專題一 數(shù)學(xué)思想方法

1、1Best Wish For You 信心源自于努力信心源自于努力234 數(shù)學(xué)思想方法是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)學(xué)思想方法是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識中，經(jīng)過思維活動產(chǎn)生的結(jié)果，數(shù)量關(guān)系反映到人的意識中，經(jīng)過思維活動產(chǎn)生的結(jié)果，是對數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識是對數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識. . 數(shù)學(xué)思想：是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)思想：是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，帶有普數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)模型和用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)模型和用數(shù)學(xué)解決

2、問題的指導(dǎo)思想思想. . 數(shù)學(xué)方法：是指從數(shù)學(xué)角度提出問題、解決問題過程數(shù)學(xué)方法：是指從數(shù)學(xué)角度提出問題、解決問題過程中所采用的各種方式、手段、途徑等中所采用的各種方式、手段、途徑等. .5 數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的，兩者的本質(zhì)相同，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的，兩者的本質(zhì)相同，只是站在不同的角度看問題，故常混稱為只是站在不同的角度看問題，故?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方數(shù)學(xué)思想方法法”. .初中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想方法有：初中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想方法有：6 化歸與轉(zhuǎn)化思想；化歸與轉(zhuǎn)化思想； 方程與函數(shù)思想；方程與函數(shù)思想； 數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)形結(jié)合思想； 分類討論思想；分類討論思想； 統(tǒng)計(jì)思想；

3、統(tǒng)計(jì)思想； 整體思想；整體思想； 消元法；消元法； 配方法；配方法； 待定系數(shù)法等待定系數(shù)法等. .78分類討論思想方法分類討論思想方法分類討論思想是指當(dāng)數(shù)學(xué)問題不宜統(tǒng)一方法處理時，我們分類討論思想是指當(dāng)數(shù)學(xué)問題不宜統(tǒng)一方法處理時，我們常常根據(jù)研究對象性質(zhì)的差異，按照一定的分類方法或標(biāo)常常根據(jù)研究對象性質(zhì)的差異，按照一定的分類方法或標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn), ,將問題分為全而不重，廣而不漏的若干類，然后逐類分將問題分為全而不重，廣而不漏的若干類，然后逐類分別進(jìn)行討論，再把結(jié)論匯總，得出問題的答案的思想別進(jìn)行討論，再把結(jié)論匯總，得出問題的答案的思想. .9分類原則：分類原則：(1)(1)分類中的每一部分都是相互獨(dú)

4、立的；分類中的每一部分都是相互獨(dú)立的；(2)(2)一次分類必須是同一個標(biāo)準(zhǔn)；一次分類必須是同一個標(biāo)準(zhǔn)；(3)(3)分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行. .分類思想有利于完整地考慮問題，分類思想有利于完整地考慮問題，化整為零地解決問題化整為零地解決問題. .分類討論問題常與開放探索型問題綜合在一起，貫穿于代數(shù)、分類討論問題常與開放探索型問題綜合在一起，貫穿于代數(shù)、幾何的各個數(shù)學(xué)知識板塊，不論是在分類中探究，還是在探幾何的各個數(shù)學(xué)知識板塊，不論是在分類中探究，還是在探究中分類，都需有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和靈活的思維方式，對問究中分類，都需有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和靈活的思維方式，對問題進(jìn)行全面衡量、統(tǒng)籌兼顧，

5、切忌以偏概全題進(jìn)行全面衡量、統(tǒng)籌兼顧，切忌以偏概全. .10【例例1 1】(2010(2010常州中考常州中考) )如圖，如圖，已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+3+bx+3的圖象的圖象與與x x軸相交于點(diǎn)軸相交于點(diǎn)A A、C C，與，與y y軸相交軸相交于點(diǎn)于點(diǎn)B B，A( 0)A( 0)，且，且AOBAOBBOC.BOC.94 ，11(1)(1)求求C C點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)坐標(biāo)、ABCABC的度數(shù)及二次函數(shù)的度數(shù)及二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+3+bx+3的關(guān)系的關(guān)系式；式；(2)(2)在線段在線段ACAC上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)M(mM(m，0).0).使得以線段使得

