第六章信號的矢量空間分析

1、6.1 引言信號表示式與多維矢量之間存在許多形式上的類似，信號表示式與多維矢量之間存在許多形式上的類似，信號用多維矢量描述便于對信號的性能、信號分析與處信號用多維矢量描述便于對信號的性能、信號分析與處理進行更深入的研究。理進行更深入的研究。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容利用矢量空間方法研究信號理論的基本概念；利用矢量空間方法研究信號理論的基本概念；信號的正交函數(shù)分解；信號的正交函數(shù)分解；相關(guān)函數(shù)；相關(guān)函數(shù)；能量譜和功率譜；能量譜和功率譜；線性空間線性空間 范數(shù)范數(shù) 內(nèi)積內(nèi)積 柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等式一線性空間定義：定義：是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成是這樣一種集合，其中任意兩元素相

2、加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素數(shù)也可以是復(fù)數(shù)）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。例例:NNR 維實數(shù)空間維實數(shù)空間NNC 維維復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)空空間間L 連連續(xù)續(xù)時時間間信信號號空空間間l 離離散散時時間間信信號號空空間間 若對于任一數(shù)若對于任一數(shù) 與任一元素與任一元素 ，總有唯，總有唯一的一個元素一的一個元素 與之對應(yīng)，稱為與之對應(yīng)，稱為 與與 的積，的積，記作記作R V V 定義定義 設(shè)設(shè) 是一個非空集合，是一個非空集合， 為實數(shù)域如果為實數(shù)域如果對于任意兩個元素對于任意兩個元素 ，總有唯

3、一的一個元，總有唯一的一個元素素 與之對應(yīng)，稱為與之對應(yīng)，稱為 與與 的和，記作的和，記作V ,V VR1010, ,. nnnnnpxnRP xa xaPaaxa a次數(shù)不超對于通常的多項式加法 數(shù)乘多項過 的式的多項式乘法構(gòu)的全體成向記作即量空間例例2 2通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律算滿足線性運算規(guī)律)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn )(01axaxann )()()(01axaxann xPn .對運算封閉對運算封閉xPn例例 在區(qū)間在區(qū)間 上全體實連續(xù)函

4、數(shù)，對函數(shù)的上全體實連續(xù)函數(shù)，對函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的線性加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間空間,ba例例 正實數(shù)的全體，記作正實數(shù)的全體，記作 ，在其中定義加法，在其中定義加法及乘數(shù)運算為及乘數(shù)運算為 R ., RbaRaaabba 驗證驗證 對上述加法與乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間對上述加法與乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間 R證明證明;, RabbaRba., RaaRaR 所以對定義的加法與乘數(shù)運算封閉所以對定義的加法與乘數(shù)運算封閉二范數(shù) 表表示示，滿滿足足以以下下公公理理的的范范數(shù)數(shù)以以符符號號線線性性空空間間中中元元素素x x 。三角形不等式三角形不等式；有有量量

5、正齊性對所有數(shù)正齊性對所有數(shù)；時時當且僅當當且僅當正定性正定性yxyx3xx,20 x0 x, 0 x1 空空間間的的范范數(shù)數(shù)；與與NNC.R1 階階范范數(shù)數(shù)定定義義為為的的空空間間元元素素與與在在為為實實數(shù)數(shù)，令令pxxxxppNNN,CR,121 max 1 def111 pxpxxiNipNipip對于對于對于對于常用范數(shù)121 121 12 max 1,11 xxx 2(Euclidean) x在在二二維維或或三三維維實實數(shù)數(shù)矢矢量量空空間間中中，二二階階范范數(shù)數(shù)的的物物理理意意義義是是矢矢量量的的長長度度。也也稱稱為為歐歐氏氏范范數(shù)數(shù)或或歐歐氏氏距距。2.Ll連連續(xù)續(xù)時時間間信信號號

6、空空間間 和和離離散散時時間間信信號號空空間間 中中的的范范數(shù)數(shù) 1pLxpx連連續(xù)續(xù)時時間間信信號號空空間間 中中，元元素素 的的 階階范范數(shù)數(shù)定定義義如如下下 1d 1sup pppx ttpx tp x1,xj若若“上確界上確界”的概念是數(shù)學(xué)分析中最基本的概念。的概念是數(shù)學(xué)分析中最基本的概念。 考慮一個實數(shù)集合考慮一個實數(shù)集合M. 如果有一個實數(shù)如果有一個實數(shù)S，使得，使得M中任何數(shù)都不超過中任何數(shù)都不超過S,那么就稱那么就稱S是是M的一個上界。的一個上界。 在所有那些上界中如果有一個最小的上界，在所有那些上界中如果有一個最小的上界，就稱為就稱為M的上確界。的上確界。 一個有界數(shù)集有無數(shù)

