CLLX5彎曲應力-改

1、1251 引言引言 52 平面平面彎曲時梁橫截面上的正應力彎曲時梁橫截面上的正應力53 梁橫截面上的剪應力梁橫截面上的剪應力54 梁的正應力和剪應力強度條件梁的正應力和剪應力強度條件 梁的合理截面梁的合理截面55 非對稱截面梁的平面彎曲非對稱截面梁的平面彎曲 開口薄壁截面的彎曲中心開口薄壁截面的彎曲中心56 考慮材料塑性時的極限彎矩考慮材料塑性時的極限彎矩第五章第五章 彎曲應力彎曲應力 5 5 引言引言1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應力、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應力內(nèi)力剪力Q 剪應力t t彎矩M 正應力s s平面彎曲時橫截面s 純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時橫截面t 剪切彎

2、曲(橫截面上既有Q又有M的情況)2、研究方法、研究方法縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面P1P2例如： 某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。PPaaABQMxx純彎曲純彎曲(Pure Bending):PPPa5 52 2 平面平面彎曲時梁橫截面上的正應力彎曲時梁橫截面上的正應力1.梁的純彎曲實驗 橫向線(a b、c d）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：（一）變形幾何規(guī)律：一、一、 純彎曲時梁橫截面純彎曲時梁橫截面上的正應力上的正應力中性層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸bdacabcdMM橫截面上只有

3、正應力。平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。（可由對稱性及無限分割法證明）3.推論2.兩個概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。4. 幾何方程：(1) . yx 11111OOBAABABBAx) ) ) )OO1) )yyddd)( （二）物理關(guān)系：（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應 力狀態(tài)。(2) . sEyExxs sxs sx（三）靜力學關(guān)系：（三）靜力學關(guān)系：0dddszAAAxESAyEAEyAN軸過形心中性)( 0zSz0dd

4、)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM（對稱面）（對稱面）MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22zzEIM1 (3)EIz 桿的抗彎剛度。桿的抗彎剛度。(4) . zxIM y s s（四）最大正應力：（四）最大正應力：zWMmaxs (5)DdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圓環(huán)bBhH)1 (6 332maxBHbhBHyIWzz回字框maxyI Wzz 抗抗彎彎截截面面模模量量。例例1 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半

5、徑。Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩kNm60)22(121xqxqLxM30Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM451233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 62/hIWzzMPa7 .6110832. 56060 5121zIyMss求應力18030MPa6 .921048. 66041max1zWMsm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 65 .674maxmax

6、zWMs求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180305 53 3 梁橫截面上的剪應力梁橫截面上的剪應力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的剪應力梁橫截面上的剪應力1、兩點假設(shè)： 剪應力與剪力平行；矩中性軸等距離處，剪應力 相等。2、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段如圖b； 在微段上取一塊如圖c，平衡0)(112dxbNNXtdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb圖圖a圖圖b圖圖cdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s

7、1 1t t1 1t tb圖圖a圖圖b圖圖czzAzAIMSAyIMANdd1szzISMMN)d(2zzzzbIQSbISxMdd1t由剪應力互等由剪應力互等zbIQSy1)(ttt)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScztt5 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩tQt t方向：與橫截面上剪力方向相同；t t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。最大剪應力為平均剪應力的1.5倍。二、其它截面梁二、其它截面梁橫截面上的剪應力橫截面上的剪應力1、研究方法與矩形截面同;剪應力的計算公式亦為：zzbIQS1t其中Q為截面剪力；Sz 為y點以下的面積對中性軸之靜矩；2、幾種

8、常見截面的最大彎曲剪應力 Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b 為y點處截面寬度。工字鋼截面：工字鋼截面：maxtmint; maxA Qt tf結(jié)論：結(jié)論： 翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。 鉛垂剪應力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字鋼最大剪應力Af 腹板的面積。; maxA Qt tf 圓截面：tt3434maxAQ 薄壁圓環(huán)：tt22maxAQ槽鋼：exyzPQRRzzbIQS，合力為腹板上; t。合力為翼緣上HzIQA; 21t0)d(AxdAM力臂tRHhe QeQeh5-4 梁的正應力和剪應力強度條件梁的正應力和剪應力強度條件 梁的合理

9、截面梁的合理截面1 1、危險面與危險點分析：、危險面與危險點分析：一般截面，最大正應力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。Qt ts ss ss sMt t一、梁的正應力和剪應力強度條件一、梁的正應力和剪應力強度條件2 2、正應力和剪應力強度條件：、正應力和剪應力強度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應力與最大剪應力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講） t tt t zzIbSQmaxmaxmax s ss s zWMmaxmax3 3、強度條件應用：依此強度準則可進行三種強度計算：、強度條件應用