6、以線段BMBM為直徑的為直徑的圓與邊圓與邊BCBC交于交于P P點(diǎn)點(diǎn)( (與點(diǎn)與點(diǎn)B B不同不同) )，且以點(diǎn)，且以點(diǎn)P P、C C、O O為頂點(diǎn)的三為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出角形是等腰三角形？若存在，求出m m的值；若不存在，請說的值；若不存在，請說明理由明理由. .12【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】13【自主解答自主解答】(1)(1)由題意，得由題意，得B(0,3).B(0,3).AOBAOBBOCBOC，OAB=OBCOAB=OBC，OC=4OC=4，C(4,0).C(4,0).OAB+OBA=90OAB+OBA=90，OBC+OBA=90OBC+OBA=90.ABC=90.ABC=

7、90. .y=axy=ax2 2+bx+3+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A( 0)A( 0)，C(4,0)C(4,0)，OAOB2.253.OBOC3OC9,41421819aab303.164716a4b30b1217yxx3.312 ，解得15(2)(2)存在存在. .如圖如圖1 1，當(dāng)，當(dāng)CP=COCP=CO時，時，點(diǎn)點(diǎn)P P在以在以BMBM為直徑的圓上，為直徑的圓上，BMBM為圓的直徑為圓的直徑. .BPM=90BPM=90，PMAB.PMAB.CPMCPMCBA.CBA. 所以所以CM=5.CM=5.m=-1.m=-1.CPCM4CM,25CBCA54，即16如圖如圖2 2，當(dāng)，

8、當(dāng)PC=POPC=PO時，點(diǎn)時，點(diǎn)P P在在OCOC垂垂直平分線上，所以直平分線上，所以PC=PO=PBPC=PO=PB，所以，所以PC= PC= BC=2.5.BC=2.5.由由CPMCPMCBACBA，得，得當(dāng)當(dāng)OC=OPOC=OP時，時，M M點(diǎn)不在線段點(diǎn)不在線段ACAC上上. .綜上所述，綜上所述，m m的值為的值為 或或-1.-1.12CPCM25,CM.CBCA8257m4.88所以78171.(20111.(2011浙江中考浙江中考) )解關(guān)于解關(guān)于x x的不等式組：的不等式組：a x2x3.9 ax9a818【解析解析】 由得由得(a-1)x(a-1)x2a-3,2a-3,由得

9、由得x x當(dāng)當(dāng)a=1a=1時，由得時，由得-2-2-3-3成立成立,x,x當(dāng)當(dāng)a a1 1時，時，x x當(dāng)當(dāng)1 1aa此時不等式組的解是此時不等式組的解是x xa x2x3 9 ax9a8 ，8,98,92a312a 1a 1，19182,10a 19時，8,919當(dāng)當(dāng)a a 時，時，此時不等式組的解是此時不等式組的解是x x當(dāng)當(dāng)a a1 1時，不等式組的解集為時，不等式組的解集為a a1 1，所以，所以a-1a-10 0，所以不等式組的解為所以不等式組的解為 x x綜上所述：當(dāng)綜上所述：當(dāng)1a 1a 時，不等式組的解集是時，不等式組的解集是x x當(dāng)當(dāng)a a 時，不等式組的解集是時，不等式組的

10、解集是x x當(dāng)當(dāng)a a1 1時，不等式組的解集為時，不等式組的解集為1918210a 19，2a3,a 182a3x.9a 1 2a3.a 189122,a 1191089；19102a3a 1；82a3x.9a 1 20數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是指把問題中的數(shù)量關(guān)系與形象直觀的幾何數(shù)形結(jié)合思想是指把問題中的數(shù)量關(guān)系與形象直觀的幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合尋找解題的思圖形有機(jī)地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合尋找解題的思路，使問題得到解決的思想方法路，使問題得到解決的思想方法. .在分析問題的過程中，注在分析問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考查，根據(jù)問題的具體情形，把圖

11、形意把數(shù)和形結(jié)合起來考查，根據(jù)問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲取簡便易行的方法具體化，化難為易，獲取簡便易行的方法. .21數(shù)形結(jié)合思想方法是初中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法數(shù)形結(jié)合思想方法是初中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法. .數(shù)是數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，用數(shù)形結(jié)合的思想解形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類：一是利用幾何圖形的直觀表示數(shù)的問題，它題可分兩類