7、個上界和下界，但是上一個有界數(shù)集有無數(shù)個上界和下界，但是上確界卻只有一個。確界卻只有一個。 1p 1 sup pnpx npx np x這里這里sup表示信號的最小上界，對于定義在閉區(qū)間內(nèi)的表示信號的最小上界，對于定義在閉區(qū)間內(nèi)的信號，信號，sup表示其幅度值。表示其幅度值。 2,plx npx離離散散時時間間信信號號空空間間 中中 元元素素的的 階階范范數(shù)數(shù)的的定定義義(3)(3)常用的范數(shù)常用的范數(shù) 1d L x ttx空空間間 1 nx nlx空空間間可見，一階范數(shù)表示信號作用的強度?？梢姡浑A范數(shù)表示信號作用的強度。一階范數(shù)一階范數(shù) 1222222L d d x ttx ttxx空空間

8、間即即 x x 2222122 nnnxnxl即即空間空間物理意義：二階范數(shù)的平方表示信號的能量。物理意義：二階范數(shù)的平方表示信號的能量。二階范數(shù)二階范數(shù) L sup x tx空空間間 sup lx nx空空間間 ,號號的的幅幅度度?？煽蓽y測得得的的峰峰值值，也也即即信信表表示示信信號號閉閉區(qū)區(qū)間間上上的的物物理理意意義義：對對于于定定義義在在 xtx三內(nèi)積11221222cosx yx y xy內(nèi)積（點積）運算內(nèi)積（點積）運算對應(yīng)于二維矢量空間的對應(yīng)于二維矢量空間的2211yxyx 1 2 1x2x1y2yxy 112212112222221212cosx yx yxxyy直角坐標平面內(nèi)兩矢

9、量相對位置關(guān)系直角坐標平面內(nèi)兩矢量相對位置關(guān)系利用范數(shù)符號，將矢量長度分別寫作利用范數(shù)符號，將矢量長度分別寫作12221221222122xxyyxy于是于是上式表明：給定的矢量長度，標量乘積式反映了兩矢量上式表明：給定的矢量長度，標量乘積式反映了兩矢量之間相對位置的之間相對位置的“校準校準”情況。即情況。即12cos0,90 , 兩兩矢矢量量之之夾夾角角為為標標量量乘乘積積為為零零12cos1,0 , 兩兩矢矢量量夾夾角角為為標標量量乘乘積積取取最最大大值值11221222cosx yx y xy112233x yx yx y多維多維1, Niiix yNx y維維實實線線性性空空間間1,

10、Niiix yNx y維維復(fù)復(fù)線線性性空空間間三維三維推廣推廣信號空間信號空間 d x t y ttx,y連連續(xù)續(xù)時時間間信信號號 Z nx n y nx,y離離散散時時間間信信號號對于對于L空間或空間或l空間，信號空間，信號x與其自身的內(nèi)積運算為與其自身的內(nèi)積運算為 222d x ttx,xx連連續(xù)續(xù) 222 n Zx nx,xx離離散散內(nèi)的兩連續(xù)信號的內(nèi)積內(nèi)的兩連續(xù)信號的內(nèi)積Ly, yx, xy, x2 四柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式證明柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式y(tǒng), yx, xy, x2 證明證明: 21222211cosyx y

11、xyx即即2122cos,yxyx1,2yy,xx,yx所以所以y, yxx,y, x2 1,122yxyx則有則有對于二維矢量空間，已知有如下關(guān)系對于二維矢量空間，已知有如下關(guān)系6.3 信號的正交函數(shù)分解矢量的正交分解矢量的正交分解 正交函數(shù)正交函數(shù)正交函數(shù)集正交函數(shù)集復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性將任意信號分解為單元信號之和，從而考查信號將任意信號分解為單元信號之和，從而考查信號的特性。的特性。簡化系統(tǒng)分析與運算，簡化系統(tǒng)分析與運算， 總響應(yīng)總響應(yīng)=單元響應(yīng)之和。單元響應(yīng)之和。信號分解的目的2eVV1122eVc VV誤差矢量誤差矢量 122112cos()c VVVV1121212

