純策略納什均衡

1、純策略納什均衡出自 MBA智庫百科()純策略納什均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium） 編輯什么是純策略納什均衡純策略納什均衡是指在一個(gè)純策略組合中,如果給定其他的策略不變，該節(jié)點(diǎn)不會(huì)單方面改變自己的策略，否則不會(huì)使節(jié)點(diǎn)訪問代價(jià)變小。 編輯存在純策略納什均衡的有限次重復(fù)博弈1如果重復(fù)博弈中有惟一純策略納什均衡，那么我們?cè)趺凑页鏊募儾呗约{什均衡呢?首先看下面囚徒的困境的博弈的例子： 我們現(xiàn)在考慮該博弈重復(fù)兩次的重復(fù)博弈，這可以理解成給囚徒兩次坦白機(jī)會(huì)，最后的得益是兩個(gè)階段博弈中各自得益之和在兩次博弈過程中，雙方知道第一次博弈的結(jié)果再進(jìn)行二次博弈用逆推歸納法來分析，

2、先分析第二階段，也就是第二次重復(fù)時(shí)兩博弈方的選擇很明顯，這個(gè)第二階段仍然是兩囚徒之間的一個(gè)囚徒的困境博弈，此時(shí)前一階段的結(jié)果已成為既成事實(shí)，此后又不再有任何的后續(xù)階段，因此實(shí)現(xiàn)自身當(dāng)前的最大利益是兩博弈方在該階段決策中的惟一原則 因此我們不難得出結(jié)論，不管前一次的博弈得到的結(jié)果如何，第二階段的惟一結(jié)果就是原博弈惟一的納什均衡(坦白，坦白)，雙方得益(-5，-5) 現(xiàn)在再回到第一階段，即第一次博弈理性的博弈方在第一階段就對(duì)后一階段的結(jié)局非常清楚，知道第二階段的結(jié)果必然是(坦白，坦白)，因此不管第一階段的博弈結(jié)果是什么，雙方在整個(gè)重復(fù)博弈中的最終得益，都將是第一階段的基礎(chǔ)上各加-5因此從第一階段的

3、選擇來看，這個(gè)重復(fù)博弈與圖l中得益矩陣表示的一次性博弈實(shí)際上是完全等價(jià)的 于是我們可以得出惟一純策略均衡的有限次重復(fù)博弈的結(jié)果就是重復(fù)原博弈惟一的純策略納什均衡，這就是這種重復(fù)博弈惟一的子博弈完美納什均衡路徑 如果重復(fù)博弈中有多個(gè)純策略納什均衡，設(shè)某一市場(chǎng)有兩個(gè)生產(chǎn)同樣質(zhì)量產(chǎn)品的廠商，他們對(duì)產(chǎn)品的定價(jià)同有高(H)、中(M)、低(L)三種可能設(shè)高價(jià)時(shí)市場(chǎng)總利潤(rùn)為10個(gè)單位，中價(jià)時(shí)市場(chǎng)總利潤(rùn)為6個(gè)單位，低價(jià)時(shí)市場(chǎng)總利潤(rùn)為2個(gè)單位再假設(shè)兩廠商同時(shí)決定價(jià)格，價(jià)格不等時(shí)低價(jià)格者獨(dú)享利潤(rùn)，價(jià)格相等時(shí)雙方平分利潤(rùn)這時(shí)候兩廠商對(duì)價(jià)格的選擇就構(gòu)成了一個(gè)靜態(tài)博弈問題我們看一個(gè)三價(jià)博弈的重復(fù)博弈的例子： 顯然，這個(gè)

4、得益矩陣有兩個(gè)純策略納什均衡(M，M)和(L，L)，我們也可以看出實(shí)際上兩博弈方最大的得益是策略組合(H，H)，但是它并不是納什均衡現(xiàn)在考慮重復(fù)兩次該博弈，我們采用一種觸發(fā)策略(Trigger Strategy)：博弈雙方首先試圖合作，一旦發(fā)覺對(duì)方不合作也用不合作相報(bào)復(fù)的策略使得在第一階段采用(H，H)成為子博弈完美納什均衡，其雙方的策略是這樣的： 博弈方1：第一次選H；如果第一次結(jié)果為(H，H)，則第二次選M，如果第一次結(jié)果為任何其他策略組合，則第二次選擇L 博弈方2：同博弈方1在上述雙方策略組合下，兩次重復(fù)博弈的路徑一定為第一階段(H，H)，第二階段(M，M)，這是一個(gè)子博弈完美納什均衡路

