導數(shù)極值最值問題

1、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用知識梳理一 函數(shù)的單調(diào)性1、利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設函數(shù)在某個區(qū)間可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)；2、對于可導函數(shù)來說，是在某個區(qū)間上為增函數(shù)的充分非必要條件，是在某個區(qū)間上為減函數(shù)的充分非必要條件。3、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：求函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x).令f(x)0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.令f(x)0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間.4、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略

2、，否則漏解二 函數(shù)極大值、極小值1、極大值：如果是函數(shù)f(x)在某個開區(qū)間上的最大值點，即不等式 對一切成立，就說函數(shù)f(x)在處取到極大值，并稱為函數(shù)f(x)的一個極大值點，為f(x)的一個極大值。 2、極小值：如果是函數(shù)f(x)在某個開區(qū)間上的最小值點，即不等式 對一切成立，就說函數(shù)f(x)在處取到極小值，并稱為函數(shù)f(x)的一個極小值點，為f(x)的一個極小值。 3、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 ，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點；若，則叫做函數(shù)f(x)的駐點；可導函數(shù)的極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。4、判別f(c)是極大、極小值的方法:若滿足，且在c的兩側(cè)的導數(shù)異號，則c是的極值點，

3、是極值，并且如果在c兩側(cè)滿足“左正右負”，則c是的極大值點，是極大值；如果在c兩側(cè)滿足“左負右正”，則c是的極小值點，是極小值5、求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f(x) (2)求f(x)的駐點，即求方程f(x)=0的根(3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值三 函數(shù)的最大值和最小值在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與

4、最小值。求閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的最大值和最小值的思想方法和步驟：（1）求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間端點的值(a)、(b)；（3）將函數(shù) 的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。四三次函數(shù)有極值導函數(shù)的判別式>03.3.1 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性典例剖析:題型一 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1已知函數(shù)y=x+，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.分析：討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以利用導數(shù)來判斷解答：y=(x+)=1=令0. 解得x1或x1.y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(1，0)和(0，1)點評：利用導數(shù)

5、討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，再求函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x).，然后解不等式f(x)0，得遞增區(qū)間，解不等式f(x)0，得遞減區(qū)間.題型二 已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍例2. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，試求實數(shù)的取值范圍分析：常利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解解答：函數(shù)求導得，令得或，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以當時，又因為在函數(shù)區(qū)間上為增函數(shù)，所以當時，即實數(shù)的取值范圍5，7點評：已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)a的取值范圍是近年來常見的考查導數(shù)的一種題型。備選題例3：已知函數(shù)f（x

6、）=2ax,x（0,1，若f（x）在x（0,1上是增函數(shù)，求a的取值范圍；解: 由已知可得f（x）=2a+,f（x）在（0,1）上是增函數(shù)，f（x）0,即a, x（0,1.a1.當a=1時，f（x）=2+對x（0,1）也有f（x）0，滿足f（x）在（0,1上為增函數(shù)，a1.評述:求參數(shù)的取值范圍，凡涉及函數(shù)的單調(diào)性、最值問題時，用導數(shù)的知識解決較簡單.點擊雙基1.函數(shù)y=x+cosx在（-，+）內(nèi)是（ ）A 增函數(shù) B減函數(shù) C 有增有減 D 不能確定解：因為=1-sinx0恒成立，故選A2.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 （ D ）A（ B. C， D.以上都不對。 解：（x）=3+2>0恒成立，

7、不存在單調(diào)減區(qū)間，故選D3.函數(shù) (,則 ( )A B. C D.大小關(guān)系不能確定解：（x）=-=<0時x<1,所以(為減區(qū)間，又，故選C4.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 解：（x）=1+2cosx>0,所以cosx>-; 單調(diào)增區(qū)間為(0,)5.如果函數(shù)y=+lnx-ax在定義域為增函數(shù)，則a的取值范圍是 解：定義域為（0，=x+-a0,即ax+在定義域（0，上恒成立，又x+最小值為2,所以a23.3.2函數(shù)的極大值和極小值第一課時典例剖析題型一 函數(shù)極值的求法例1 已知在與時，都取得極值(1) 求的值；(2)若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；分析：可導函數(shù)在點取到極值時，；求函數(shù)極值時

8、，先求單調(diào)區(qū)間，再求極值。解：（1）f (x)3x22a xb0由題設，x1，x為f (x)0的解a1，1×()a，b2 （2）f (x)x3x22 xc，由f (1)12c，c1f (x)x3x22 x1x（，）（，1）（1，）f (x)f (x)的遞增區(qū)間為（，），及（1，），遞減區(qū)間為（，1）當x時，f (x)有極大值，f ()；當x1時，f (x)有極小值，f (1) 評析：列表求單調(diào)區(qū)間和極值不容易出錯。題型二 例2 設函數(shù)的圖象如圖所示，且與在原點相切，若函數(shù)的極小值為，（1）求的值；（2）求函數(shù)的遞減區(qū)間分析;從圖上可得是函數(shù)的極大值點，函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0）點且圖象