12、121222222cos()cos()VVVVVVVV VcVV VV V系數(shù)系數(shù)120V V兩矢量正交兩矢量正交怎樣分解，能得到最小的誤差分量？怎樣分解，能得到最小的誤差分量？12 0c即即1V2V21Vc1eV2eVeV22Vc212Vc方式不是惟一的：方式不是惟一的：12VV用用表表示示，1121eVcVV一矢量的正交分解122ec VV222ec VV正交分解空間中任一矢量可分解為空間中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面中任一矢量可分解為平面中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。二方向矢量。一個三維空間矢量一個三維空間矢量 ，必須用三個正交，必須用三個正交的矢量來表

13、示，如果用二維矢量表示就會出現(xiàn)誤差：的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會出現(xiàn)誤差：Vxiyjzh0 , hzVj yi xVe二正交函數(shù) 1212tttftft在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)，信信號號用用表表示示，即即1122( )( )f tc ft誤差誤差 21222122211( )( )dtetftf tcftttt221212d , 0,dcc 為為求求使使最最小小的的必必需需使使求求得得21211212122222( )( )d( ),( ),( )dttttf tfttf tftcftftftt稱稱為為正正交交函函數(shù)數(shù)，滿滿足足則則，若若)(),(02112tftfc 2112( )( )d0

14、ttf t ftt 系數(shù)系數(shù)相關(guān)系數(shù)分解的原則：分解的原則：fe(t)的方均值最小，即誤差信號功率的方均值最小，即誤差信號功率( (能量能量) )最小。最小。,d)(1)(1222e122221cttftttftte最小時的最小時的，求，求令令 即即時時的的即即求求出出,0dd12122cc 求系數(shù)求系數(shù)c12 0d)()(dd221211221 ttfctfctt交換微積分次序交換微積分次序 0d)()()(2)(dd212122212122112 tttctftftfctfc(1) (2) (3)先微分先微分 0d )(2d)()(22121221221 ttfcttftftttt可得系數(shù)

15、為可得系數(shù)為 ttfttftfcttttd)(d)()(2121222112 )( 0)(dd )1(1212112ctftfc不含不含因為因為 )()(2)()(2dd )2(21211212tftftftfcc )(2)(dd )3(22122221212tfctfcc 再積分再積分)(),()(),(222112tftftftfc 有如下定義有如下定義設(shè)矩形脈沖設(shè)矩形脈沖tf 2 10 1tttf 最最小小。示示此此函函數(shù)數(shù)，使使方方均均誤誤差差之之間間內(nèi)內(nèi)近近似似表表在在區(qū)區(qū)間間，試試用用正正弦弦波波波波形形如如圖圖 2 , 0sin(a)t tf11 2to(a)例6-3-1 內(nèi)內(nèi)近

16、近似似為為在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù) 2 , 0tf4dsindsin)(2022012 tttttfc所以所以 ttfsin4 如如圖圖虛虛線線所所示示。的的正正弦弦波波近近似似波波形形是是振振幅幅為為,4應(yīng)應(yīng)滿滿足足為為使使方方均均誤誤差差最最小小，12c tf11 2to(a) tctfsin12 4 4例6-3-2 。函函數(shù)數(shù)之之間間內(nèi)內(nèi)來來近近似似表表示示余余弦弦在在區(qū)區(qū)間間試試用用正正弦弦函函數(shù)數(shù)ttcos2 , 0sin顯然，由于顯然，由于0dsincos20 ttt所以所以012 c兩兩函函數(shù)數(shù)正正交交。與與或或者者說說分分量量，不不包包含含正正弦弦信信號號余余弦弦函函數(shù)數(shù)即即ttt

17、tsincossincos,)(2tfO3 t1 30230d3sind3sin3ttttt例6-3-32 用正弦波逼近三角函數(shù)用正弦波逼近三角函數(shù), , ? tfe 30 31 tttf， 30 3sin2 tttf， 3022302112d)(d)()(ttfttftfc)30(3sin2)(1 tttf)(212tfCO3t1 tf1)(tfeO3t1)(1tfO3 t1)()()(2121tfctftfe 所以所以三正交函數(shù)集任意信號任意信號f(t)可表示為可表示為n維正交函數(shù)之和：維正交函數(shù)之和： nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(原

