第4章(下)小波與小波變換

1、 Fourier Fourier變換一直是信號處理領域中應用最廣泛、變換一直是信號處理領域中應用最廣泛、效果最好的一種分析手段，是時域到頻域互相轉化的效果最好的一種分析手段，是時域到頻域互相轉化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實質是把對原工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實質是把對原函數的研究轉化為對其傅里葉變換的研究。但是傅里函數的研究轉化為對其傅里葉變換的研究。但是傅里葉變換只能提供信號在葉變換只能提供信號在整個時間域整個時間域上的頻率，不能提上的頻率，不能提供信號在供信號在某個局部時間段某個局部時間段上的頻率信息。上的頻率信息。從傅里葉變換到小波變換的從傅里葉變換到小波變換的時頻分析

2、法時頻分析法傅里葉變換傅里葉變換 傅里葉變換：對于時域的常量函數，在頻傅里葉變換：對于時域的常量函數，在頻域將表現為沖擊函數，表明具有很好的頻域域將表現為沖擊函數，表明具有很好的頻域局部化性質。局部化性質。 j xFf x edx 12j xf xFed傅里葉變換傅里葉變換反傅里葉變換反傅里葉變換x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%產生50HZ和300HZ的信號f=x+3.5*randn(1,length(t);%在信號中加入白噪聲時間 由于傅立葉變換無法作局部分析，為此，人由于傅立葉變換無法作局部分析，為此，人們提出了短時傅里葉變換（們提出了短時傅里葉變換（S

3、TFTSTFT）的概念，即）的概念，即窗窗口傅里葉變換口傅里葉變換。 短時傅里葉變換將整個時間域分割成一些小短時傅里葉變換將整個時間域分割成一些小的的等時間間隔等時間間隔，然后在每個時間段上用傅里葉分，然后在每個時間段上用傅里葉分析，它在一定程度上包含了時間頻率信息，但由析，它在一定程度上包含了時間頻率信息，但由于時間間隔不能調整，因而難以檢測持續(xù)時間很于時間間隔不能調整，因而難以檢測持續(xù)時間很短、頻率很高的脈沖信號的發(fā)生時刻。短、頻率很高的脈沖信號的發(fā)生時刻。短時傅里葉變換短時傅里葉變換短時傅里葉變換短時傅里葉變換n基本思想基本思想是：把信號劃分成許多小的時間間隔，用是：把信號劃分成許多小的

4、時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。間隔存在的頻率。 nSTFTSTFT的處理方法是對信號施加一個的處理方法是對信號施加一個滑動窗滑動窗( (反映滑反映滑動窗的位置動窗的位置) )后，再作傅立葉變換。即：后，再作傅立葉變換。即： ( , )( ) ()j txSTFTx ttedt 時限頻限短時傅里葉變換短時傅里葉變換短時傅里葉變換短時傅里葉變換 短時傅里葉變換的分析特點(a)(a)頻率變化的影響頻率變化的影響 (b) (b) 基本分析單元的特點基本分析單元的特點小波起源：小波起源： 19841984年年Morle

5、tMorlet提出提出;1985;1985年年MeyerMeyer構造出小波構造出小波;1988;1988年，年，DaubechiesDaubechies證明了離散小波的存在證明了離散小波的存在;1989;1989年，年，MallatMallat提出多分提出多分辨分析和二進小波變換的快速算法辨分析和二進小波變換的快速算法;1989;1989年年CoifmanCoifman、 MeyerMeyer引入小波包引入小波包;1990;1990年崔錦泰等構造出樣條單正交小波基年崔錦泰等構造出樣條單正交小波基;1994;1994年年SweldensSweldens提出二代小波提升格式小波提出二代小波提升格

6、式小波(Lifting Scheme)(Lifting Scheme)。小波定義：小波定義：“小小”是指在時域具有緊支集或近似緊支集，是指在時域具有緊支集或近似緊支集，“波波”是指具是指具有正負交替的波動性，直流分量為有正負交替的波動性，直流分量為0 0。小波概念：是定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數。小波概念：是定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數。小波變換小波變換持續(xù)寬度相同振蕩波正弦波與小波的差異：n用鏡頭觀察目標用鏡頭觀察目標 ( (待分析信號待分析信號) )。n 代表鏡頭所起的作代表鏡頭所起的作用用( (如濾波或卷積如濾波或卷積) )。n 相當于使鏡頭相對于相當于使鏡頭相對

