第3章試驗(yàn)的方差分析講述

1、第3章 試驗(yàn)的方差分析 n方差分析（方差分析（analysis of variance，簡稱，簡稱ANOVA）檢驗(yàn)試驗(yàn)中有關(guān)因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性檢驗(yàn)試驗(yàn)中有關(guān)因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性n試驗(yàn)指標(biāo)（試驗(yàn)指標(biāo)（experimental index） 衡量或考核試驗(yàn)效果的參數(shù)衡量或考核試驗(yàn)效果的參數(shù) n因素（因素（experimental factor） 影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件 可控因素可控因素（controllable factor） n水平（水平（level of factor）因素的不同狀態(tài)或內(nèi)容因素的不同狀態(tài)或內(nèi)容 3.1 單因素試驗(yàn)的方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析（one

2、-way analysis of variance）3.1.1 單因素試驗(yàn)方差分析基本問題單因素試驗(yàn)方差分析基本問題（1）目的：檢驗(yàn)一個因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著性）目的：檢驗(yàn)一個因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著性（2）基本命題：）基本命題：n設(shè)某單因素設(shè)某單因素A有有r種水平：種水平：A1，A2，Ar，在每種水平，在每種水平下的試驗(yàn)結(jié)果服從正態(tài)分布下的試驗(yàn)結(jié)果服從正態(tài)分布n在各水平下分別做了在各水平下分別做了ni（i1，2，r）次試驗(yàn)）次試驗(yàn)n判斷因素判斷因素A對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響 （3） 單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)表單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)表 試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)A1A2AiAr1x11x

3、21xi1xr12x12x22xi2xr2jx1jx2jxijxrjnix1n1x2n2xinixrnr3.1.2 單因素試驗(yàn)方差分析基本步驟單因素試驗(yàn)方差分析基本步驟 （1）計(jì)算平均值）計(jì)算平均值n組內(nèi)平均值組內(nèi)平均值 ：111inrijijxxn11iniijjixxnn 總平均總平均 ：（2）計(jì)算離差平方和）計(jì)算離差平方和總離差平方和總離差平方和SST（sum of squares for total）211()inrTijijSSxxn 表示了各試驗(yàn)值與總平均值的偏差的平方和表示了各試驗(yàn)值與總平均值的偏差的平方和n 反映了試驗(yàn)結(jié)果之間存在的總差異反映了試驗(yàn)結(jié)果之間存在的總差異 組間離差

4、平方和組間離差平方和 SSA （sum of square for factor A）22111()()inrriiAiijiSSxxn xxn 反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度n 由于因素由于因素A不同水平的不同作用造成的不同水平的不同作用造成的 組內(nèi)離差平方和組內(nèi)離差平方和 SSe （sum of square for error）n反映了在各水平內(nèi)，各試驗(yàn)值之間的差異程度反映了在各水平內(nèi)，各試驗(yàn)值之間的差異程度 n由于隨機(jī)誤差的作用產(chǎn)生由于隨機(jī)誤差的作用產(chǎn)生 211()inrieijijSSxx三種離差平方和之間關(guān)系：三種離差平方和之間關(guān)系： TAeSSS

5、SSS（3）計(jì)算自由度（）計(jì)算自由度（degree of freedom） n總自由度總自由度 ：dfTn1n組間自由度組間自由度 ：dfA r1n組內(nèi)自由度組內(nèi)自由度 ： dfe nr 三者關(guān)系三者關(guān)系： dfT dfA dfe（4）計(jì)算平均平方）計(jì)算平均平方n均方離差平方和除以對應(yīng)的自由度均方離差平方和除以對應(yīng)的自由度 /AAAMSSSdf/eeeMSSSdfMSA組間均方組間均方MSe組內(nèi)均方組內(nèi)均方/誤差的均方誤差的均方（5）F檢驗(yàn)檢驗(yàn)n服從自由度為（服從自由度為（dfA,dfe）的）的F分布（分布（F distribution）n對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平 ，從，從F分

6、布表查得臨界值分布表查得臨界值F (dfA，dfe) n如果如果FA F (dfA，dfe) ，則認(rèn)為因素，則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響否則認(rèn)為因素響否則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果沒有顯著影響對試驗(yàn)結(jié)果沒有顯著影響 AAeMSFMS組間均方組內(nèi)均方（6）方差分析表）方差分析表 n若若 FA F0.01(dfA，dfe) ，稱因素，稱因素A對試驗(yàn)結(jié)果有非常顯著的對試驗(yàn)結(jié)果有非常顯著的影響，用影響，用 “* *”號表示；號表示； n若若 F0.05(dfA，dfe) FA F0.01(dfA，dfe) ，則因素，則因素A對試驗(yàn)對試驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響，用結(jié)果有顯著的影響，用“*”號表

