第3講：1.3運(yùn)動學(xué)中的兩類問題+1.4相對運(yùn)動

1、1.3運(yùn)動學(xué)中的兩類問題運(yùn)動學(xué)中的兩類問題一、已知運(yùn)動方程，求速度、加速度一、已知運(yùn)動方程，求速度、加速度dtrd dtda 例：已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為例：已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為 式中式中r以以m計(jì)，計(jì)，t以以s計(jì)，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌道、速度和加速度計(jì)，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌道、速度和加速度.rtit j234解解將運(yùn)動方程寫成分量式將運(yùn)動方程寫成分量式 x3t，y4t2消去參變量消去參變量t得軌道方程：得軌道方程： 4x29y0，這是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線這是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線.0 xy由速度定義得由速度定義得j tijdtdyidtdxdtrd83 由加速度的定義得由加速度的定義得jdtda8 1

2、No. 3No. 3例例: 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1 m的圓周運(yùn)動，它通過的弧長的圓周運(yùn)動，它通過的弧長s按按st2t2的規(guī)律變化的規(guī)律變化.問它在問它在2 s末的速率、切向加速末的速率、切向加速度和法向加速度各是多少？度和法向加速度各是多少？解由速率定義，有解由速率定義，有tdtds41 將將t2代入上式，得代入上式，得2 s末的速率為末的速率為 1429 (ms1)法向加速度法向加速度Ran2 81 ms2 切向加速度切向加速度22dtsda 4 ms2 ，為一常數(shù)，為一常數(shù)則則2 s末的切向加速度為末的切向加速度為4 ms2.2例例: 一飛輪半徑為一飛輪半徑為2 m，其角量運(yùn)動方程

3、為，其角量運(yùn)動方程為 2+3t-4t3(SI)，求距軸心，求距軸心1 m處的點(diǎn)在處的點(diǎn)在2s末的速率和切向加速度末的速率和切向加速度.解因?yàn)榻庖驗(yàn)?dtd 3-12t2dtd 24t將將t2代入，得代入，得2 s末的角速度為末的角速度為 312(2)245(rads1)2s末的角加速度為末的角加速度為 24248(rads2)在距軸心在距軸心1 m處的速率為處的速率為 R 45 (ms1)切向加速度為切向加速度為 a R 48 (ms2)3二、已知加速度和初始條件，求速度和運(yùn)動方程二、已知加速度和初始條件，求速度和運(yùn)動方程dtda ttadtd00 ttadt00 初始條件初始條件 t = 0

4、， = 0可確定可確定 dtdr ttxxdtdx00 ttdtxx00 初始條件初始條件 t = 0，x = x0可確定可確定 4例：跳水運(yùn)動員沿鉛直方向入水，設(shè)接觸水面瞬間時例：跳水運(yùn)動員沿鉛直方向入水，設(shè)接觸水面瞬間時速率為速率為 0.入水后，運(yùn)動員所受地球引力和水的浮力相入水后，運(yùn)動員所受地球引力和水的浮力相抵消，其僅受水的阻力而減速抵消，其僅受水的阻力而減速.加速度加速度ak 2，k為正為正常數(shù)常數(shù).取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正向，運(yùn)動員入水軸正向，運(yùn)動員入水時開始計(jì)時時開始計(jì)時.求入水后運(yùn)動員的下沉速度隨時間變化的規(guī)律；求入水后運(yùn)動員的下沉速度隨時間變化的

5、規(guī)律；若若10 m跳臺跳水運(yùn)動員入水可視作自由落體并取跳臺跳水運(yùn)動員入水可視作自由落體并取k0.4 m1，求運(yùn)動員水中速度降為入水速度，求運(yùn)動員水中速度降為入水速度1/10時，運(yùn)時，運(yùn)動員的入水深度動員的入水深度. 解解 2 k dtd分離變量得分離變量得 tkdtd020 kt )1(10 10 kt0 5 dtdxdtdx txdtktdx00001 )ln(011 ktkx dxddtdxdxda dtd2 kdxd kdx d xkdx00 dkx 0ln kxe 0 由題知由題知gh20 14 ms1將將 0/10，k0.4 m1代入之，即得代入之，即得 x5.76 m例例: 一飛輪

6、受摩擦力矩作用作減速轉(zhuǎn)動過程中，其角一飛輪受摩擦力矩作用作減速轉(zhuǎn)動過程中，其角加速加速 與角位置與角位置 成正比，比例系數(shù)為成正比，比例系數(shù)為k(k0)，且，且t0時，時， 00， 0.求：求：(1)角速度作為角速度作為 的函數(shù)表達(dá)式；的函數(shù)表達(dá)式；(2)最大角位移最大角位移. 解解(1)依題意依題意 k dddtddd dtd所以有所以有 kdd 分離變量并積分，且考慮到分離變量并積分，且考慮到t=0時，時， 0=0， = 0，有有 dkd 0072222202 k 故故220 k (取正值取正值)(2)最大角位移發(fā)生在最大角位移發(fā)生在 0時，故時，故01 k (只能取正值只能取正值)81.