9、與x軸相切于（0，0）點，可先求出的值。解：（1）函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0）點 c=0，又圖象與x軸相切于（0，0）點，=3x2+2ax+b 0=3×02+2a×0+b，得b=0 y=x3+ax2，=3x2+2ax當時，當時，當x=時，函數(shù)有極小值4 ，得a=3（2）=3x26x0，解得0x2 遞減區(qū)間是（0，2）評析：求出的值后，利用導數(shù)就可求出單調(diào)區(qū)間。備選題例3：已知函數(shù)+lnx, 求的極值.解;因為f(x)=-, 令f(x)=0，則x=注意函數(shù)定義域為（0，），所以駐點是x=,當x(0, )時f(x)<0, 為減函數(shù)，當x(，+)時f(x)>0, 為增函數(shù)

10、，所以x=是極小值點，的極小值為f()=(1+ln2),沒有極大值。評析：注意函數(shù)的定義域點擊雙基1、函數(shù)y=1+3x-x有 （ ）A極大值1，極小值-1， B。極小值-2，極大值2C極大值3 ，極小值 2， D。極小值-1，極大值3解：=-3+3,令=0得x= -1或x=1，易得x= -1是極小值點，x=1.是極大值點，故選D，2、函數(shù)y=3+mx+x有極值的充要條件是 ( )A m>0 B m<0 C m0 D, m0解：=3+m=0則方程要有兩解，函數(shù)y=3+mx+x才有極值。所以m<0，故選B3、 f(x)在區(qū)間（a,b）的圖像如右Y則f(x) 在區(qū)間（a,b）內(nèi)有極

11、大值點（ ）A 2個 B。3個 C 4個 D 1個aABCD x0b解:A,B,D三點左右導數(shù)異號，是極值點，其中A，D是極大值點B是極小值點。注意C不是極值點，故選A4、y=x+的極大值為極小值為解：=1-=0，則x=-2或x=2， x=-2是極大值點,所以極大值為-4，x=2是極小值點，所以極小值為4.5、若函數(shù)在處有極大值，則常數(shù)的值為_；解;，時取極小值, 時取極大值，故常數(shù)的值為6典例剖析:題型一 函數(shù)最大值和最小值的求法例1 (1) 求f（x）x33 x29 x 5在4，4上的最大值和最小值(2) 求函數(shù)在上的最大值和最小值分析：求閉區(qū)間上函數(shù)最大最小值的方法為： 求出導數(shù)為0的點

12、和導數(shù)不存在的點， 求出導數(shù)為0的點和導數(shù)不存在的點及端點的函數(shù)值， 比較它們的大小。解答：(1)f(x)3 x2 6 x 93（x 1）（x 3）令f(x)0得x11，x23 f（x）在x 1處有極大值f（1）10f（x）在x 3處有極小值f（3）22在區(qū)間端點處f（4）71，f（4）15比較上述結(jié)果得：f（x）在4，4上的最大值為f（1）10，最小值為f（4）71(2) 當時，由得， 為不存在的點由于所以，函數(shù)的最大值是最小值是點評：利用導數(shù)求最值問題是導數(shù)的一個重要應用。題型二 函數(shù)最大值和最小值的綜合應用例2已知在區(qū)間上最大值是5，最小值是11，求的解析式.分析：先討論在區(qū)間上的單調(diào)性

13、，再求最大值和最小值。解 令=0,得 若a>0,0+0-極大 因此f(0)必為最大值,f(0)=5,得b=5, 若a<0,同理可得f(0)為最小值, f(0)=-11,得b=-11, 評析：函數(shù)的單調(diào)性要借助導數(shù)的符號，故要對a的符號進行討論。備選題點擊雙基1、函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（ ）A B C D 解： 得而端點的函數(shù)值，得，故選D2、函數(shù)y=1+3xx3有（ ）A.極小值2,極大值2 B.極小值2,極大值3C.極小值1,極大值1 D.極小值1,極大值3解：y=33x2=3（1+x）（1x）.令y=0得x1=1,x2=1.當x1時,y0,函數(shù)y=1+3xx3是減函數(shù);當1x1

14、時, y0,函數(shù)y=1+3xx3是增函數(shù);當x1時,y0,函數(shù)y=1+3xx3是減函數(shù).當x=1時,函數(shù)y=1+3xx3有極小值1;當x=1時,函數(shù)y=1+3xx3有極大值3，故選D3、下列結(jié)論正確的是（）A若是在上的極大值點，則是在上的最大值B若是在上的極大值點，則是在上的最大值C若是在上唯一的極大值點，則是在上的最大值D若是在上唯一的極大值點，且在上無極小值點，則是在上的最大值 解：故選D4、函數(shù)的最小值為_。解：在恒成立，為增函數(shù)，故最小值為5、函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 。解：，比較處的函數(shù)值，得課外作業(yè)一選擇題1、在區(qū)間上的最大值是（ ）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：，令可