18、函數(shù)原函數(shù)近似函數(shù)近似函數(shù) )(),()(),( d)()(d)(d)()(2121212 tgtgtgtfKttgtfttgttgtfcrrrrttrttrttrr 相相互互正正交交：tgtgtgr21, jiKjittgtgittji, 0d)()(21r =0,1,2,.n基底函數(shù)基底函數(shù) 正正交交函函數(shù)數(shù)集集tgtgtgr21,分解原則是誤差函數(shù)方均值最小 212221121( ) ( )( ) d nterrtreftf tc g ttttf 誤誤差差信信號號能能量量誤誤差差信信號號功功率率222212 0,0,0,0rrncCCCC 令令可可得得 表表達達式式理解2211212(

19、)( )d( )( )d( )dttrrttrtrrtf t g ttf t g ttcKgtt正交函數(shù)集規(guī)定：正交函數(shù)集規(guī)定： 所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交。所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交。 不能因一個函數(shù)集中某幾個函數(shù)相互正交就說該不能因一個函數(shù)集中某幾個函數(shù)相互正交就說該函數(shù)集是正交函數(shù)。函數(shù)集是正交函數(shù)。 是相互獨立的，互不影響，計算時先抽取是相互獨立的，互不影響，計算時先抽取哪一個都可以，非正交函數(shù)就無此特性。哪一個都可以，非正交函數(shù)就無此特性。 12,nc cc此公式是個通式，適合于任何正交函數(shù)集。此公式是個通式，適合于任何正交函數(shù)集。兩周期信號在同一周期內(nèi)兩周期信號在同一周期內(nèi)(同區(qū)間內(nèi)同區(qū)間內(nèi))正交

20、的條件是正交的條件是c12=0，即：，即： 總結(jié) 0d)()(21 Tttftf兩個信號不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能分解出另一兩個信號不正交，就有相關(guān)關(guān)系，必能分解出另一信號。信號。對一般信號在給定區(qū)間正交，而在其他區(qū)間不一定對一般信號在給定區(qū)間正交，而在其他區(qū)間不一定滿滿足正交。足正交。四.復(fù)變函數(shù)的正交特性21*( )( )d( ),( )0tijijtg t g ttg tg tij21*( )( )d( ),( )tiiiiitg t g ttg tg tK( ) ,(0,1,2, )( ),rg trnf t用用表表示示求求系系數(shù)數(shù)的共軛的共軛為為)()(,d)()(d)()(2121

21、tgtgttgtgttgtfcrrttrrttrr 則此復(fù)變函數(shù)集為正交函數(shù)集。則此復(fù)變函數(shù)集為正交函數(shù)集。22111221( )( )d( )( )d0 ttttf tfttf tftt 12,1,2,rt tgtrn若若在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)，復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)集集滿滿足足關(guān)關(guān)系系12,t t兩兩復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)相相互互正正交交的的條條件件是是6.4 6.4 完備正交函數(shù)集、完備正交函數(shù)集、帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理定義定義1 1： 定義定義2 2： 一完備正交函數(shù)集11221( )( )( )( )( )( )nrrnnrrrf

22、tc g tc g tc g tc gtc g t 22120,rnnngtgtgtgt 當當 增增加加時時， 下下降降，若若，則則，此此時時為為完完備備的的正正交交函函數(shù)數(shù)集集。 2112,( )( )d0,trtrnx tg tx ttx tgtgtgtgt如如果果存存在在函函數(shù)數(shù)有有，則則必必屬屬于于此此正正交交函函數(shù)數(shù)集集，原原函函數(shù)數(shù)集集不不完完備備。二帕塞瓦爾定理設(shè)設(shè) 為完備的正交函數(shù)集，即為完備的正交函數(shù)集，即 )(tgr誤差函數(shù)誤差函數(shù) 210d)()(1)(21122ettrrrttgctftttf即即 212121122120d)(d)()(2d)(ttrttrrrrrtt

23、ttgcttftgcttf因為因為 21212( )( )d( )dtrtrtrtf t g ttcgtt 2121d)(d)()(2ttrrttrttgcttgtf代入代入 0d)(d)(2d)(122122212121 rttrrrttrrrttttgcttgccttf 121222212121d)(ddrttrrrttrrttttgcttgcttf即即 物理意義物理意義： 一個信號所含有的能量（功率）恒等于此信號在一個信號所含有的能量（功率）恒等于此信號在完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率）之和。完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率）之和。 121222212121d)(ddrttrrrttr