7、4相對運(yùn)動相對運(yùn)動一、運(yùn)動描述的相對性一、運(yùn)動描述的相對性 由于選取不同的參考系，對同一物體運(yùn)動的描述由于選取不同的參考系，對同一物體運(yùn)動的描述就會不同就會不同. “靜止參考系靜止參考系”、“運(yùn)動參考系運(yùn)動參考系” 都是相對的都是相對的 S系系S/系系絕對運(yùn)動，牽連運(yùn)動，相對運(yùn)動絕對運(yùn)動，牽連運(yùn)動，相對運(yùn)動. 也是相對的也是相對的 9(非相對論效應(yīng)非相對論效應(yīng))參考系參考系: S系和系和S/系系yxSoo/S/0rr/r1. 位矢變換關(guān)系位矢變換關(guān)系/0rrr 絕對絕對位矢位矢牽連牽連位矢位矢相對相對位矢位矢位移關(guān)系：位移關(guān)系：/0rrr 2. 速度變換關(guān)系：速度變換關(guān)系： /0 絕對絕對速度

8、速度牽連牽連速度速度相對相對速度速度稱為稱為伽利略速度變換伽利略速度變換3.加速度變換關(guān)系：加速度變換關(guān)系： 10.const0 若若aa 0dd0 ta /0aaa 說明說明(1) 結(jié)論是在物體的運(yùn)動速度遠(yuǎn)小于光速時才成立結(jié)論是在物體的運(yùn)動速度遠(yuǎn)小于光速時才成立. (2) 只適用于相對運(yùn)動為平動的情形。只適用于相對運(yùn)動為平動的情形。aaa 011相對位矢相對位矢 xyzoAArBBrBArABBArrr 是是B對對A的位矢的位矢BAr相對速度相對速度 ABBA 相對加速度相對加速度 ABBAaaa 這種描述相對運(yùn)動的方法與上述方法是一致的。這種描述相對運(yùn)動的方法與上述方法是一致的。BAABr

9、rr 絕對絕對位矢位矢牽連牽連位矢位矢相對相對位矢位矢12例：如圖所示，河寬為例：如圖所示，河寬為L，河水以恒定速度，河水以恒定速度u流動，流動，岸邊有岸邊有A，B兩碼頭，兩碼頭，A，B連線與岸邊垂直，碼頭連線與岸邊垂直，碼頭A處有船相對于水以恒定速率處有船相對于水以恒定速率 0開動開動.證明：船在證明：船在A，B兩碼頭間往返一次所需時間為兩碼頭間往返一次所需時間為(船換向時間忽略不計(jì)船換向時間忽略不計(jì))：20012)( uLt ABuL解解:絕對速度為絕對速度為 ，方向，方向AB， 牽連速度為牽連速度為u， 相對速度為相對速度為 0，于是有，于是有u 0 A0 u220u 當(dāng)船由當(dāng)船由B返回

10、返回A時，船對岸的速度模亦由上式給出時，船對岸的速度模亦由上式給出. 13在在AB兩碼頭往返一次的路程為兩碼頭往返一次的路程為2L，故所需時間為，故所需時間為 Lt2 20012)( uL 討論：討論：(1)若若u0，即河水靜止，則，即河水靜止，則02 Lt (2)若若u 0，則，則t，即船由碼頭，即船由碼頭A(或或B)出發(fā)后就出發(fā)后就永遠(yuǎn)不能再回到原出發(fā)點(diǎn)了永遠(yuǎn)不能再回到原出發(fā)點(diǎn)了.(3)若若u 0，則，則t為一虛數(shù)，這是沒有物理意義的，為一虛數(shù)，這是沒有物理意義的，即船不能在即船不能在A，B間往返間往返. 綜合上述討論可知，船在綜合上述討論可知，船在A，B間往返的必要條間往返的必要條件是件是: 0 u14例例: 如圖所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速率為如圖所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速率為 1，下落雨滴的速度方向與鉛直方向成下落雨滴的速度方向與鉛直方向成 角，偏向于汽車角，偏向于汽車前進(jìn)方向，速率為前進(jìn)方向，速率為 2，車后有一長方形物體，車后有一長方形物體