中考數(shù)學(xué)函數(shù)與等腰三角形經(jīng)典題型分析

1、中考數(shù)學(xué)函數(shù)與等腰三角形經(jīng)典題型分析例1 如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點P(0,m)是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D（1）求點D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)APD是等腰三角形時，求m的值；（3）設(shè)過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）當(dāng)點P從O向C運動時，點H也隨之運動請直接寫出點H所經(jīng)過的路長（不必寫解答過程）圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“11湖州24”，拖動點P在OC上運動，可以體驗到，APD的三個頂點有四次機(jī)會可以落在對邊的垂直平分線

2、上雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動點P由O向C運動，可以體驗到，點H在以O(shè)M為直徑的圓上運動雙擊按鈕“第(2)題”可以切換思路點撥1用含m的代數(shù)式表示表示APD的三邊長，為解等腰三角形做好準(zhǔn)備2探求APD是等腰三角形，分三種情況列方程求解3猜想點H的運動軌跡是一個難題不變的是直角，會不會找到不變的線段長呢？RtOHM的斜邊長OM是定值，以O(shè)M為直徑的圓過點H、C滿分解答（1）因為PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到點D的坐標(biāo)為(2，4m)（2）在APD中，當(dāng)APAD時，解得（如圖3）當(dāng)PAPD時，解得（如圖4）或（不合題意，舍去）當(dāng)DADP時，解得（如圖5）或（不合題意

3、，舍去）綜上所述，當(dāng)APD為等腰三角形時，m的值為，或圖3 圖4 圖5（3）點H所經(jīng)過的路徑長為考點伸展第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單：如圖3，當(dāng)APAD時，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4，當(dāng)PAPD時，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得第（2）題的思路是這樣的：如圖6，在RtOHM中，斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的G經(jīng)過點H，也就是說點H在圓弧上運動運動過的圓心角怎么確定呢？如圖7，P與O重合時，是點H運動的起點，COH45°，CGH90°圖6 圖7例2 如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于

4、點A，且與x軸交于點B（1）求點A和點B的坐標(biāo)；（2）過點A作ACy軸于點C，過點B作直線l/y軸動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q當(dāng)點P到達(dá)點A時，點P和直線l都停止運動在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為t秒當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動點R由B向O運動，從圖像中可以看到，APR的面積有一個時刻

5、等于8觀察APQ，可以體驗到，P在OC上時，只存在APAQ的情況；P在CA上時，有三個時刻，APQ是等腰三角形思路點撥1把圖1復(fù)制若干個，在每一個圖形中解決一個問題2求APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能3討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況滿分解答（1）解方程組 得 所以點A的坐標(biāo)是(3，4)令，得所以點B的坐標(biāo)是(7，0)（2）如圖2，當(dāng)P在OC上運動時，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當(dāng)P在CA上運動時，APR的最大面積為6因此，當(dāng)t2

6、時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P(yáng)在OC上運動時的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45°，AOB45°，OB7，所以O(shè)BAB因此OABAOBB如圖4，點P由O向C運動的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45°保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P(yáng)在CA上運動時的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當(dāng)APAQ時，解方程，得如圖6，當(dāng)QPQA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當(dāng)PAPQ時，那么因此解

7、方程，得綜上所述，t1或或5或時，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點伸展當(dāng)P在CA上，QPQA時，也可以用來求解例3 如圖1，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，點M、N分別為線段AC和射線AB上的動點，點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向作勻速運動，點N以5個單位長度/秒的速度自A向B方向作勻速運動，MN交OB于點P(1)求證：MNNP為定值；(2)若BNP與MNA相似，求CM的長；(3)若BNP是等腰三角形，求CM的長圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10閘北25”，拖動點M在CA上運動，可以看到BNP與MNA的形狀隨M的運動而改變雙擊按鈕“BNP

8、MNA”，可以體驗到，此刻兩個三角形都是直角三角形分別雙擊按鈕“BPBN，N在AB上”、“NBNP”和“BPBN，N在AB的延長線上”，可以準(zhǔn)確顯示等腰三角形BNP的三種情況思路點撥1第（1）題求證MNNP的值要根據(jù)點N的位置分兩種情況這個結(jié)論為后面的計算提供了方便2第（2）題探求相似的兩個三角形有一組鄰補(bǔ)角，通過說理知道這兩個三角形是直角三角形時才可能相似3第（3）題探求等腰三角形，要兩級（兩層）分類，先按照點N的位置分類，再按照頂角的頂點分類注意當(dāng)N在AB的延長線上時，鈍角等腰三角形只有一種情況4探求等腰三角形BNP，N在AB上時，B是確定的，把夾B的兩邊的長先表示出來，再分類計算滿分解答

9、(1)如圖2，圖3，作NQx軸，垂足為Q設(shè)點M、N的運動時間為t秒在RtANQ中，AN5t，NQ4t ，AQ3t在圖2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在圖3中，QO3t6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53(2)因為BNP與MNA有一組鄰補(bǔ)角，因此這兩個三角形要么是一個銳角三角形和一個鈍角三角形，要么是兩個直角三角形只有當(dāng)這兩個三角形都是直角三角形時才可能相似如圖4，BNPMNA，在RtAMN中，所以解得此時CM 圖2 圖3 圖4(3)如圖5，圖6，圖7中，即所以當(dāng)N在AB上時，在BNP中，B是確定的，()如圖5，當(dāng)BPBN時，解方程，得此時CM()如圖6，當(dāng)NBNP

10、時，解方程，得此時CM()當(dāng)PBPN時，解方程，得t的值為負(fù)數(shù)，因此不存在PBPN的情況如圖7，當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，B是鈍角，只存在BPBN的可能，此時解方程，得此時CM 圖5 圖6 圖7考點伸展如圖6，當(dāng)NBNP時，NMA是等腰三角形，這樣計算簡便一些例4 如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數(shù)），BC8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）連結(jié)DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設(shè)CEx，BFy（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2）若m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名

11、“10南通27”，拖動點E在BC上運動，觀察y隨x變化的函數(shù)圖像，可以體驗到，y是x的二次函數(shù)，拋物線的開口向下對照圖形和圖像，可以看到，當(dāng)E是BC的中點時，y取得最大值雙擊按鈕“m8”，拖動E到BC的中點，可以體驗到，點F是AB的四等分點拖動點A可以改變m的值，再拖動圖像中標(biāo)簽為“y隨x” 的點到射線yx上，從圖形中可以看到，此時DCEEBF思路點撥1證明DCEEBF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式2第（2）題的本質(zhì)是先代入，再配方求二次函數(shù)的最值3第（3）題頭緒復(fù)雜，計算簡單，分三段表達(dá)一段是說理，如果DEF為等腰三角形，那么得到xy；一段是計算，化簡消去m，得到關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前兩段結(jié)合，代入求出對應(yīng)的m的值滿分解答(1)因為EDC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因為CB90°，所以DCEEBF因此，即整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為(2)如圖2，當(dāng)m8時，因此當(dāng)x4時，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因為DCEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（如圖3）；將xy 6代入，得m2（如圖4