15、得x0或2（2舍去），當1£x<0時，>0，當0<x£1時，<0，所以當x0時，f（x）取得最大值為2，故選C2、已知f（x）=2x36x2+m（m為常數(shù)）在2，2上有最大值3，則m值是（ ）A.37 B.29 C.5 D.3解： 或，故，故選D3、函數(shù)在內(nèi)有最小值，則的取值范圍是（ ）A B C D 解：，故選B 4、函數(shù)f(x)=x2-4x+1在1，5的最大值和最小值分別為 （ ）A、f(1)，f(5) B、f(2)，f(5) C、f(1)，f(2) D、f(5)，f(2)解：由二次函數(shù)可得，故選D5、方程的實根的個數(shù)是（  

16、 ）A  3   B  2    C  1    D   0解：設f(x)= , 方程f (x)=0的=4>0,方程的兩根,并且的系數(shù)大于0,則函數(shù)f (x)的圖象為先增后減再增，且在x=1取得極大值，在x=3取得極小值，又f (3)=-10<0，由此可得出函數(shù)f (x)的簡圖?？芍匠蘹3-6x2+9x-10=0有三個實根，故選A6、設M，m分別是函數(shù)在上的最大值和最小值，若，則A、等于0 B、小于0 C、等于1 D、不確定解：因為，所以為常數(shù)函數(shù)，故

17、，故選A7、函數(shù)的最大值為（ ）A B C D解：令，當時，；當時，在定義域內(nèi)只有一個極值，所以，故選A8、函數(shù)，在上的最大、最小值分別為 A.、 B、 C、 D、解：，討論點，故選B.二填空題9、函數(shù)的最大值是_。解：，當時，的最大值是210、函數(shù)f(x)=x在-2,2上的最小值為_解：=-1,x>0時>0；x<0時<0.x=0是極小值點，也是最小值點。最小值為1。11、對于總有0 成立，則= 解：若x0，則不論取何值，0顯然成立；當x0 即時，0可化為，設，則， 所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而4；三解答題12、求函數(shù)在內(nèi)的最小值解：在上，令得當

18、時，；當時，故在處取得極小值則函數(shù)在點處取得最小值13、已知在時有極大值6，在時有極小值，求 的值；并求在區(qū)間3，3上的最大值和最小值.解：（1）由條件知 （2），x3(3,2)2(2,1)1(1,3)3006由上表知，在區(qū)間3，3上，當時，時，14、已知：f(x)=log3,x(0,+).是否存在實數(shù)a、b,使f(x)同時滿足下列兩個條件：（1）f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在1，+)上是增函數(shù)；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b，若不存在，說明理由.解：設g(x)=f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在1，+)上是增函數(shù)g(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在1，+)上是增函數(shù).x=1

19、是g(x)的極小值點， 解得經(jīng)檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿足題設的兩個條件.思悟小結(jié)求可導函數(shù)f（x）的最值的方法：（1）求f（x）在給定區(qū)間內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與端點值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.3.4生活中的優(yōu)化問題舉例知識梳理1、在生產(chǎn)實踐及科學實驗中，常遇到質(zhì)量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利潤最大、投入最小等問題，這類問題在數(shù)學上常常歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題，通常稱為優(yōu)化問題。解決優(yōu)化問題的常見方法有判別式方法、平均不等式方法、線性規(guī)范方法、差分方法、利用二次函數(shù)的性質(zhì)和利用單調(diào)性等。2、不少優(yōu)化問題，可以化為求函數(shù)最值問題，對

20、于函數(shù)的最值問題，多利用函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)來解題。其中求導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?。導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題。主要有以下幾個方面：與幾何有關(guān)的最值問題；與物理學有關(guān)的最值問題；與利潤及其成本有關(guān)的最值問題；效率最值問題等。3、利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學問題優(yōu)化問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟：（1）分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系；（2）求函數(shù)的導數(shù)，解方程；（3）比較函數(shù)在區(qū)間端點和使的

21、點的函數(shù)值的大小，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲怠＝鉀Q生活中的優(yōu)化問題應當注意的問題：（1）在求實際問題的最大值、最小值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際問題的值應舍去；（2）在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使的情形，如果函數(shù)在這點有極大（小）值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大（?。┲?；（3）在解決實際優(yōu)化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式給予表示，還應該確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間。典例剖析:題型一 面積最小問題例1 如圖，等腰梯形的三邊分別與函數(shù)，的圖象切于點.求梯形面積的最小值。 解：設梯形的面積為，點P的坐標為。由題意得， 點的坐標為，直

22、線的方程為。 直線的方程為即： 令 得，令 得，當且僅當，即時，取“=”且， 時，有最小值為.梯形的面積的最小值為。 評析：本題用不等式求最小值，也可以用導數(shù)求最小值。題型二 最大利潤問題例2 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(t)與每噸產(chǎn)品的價格p(元/t)之間的關(guān)系式為:p=24200x2,且生產(chǎn)x t的成本為:R=50000+200x(元).問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸才能使利潤達到最大?最大利潤是多少?(利潤=收入成本)解:每月生產(chǎn)x噸時的利潤為f(x)=(24200x2)x(50000+200x)=x3+24000x50000(x0).由f(x)=x2+24000=0,解得x1=200,x2=200(舍去).f(x)在0,+)內(nèi)只有一個點x1=200使f(x)=0,它就是最大值點.f(