5、徑因?yàn)榈诙A段是一個(gè)原博弈的納什均衡，因此不可能有哪一方愿意單獨(dú)偏離；其次，第一階段的(H，H)雖然不是原來的博弈納什均衡，但是如果一方單獨(dú)偏離，采用M能增加1單位得益，這樣的后果卻是第二階段至少要損失2單位的得益，因?yàn)殡p方采用的是觸發(fā)策略，即有報(bào)復(fù)機(jī)制的策略，因此合理的選擇是堅(jiān)持H這就說明了上述策略組合是這個(gè)兩次重復(fù)博弈的子博弈完美納什均衡 從上述的例子我們可以看出，有多個(gè)純策略納什均衡的博弈重復(fù)兩次的子博弈完美納什均衡路徑是，第一階段采用(H，H)，第二階段采用原博弈的納什均衡(M，M) 如果這個(gè)重復(fù)博弈重復(fù)三次，或者更多次，結(jié)論也是相似的，仍然用觸發(fā)策略，它的子博弈完美納什均衡路徑為除了

6、最后一次以外，每次都采用(H，H)，最后一次采用原博弈的納什均衡(M，M) 編輯存在純策略納什均衡的無限次重復(fù)博弈1與有限次重復(fù)博弈一樣，無限次重復(fù)博弈也是基本博弈的簡(jiǎn)單重復(fù)，但是無限次重復(fù)博弈沒有最后一次重復(fù)，因此無限次重復(fù)博弈與有限次有一些不同 任何博弈中博弈方策略選擇的依據(jù)都是得益的大小，這在重復(fù)博弈中仍然是成立的但是重復(fù)博弈又與一次性博弈有所不同，因?yàn)樵谥貜?fù)博弈中，每一階段都是一個(gè)博弈，并且各博弈方都有得益，因此對(duì)于重復(fù)博弈，我們要計(jì)算的就是博弈結(jié)束時(shí)的一個(gè)總的得益由于前一次博弈和后一次博弈之間會(huì)有損失，因此我們采用一種方法，就是將后一階段的得益折算成當(dāng)前階段得益的(現(xiàn)在值)的貼現(xiàn)系數(shù)

7、有了貼現(xiàn)系數(shù)，那么在無限次重復(fù)博弈中，某博弈方各階段得益為1,2,.,則該博弈方總得益的現(xiàn)在值為： 對(duì)于存在惟一純策略納什均衡博弈的無限次重復(fù)博弈，我們從下面的例子來看： 其中博弈方1和博弈方2分別表示兩個(gè)廠商，H和L分別表示高價(jià)和低價(jià)顯然，該博弈的一次性博弈有惟一的純策略納什均衡(L，L)，但是這個(gè)納什均衡并不是最佳策略組合，因?yàn)椴呗越M合(H，H)的得益(4，4)比(1，1)要高的多但是由于(H，H)不是該博弈的納什均衡，所以在一次性博弈中不會(huì)被采用根據(jù)上面的分析，此博弈在有限次重復(fù)博弈并不能實(shí)現(xiàn)潛在的合作利益，兩博弈方在每次重復(fù)中都不會(huì)采用效率較高的(H，H)為了實(shí)現(xiàn)效率較高的合作利益(H

8、，H)，假設(shè)兩博弈方都采用觸發(fā)策略，也即報(bào)復(fù)性策略：第一階段采用H，在第t階段，如果前t-l階段的結(jié)果都是(H，H)，則繼續(xù)采用L假設(shè)博弈方1已經(jīng)采用了這種策略，現(xiàn)在我們來確定博弈方2在第一階段的最優(yōu)選擇如果博弈方2采用L，那么在第一階段能得到5，但這樣會(huì)引起博弈方1一直采用L的報(bào)復(fù)，自己也只能一直采用L，得益將永遠(yuǎn)為1，總得益的現(xiàn)在值為 如果博弈方2采用H，則在第一階段他將得4，下一階段又面臨同樣的選擇若記V為博弈方2在該重復(fù)博弈中每階段都采用最佳選擇的總得益現(xiàn)在值，那么從第二階段開始的無限次重復(fù)博弈因?yàn)榕c從第一階段開始的只差一 階段，因而在無限次重復(fù)時(shí)可看作相同的，其總得益的現(xiàn)在值折算成第一階段的得益為，因此當(dāng)?shù)谝浑A段的最佳選擇是H時(shí)，整個(gè)無限次重復(fù)博弈總得益的現(xiàn)在值為 或者 因此，當(dāng) 解得時(shí)，博弈方2會(huì)采用H策略，否則會(huì)采用