12、：一是利用幾何圖形的直觀表示數(shù)的問題，它常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等；二是運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究幾何常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等；二是運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題，常需要建立方程圖形問題，常需要建立方程( (組組) )或建立函數(shù)關(guān)系式等或建立函數(shù)關(guān)系式等. .22【例例2 2】(2010(2010曲靖中考曲靖中考) )如圖，在平如圖，在平面直角坐標(biāo)系面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，拋物線中，拋物線y=xy=x2 2向左向左平移平移1 1個單位，再向下平移個單位，再向下平移4 4個單位，個單位，得到拋物線得到拋物線y=(x-h)y=(x-h)2 2+k,+k,所得拋物線與所得拋物線與x x軸交于軸交于A A、B

13、B兩點(diǎn)兩點(diǎn)( (點(diǎn)點(diǎn)A A在點(diǎn)在點(diǎn)B B的左邊的左邊) )與與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C C，頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)為D.D.23(1)(1)求求h h、k k的值；的值；(2)(2)判斷判斷ACDACD的形狀，并說明理由；的形狀，并說明理由；(3)(3)在線段在線段ACAC上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)M M，使，使AOMAOM與與ABCABC相似相似. .若存在，若存在，求出點(diǎn)求出點(diǎn)M M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. .24【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】25【自主解答自主解答】(1)y=x(1)y=x2 2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(0,0),y=(x-h)y=(x-h)2 2+k

14、+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(-1,-4),D(-1,-4),h=-1,k=-4.h=-1,k=-4.(2)(2)由由(1)(1)得得y=(x+1)y=(x+1)2 2-4.-4.當(dāng)當(dāng)y=0y=0時時,(x+1),(x+1)2 2-4=0,x-4=0,x1 1=-3,x=-3,x2 2=1,=1,A(-3,0),B(1,0).A(-3,0),B(1,0).當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時時,y=(x+1),y=(x+1)2 2-4=(0+1)-4=(0+1)2 2-4=-3,-4=-3,CC點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(0(0，-3).-3).又因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)又因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)D(-1,-4),D(-1,-4),26作出

15、拋物線的對稱軸作出拋物線的對稱軸x=-1x=-1交交x x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)E.E.作作DFyDFy軸交軸交y y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)F.F.在在RtRtAEDAED中，中，ADAD2 2=2=22 2+4+42 2=20=20；在在RtRtAOCAOC中，中，ACAC2 2=3=32 2+3+32 2=18=18；在在RtRtCFDCFD中，中，CDCD2 2=1=12 2+1+12 2=2=2；ACAC2 2+CD+CD2 2=AD=AD2 2，ACDACD是直角三角形是直角三角形. .27(3)(3)存在存在. .由由(2)(2)知，知，AOCAOC為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，BAC=45BA

16、C=45, ,在在ACAC上取上取點(diǎn)點(diǎn)M M，連接連接OMOM，過，過M M點(diǎn)作點(diǎn)作MGABMGAB于點(diǎn)于點(diǎn)G,G,AC=AC=若若AOMAOMABC,ABC,則則MGAB,AGMGAB,AG2 2+MG+MG2 2=AM=AM2 2, ,183 2.AOAM ABAC3AM3 3 29 2AM.4443 2，即，2829 28194AGMG,216493OGAOAG3.4439MM().44 （）點(diǎn)在第三象限，29若若AOMAOMACBACB，則，則OG=AO-AG=3-2=1.OG=AO-AG=3-2=1.MM點(diǎn)在第三象限，點(diǎn)在第三象限，M(-1M(-1，-2).-2).綜上、所述，存在點(diǎn)

17、綜上、所述，存在點(diǎn)M M使使AOMAOM與與ABCABC相似，且這樣的相似，且這樣的點(diǎn)點(diǎn)有兩個，其坐標(biāo)分別為有兩個，其坐標(biāo)分別為( ),(-1,-2).( ),(-1,-2).AOAMACAB，223AM3 4AM2 2,43 23 22 2AMAGMG2,22即，39,44302.(20102.(2010十堰中考十堰中考) )如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)C C、D D是以是以線段線段ABAB為公共弦的兩條圓弧的中點(diǎn)，為公共弦的兩條圓弧的中點(diǎn)，AB=4AB=4，點(diǎn)點(diǎn)E E、F F分別是線段分別是線段CDCD、ABAB上的動點(diǎn)，設(shè)上的動點(diǎn)，設(shè)AF=xAF=x，AEAE2 2-FE-FE2 2=y,=y,則能

