運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性_3a

1、1第三章定常非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性2一、一、 基本方法：基本方法：0 引言引言2. Lyapunov直接方法；1. 相平面方法(幾何方法)；3. 一次近似方法；4. 非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方法。定常非線(xiàn)性系統(tǒng)：(1)( ),( )xf xf0031 Lyapunov直接方法的概念直接方法的概念 從二維系統(tǒng)相平面上的相軌線(xiàn)來(lái)看：漸近穩(wěn)定的相軌線(xiàn)趨于原點(diǎn)。 能找到這樣的閉曲線(xiàn)族，使得其附近外部的相軌線(xiàn)都“流入”閉曲線(xiàn)所圍成的區(qū)域。4引入狀態(tài)變量：12,xx xx 考慮阻尼振動(dòng)的微分方程：0 xxx12212xxxxx 例例1：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的阻尼振動(dòng)。單自由度系統(tǒng)的阻尼振動(dòng)。構(gòu)造：22121122( ,)2V x

2、 xxax xbx121212,22,22VVxaxaxbxxx22212112212,2(222 )2()VVxxxaxab x xab xxx 05為保證 V=c 為閉曲線(xiàn)族：2ab10abab所以取：12,33ab2212112222( ,)33V x xxx xx22212121222,33VVxxxxxxx 062 定號(hào)、常號(hào)、變號(hào)函數(shù)定號(hào)、常號(hào)、變號(hào)函數(shù) 定義定義: :(1) 是半正定(常正)的, 如果: 對(duì)任意的 , 成立： ;(2) 是正定的, 如果: 對(duì)任意的 ,成立: , 且 ;(3) 如果 既可取正值, 又可取負(fù)值, 則稱(chēng)之為變號(hào)函數(shù);(4) 是半負(fù)定(常負(fù))的, 如果:

3、 對(duì)任意的 , 成立： ;(5) 是負(fù)定的, 如果: 對(duì)任意的 ,成立: , 且 .( )0V0n( ):Vxn( ):Vxn( ):Vx( )0Vxx0( )0Vxxxn( ):Vxn( ):Vx( )0Vxx0( )0V0( )0Vx7例例: :正定;不屬于定號(hào)函數(shù);半正定;正定.在原點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi):對(duì) ：3x222123123( )( ,)2VV x x xxxxx222123123( )( ,)23VV x x xxxxx123123( )( ,)1 cos()VV x x xxxx x222123123( )( ,)sin(2)VV x x xxxxx8二、二、 定號(hào)函數(shù)的判定方法

4、定號(hào)函數(shù)的判定方法 (1) 二次型正定的判別方法;(2) 奇數(shù)階的齊次型為變號(hào)函數(shù);(3) 在原點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi), 低次項(xiàng)的正(負(fù))定性決定函數(shù)的正(負(fù))定性. 93 Lyapunov穩(wěn)定性定理穩(wěn)定性定理 定常非線(xiàn)性系統(tǒng):(1)一、一、 關(guān)于原點(diǎn)穩(wěn)定性的定理關(guān)于原點(diǎn)穩(wěn)定性的定理 定理定理3 3: (Lyapunov) 對(duì)于擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1), 如果能找到一個(gè)正定函數(shù) , 它通過(guò)方程(1)構(gòu)成的全導(dǎo)數(shù)式是常負(fù)的, 則擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1)的零解是穩(wěn)定的.( )V xn( ),( )xf xfx0010定理定理3 3的幾何解釋的幾何解釋: :jxixix : 閉曲面族; 層層相套; 隨系統(tǒng)的解

5、 C0 , 曲面族向原點(diǎn)收縮.( )VCxjx11定理定理3 3的證明思路的證明思路: :1x2x(1) 任給 : 存在 l 0, 使得滿(mǎn)足 的點(diǎn)位于原點(diǎn)的 鄰域內(nèi); 0( )Vlx(2) 對(duì)所得到的 : 存在 , 使得 的點(diǎn)位于 內(nèi);( )l0( )Vlxx(3) 在 內(nèi)取 , 有:x0 x( )Vlxxx0()Vlx(4) 從 出發(fā)的解， ，故對(duì)所有 : 0V 0tt0 x0( ( )()VtVlxxx0 x12試比較下面的定義與命題：定義：定義： 系統(tǒng)(1)的零解是 (Lyapunov意義)穩(wěn)定的, 如果:對(duì)任意的 和 , 存在 , 使得對(duì)所有的 , 只要 , 就有: .00 ,)trJ