7、于目標平行移動。目標平行移動。n 的作用相當于鏡頭向的作用相當于鏡頭向目標推進或遠離。目標推進或遠離。 ( )f t( ) tbafb小波變換的粗略解釋 小波變換的時頻分析小波變換的時頻分析尺度a較大距離遠視野寬概貌觀察尺度a較小距離近視野窄細節(jié)觀察分析頻率低分析頻率高由粗到精由粗到精多分辨分析品質因數保持不變品質因數保持不變小波變換的時頻分析特點：小波變換的時頻分析特點： 小波變換的分析特點小波變換的分析特點(a) 尺度a不同時時域的變化 (b)尺度a不同時頻域的變化小波變換的多分辨分析特性：不同a值下小波分析區(qū)間的變化不同a值下分析小波頻率范圍的變化4a2a3a4aaa2a3a4a0頻窗時

8、窗小波變換的時頻局部特性：小波變換的時頻局部特性： 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換尺度因子尺度因子 的作用是將基本小波的作用是將基本小波 做伸縮，做伸縮， 越大越大 越寬。越寬。 a( ) ta( )ta小波的位移與伸縮 設 ，當 滿足允許條件時：連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換稱稱 為一個為一個“基小波基小波”或或“母小波母小波”。小波變換的含義是：小波變換的含義是： 把基本小波把基本小波( (母小波母小波) )的函數的函數 作位移后，再在不同尺度下作位移后，再在不同尺度下與待分析信號作內積，就可以得到一個小波序列。與待分析信號作內積，就可以得到一個小波序列。2( )cd ( ) ( ) t RLt2(

9、) tn連續(xù)情況時連續(xù)情況時，小波序列為：小波序列為： ( (基本小波的位移與尺度伸縮基本小波的位移與尺度伸縮) )其中其中 為尺度參量，為尺度參量， 為平移參量。為平移參量。n離散的情況離散的情況，小波序列為，小波序列為 ：0;, 1, aRbaabtatbaab zkjkttjjkj, 222,根據容許條件要求，當=0時，為使被積函數是有效值，必須有 ，所以可得到上式的等價條件為：此式表明 中不含直流，只含有交流，即具有震蕩性，故稱為“波”，為了使 具有局部性，即在有限的區(qū)間之外很快衰減為零，還必須加上一個衰減條件： 0)()0( dtt0)0()(t)(t0, 0,1)(1ctct衰減條

10、件要求小波具有局部性，這種衰減條件要求小波具有局部性，這種局部性稱為局部性稱為“小小”，所，所以稱為小波。以稱為小波。對于任意的函數對于任意的函數 的的連續(xù)小波變換定義為連續(xù)小波變換定義為：逆變換為：逆變換為： 是尺度因子，是尺度因子， 反映位移。反映位移。 a RLtf2 baRRbaffdtabttfadtttfbaw,21,)()()(),( dadbabtbaWaCtffR R ,112b小波介紹小波介紹部分小波n許多數縮放函數和小波函數以開發(fā)者的名字命名，例如，nMoret小波函數是Grossmann和Morlet在1984年開發(fā)的ndb6縮放函數和db6小波函數是Daubechie

11、s開發(fā)的圖1 正弦波與小波部分小波小波介紹小波介紹小波分析小波分析n小波分析小波分析/小波變換小波變換變換目的是獲得時間和頻率域之間的相互關系小波變換n對一個函數在空間和時間上進行局部化的一種數學變換n通過平移母小波(mother wavelet)獲得信號的時間信息通過縮放母小波的寬度(或稱尺度)獲得信號的頻率特性n對母小波的平移和縮放操作是為計算小波的系數，這些系數代表局部信號和小波之間的相互關系n對比傅立葉變換n提供了頻率域的信息，但丟失了時間域的局部化信息小波分析中常用的三個基本概念n連續(xù)小波變換n離散小波變換n小波重構小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)1)n連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換

12、(continuous wavelet transform，CWT)傅立葉分析n用一系列不同頻率的正弦波表示一個信號n一系列不同頻率的正弦波是傅立葉變換的基函數小波分析n用母小波通過移位和縮放后得到的一系列小波表示一個信號n一系列小波可用作表示一些函數的基函數凡能用傅立葉分析的函數都可用小波分析n小波變換可理解為用經過縮放和平移的一系列函數代替傅立葉變換用的正弦波用不規(guī)則的小波分析變化激烈的信號比用平滑的正弦波更有效，或者說對信號的基本特性描述得更好小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)2)CWT的變換過程示例，見圖3，可分如下5步n小波 (t)和原始信號f(t)的開始部分進行比較 n計算系數