18、表示則能表示y y與與x x的函數(shù)關(guān)系的圖象是的函數(shù)關(guān)系的圖象是( )( )31【解析解析】選選C.C.延長延長CDCD交交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)G G，則則CGABCGAB，AG=BG=2AG=BG=2，AEAE2 2-FE-FE2 2=EG=EG2 2+AG+AG2 2-(EG-(EG2 2+FG+FG2 2) )=4-FG=4-FG2 2=4-(2-x)=4-(2-x)2 2=-x=-x2 2+4x,+4x,y=-xy=-x2 2+4x.+4x.且根據(jù)題意知且根據(jù)題意知x0,y0.x0,y0.故選故選C.C.323.(20103.(2010成都中考成都中考) )如圖，在如圖，在ABCABC中，

19、中，B=90B=90,AB=12 mm,BC=24 mm,AB=12 mm,BC=24 mm,動點(diǎn)動點(diǎn)P P從從點(diǎn)點(diǎn)A A開始沿邊開始沿邊ABAB向向B B以以2 mm/s2 mm/s的速度移動的速度移動( (不與點(diǎn)不與點(diǎn)B B重合重合) )，動點(diǎn)，動點(diǎn)Q Q從點(diǎn)從點(diǎn)B B開始沿邊開始沿邊BCBC向向C C以以4 mm/s4 mm/s的速的速度移動度移動( (不與點(diǎn)不與點(diǎn)C C重合重合).).如果如果P P、Q Q分別從分別從A A、B B同時出發(fā)，那同時出發(fā)，那么經(jīng)過么經(jīng)過_秒秒, ,四邊形四邊形APQCAPQC的面積最小的面積最小. .33【解析解析】設(shè)設(shè)P P、Q Q分別從分別從A A、

20、B B同時出發(fā)，那么經(jīng)過同時出發(fā)，那么經(jīng)過t t秒，四邊秒，四邊形形APQCAPQC的面積為的面積為S S，則則S= S= ABABBC- BC- BPBPBQBQ= = 121224- 24- (12-2t)(12-2t)4t,4t,S=4tS=4t2 2-24t+144-24t+144=4(t-3)=4(t-3)2 2+108,+108,當(dāng)當(dāng)t=3 st=3 s時，四邊形時，四邊形APQCAPQC的面積最小的面積最小. .答案：答案：3 312121212344.(20104.(2010臨沂中考臨沂中考) )如圖，二次函數(shù)如圖，二次函數(shù)y=-xy=-x2 2+ax+b+ax+b的圖象與的圖

21、象與x x軸交于軸交于A(- A(- ，0)0)、B(2B(2，0)0)兩點(diǎn)，且與兩點(diǎn)，且與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C C；1235(1)(1)求該拋物線的解析式，并判斷求該拋物線的解析式，并判斷ABCABC的形狀；的形狀；(2)(2)在在x x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D D，且以，且以A A、C C、D D、B B四點(diǎn)為四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請直接寫出頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D D點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)(3)在此拋物線上是否存在點(diǎn)在此拋物線上是否存在點(diǎn)P P，使得以，使得以A A、C C、B B、P P四點(diǎn)為四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出頂

22、點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由存在，說明理由. .36【解析解析】(1)(1)根據(jù)題意，將根據(jù)題意，將A(- A(- ，0)0)，B(2B(2，0)0)代入代入y=-xy=-x2 2+ax+b+ax+b中，中，得得解這個方程組，得解這個方程組，得a= b=1,a= b=1,該拋物線的解析式為該拋物線的解析式為y=-xy=-x2 2+ x+1,+ x+1,當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時，時，y=1,y=1,點(diǎn)點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,1),(0,1),在在AOCAOC中，中，1211ab0,4242ab0 3,23237在在BOCBOC中，中，ABC

