高中數(shù)學(xué)必修⑤23《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》學(xué)案

1、課題： 2.5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 編制：蘇同安 班級(jí) 姓名學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）理解等差數(shù)列前項(xiàng)和的定義以及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)的過(guò)程，并理解推導(dǎo)此公式的方法倒序相加法，記憶公式的兩種形式；（2）理解等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的公式涉及的五個(gè)字母；已知其中三個(gè)量求另兩個(gè)值；（3）會(huì)用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題（包括實(shí)際問(wèn)題），并初步感受解決數(shù)列問(wèn)題常用的三種思想：方程思想，整體思想，函數(shù)思想； （4）通過(guò)了解歷史上有名的高斯求和的方法，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律，然后體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法。通過(guò)公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形

2、成過(guò)程中培養(yǎng)觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。（5）通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，感受數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美；通過(guò)有關(guān)內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性，逐步培養(yǎng)善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法科學(xué)地解決問(wèn)題的能力.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用學(xué)習(xí)難點(diǎn)：公式推導(dǎo)的思路及綜合運(yùn)用學(xué)習(xí)過(guò)程：【雙基回眸】請(qǐng)同學(xué)們回顧一下學(xué)過(guò)的等差數(shù)列基本知識(shí)和性質(zhì)： 等差數(shù)列定義：即(n2)a，A，b組成的等差數(shù)列可看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的。 等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(n1) d 在等差數(shù)列中， 若m+n=p+q 則 【合作探究】等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活

3、中比較常見(jiàn)，如：建筑工地上一堆圓木，從上到下每層的數(shù)目分別為1，2，3，10 .問(wèn)共有多少根圓木？ 如何用簡(jiǎn)便的方法呢？當(dāng)然，若是數(shù)少了，即使口算，也能迅速得出，若數(shù)多了呢，比如：1+2+3+100=？還能不能迅速算出呢？ 在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出1+2+3+100和的好戲。同學(xué)們或許都聽(tīng)說(shuō)過(guò)這個(gè)故事，高斯是怎樣來(lái)計(jì)算的？答：（數(shù)學(xué)王子，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯10歲的時(shí)候，有一次數(shù)學(xué)教師布特納要求學(xué)生將前100個(gè)自然數(shù)加起來(lái)，即求1+2+3+100的和。老師剛解釋完題目，高斯就把寫有答案的石板交了上去，布特納連看也沒(méi)看，心想這個(gè)全班最小的學(xué)

4、生準(zhǔn)是瞎寫了些什么，或者交了白卷，過(guò)了很久，其他學(xué)生才一個(gè)個(gè)把石板疊在上面，等到布特納發(fā)現(xiàn)只有高斯的石板上寫著一個(gè)正確的答案而比他大的孩子都錯(cuò)了的時(shí)候，才大吃一驚，因?yàn)樵谶@之前，他從未教過(guò)學(xué)生計(jì)算等差數(shù)列。那么高斯是怎樣巧妙的算出結(jié)果的呢？我們分析，可能是高斯將這100個(gè)數(shù)分成50組（1+100），（2+99），（3+98）， ，（50+51），而每組兩數(shù)之各都等于101，因此，1+2+3+100=101×50=5050。）高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，n，前100項(xiàng)的和的問(wèn)題。 但這只是前100項(xiàng)的和，我們想知道前n項(xiàng)的和怎樣求，更想知道有沒(méi)有一個(gè)公式來(lái)表示。這就是我

5、們今天要研究的問(wèn)題首先，我們根據(jù)高斯的算法，來(lái)計(jì)算一下1，2，3，n，的前n項(xiàng)的和：（學(xué)生分組討論，展示做法）從而初步總結(jié)出推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一般方法：借此東風(fēng)，推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和 可請(qǐng)同學(xué)們先根據(jù)  1   +   2   + + n-1   +  n 來(lái)推測(cè)一下推測(cè)：【合作推導(dǎo)】 請(qǐng)同學(xué)們把 把代入中，看能得到什么：【點(diǎn)評(píng)】（1）對(duì)于第一個(gè)公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項(xiàng)、尾項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項(xiàng)和了；對(duì)于第二個(gè)公式，只要知道等差數(shù)列首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項(xiàng)

6、和了。實(shí)際解題時(shí)可根據(jù)題目給出的已知條件選擇合適的公式來(lái)解決。 （2）這兩個(gè)公式除了“數(shù)”的本質(zhì)外，用“形”也可以直觀地說(shuō)明一下：還可用梯形面積公式來(lái)說(shuō)明等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式，這里對(duì)圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理，對(duì)應(yīng)著等差數(shù)列前 項(xiàng)和的兩個(gè)公式. （3）除此之外，等差數(shù)列還有其他方法，例如：   =            =     =【互動(dòng)達(dá)標(biāo)】【自主達(dá)標(biāo)】1。根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn. 答：（1）S

7、n=; (2) Sn= 2. 求集合M=m| m=2n - 1 .n ，且m < 60 的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。【互動(dòng)達(dá)標(biāo)】 既然數(shù)列與實(shí)際生活有密切關(guān)系，那么，首先來(lái)探索一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：?jiǎn)栴}.12000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的統(tǒng)治.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元.為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元.那么從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？【分析】對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題