24、rttttgCttgCttf信號的信號的能量能量基底信號的基底信號的能量能量各信號分量的各信號分量的能量能量數(shù)學(xué)本質(zhì)：矢量空間信號正交變換的范數(shù)不變性。數(shù)學(xué)本質(zhì)：矢量空間信號正交變換的范數(shù)不變性。能量信號與功率信號能量信號與功率信號相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù)相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù)相關(guān)與卷積的比較相關(guān)與卷積的比較相關(guān)定理相關(guān)定理 6.62( )( )p tit R在一個周期內(nèi)，在一個周期內(nèi)，R消耗的能量消耗的能量 000022222( )d( )dTTTTEp ttRitt002221TTEu ttR( )d 或平均功率可表示為平均功率可表示為0022021( )dTTPRittT0022021 1TTPu

25、 ttT R( )d 或設(shè)設(shè)i(t)為流過電阻為流過電阻R的電流，的電流，v(t)為為R 上的電壓上的電壓 R)(ti )(tv瞬時功率為瞬時功率為一能量信號和功率信號定義討論上述兩個式子，只可能出現(xiàn)兩種情況：討論上述兩個式子，只可能出現(xiàn)兩種情況：( (有限值有限值) ) ( (有限值有限值) ) 滿足滿足式的稱為能量信號，滿足式的稱為能量信號，滿足式稱功率信號。式稱功率信號。0E0 P0P E定義：一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比定義：一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比。令令R = 1 ，則在整個時間域內(nèi)，實信號，則在整個時間域內(nèi)，實信號f(t)的的00022021( )d

26、limTTTPfttT平均功率平均功率000222( )dlimTTTEftt能量能量一般規(guī)律一般周期信號為功率信號。一般周期信號為功率信號。非周期信號，在有限區(qū)間有值，為能量信號。非周期信號，在有限區(qū)間有值，為能量信號。還有一些非周期信號，也是非能量信號。還有一些非周期信號，也是非能量信號。如如u(t)是功率信號；是功率信號；而而tu(t)為非功率非能量信號為非功率非能量信號; ;(t)是無定義的非功率非能量信號。是無定義的非功率非能量信號。例6-5-1判斷下面的信號是功率信號還是能量信號。判斷下面的信號是功率信號還是能量信號。)(1tf4T 4TtAO T2 24421( )dTTTPft

27、t2442cosdTTAttT 2d212cos22442AttATTT 0P 224limlimTTTAEPT 為功率信號為功率信號所以所以tf1數(shù)學(xué)本質(zhì)數(shù)學(xué)本質(zhì): 相關(guān)系數(shù)是信號矢量空間內(nèi)積與范數(shù)特征的相關(guān)系數(shù)是信號矢量空間內(nèi)積與范數(shù)特征的具體表現(xiàn)。具體表現(xiàn)。 物理本質(zhì)物理本質(zhì): 相關(guān)與信號能量特征有著密切聯(lián)系。相關(guān)與信號能量特征有著密切聯(lián)系。 1212121122( ),( )( ),( )( ),( )f tftf tf tftft 121222( ),( )( )( )f tftf tft1相關(guān)系數(shù)12 由兩個信號的內(nèi)積所決定：由兩個信號的內(nèi)積所決定：二相關(guān)系數(shù)與相關(guān)函數(shù) 12212

28、12ftftftftc 假假定定和和是是能能量量有有限限的的實實信信號號。用用逼逼近近，選選擇擇使使誤誤差差最最小小，則則有有 ttfttftfcdd222112 ttfttftfttftttfttftftftfdddddd222212122221212 相關(guān)系數(shù)此時，能量誤差為此時，能量誤差為令相對能量誤差為令相對能量誤差為 2122121d ttf其中其中 1212121222122212d,ddft fttftftftftfttftt 的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)。與與稱稱為為tftf2112 由柯西施瓦爾茨不等式，得由柯西施瓦爾茨不等式，得 12221212dddft fttfttftt所以所