23、ABC是直角三角形是直角三角形. .222215ACOAOC( )1.222222222BCOBOC215.15ABOAOB2,22525ACBC5AB ,44 38(2)(2)點(diǎn)點(diǎn)D D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( 1).( 1).(3)(3)存在存在. .由由(1)(1)知，知，ACBC.ACBC.若以若以BCBC為底邊，則為底邊，則BCAPBCAP，如圖如圖1 1所示，可求得直線所示，可求得直線BCBC的解析式為的解析式為y= +1,y= +1,直線直線APAP可以看作是由直線可以看作是由直線BCBC平移得到的，所以設(shè)直線平移得到的，所以設(shè)直線APAP的的解析式為解析式為y= +b,y= +b,把

24、點(diǎn)把點(diǎn)A( 0)A( 0)代入直線代入直線APAP的解析式，求得的解析式，求得b=b=32，1x21x212 ，1.439直線直線APAP的解析式為的解析式為y=y=點(diǎn)點(diǎn)P P既在拋物線上，又在直線既在拋物線上，又在直線APAP上，上，點(diǎn)點(diǎn)P P的縱坐標(biāo)相等，即的縱坐標(biāo)相等，即解得解得11x.242311xx1x,224 1251 x,x.2253x,y.2253P( ,).22舍去當(dāng)時40若以若以ACAC為底邊，則為底邊，則BPACBPAC，如圖，如圖2 2所示所示. .可求得直線可求得直線ACAC的解析式為的解析式為y=2x+1.y=2x+1.直線直線BPBP可以看作是由直線可以看作是由直

25、線ACAC平移得到的平移得到的, ,所以設(shè)直線所以設(shè)直線BPBP的解析式為的解析式為y=2x+by=2x+b，把點(diǎn)把點(diǎn)B(2,0)B(2,0)代入直線代入直線BPBP的解析式，求得的解析式，求得b=-4,b=-4,直線直線BPBP的解析式為的解析式為y=2x-4.y=2x-4.點(diǎn)點(diǎn)P P既在拋物線上，又在直線既在拋物線上，又在直線BPBP上，上，點(diǎn)點(diǎn)P P的縱坐標(biāo)相等的縱坐標(biāo)相等, ,41即即-x-x2 2+ +1=2x-4,+ +1=2x-4,解得解得x x1 1= x= x2 2=2(=2(舍去舍去),),當(dāng)當(dāng)x= x= 時，時，y=-9y=-9，點(diǎn)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ,-9).(

26、 ,-9).綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)P P為為( )( )或或( ).( ).3x25,2525253,225, 9242化歸轉(zhuǎn)化思想化歸轉(zhuǎn)化思想化歸思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，用于解決問題時的基化歸思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，用于解決問題時的基本思路是化未知為已知，把復(fù)雜的問題簡單化，把生疏的本思路是化未知為已知，把復(fù)雜的問題簡單化，把生疏的問題熟悉化，把非常規(guī)問題化為常規(guī)問題，把實(shí)際問題數(shù)問題熟悉化，把非常規(guī)問題化為常規(guī)問題，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，實(shí)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)問題間的相互轉(zhuǎn)化，這也體現(xiàn)了把學(xué)化，實(shí)現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)問題間的相互轉(zhuǎn)化，這也體現(xiàn)了把不易解決的問題轉(zhuǎn)化為有章可

27、循，容易解決的問題的思想不易解決的問題轉(zhuǎn)化為有章可循，容易解決的問題的思想. .43【例例3 3】(2009(2009泉州中考泉州中考) )如圖，等腰梯形花圃如圖，等腰梯形花圃ABCDABCD的底邊的底邊ADAD靠墻，另三邊用長為靠墻，另三邊用長為4040米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰ABAB的長為的長為x x米米. .44(1)(1)請求出底邊請求出底邊BCBC的長的長( (用含用含x x的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示) )；(2)(2)若若BAD=60BAD=60，該花圃的面積為，該花圃的面積為S S米米2 2. .求求S S與與x x之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式(

