3khlkAVhBi故故故可用式故可用式(7-28)(7-28)計(jì)算計(jì)算l

51、 l小時(shí)后鋼球的溫度。小時(shí)后鋼球的溫度。式中式中代人式代人式(7-28)(7-28)中，得中，得即即14331077. 3)1046. 0)(1033. 8)(7849(36.11sVchA)3600)(1077. 3(4400700400et化工傳遞過程基礎(chǔ) 51 二、忽略表面熱阻的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱二、忽略表面熱阻的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 忽略表面熱阻的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程發(fā)生在表面熱阻比忽略表面熱阻的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程發(fā)生在表面熱阻比內(nèi)熱阻小的時(shí)候，即內(nèi)熱阻小的時(shí)候，即BiBi0.10.1時(shí)，時(shí)，由于表面熱阻可略，由于表面熱阻可略，故表面溫度故表面溫度 0 0 的所有時(shí)間內(nèi)均為一個(gè)常數(shù)，的所有時(shí)間內(nèi)均為一個(gè)常數(shù)，其數(shù)

52、值基本上等于環(huán)境溫度。其數(shù)值基本上等于環(huán)境溫度。此類過程中以半無限大此類過程中以半無限大固體的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和大平板的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題最為典固體的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和大平板的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題最為典型，現(xiàn)分述如下。型，現(xiàn)分述如下。 ( (一一) )半無限大固體的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱半無限大固體的不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 如圖如圖7-47-4所示，有一半無限大固體，其左端平面位所示，有一半無限大固體，其左端平面位于于yozyoz平面上，右端為無限。該物體可以是無限厚的平平面上，右端為無限。該物體可以是無限厚的平板或無限長(zhǎng)的固體等。在導(dǎo)熱開始時(shí)，物體的初始溫板或無限長(zhǎng)的固體等。在導(dǎo)熱開始時(shí)，物體的初始溫度為度為t t0 0，然后突然將左端

53、面的溫度變?yōu)?，然后突然將左端面的溫度變?yōu)閠sts，且維持不，且維持不變。假設(shè)除物體的左右兩端面外，其他表面均絕熱。變。假設(shè)除物體的左右兩端面外，其他表面均絕熱。在st化工傳遞過程基礎(chǔ) 52kqztytxtt2222221化工傳遞過程基礎(chǔ) 53 由于右端面在無窮遠(yuǎn)處，故其溫度在整個(gè)過程中均由于右端面在無窮遠(yuǎn)處，故其溫度在整個(gè)過程中均維持導(dǎo)熱開始時(shí)的初始溫度維持導(dǎo)熱開始時(shí)的初始溫度t t0 0不變。不變。 實(shí)際上遇到的物體不會(huì)是無限厚或無限長(zhǎng)，但相當(dāng)實(shí)際上遇到的物體不會(huì)是無限厚或無限長(zhǎng)，但相當(dāng)厚厚( (如某些墻壁如某些墻壁) )或相當(dāng)長(zhǎng)的柱體或相當(dāng)長(zhǎng)的柱體( (如長(zhǎng)棒如長(zhǎng)棒) )可近似地視可近似地

54、視為無限厚或無限長(zhǎng)的固體為無限厚或無限長(zhǎng)的固體，此時(shí)，可將這類物體的導(dǎo)，此時(shí)，可將這類物體的導(dǎo)熱問題視為只沿?zé)釂栴}視為只沿x x方向進(jìn)行的一維導(dǎo)熱問題處理。方向進(jìn)行的一維導(dǎo)熱問題處理。 上述情況下的熱傳導(dǎo)方程可寫為上述情況下的熱傳導(dǎo)方程可寫為22xtt初始條件和邊界條件為初始條件和邊界條件為)0(,)3()0(, 0)2()(, 0) 1 (00時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)對(duì)于任何ttxttxxtts(7-33)(7-33)化工傳遞過程基礎(chǔ) 54 上述定解問題可采用拉普拉斯變換法和合成變量法上述定解問題可采用拉普拉斯變換法和合成變量法兩種方法求解，本書僅介紹后兩種方法求解，本書僅介紹后一種求一種求解方法。解方法。

55、 合成變量法是求解偏微分方程常用的一種方法，適合成變量法是求解偏微分方程常用的一種方法，適用于可將兩個(gè)定解條件合并為一用于可將兩個(gè)定解條件合并為一個(gè)定個(gè)定解條件的定解問解條件的定解問題。此時(shí)通過引入包含兩個(gè)原變量的新變量，而將原題。此時(shí)通過引入包含兩個(gè)原變量的新變量，而將原來的偏微分方程化來的偏微分方程化為常為常微分方程，從而降低方程求解微分方程，從而降低方程求解的難度。的難度。 為了將式為了將式(7-33)(7-33)化為常微分方程，首先引入一個(gè)與化為常微分方程，首先引入一個(gè)與位置、時(shí)間有關(guān)的新變量位置、時(shí)間有關(guān)的新變量 ，令，令4xttt2于是可寫出于是可寫出(7-35)(7-35)化工傳