29、以121 21212,1,ftft 若若與與完完全全一一樣樣此此時時等等于于零零 21212,0,ftft 若若與與為為正正交交函函數(shù)數(shù)此此時時最最大大 1212, ftft 相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)從從信信號號能能量量誤誤差差的的角角度度描描述述了了信信號號與與的的相相關(guān)關(guān)特特性性 利利用用矢矢量量空空間間的的的的內(nèi)內(nèi)積積運運算算給給出出了了定定量量說說明明。2相關(guān)函數(shù)f1(t)與與f2(t)是能量有限信號是能量有限信號f1(t)與與f2(t)為實函數(shù)為實函數(shù)f1(t)與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù)f1(t)與與f2(t)是功率有限信號是功率有限信號f1(t)與與f2(t)為實函數(shù)為實函數(shù)f1(t)

30、與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù)分如下幾種情況討論：分如下幾種情況討論：(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號 f1(t)與與f2(t)為實函數(shù)為實函數(shù): 相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)函數(shù)定義: 1212( )( )()dRf t ftt12()( )df tftt 2112( )()( )dRf tftt12( )()df t f tt 可以證明：可以證明： 1221( )()RR 時，自相關(guān)函數(shù)為時，自相關(guān)函數(shù)為當當)()()(21tftftf ( )( ) ()dRf t f tt () ( )df tf tt ( )()RR 的偶函數(shù)的偶函數(shù)相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)： *1212( )( )()dRf

31、 t ftt *12()( )df tftt *2112( )()( )dRftf tt *12( )()dft f tt *( )( )()dRf t ftt *() ( ) df tf tt 同時具有性質(zhì)：同時具有性質(zhì)： *1221( )()RR *( )()RR (1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號 f1(t)與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù): 相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)： 2121221( )lim( )()dTTTRf t fttT 2212121( )lim( )()dTTTRft f ttT自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)： 221( )lim( )()dTTTRf t f ttT (2)f1

32、(t)與f2(t)是功率有限信號 f1(t)與與f2(t)為實函數(shù)為實函數(shù): 相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)： *2121221( )lim( )()dTTTRf t fttT *2212121( )lim( )()dTTTRft fttT自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)： *221( )lim( )()dTTTRf t fttT (2)f1(t)與f2(t)是功率有限信號 f1(t)與與f2(t)為復(fù)函數(shù)為復(fù)函數(shù): 兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系 1212( )( )*()Rtf tft即即 1( )f t2( )f t與與 為實偶函數(shù)，則其卷積與相關(guān)完全相同。為實偶函數(shù)，則其卷積與相關(guān)完全相同。 2( )f t反褶與反褶

33、與 1( )f t之卷積即得之卷積即得 1( )f t2( )f t與與 的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù) 12( )Rt 三相關(guān)與卷積的比較 )(1tf)(2tf與與 卷積表達式：卷積表達式： 1212( )*( )( )()df tftfft )(1tf)(2tf與與 相關(guān)函數(shù)表達式：相關(guān)函數(shù)表達式： 1212( )( )()dRtf t f tt 說明 0,0tR自自相相關(guān)關(guān)在在時時 相相關(guān)關(guān)性性最最強強最最大大。 12,ftft若若與與為為實實偶偶函函數(shù)數(shù) 則則卷卷積積與與相相關(guān)關(guān)完完全全相相同同。相關(guān)與卷積類似，都包含移位，相乘和積分三個步相關(guān)與卷積類似，都包含移位，相乘和積分三個步驟，差別在于

34、卷積運算需要反褶，而相關(guān)不需要反褶。驟，差別在于卷積運算需要反褶，而相關(guān)不需要反褶。 例6-5-2 的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)。求求周周期期余余弦弦信信號號tEtf1cos 對此功率有限信號，由自相關(guān)函數(shù)的定義，有對此功率有限信號，由自相關(guān)函數(shù)的定義，有 222211222111112222112211limdlimcoscosdlimcoscoscossinsindlimcoscosdcos2TTTTTTTTTTTTRf t f ttTEtttTEttttTEttTE此例結(jié)論1. 周期信號自相關(guān)函數(shù)仍為周期信號周期信號自相關(guān)函數(shù)仍為周期信號,且周期相同且周期相同。2.自相關(guān)函數(shù)是一偶函數(shù)，自相