28、 (要指出自變量要指出自變量x x的取值范圍的取值范圍) )，并并求當(dāng)求當(dāng)S= S= 時時x x的值；的值；如果墻長為如果墻長為2424米，試問米，試問S S有最大值還是最小值？這個值是有最大值還是最小值？這個值是多多少？少？93 345【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】46【自主解答自主解答】(1)AB=CD=x(1)AB=CD=x米，米，BC=40-AB-CD=(40-2x)BC=40-AB-CD=(40-2x)米米. .(2)(2)如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)B B、C C分別作分別作BEADBEAD于于E E，CFADCFAD于于F F，在，在RtRtABEABE中，中，AB=xAB=x，BAE=60BAE

29、=60，AE= xAE= x，BE=BE=同理同理DF= x,CF= DF= x,CF= 又又EF=BC=40-2x,EF=BC=40-2x,AD=AE+EF+DF= x+40-2x+ x=40-xAD=AE+EF+DF= x+40-2x+ x=40-x123x2，123x2，121247解得：解得：x x1 1=6=6，x x2 2= (= (舍去舍去) )，x=6.x=6.22133S(402x40 x)xx(80 3x)22433x20 3x(0 x20)43S93 33x20 3x93 34 當(dāng)時，220348由題意，得由題意，得40-x2440-x24，解得，解得x16,x16,結(jié)合

30、得結(jié)合得16x16x20.20.由得，由得，函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一段，函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一段，其對稱軸為其對稱軸為x=x=1616 由上圖可知，由上圖可知，223 S3x20 3x43404003 x3,4333a3 0,4（）403，403，49當(dāng)當(dāng)16x16x2020時，時，S S隨隨x x的增大而減小，的增大而減小，當(dāng)當(dāng)x=16x=16時，時，S S取得最大值取得最大值. .此時，此時，S S最大值最大值= =233 1620 3 16128 3.4505.5.如圖，如圖，ABCDABCD是一矩形紙片，是一矩形紙片，E E是是ABAB上上的一點(diǎn)，且的一點(diǎn)，且BEEA=5

31、3,EC= BEEA=53,EC= 把把BCEBCE沿折痕沿折痕ECEC向上翻折，若點(diǎn)向上翻折，若點(diǎn)B B恰好恰好落在落在ADAD邊上，設(shè)這個點(diǎn)是邊上，設(shè)這個點(diǎn)是F F，以點(diǎn)，以點(diǎn)A A為為原點(diǎn)，以直線原點(diǎn)，以直線ADAD為為x x軸，以直線軸，以直線BABA為為y y軸建立平面直角坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則過點(diǎn)系，則過點(diǎn)F F、點(diǎn)、點(diǎn)C C的一次函數(shù)解析式為的一次函數(shù)解析式為_._.15 5,51【解析解析】BEEA=53,BE=EF,EFEA=53,AFAE=43.BEEA=53,BE=EF,EFEA=53,AFAE=43.AEF=DFC,AEF=DFC,AEFAEFDFC, DFC,

32、設(shè)設(shè)BE=5x,BE=5x,則則AF=4x,CD=8x,FD=6x,BC=10 x,AF=4x,CD=8x,FD=6x,BC=10 x,又又CE= CE= 由勾股定理得由勾股定理得x=3,x=3,所以所以BC=30,AF=12,CD=24BC=30,AF=12,CD=24，F(xiàn)(12,0),C(30,-24),F(12,0),C(30,-24),CFCF的解析式為的解析式為y= +16.y= +16.答案：答案：y= +16y= +16AFDC4,AEDF315 5,4x34x3526.(20116.(2011涼山中考涼山中考) )我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世

33、界前列，其中界前列，其中“楊輝三角楊輝三角”就是一例就是一例. .如圖，這個三角形的如圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1 1，其余每個數(shù)均為其上方左右，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了兩數(shù)之和，它給出了(a+b)(a+b)n n(n(n為正整數(shù)為正整數(shù)) )的展開式的展開式( (按按a a的次的次數(shù)由大到小的順序排列數(shù)由大到小的順序排列) )的系數(shù)規(guī)律的系數(shù)規(guī)律. .例如，在三角形中第例如，在三角形中第三行的三個數(shù)三行的三個數(shù)1 1，2 2，1 1，恰好對應(yīng)，恰好對應(yīng)(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2展開式展開式中的