10、：依此強度準則可進行三種強度計算：s sMQt tt ts s4 4、需要校核剪應力的幾種特殊情況：、需要校核剪應力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時，要校核剪應力。梁的跨度較短，M 較小，而Q較大時，要校核剪應力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應力。、校核強度：校核強度：設(shè)計截面尺寸：設(shè)計載荷： ;maxmaxttssmaxsMWz)( ;maxmaxMfPWMzs解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應力和最大剪應力之比,并校核梁的強度。N54

11、002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x求最大應力并校核強度應力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAQy1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力例例3 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于

12、C點，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BM4畫危面應力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核強度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMsMPa2 .2710763524813zBLAIyMsMPa2 .4610763884824zByAIyMsLLss2 .28maxyyss2 .46maxT字頭在上面合理。y1y2GA1A2x2.5kNm-4kNmMy1y2

13、GA3A4A4A3二、梁的合理截面二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高寬比（一）矩形木梁的合理高寬比R北宋李誡于1100年著營造法式 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲學與機械技術(shù)講義 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 為剛度最大。時強度最大時, 3 ;, 2bhbhbhAQ3433. 1mmaxtt13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1tt強度：正應力：剪應力：1 1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面 sszWM ttzzbIQS* （二）其它材料與其它截

14、面形狀梁的合理截面zD1zaa 32311DWz)2/( ;,41221 sDRRaaDAmtt2max143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD時當4/2,24112121 DaaD時當1312467. 1 646zzWabhWmtt5 . 1maxzD0.8Da12a1z)(= 3 . 2mmaxfAQtt工字形截面與框形截面類似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD時當0.8a2a21.6a22a2z 對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能

15、力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：2 2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀、根據(jù)材料特性選擇截面形狀s sGz（三）采用變截面梁（三）采用變截面梁 ，如下圖：，如下圖：最好是等強度梁，即)()()(maxssxWxMx若為等強度矩形截面，則高為)(6)(sbxMxh同時)(5 . 1maxttxbhQ5 . 1)(tbQxhPx5-5 非對稱截面梁的平面彎曲非對稱截面梁的平面彎曲 開口薄壁截面的彎曲中心開口薄壁截面的彎曲中心軸過形心中性 )( z 0 zS0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM0dd)d(szAAAESAyEAEyAN外

16、力要與主軸共線。軸必須為截面主慣性軸、, 0zyIyz幾何方程與物理方程不變。PxyzOMEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22exdAMAx軸到桿軸的距離依此確定力臂, 0)d(t依此確定正應力計算公式。剪應力研究方法與公式形式不變。彎曲中心(剪力中心)：使桿不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的橫向力作用點。 （如前述坐標原點O）PxyzO槽鋼：非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面內(nèi)，中性軸為形心主軸，內(nèi)，中性軸為形心主軸，, ,若是橫向力，還必須過彎曲中心。若是橫向力，還必須過彎曲中心。exyzPPs sMQRRzzbIQS，合力為

17、腹板上; t。合力為翼緣上HzIQA; 21t0)d(AxdAM力臂tRHhe Qe zzbIQS : :求求任任意意一一點點剪剪應應力力彎曲中心的確定彎曲中心的確定: :ACdAM力臂向形心簡化)d(:t(1)雙對稱軸截面，彎心與形心重合。(2)反對稱截面，彎心與反對稱中心重合。(3)若截面由兩個狹長矩形組成，彎心與兩矩形長中線交點重合。(4)求彎心的普遍方法：yCeQMe :求彎心到形心距離CCCQyeCs sss ss5-6 考慮材料塑性時的極限彎矩考慮材料塑性時的極限彎矩（一）物理關(guān)系為：（一）物理關(guān)系為：sxss全面屈服后,平面假設(shè)不再成立;仍做縱向纖維互不擠壓假設(shè)。s s s ss

18、s ss理想彈塑性材料的理想彈塑性材料的s s 圖圖s sss ss彈性極限彈性極限分布圖分布圖塑性極限塑性極限分布圖分布圖（二）靜力學關(guān)系：（二）靜力學關(guān)系：)( 依此確定中性軸的位置CSAA 0)(dd)(dCSsAsAsAAAAAANSCssss)( 軸的位置依此確定 yCySySS0)(dd)()d(cySysAsAsAySSAzAzzAMLCssss（一）物理關(guān)系為：（一）物理關(guān)系為：sxssyzxs ssMjx橫截面圖正應力分布圖壓拉ASASAzAyAyyAMdd)d(sssjxzzSMSS)(壓拉syzxs ssMjx橫截面圖正應力分布圖)(zzSjxSSM壓壓拉拉 s sSSWs s 例例4 試求矩形截面梁的彈性極限彎矩M max與塑性極限彎矩 Mjx之 比。解：ssbhWMss62maxssszsSjxbhhbhSWMssss442222拉32maxjxMM41 第五章第五章 練習題練習題 一、推導梁彎曲正應力公式時，采用了哪兩個一、推導梁彎曲正應力公式時，采用了哪兩個假設(shè)？假設(shè)？ 二、矩形截面懸臂梁