7、示；號表示； n若若 FA F0.05(dfA，dfe) ，則因素，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著對試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著單因素試驗(yàn)的方差分析表單因素試驗(yàn)的方差分析表 差異源差異源SSdfMSF顯著性顯著性組間（因素組間（因素A）SSAr1MSASSA（r1）MSAMSe組內(nèi)（誤差）組內(nèi)（誤差）SSenrMSeSSe（nr）總和總和SSTn13.1.3 Excel在單因素試驗(yàn)方差分析中的應(yīng)用在單因素試驗(yàn)方差分析中的應(yīng)用n利用利用Excel “分析工具庫分析工具庫”中的中的“單因素方差分析單因素方差分析”工具工具 3.2 雙因素試驗(yàn)的方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析n討論兩個因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性

8、，又稱討論兩個因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性，又稱“二元方差二元方差分析分析”3.2.1 雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析（1）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)B1B2BsA1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs（2）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟 計(jì)算平均值計(jì)算平均值 n總平均總平均 ：111rsijijxxrs 11siijjxxs11rjijixxrn Ai水平時水平時 ：n Bj水平時：水平時： 計(jì)算離差平方和計(jì)算離差平方和 n總離差平方和：總離差平方和：n因素因素A引起離差的平方和：引起離差的平方和：

9、n因素因素B引起離差的平方和：引起離差的平方和：n誤差平方和：誤差平方和：211rsTijABeijSSxxSSSSSS22111()()srriiAjiiSSxxsxx22111()()rssjjBijjSSxxrxx211()rsijeijijSSxxxx計(jì)算自由度計(jì)算自由度 nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSe的自由度：的自由度：dfe（r1）（）（s1）nSST的自由度：的自由度：dfTn1rs1 ndfT dfA dfB dfe計(jì)算均方計(jì)算均方 1AAAASSSSMSdfr1BBBBSSSSMSdfs(1)(1)eeeeSSSSMS

10、dfrsF檢驗(yàn)檢驗(yàn) nFA服從自由度為（服從自由度為（dfA,dfe)的的F分布；分布；nFB服從自由度為（服從自由度為（dfB,dfe)的的F分布；分布；n對于給定的顯著性水平對于給定的顯著性水平 ，查，查F分布表：分布表： F （dfA,dfe)， F （dfB,dfe)n若若FAF （dfA,dfe)，則因素，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；則無顯著影響； n若若FBF （dfB,dfe)，則因素，則因素B對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；則無顯著影響；BBeMSFMSAAeMSFMS差異源差異源SSdfMSF顯著性顯著性

11、因素因素ASSAr1因素因素BSSBs1誤差誤差SSe總和總和SSTrs1無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表 1AASSMSrAAeMSFMS1BBSSMSsBBeMSFMS(1)(1)rs(1)(1)eeSSMSrs無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表因素因素B1B2BsA1A2Ar3.2.2 雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析 （1）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表 11111211,.,cxxx12112212,.,cxxx1 11 21,.,ssscxxx21121221,.,cxxx22122222,.,cxx

12、x2 12 22,.,ssscxxx11121,.,rrr cxxx21222,.,rrr cxxx12,.,rsrsrscxxx雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表 （2）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟計(jì)算平均值計(jì)算平均值n總平均總平均 ：n任一組合水平（任一組合水平（Ai，Bj）上）上 ：nAi水平時水平時 ：nBj水平時水平時 ：1111rscijkijkxxrsc 11cijijkkxxc11siijkjxxsc11rjijkixxrc計(jì)算離差平方和計(jì)算離差平方和n總離差平方和：總離差平方和：n因素因素A引起離差的平方和：引起離差

13、的平方和：n因素因素B引起離差的平方和：引起離差的平方和：n交互作用交互作用AB引起離差的平方和：引起離差的平方和：n誤差平方和：誤差平方和：2111()rscTijkABABeijkSSxxSSSSSSSS 21()riAiSSscxx21()sjBjSSrcxx 211()rsijijA BijSScxxxx 2111()rscijeijkijkSSxx 計(jì)算自由度計(jì)算自由度nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSAB的自由度：的自由度： dfAB (r1)(s1)nSSe的自由度：的自由度：dfers(c 1)nSST的自由度：的自由度：df

14、Tn1rsc1 ndfT dfA dfB dfAB dfe計(jì)算均方計(jì)算均方1AASSMSr1BBSSMSs(1)(1)A BA BSSMSrs(1)eeSSMSrs cF檢驗(yàn)檢驗(yàn)n若若FAF （dfA,dfe)，則認(rèn)為因素，則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；否則無顯著影響； n若若FBF （dfB,dfe)，則認(rèn)為因素，則認(rèn)為因素B對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；否則無顯著影響；n若若FABF （dfAB,dfe)，則認(rèn)為交互作用，則認(rèn)為交互作用AB對試驗(yàn)結(jié)對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響果有顯著影響，否則無顯著影響。AAe

15、MSFMSBBeMSFMSA BA BeMSFMS重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表3.2.3 Excel在雙因素方差分析中的應(yīng)用在雙因素方差分析中的應(yīng)用 （1）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析n利用利用“分析工具庫分析工具庫”中的中的“無重復(fù)雙因素方差分析無重復(fù)雙因素方差分析”工具工具（2）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析n利用利用“分析工具庫分析工具庫”中的中的“重復(fù)雙因素方差分析重復(fù)雙因素方差分析”工具工具 人有了知識，就會具備各種分析能力，人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說古人說“書中自有