圓錐曲線知識點(diǎn)匯編

1、高二數(shù)學(xué) 王鷺真 圓錐曲線的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點(diǎn)在x軸上）或（）（焦點(diǎn)在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當(dāng)時表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線上時，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對稱，同理，以

2、代替方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱。這時，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個，這四個交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。，

3、且越接近，就越接近，從而就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點(diǎn)軌跡是雙曲線（）。注意：式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；時為雙曲線的另一支（含的一支）；當(dāng)時，表示兩條射線；當(dāng)時，不表示任何圖形；兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點(diǎn)注意：如何用方程確定焦點(diǎn)的位置！（2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對稱

4、性：雙曲線關(guān)于每個坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對稱的，這時，坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。頂點(diǎn)：雙曲線和對稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn)。令，沒有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點(diǎn)），雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙

5、曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為： ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當(dāng)時交點(diǎn)在軸，當(dāng)時焦點(diǎn)在軸上。注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。3拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦

6、點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是 ；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個頂點(diǎn)，一個焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。 內(nèi)部教材，請勿外