BS期權定價公式

1、Black-Scholes期權定價模型 一、Black-Scholes期權定價模型的假設條件Black-Scholes期權定價模型的七個假設條件如下：1. 風險資產(chǎn)（Black-Scholes期權定價模型中為股票），當前時刻市場價格為S。S遵循幾何布朗運動，即。 其中，為均值為零，方差為的無窮小的隨機變化值（，稱為標準布朗運動，代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1的正態(tài)分布）中取的一個隨機值），為股票價格在單位時間內(nèi)的期望收益率，則是股票價格的波動率，即證券收益率在單位時間內(nèi)的標準差。和都是已知的。簡單地分析幾何布朗運動，意味著股票價格在短時期內(nèi)的變動（即收益）來源于兩個方面：一是單位時

2、間內(nèi)已知的一個收益率變化，被稱為漂移項，可以被看成一個總體的變化趨勢；二是隨機波動項，即，可以看作隨機波動使得股票價格變動偏離總體趨勢的部分。2沒有交易費用和稅收，不考慮保證金問題，即不存在影響收益的任何外部因素。3. 資產(chǎn)價格的變動是連續(xù)而均勻的，不存在突然的跳躍。4. 該標的資產(chǎn)可以被自由地買賣，即允許賣空，且所有證券都是完全可分的。5. 在期權有效期內(nèi)，無風險利率保持不變，投資者可以此利率無限制地進行借貸。6在衍生品有效期間，股票不支付股利。7所有無風險套利機會均被消除。二、Black-Scholes期權定價模型（一）B-S期權定價公式在上述假設條件的基礎上，Black和Scholes得

3、到了如下適用于無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的Black-Schole微分方程： 其中f為期權價格，其他參數(shù)符號的意義同前。通過這個微分方程，Black和Scholes得到了如下適用于無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的定價公式：其中，c為無收益資產(chǎn)歐式看漲期權價格；N（x）為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)（即這個變量小于x的概率），根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有。（二）Black-Scholes期權定價公式的理解1. 可看作證券或無價值看漲期權的多頭；可看作K份現(xiàn)金或無價值看漲期權的多頭。可以證明，。為構造一份歐式看漲期權，需持有份證券多頭，以及賣空數(shù)量為的現(xiàn)金。Black-Scholes 期權定價公式用

4、于不支付股利的歐式看漲期權的定價。注意： 該公式只在一定的假設條件下成立，如市場完美（無稅、無交易成本、資產(chǎn)無限可分、允許賣空）、無風險利率保持不變、股價遵循幾何布朗運動等。2.風險中性定價原理風險中性定價原理：我們可以注意到期權價格是與標的資產(chǎn)的預期收益率無關的。C(S, t)與 S、r、t、T、以及 K 有關，而與股票的期望收益率無關。這說明歐式Call 的價格與投資者的風險偏好無關。在對歐式Call 定價時，可假設投資者是風險中性的（對所承擔的風險不要求額外回報，所有證券的期望收益率等于無風險利率）。為了更好地理解風險中性定價原理，我們可以舉一個簡單的例子來說明。假設一種不支付紅利股票目

5、前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權的價值。由于歐式期權不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權價值為0.5元；若3個月后該股票價格等于9元，則該期權價值為0。為了找出該期權的價值，我們可構建一個由一單位看漲期權空頭和單位的標的股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于（110.5）元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9元。為了使該組合價值處于無風險狀態(tài)，我們應選擇適當?shù)闹?，?個月后該組合的價值不變，這意

6、味著：110.5=9，我們解得：=0.25因此，一個無風險組合應包括一份看漲期權空頭和0.25股標的股票。無論3個月后股票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。在沒有套利機會情況下，無風險組合只能獲得無風險利率。假設現(xiàn)在的無風險年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應為：由于該組合中有一單位看漲期權空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此：這就是說，該看漲期權的價值應為0.31元，否則就會存在無風險套利機會。三、Black-Scholes期權定價公式的計算Black-Scholes期權定價公式的計算：一個例子為了使讀者進一步理解Black-Scholes期權定價模型，