34、系數(shù)；第四行的四個數(shù)中的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1 1，3 3，3 3，1 1，恰好對應(yīng)著，恰好對應(yīng)著(a+b)(a+b)3 3=a=a3 3+3a+3a2 2b+3abb+3ab2 2+b+b3 3展開式中的系數(shù)等等展開式中的系數(shù)等等. .53(1)(1)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出根據(jù)上面的規(guī)律，寫出(a+b)(a+b)5 5的展開式的展開式. .(2)(2)利用上面的規(guī)律計(jì)算：利用上面的規(guī)律計(jì)算：2 25 5-5-52 24 4+10+102 23 3-10-102 22 2+5+52-1.2-1.54【解析解析】(1)(a+b)(1)(a+b)5 5=a=a5 5+5a+5a4 4b+10ab+1

35、0a3 3b b2 2+10a+10a2 2b b3 3+5ab+5ab4 4+b+b5 5(2)(2)原式原式=2=25 5+5+52 24 4(-1)+10(-1)+102 23 3(-1)(-1)2 2+10+102 22 2(-1)(-1)3 3+5+52 2(-1)(-1)4 4+(-1)+(-1)5 5=(2-1)=(2-1)5 5=1.=1.557.(20107.(2010威海中考威海中考)(1)(1)探究新知：探究新知：如圖，已知如圖，已知ADBC,AD=BCADBC,AD=BC，點(diǎn)，點(diǎn)M M，N N是直線是直線CDCD上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn). .求證：求證：ABMABM與與AB

36、NABN的面積相等的面積相等. .如圖，已知如圖，已知ADBE,AD=BE,ABCDADBE,AD=BE,ABCDEF,EF,點(diǎn)點(diǎn)M M是直線是直線CDCD上任一點(diǎn)，點(diǎn)上任一點(diǎn)，點(diǎn)G G是直線是直線EFEF上任一點(diǎn)上任一點(diǎn). .試判斷試判斷ABMABM與與ABGABG的面的面積是否相等，并說明理由積是否相等，并說明理由. .56(2)(2)結(jié)論應(yīng)用：結(jié)論應(yīng)用：如圖，拋物線如圖，拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的頂點(diǎn)為的頂點(diǎn)為C(1,4),C(1,4),交交x x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)A(3,0),A(3,0),交交y y軸于軸于點(diǎn)點(diǎn)D.D.試探究在拋物線試探究在拋物線y=axy=ax2

37、2+bx+c+bx+c上上是否存在除點(diǎn)是否存在除點(diǎn)C C以外的點(diǎn)以外的點(diǎn)E E，使得，使得ADEADE與與ACDACD的面積相等？若存在，請求出此時點(diǎn)的面積相等？若存在，請求出此時點(diǎn)E E的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由若不存在，請說明理由. .( (友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知探究新知”中的結(jié)論中的結(jié)論.).)57【解析解析】(1)(1)分別過點(diǎn)分別過點(diǎn)M,NM,N作作MEABMEAB，NFAB,NFAB,垂足分別為點(diǎn)垂足分別為點(diǎn)E,F.E,F.ADBC,AD=BC,ADBC,AD=BC,四邊形四邊形ABCDABCD為平行四邊

38、形為平行四邊形. .ABCD.ME=NF.ABCD.ME=NF.SSABMABM= AB= ABME,SME,SABNABN= AB= ABNF,NF,SSABMABM=S=SABNABN. .121258相等相等. .理由如下：分別過點(diǎn)理由如下：分別過點(diǎn)D,ED,E作作DHAB,EKAB,DHAB,EKAB,垂足分垂足分別為別為H,K.H,K.則則DHA=EKB=90DHA=EKB=90. .ADBE,ADBE,DAH=EBK.DAH=EBK.AD=BE,AD=BE,DAHDAHEBK.EBK.DH=EK,DH=EK,59CDABEFCDABEF，S SABMABM= AB= ABDH,DH,S SABGABG= AB= ABEK,SEK,SABMABM=S=SABGABG. .121260(2)(2)存在存在. .因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)是因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C(1,4),C(1,4),所以，可設(shè)拋物線的表達(dá)所以，可設(shè)拋物線的表達(dá)式為式為y=a(x-1)y=a(x-1)2 2+4.+4.又因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)又因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),A(3,0),將其坐標(biāo)代將其坐標(biāo)代入上式，得入上式，得0 0a(3-1)a