6、0tt0( , )0t0( , )otx( ;, )oot x tx定理定理3: (Lyapunov) 對(duì)于擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1), 如果能找到一個(gè)正定函數(shù) , 它通過(guò)方程(1)構(gòu)成的全導(dǎo)數(shù)式是常負(fù)的, 則擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1)的零解是穩(wěn)定的.( )V x盡管定理3很平凡，但是有著十分重要的應(yīng)用。13例：例：自由定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞慣性主軸轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)定性Euler 動(dòng)力學(xué)方程: 定常運(yùn)動(dòng): 是系統(tǒng)的特解.123(,)(,0,0)o 令: 112233oxxx112323223131331212()()()IIIIIIIII 112233oxxx14得擾動(dòng)方程: 231231312312123123()

7、()()()()ooIIxx xIIIxx xIIIxxxI222222221233132233111()()(2)0oVIII xIII xI xI xI xx222222212231332233111()()(2)0oVIIIxIIIxI xI xI xx123III設(shè): 123III設(shè): 取: 則取: 可以驗(yàn)證: 0dVdt定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自由剛體繞其最小或定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自由剛體繞其最小或最大慣性主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是穩(wěn)定的。最大慣性主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是穩(wěn)定的。 15原動(dòng)力學(xué)方程有兩個(gè)首次積分 (1) 能量積分 (2) 角動(dòng)量積分 22211122331UIIIc22222221122332UIIIc2222111

8、223311()ooVI xI xI xIC22222222211223312()ooVIxI xI xIC相應(yīng)地, 擾動(dòng)方程也有兩個(gè)首次積分 112233oxxx16222222221233132233111()()(2)0oVIII xIII xI xI xI xx222222212231332233111()()(2)0oVIIIxIIIxI xI xI xx123III設(shè): 123III設(shè): 取: 則取: 可以驗(yàn)證: 0dVdt定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自由剛體繞其最小或最大慣性主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是穩(wěn)定的. 取Lyapunov函數(shù):2121 1()VVVIV17二、關(guān)于原點(diǎn)漸近穩(wěn)定性的定理二、關(guān)于原點(diǎn)漸近穩(wěn)定

9、性的定理定理的幾何解釋定理的幾何解釋:ix定理定理4: (Lyapunov) 對(duì)于擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1), 如果能找到一個(gè)正定函數(shù) , 它通過(guò)方程(1)構(gòu)成的全導(dǎo)數(shù)式是負(fù)定的, 則擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1)的零解是漸近穩(wěn)定的.( )V x : 閉曲面族; 層層相套; 隨 C0 向原點(diǎn)收縮.( )VCx18定理的證明思路：定理的證明思路：(1) 首先原點(diǎn)是穩(wěn)定的;(3) 用反證法:單調(diào)下降且有下界, 所以極限存在:( )Vlxx0( )Wlx00ttldt 00()l tt 矛盾(2) 要證明:lim ( )ttx0設(shè) 為一解:lim( )ttx0( ) tx( ) tx0( )VVtxlim( )

10、0tVtlx由 V 函數(shù)正定 存在 0 , 使得 在 之內(nèi).x( )Vlx設(shè) , 存在 , 使得 在 之內(nèi).0lx( )0VWx0( )Wlx( )VWx在 上有: ，x0( )Wlx00( )()( )ttVVWdtxxx19例例: 考慮阻尼振動(dòng)的微分方程：引入狀態(tài)變量:12,xx xx 1222122xxxxx 220 xxx系統(tǒng)的能量 E :2221122Exx能量 E 關(guān)于時(shí)間的變化率:按定理只能得到原點(diǎn)穩(wěn)定的結(jié)論, 但實(shí)際上原點(diǎn)漸近穩(wěn)定.2(grad )20EEx x20定理的條件可適當(dāng)放寬:定理定理: :對(duì)于擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1), 如果能找到一個(gè)正定函數(shù) , 它沿方程(1)的解的

11、全導(dǎo)數(shù)式常負(fù), 且在的點(diǎn)集中, 除原點(diǎn)外不包含整條軌線(xiàn), 則擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1)的零解是漸近穩(wěn)定的.( )0Vx( )V x21三、三、 Lyapunov函數(shù)函數(shù)定義定義: : 在Lyapunov直接法的穩(wěn)定性定理中, 滿(mǎn)足任何一個(gè)穩(wěn)定性基本定理所需條件的函數(shù)稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov函數(shù).Lyapunov函數(shù)可以是如下兩種形式: (1) 正定函數(shù), 它通過(guò)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)成的全導(dǎo)數(shù)式常負(fù);(2) 負(fù)定函數(shù), 它通過(guò)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)成的全導(dǎo)數(shù)式常正;222123123( ,)V x x xxxx是正定函數(shù),卻非正定函數(shù).但：222123123( ,)1V x x xxxx22關(guān)于穩(wěn)定性的充分條件,