13、C該部分信號與小波的近似程度；C值越高表示信號與小波相似程度越高n小波右移k得到的小波函數為 (t-k) ，然后重復步驟1和2，直到信號結束 n擴展小波，如擴展一倍，得到的小波函數為 (t/2) 1.重復步驟14 圖3 連續(xù)小波變換的過程小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)3)連續(xù)小波變換用下式表示(,)( ) (, )C scale positionf tscale position t dtn該式含義：小波變換是信號f(t)與被縮放和平移的小波函數之積在信號存在的整個期間里求和nCWT變換的結果是許多小波系數C ，這些系數是縮放因子(scale)和位置(position)的函數n離散小波

14、變換離散小波變換(discrete wavelet transform，DWT) 用小波的基函數(basis functions)表示一個函數的方法n小波的基函數序列或稱子小波(baby wavelets)函數是由單個小波或稱為母小波函數通過縮放和平移得到的n縮放因子和平移參數都選擇2j (j 0的整數)的倍數，這種變換稱為雙尺度小波變換(dyadic wavelet transform)小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)4)圖4 離散小波變換分析圖DWT得到的小波系數、縮放因子和時間關系，見圖4n圖(a)是20世紀40年代使用Gabor開發(fā)的短時傅立葉變換(short time Four

15、ier transform，STFT)得到的n圖(b)是20世紀80年代使用Morlet開發(fā)的小波變換得到的小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)5)執(zhí)行DWT的有效方法n用Mallat在1988年開發(fā)的濾波器，稱為Mallat算法；nDWT的概念見圖5。S表示原始的輸入信號；通過兩個互補的濾波器產生A和D兩個信號。圖5 雙通道濾波過程nA表示信號的近似值(approximations)，大的縮放因子產生的系數，表示信號的低頻分量nD表示信號的細節(jié)值(detail)，小的縮放因子產生的系數，表示信號的高頻分量小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)6)小波分解樹與小波包分解樹n由低通濾波器和高通

16、濾波器組成的樹n原始信號通過一對濾波器進行的分解叫做一級分解。信號的分解過程可以迭代，即可進行多級分解。n小波分解樹(wavelet decomposition tree)n用下述方法分解形成的樹：對信號的高頻分量不再繼續(xù)分解，而對低頻分量連續(xù)進行分解，得到許多分辨率較低的低頻分量，見圖6n小波包分解樹(wavelet packet decomposition tree) n用下述方法分解形成的樹：不僅對信號的低頻分量連續(xù)進行分解，而且對高頻分量也進行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量，見圖7 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)7)圖6

17、小波分解樹小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)8)圖7 三級小波包分解樹1332 SAAADDADDD小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)9)圖8 降采樣過程注意：在使用濾波器對真實的數字信號進行變換時，得到的數據將是原始數據的兩倍n例如，如果原始信號的數據樣本為1000個，通過濾波之后每一個通道的數據均為1000個，總共為2000個。于是,根據尼奎斯特(Nyquist)采樣定理就提出了采用降采樣(downsampling)的方法，即在每個通道中每兩個樣本數據中取一個，得到的離散小波變換的系數(coefficient)分別用cD和cA表示，見圖8小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)10)

18、n小波重構小波重構重構概念n把分解的系數還原成原始信號的過程叫做小波重構(wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，數學上叫做逆離散小波變換(inverse discrete wavelet transform，IDWT)兩個過程n在使用濾波器做小波變換時包含濾波和降采樣(downsampling)兩個過程，在小波重構時也包含升采樣(upsampling)和濾波兩個過程，見圖9n升采樣是在兩個樣本數據之間插入“0”，目的是把信號的分量加長，其過程見圖10 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)11)圖9 小波重構方法圖10 升采樣的方法小波介紹小波介紹小波分析