7、我們下面用一個簡單的例子，來說明這一模型的計算過程。假設某種不支付紅利股票的市價為50元，無風險利率為12%，該股票的年波動率為10%，求該股票協(xié)議價格為50元、期限1年的歐式看漲期權和看跌期權價格。在本題中，可以將相關參數(shù)表達如下：S50，X50，r=0.12,=0.1,T=1,算出和： 計算和： 將上述結果及已知條件代入公式，這樣，歐式看漲期權價格為： 由可以算出歐式看跌期權價格：四、影響歐式看漲期權價格的因素從B-S公式我們可以簡單得出以下的結論：(1)當期股價 S 越高，期權價格越高；(2)到期執(zhí)行價格 K 越高，期權價格越低；(3)距離到期日時間 T-t 越長，期權價格越高；(4)股

8、價波動率越大，期權價格越高；(5)無風險利率 r 越高，期權價格越高。五、Black-Scholes期權定價公式的應用Black-Scholes期權定價公式除了可以用來估計期權價格，在其它一些方面也有重要的應用。主要有以下三方面：（一） 對公司負債及資本進行估值：一家公司A發(fā)行兩種證券：普通股100萬股及1年后到期的總面值8000萬元的零息債券。已知公司總市值為1億元，問：公司股票及債券如何定價？令V為當前A公司資產(chǎn)市場價值，E為A公司資本市場價值，D為A公司債券市場價值。V = E + D考慮股東1年之后的收益：當A公司價值VT大于債券面值時，收益為VT -8000；當A公司價值小于債券面值

9、時，收益為0。股東相當于持有一個執(zhí)行價格為8000萬元的歐式Call, 標的資產(chǎn)為公司價值當前資本價值為：給出其它具體數(shù)值，公司價值的波動率為0.3,無風險利率為8%，根據(jù)B-S公司得到E=2824萬元，公司負債價值D=V-E=7176萬元。（二）確定貸款擔保價值或擔保費用假設某銀行為公司發(fā)行的債券提供了信用擔保。 1年之后，若公司價值VT大于債券面值時，銀行無須支付；若公司價值VT小于債券面值時,銀行須支付 VT B。這相當于銀行出售了一個歐式put, 標的資產(chǎn)仍為公司價值，執(zhí)行價格為債券面值B。利用上面的例子，可采用B-S看跌期權定價公式或看漲看跌期權平價公式，得到歐式put 的價值為20

10、9萬元，A公司應支付209萬元的擔保費。（三）帶有可轉化特征的融資工具的定價認股權證指賦予投資者在某一時期以約定價格向發(fā)行人購買公司新股的權利。假設公司有N股流通股，M份流通歐式認股權證，一份認股權證使持有人在時刻T以每股K的價格購買x股新股的權利。設時期T公司權益價值為ET ，若持有人選擇執(zhí)行認股權，公司權益價值變?yōu)?ET + MxK ，股票數(shù)量變?yōu)?N+Mx 。執(zhí)行認股權證后瞬間，股價變?yōu)?ET + MxK)/ (N+Mx)。只有當這一股價大于執(zhí)行價格 K 時，持有人才會執(zhí)行認股權。（1）當ET/N>K時，持有人執(zhí)行，其收益為:（2）當ET/N>K時，持有人不執(zhí)行，其收益為0。

11、一份認股權證的價值為:其中C是基于公司股票價格的歐式Call，執(zhí)行價格為K。利用B-S公式得一份認股權證的價值。六、B-S期權定價公式的不足B-S公式當然也有其不足之處，首先Black-Scholes期權定價公式估計的期權價格與市場價格存在差異，主要的原因有以下幾點：1) Black-Scholes期權定價公式是建立在眾多假定的基礎上的，而我們現(xiàn)實的市場是不滿足它的很多假設條件的，因此，利用B-S公式計算出來的期權價格與真實的市場價格之間肯定會存在差異的；2) 參數(shù)的錯誤：B-S公式中的參數(shù)實際上是需要我們自己估算的，我們只能根據(jù)歷史數(shù)據(jù)來估算參數(shù)，這之間就存在一個誤差；3) 期權市場價格偏離均衡，此時的期權價格的估算顯然沒有其實際意義。其次，對于無收益資產(chǎn)的期權而言,B-S模型適合歐式看跌期權和看漲期權。同時可以適用于美式看漲期權