56、遞過程基礎(chǔ) 5541txtxt222241txxtxxtxt02422222tttt將式將式(7-35)(7-35)和和(7-36)(7-36)代人式代人式(7-33)(7-33)中，得中，得或或22xtt(7-36)(7-36)4x化工傳遞過程基礎(chǔ) 56ddtp 0222ddtdtd 式式(7-37)(7-37)中的自變量?jī)H有一個(gè)中的自變量?jī)H有一個(gè) ，于是可將該，于是可將該式寫成常微分方程形式，即式寫成常微分方程形式，即由此可見，向原偏微分方程由此可見，向原偏微分方程(7-33)(7-33)引入一個(gè)新的自變引入一個(gè)新的自變量量 后，便可將其化為容易求解的常微分方程后，便可將其化為容易求解的常

57、微分方程(7-38)(7-38)。 常微分方程常微分方程(7-38)(7-38)對(duì)應(yīng)的初始條件和邊界條件為對(duì)應(yīng)的初始條件和邊界條件為stttt, 0)2(,) 1 (0為求解上述定解問題，令為求解上述定解問題，令(7-38)(7-38)化工傳遞過程基礎(chǔ) 57將式將式(7-39)(7-39)代人式代人式(7-38)(7-38)中，得中，得02pddp2211eCddteCp將式將式(7-40)(7-40)分離變量并積分得分離變量并積分得將上式積分得將上式積分得2012CdeCtddtp化工傳遞過程基礎(chǔ) 58sstCCdeCt220012sstCtdeCt210102sttC012 式式(7-42

58、)(7-42)中的中的C C1 1、C C2 2為積分常數(shù)，可根據(jù)定解為積分常數(shù)，可根據(jù)定解條件條件(1)(1)、(2)(2)確定。確定。將定解條件將定解條件(2)(2)代入式代入式(7-42)(7-42)中，得中，得故得故得再將定解條件再將定解條件(1)(1)和和C C2 2值代人式值代人式(7-42)(7-42)中，得中，得故得故得stttt, 0)2(,) 1 (0化工傳遞過程基礎(chǔ) 594x將將C Cl l和和C C2 2值代人式值代人式(7-42)(7-42)中，得中，得或或40 xerfttttsssxstdettt4/0022 式式(7-44)(7-44)中的中的erferf( (

59、 ) )或或erferf( )( )稱為高斯誤差稱為高斯誤差積分或誤差函數(shù)，即積分或誤差函數(shù)，即deerf022）（(7-44)(7-44)化工傳遞過程基礎(chǔ) 60erferf( )( )與與 的對(duì)應(yīng)值可由附錄的對(duì)應(yīng)值可由附錄B B中查得，也可由有中查得，也可由有關(guān)數(shù)學(xué)于冊(cè)查得。關(guān)數(shù)學(xué)于冊(cè)查得。 式式(7-44)(7-44)即為半無限固體在加熱或冷卻過程中不即為半無限固體在加熱或冷卻過程中不同時(shí)刻的溫度分布方程，式中同時(shí)刻的溫度分布方程，式中 可視為可視為在在 瞬時(shí)物體某一位置瞬時(shí)物體某一位置x x處的溫度處的溫度t t與左端面溫度與左端面溫度tsts之之差與最大溫度差之比。圖差與最大溫度差之比

60、。圖7-5(a)7-5(a)是冷卻過程的情況，是冷卻過程的情況，物體的初始溫度為物體的初始溫度為t t0 0，左端面突然降溫至，左端面突然降溫至tsts，故，故tststtt0 0，最大溫度差為，最大溫度差為(ts-t(ts-t0 0) )，其中其中( (ts-tts-t) )表示在表示在 瞬時(shí)物體端面溫度瞬時(shí)物體端面溫度tsts與某一位置與某一位置x x處的溫度處的溫度t t之差。之差。)()(0sstttt化工傳遞過程基礎(chǔ) 61化工傳遞過程基礎(chǔ) 62)(0)()(0ssstttttt或04040 xttttxerfsss當(dāng)當(dāng) 時(shí)，表示物體某位置時(shí)，表示物體某位置x x處的處的溫度已經(jīng)冷卻或