8、，首先應(yīng)仔細(xì)閱讀、審清題意。然后，抽象、提煉出相關(guān)數(shù)據(jù)，并分析出它們的本質(zhì)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題【解析】【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)此題引領(lǐng)學(xué)生逐步按照下列步驟來(lái)進(jìn)行：先閱讀題目；引導(dǎo)學(xué)生提取有用的信息，構(gòu)件等差數(shù)列模型；寫這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，并根據(jù)首項(xiàng)和公差選擇前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解?？赡艹霈F(xiàn)的錯(cuò)誤（也是數(shù)列的實(shí)際問(wèn)題中常見(jiàn)的、典型的錯(cuò)誤）：?jiǎn)栴}.2已知數(shù)列的前n項(xiàng)為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？【分析】這是一個(gè)關(guān)于前n項(xiàng)和的逆向問(wèn)題，想一想的關(guān)系，然后列出，看到它們的關(guān)系，就會(huì)直接得到了?！窘馕觥俊军c(diǎn)評(píng)】（1）引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出已知前n項(xiàng)和，

9、求通項(xiàng)公式的方法；                    （2）用這種數(shù)列的來(lái)確定的方法對(duì)于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項(xiàng)表達(dá)式，所以最后要驗(yàn)證首項(xiàng)是否滿足已求出的.【深入探究】結(jié)合此例思考課本45頁(yè)“探究”：一般地，如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為其中p、q、r為常數(shù)，且p0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？得到：（1）如果一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和的常數(shù)項(xiàng)

10、r不為0，則這個(gè)數(shù)列一定等差數(shù)列.（2）如果一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和中常數(shù)項(xiàng)r為0，則這個(gè)數(shù)列一定等差數(shù)列.最后結(jié)論：數(shù)列是等差數(shù)列等價(jià)于問(wèn)題.3已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？【分析】最直接的思路是利用方程思想：將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后，可得到兩個(gè)關(guān)于與的二元一次方程，由此可以求得與，從而得到所求前n項(xiàng)和的公式. 【解析】【引領(lǐng)學(xué)生探討其他解法】總結(jié)出解決數(shù)列基本問(wèn)題的幾種常用的思想方法：【另法一】   【另法二】 由問(wèn)題.2的探索知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可表示為

11、 利用待定系數(shù)法可求出結(jié)果（在這里，也可看成是運(yùn)用了函數(shù)思想）再通過(guò)下列的變式探究出解決數(shù)列問(wèn)題常用的整體思想1已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.求前30項(xiàng)的和【分析】除了引領(lǐng)學(xué)生用剛學(xué)過(guò)的方程思想與函數(shù)思想來(lái)解決外，再引導(dǎo)學(xué)生合作探究用整體思想來(lái)解決【解析】【點(diǎn)評(píng)】上述方法沒(méi)有列出方程求出具體的個(gè)別量，而是恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了數(shù)學(xué)中的整體思想來(lái)快速求出的，要注意體會(huì)這種思想在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用（實(shí)際上，換元法體現(xiàn)的也是整體思想）。下面再給出一個(gè)題目體現(xiàn)一下在等差數(shù)列中整體思想的廣泛運(yùn)用：1 在一個(gè)等差數(shù)列中，已知 ，求【合作探究】從而進(jìn)一步體會(huì)一下整體思想所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)。小結(jié)

12、：設(shè)計(jì)上述幾個(gè)問(wèn)題的目的：一是為了體現(xiàn)解決數(shù)列問(wèn)題常用的三種思想方法：方程思想、整體思想、函數(shù)思想（可繼續(xù)用問(wèn)題4來(lái)體現(xiàn)）；二是為了展現(xiàn)數(shù)列在實(shí)際中的應(yīng)用。問(wèn)題.4已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得最大的序號(hào)n的值.  【分析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值.另一方面，容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點(diǎn).因此，我們可以利用二次函數(shù)來(lái)求n的值.  【解析】        【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)此題進(jìn)一步感受到函數(shù)思想的廣泛運(yùn)用，此題還可運(yùn)用下列的

13、方法：因數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以只要找到正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)的分界處即可： 解 且【思悟小結(jié)】知識(shí)線：（1）等差數(shù)列前 項(xiàng)和的定義及前 項(xiàng)和公式；（2）相關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)。思想方法線： （1）待定系數(shù)法； （2）方程思想；（3）整體思想；（4）函數(shù)思想。題目線：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 項(xiàng)和公式解決關(guān)于前 項(xiàng)和的基本問(wèn)題；（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 項(xiàng)和公式解決上述問(wèn)題的逆向問(wèn)題；（3）實(shí)際問(wèn)題；（4）相關(guān)的綜合問(wèn)題。如：最值問(wèn)題等等?！踞槍?duì)訓(xùn)練 鞏固提高】一、選擇題：1、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的前項(xiàng)和等于（ ）A B CD2、已知等差數(shù)列，則等于（ ）A B C D3、在等差數(shù)列中

14、，若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（ ）ABCD4、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）ABCD二、填空題：5（1）正整數(shù)前n個(gè)偶數(shù)的和 ；（2）正整數(shù)前n個(gè)奇數(shù)的和 ；（3）在三位整數(shù)的集合中有個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)，它們的和為 ；（4）在正整數(shù)集合中有個(gè)三位數(shù)，它們的和為 。 6數(shù)列的前項(xiàng)和，則它的通項(xiàng)公式是 。7根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的有關(guān)未知數(shù)：（1） ；n= 。(2) =；= 。（3）n = ；= 。（4）=；= 。8若一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)的和為，最后項(xiàng)的和為，且所有項(xiàng)的和為，則這個(gè)數(shù)列有_項(xiàng)三、解答題：9一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)等于158cm，所有各邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列，最大邊的長(zhǎng)等于44cm，公差等于3cm,求多邊形的邊數(shù)。10在小于100的正整數(shù)中共有多少個(gè)數(shù)被7除余2？這