35、關(guān)函數(shù)是一偶函數(shù)，R(0)為最大值。為最大值。3.余弦函數(shù)自相關(guān)函數(shù)仍為余弦余弦函數(shù)自相關(guān)函數(shù)仍為余弦;同理可證，任意相位的同理可證，任意相位的正弦，余弦之自相關(guān)函數(shù)仍為余弦。正弦，余弦之自相關(guān)函數(shù)仍為余弦。四相關(guān)定理 若已知若已知 11( )( )f tF F22( )( )f tF F則則 *1212( )( )( )RFF F若若12( )( )( ),f tftf t( )( )f tF F則自相關(guān)函數(shù)為則自相關(guān)函數(shù)為 2( )( )RF F由相關(guān)函數(shù)定義可知由相關(guān)函數(shù)定義可知 *1212( )( )()dRf t ftt 取傅里葉變換取傅里葉變換j1212( )( )edF RR *

36、j12( )()d edf t ftt*j12( )( )edf t Ft *12( )( )FF同理可得：同理可得： *2112( )( )( )F RFF 相關(guān)定理證明*j12( )eddf tftt 說明1.相關(guān)定理表明：兩信號互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于相關(guān)定理表明：兩信號互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于其中第一個信號的變換與第二個信號變換其中第一個信號的變換與第二個信號變換取共軛取共軛兩者之兩者之積。積。2.自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于原信號自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于原信號幅度譜的平方幅度譜的平方。 *22,3.FF 若若是是實實偶偶函函數(shù)數(shù) 此此時時此此時時相相關(guān)關(guān)定定理理與與卷卷積積定定理

37、理具具有有相相同同的的結(jié)結(jié)果果。 6.7能量譜與功率譜1.能量譜 由相關(guān)定理知由相關(guān)定理知 2( )( )RF F2j1( )( ) ed2RF 所以所以21(0)( ) d2RF又能量有限信號的自相關(guān)函數(shù)是又能量有限信號的自相關(guān)函數(shù)是*( )( )()dRf t ftt 2(0)( ) dRf tt有下列關(guān)系有下列關(guān)系 2(0)( ) dRf tt21( ) d2F 2( ) dF ff若若 為實數(shù)為實數(shù),上式可寫成上式可寫成 )(tf2(0)( )dRftt21( ) d2F 2( ) dF ff帕塞瓦爾方程帕塞瓦爾方程定義定義能量譜密度（能譜）能量譜密度（能譜） 2( )( )F 所以有

38、所以有 ( )( )F R 1( )( )RF 所以能譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換對。所以能譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換對。2(0)( ) dRf tt21( ) d2F 2( ) dF ff2功率譜是功率有限信號是功率有限信號 )(tffT(t)f(t)ttT2T2-T( ) 2 ( )0 2Tf ttftTt令令TT( )( )ftF FT是是 有限的有限的 ，能量有限，能量有限2212TTTfttF TE( )dlim( ) d 2222TTTfttftt( )d( )d 則則 )(tf的平均功率為：的平均功率為： 2T222( )11lim( )dlimd2TTTTFPft

39、tTT 定義定義 2T( )( )limTFST f(t)的功率密度函數(shù)的功率密度函數(shù)(功率譜）功率譜） 一個一個 極限的概念，極限的概念，單位頻帶內(nèi)信號功率隨頻率的變化情況，單位頻帶內(nèi)信號功率隨頻率的變化情況，無相位信息無相位信息t212TRF j( )( ) ed 并取并取 兩端乘以兩端乘以 T1 T可以得到：可以得到： j1( )( )ed2RS j( )( )edSR即即 1( )( )( )( )SRRp FF功率有限信號的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)功率有限信號的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換。是一對傅里葉變換。 利用相關(guān)定理有：利用相關(guān)定理有： 221TTTRf t ftTli

40、m ( )( ) *()d 例6-6-1221( )lim( ) ()dTTTRf t f ttT 22112 limcos() cos() dTTTEtttT221112limcos() cos() cos()TTTEttT求余弦信號求余弦信號1( )cos()f tEt 的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。為功率信號為功率信號,)(tf所以自相關(guān)函數(shù)為所以自相關(guān)函數(shù)為:11sin() sin() dtt 21cos()2E 因為功率有限信號的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是因為功率有限信號的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一一對傅里葉變換對傅里葉變換, ,所以功率譜為所以功率譜為: :211()()2E 求功率譜( )( )SF R j ( )edR 例6-6-2白噪聲，其功率譜密度為白噪聲，其功率譜密度為 , NSN 利用維納利用維納-欣欽關(guān)