19、小波分析(續(xù)續(xù)12)n重構濾波器重構濾波器濾波器關系到能否重構出滿意的原始信號。在信號的分解期間，降采樣會引進畸變，這種畸變叫做混疊(aliasing)。這就需要在分解和重構階段精心選擇關系緊密但不一定一致的濾波器才有可能取消這種混疊低通分解濾波器(L)和高通分解濾波器(H)以及重構濾波器(L和H)構成一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)叫做正交鏡像濾波器(quadrature mirror filters，QMF)系統(tǒng)，如圖11所示 圖11 正交鏡像濾波器系統(tǒng)哈爾函數哈爾函數n哈爾基函數哈爾基函數 基函數是一組線性無關的函數，可以用來構造任意給定的信號，如用基函數的加權和表示哈爾基函數(Haar basis

20、function) n定義在半開區(qū)間0，1)上的一組分段常值函數(piecewise-constant function)集n生成矢量空間V0的常值函數000101: ( )0 xVx其他哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)1)n生成矢量空間V1的常值函數110100.5: ( ) ,0 xVx其他1110.51( )0 xx其他 哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)2)n生成矢量空間V2的常值函數012322221,01/41,1/41/2( )( )0,0,1,1/23/41,3/41( )( )0,0,xxxxxxxx其他其他其他其他n可按照以上方法繼續(xù)定義哈爾基函數和由它生成的矢量空間Vj，哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)

21、3)n為了表示矢量空間中的矢量，每一個矢量空間都需要定義一個基(basis)，哈爾基定義為101( )0 xx其他n為生成矢量空間而定義的基函數也叫做尺度函數(scaling function)。哈爾基尺度函數定義為( )(2),0,1,(21) jjjixxiin其中，j為尺度因子，使函數圖形縮小或放大 i為平移參數，使函數沿x軸方向平移哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)4) n哈爾小波哈爾小波(函數函數)最古老和最簡單的小波，定義為101/2( )11/210 xxx 當當其他00101/2( )11/210 xxx 其他生成矢量空間W0的哈爾小波哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)5)生成矢量空間W1的哈爾小波1

22、0101/4( )1 1/41/20 xxx 其他1111/23/4( )13/41/20 xxx 其他 哈爾函數哈爾函數(續(xù)續(xù)6)生成矢量空間W2的哈爾小波22012223101/812/83/8( )1 1/82/8( )13/84/80014/85/816/87/8( )15/86/8( )17/8100 xxxxxxxxxxxx 其他其他其他其他哈爾小波變換哈爾小波變換 n求有限信號的均值和差值求有限信號的均值和差值例例1 假設有一幅分辨率只有4個像素P0、P1、P2、P3的一維圖像，對應的像素值或稱圖像位置的系數分別為 9 7 3 5計算該圖像的哈爾小波變換系數n步驟步驟1：求均值(

23、averaging)。計算相鄰像素對的平均值，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素數目變成了2個，即新的圖像的分辨率是原來的1/2，相應的像素值為 8 4 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)1)n步驟步驟2：求差值(differencing)。為能從2個像素組成的圖像重構由4個像素組成的原始圖像，就需要存儲一些圖像的細節(jié)系數(detail coefficient)n方法是把像素對的第一個像素值減去這個像素對的平均值，或者使用這個像素對的差值除以2 原始圖像用兩個均值和兩個細節(jié)系數表示為 8 4 1 -1n步驟步驟3：重復步驟1和2，把由第一步分解得到的圖像進一步分解成分辨率更低的圖像和細節(jié)系數。

24、其結果，整幅圖像表示為 6 2 1 -1哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)2)把由4個像素組成的一幅圖像用一個平均像素值和三個細節(jié)系數表示，這個過程稱為哈爾小波變換(Haar wavelet transform)，也稱哈爾小波分解(Haar wavelet decomposition)。這個概念可以推廣到使用其他小波基的變換特點：(1) 變換過程中沒有丟失信息，因為能夠從所記錄的數據中重構出原始圖像。(2) 對這個給定的變換，可從所記錄的數據中重構出各種分辨率的圖像。(3) 通過變換之后產生的細節(jié)系數的幅度值比較小，為圖像壓縮提供了一種途徑，如去掉微不足道的系數分辨率平均值細節(jié)系數49 7 3 5

25、28 41 -1162表1 哈爾變換過程哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)3)n哈爾小波變換哈爾小波變換在例1中的求均值和差值的過程實際上就是一維小波變換的過程，現在用數學方法重新描述哈爾小波變換nI(x)圖像用V2中的哈爾基表示22220123( )9( )7( )3( )5( ) I xxxxx哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)4)nI(x)圖像用V1和W1中的函數表示生成V1矢量空間的基函數為 和 ，生成矢量空間W1的小波函數為 和 ，I(x)可表示為01( )x11( )x10( )x11( ) x 11111111001 10011( )( )( )( )( )I xcxcxdxdx哈爾小波