12、 我們還有如下形式的Lyapunov定理: 四、四、Lyapunov定理的極值表示定理的極值表示 將 看成相空間中的向量場(chǎng), 如果 , 則 稱(chēng)為向量場(chǎng) 的奇點(diǎn).( )f x0() f x00 x( )f x定理定理: 對(duì)于可微向量場(chǎng) 的奇點(diǎn) , 如果存在一個(gè)Lyapunov函數(shù), 則該奇點(diǎn)是穩(wěn)定的.( )f x0 x定義定義: 一個(gè)可微函數(shù) V 稱(chēng)為向量場(chǎng) 的奇點(diǎn) 的Lyapunov函數(shù), 如果它滿(mǎn)足以下的條件: (1) V 在 的某一鄰域內(nèi)有定義, 且在 取嚴(yán)格的極小值; (2) 在 的某一鄰域內(nèi), V 沿向量場(chǎng) 的導(dǎo)數(shù)非正:( )f x( )f x0 x0 x0 x0 x0L V f23x

13、五、五、 關(guān)于不穩(wěn)定的定理關(guān)于不穩(wěn)定的定理定理定理5的幾何解釋的幾何解釋:( )0Vx( )0Vx( )0Vx1( )Vcx2( )Vcx0 x定理定理5: 對(duì)于擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1), 如果能構(gòu)造一個(gè)可微正定、常正或變號(hào)函數(shù) , 它通過(guò)運(yùn)動(dòng)方程(1)構(gòu)成的全導(dǎo)數(shù)式 是正定正定的, 則擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1)的零解不穩(wěn)定.( )V x( )V x24定理定理5 5的證明思路的證明思路: :由0V 積分:要證: 對(duì)任給的 , 不論 取得多么小, 都能找到從 內(nèi)出發(fā)的軌線(xiàn), 它必到達(dá) 的邊界.0 xx反證法反證法: : 設(shè)不會(huì)到達(dá) 的邊界.x0( ( )()0VtVxx取小的 0，使 在 之外;(

14、) txx因?yàn)? ( )0VWx存在 0 , 使得在 上,x( )Wx( )0VWx0( )()ottVVWdtxx0()ottVdtx00()()Vttx這與 落在 內(nèi)矛盾.( ) txx x( )Wx0()VVx( ) txx25例例: 單擺2sin02gl引入狀態(tài)變量:12xx x12221sinxxxxx能量積分:22212(1 cos)xxE取:221221( ,)2(1 cos)V x xxx沿系統(tǒng)的解:0V 原點(diǎn)穩(wěn)定.26例例: 有阻尼單擺引入狀態(tài)變量:12xx x取:221221( ,)2(1 cos)V x xxx沿系統(tǒng)的解:原點(diǎn)穩(wěn)定.22sin02220Vx 2221221

15、21( ,)24(1 cos)V x xxxxx取:沿系統(tǒng)的解:原點(diǎn)漸近穩(wěn)定.221124sin0Vxxx 122212sin2xxxxxx27解：解：取Lyapunov函數(shù)：例例：判定系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性。2222sin()sin()xyxxyyxyxy 22Vxy則沿系統(tǒng)解的導(dǎo)數(shù)：22222()sin()Vxyxy0按Lyapunov不穩(wěn)定定理，系統(tǒng)的零解不穩(wěn)。028引入極坐標(biāo):221,tanyrxyx例例：判定系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性。2222sin()sin()xyxxyyxyxy 解二：解二：方程化為：2sin1rrr 在原點(diǎn)鄰域內(nèi)，沿系統(tǒng)解， r 單調(diào)增加，故原點(diǎn)不穩(wěn)。2921(0)(0)0例例: 考慮如下系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性:系統(tǒng)的相軌線(xiàn)方程：21( )( )dyxdxy21( )( )0 x dxy dy積分得：21( )( )xyc如果在原點(diǎn)鄰域內(nèi)：則系統(tǒng)的原點(diǎn)穩(wěn)定。此類(lèi)系統(tǒng)無(wú)漸近穩(wěn)定性