26、變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)5)nI(x)圖像用V0、W0和 W1中的函數表示生成矢量空間V0的基函數為 ，生成矢量空間W0的小波函數為 ，生成矢量空間W1的小波函數為 和 ， I(x)可表示為00( ) x00( )x10( )x11( ) x0000111100000011( )( )( )( )( )I xcxdxdxdx二維小波變換的實現二維小波變換的實現n假定二維尺度函數可分離，則有假定二維尺度函數可分離，則有 n其中其中 、 是兩個一維尺度函數。若是兩個一維尺度函數。若 是相應是相應的小波，那么下列三個二維基本小波：的小波，那么下列三個二維基本小波：n n與與 一起就建立了二維小波變換的

27、基礎。一起就建立了二維小波變換的基礎。( , )( ) ( )x yxy1( , )( ) ( )x yxy2( , )( ) ( )x yxy3( , )( )( )x yxy( , )x y( )x( )y( )x圖像小波變換的正變換圖像小波變換的正變換正變換正變換 圖像小波分解的正變換可以依據二維小波變換按圖像小波分解的正變換可以依據二維小波變換按如下方式擴展，在變換的每一層次，圖像都被分如下方式擴展，在變換的每一層次，圖像都被分解為解為4 4個四分之一個四分之一大小的圖像。大小的圖像。圖像小波變換的逆變換圖像小波變換的逆變換逆變換逆變換在每一層(如最后一層)都通過在每一列的左邊插入一列

28、零來增頻采樣前一層的4個陣列(即4個分解圖像)；接著用重構低通濾波器h和重構高通濾波器g來卷積各行，再成對地把這幾個的陣列加起來；然后通過在每行上面再插入一行零來將剛才所得兩個陣列(圖像)的大小增頻采樣為NN；再用h和g與這兩個陣列的每列進行卷積。這兩個陣列的和就是這一層次重建的結果。 對于二維圖像信號，在每一層分解中，由原始對于二維圖像信號，在每一層分解中，由原始圖像信號與一個小波基函數的內積后再經過在圖像信號與一個小波基函數的內積后再經過在x x和和y y方向的二倍間隔抽樣而生成四個分解圖像信號。對方向的二倍間隔抽樣而生成四個分解圖像信號。對于第一個層次于第一個層次(j=1)(j=1)可寫

29、成可寫成：0021( , )( , ), (2 ,2 )A m nAx yxm yn10121( , )( , ),(2 ,2 )D m nAx yxm yn20221( , )( , ),(2 ,2 )Dm nAx yxm yn30321( , )( , ),(2 ,2 )D m nAx yxm yn二維小波變換的二維小波變換的Mallat算法算法 將上式內積改寫成卷積形式，則得到離散小波變將上式內積改寫成卷積形式，則得到離散小波變換的換的MallatMallat算法算法的通用公式：的通用公式： 10022,( , )( , ) (2 ) (2 )jjx yAm nAx y h xm h y

30、n11022,( , )( , ) (2 ) (2 )jjx yDm nAx y h xm g yn12022,( , )( , ) (2 ) (2 )jjx yDm nAx y g xm h yn13022,( , )( , ) (2 ) (2 )jjx yDm nAx y g xm g yn二維小波變換二維小波變換MallatMallat算法的通用公式：算法的通用公式：二維二維MallatMallat多分辨率分解與重構多分辨率分解與重構二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換n用小波對圖像進行變換的兩種方法用小波對圖像進行變換的兩種方法標準分解(standard decomposition)n首先

31、使用一維小波對圖像每一行的像素值進行變換，產生每一行像素的平均值和細節(jié)系數，然后使用一維小波對這個經過行變換的圖像的列進行變換，產生這個圖像的平均值和細節(jié)系數 n分解的過程如下： 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換(續(xù)續(xù)1)圖7-28 圖像的標準分解方法 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換(續(xù)續(xù)2)非標準分解(nonstandard decomposition)n用一維小波交替地對每一行和每一列像素值進行變換。n對每一行計算像素對的均值和差值，然后對每一列計算像素對的均值和差值n對包含均值的1/4像素計算行和列的均值和差值，依此類推n過程如下：二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換(續(xù)續(xù)3)圖7-29 圖像的非標準分解