傳染病模型數(shù)學(xué)建模論文

1、WORD格式甲型 H1N1流感傳播模型研究摘要本文采用了SIR模型對(duì)的甲型h1n1 流感病毒的傳播規(guī)律進(jìn)展了研究和預(yù)測(cè)，文章收集了美國地區(qū)的甲流實(shí)驗(yàn)室確認(rèn)病例數(shù)量的數(shù)據(jù)，對(duì)模型進(jìn)展了驗(yàn)證， 并提出了如何降低流感在人群中發(fā)病率的倆種可靠方法。專業(yè)資料整理WORD格式一、問題重述近年來由墨西哥發(fā)端的甲型 h1n1 型流感又稱豬流感正成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)，通過相關(guān)獲得數(shù)據(jù)， 建立一個(gè)模型對(duì)甲型 h1n1 流感的走勢(shì)進(jìn)展預(yù)測(cè)。二、問題分析甲型 h1n1 流感的傳播是一道傳染病問題。在數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域已經(jīng)有很多關(guān)于這方面的研究，其中 SIR 模型是比較完整的模型。 SIR 模型通過建立微分方程組，按照一般的傳

2、播機(jī)理建立集中模型。本文選取美國地區(qū)的甲流實(shí)驗(yàn)室確認(rèn)病例數(shù)量，建立 SIR 模型，對(duì)甲型 h1n1 流感的傳播規(guī)律進(jìn)展預(yù)測(cè)。美國甲型 H1N1流感實(shí)驗(yàn)室確認(rèn)病例數(shù)量：時(shí)間確診包括死亡病例死亡累計(jì)4月 23日504月 24日804月 25日1104月 26日2004月 27日4004月 28日6404月 29日9104月 30日10915月 1 日14115月 2 日16015月 3 日22615月 4 日27915月 5 日40315月 6 日64225月 7 日89625月 8 日163925月 9 日225425月 10日253235月 11日260035月 12日300935月 13日3

3、35245月 14日429845月 15日47144三、建立模型專業(yè)資料整理WORD格式一、不考慮潛伏期的數(shù)學(xué)模型專業(yè)資料整理WORD格式1、模型假設(shè)（ 1、在甲型 H1N1流感傳播期內(nèi)，美國境內(nèi)的總?cè)藬?shù)為 N億不變，既不考慮生死，也不考慮遷移， 人群分為易感染者 S，發(fā)病人群 I 和退出人群 R(括死亡者和治愈者 ) 四類，時(shí)刻 t 內(nèi)這三類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別為s(t) 、i(t)、r(t)。專業(yè)資料整理WORD格式 2、i(t)關(guān)于時(shí)間的增長率與s(t)成正比，比例常數(shù)為。專業(yè)資料整理WORD格式病人的數(shù)量減少速度與當(dāng)時(shí)的病人總?cè)藬?shù)成正比，比例常數(shù)為 。治愈的病人具有了免疫力，即治愈

4、后不再會(huì)成為二次患者。（ 3、s(t) 、r(t) 、i(t) 之和是一個(gè)常數(shù) 1。2、模型構(gòu)成易感者和發(fā)病者有效接觸后成為發(fā)病者者。設(shè)每個(gè)發(fā)病者平均每天有效接觸的易感者數(shù)為S (t ) ， NI ( t ) 個(gè)發(fā)病者平均每天能使S (t ) NI (t ) 個(gè)易感者成為病毒潛伏者。所以有：dS (t )1S ( t ) I (t )dt單位時(shí)間內(nèi)退出者的變化等于發(fā)病人群的減少，即dR ( t ) 2I ( t )dt發(fā)病人群的變化等于易感人群轉(zhuǎn)入的數(shù)量，即dI (t )3S ( t ) I ( t )I (t )dt記初始時(shí)刻的*者和病人的比例分別為S0、 R0不妨設(shè) R0=0。3、模型求解

5、方程組 1、2、3無法求出解析解，我們定義一個(gè)新的變量/ ，于是可以求出方程的解為：i( s0i 0 ) s1s 4lns0下面分析 s(t)、i(t)、r(t)的變化情況：a、不管初始條件S0、 R0如何，病人最終將消失，即 i0 。b、最終未被感染者的*者的比例是s ，是方程( s0i 0 )1lns在 (0,1/) 內(nèi)的根。s0s0C、假設(shè)s01 / ，那么開場(chǎng)有： i ( t ) 先增加。當(dāng) s0 1 /時(shí)， i (t ) 到達(dá)最大值， 然后 i ( t )專業(yè)資料整理WORD格式減小且趨于零，s( t ) 那么單調(diào)減小至s。d、假設(shè)s01 /，那么i (t ) 單調(diào)減小至 5， s

6、(t )那么單調(diào)減小至 s 。我們發(fā)現(xiàn)人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率越??；醫(yī)療水平越高，日治愈率越高，于是 越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有利于傳染病的蔓延。結(jié)合美國的具體情況和假設(shè)條件進(jìn)展分析：根據(jù)所得的數(shù)據(jù)畫出美國患病人數(shù)變化曲線和治愈人數(shù)變化曲線：專業(yè)資料整理WORD格式根據(jù)圖形來看，甲型h1n1 流感在美國呈現(xiàn)出蔓延的形式，即現(xiàn)在屬于s0 1 /的情況，即/1 / s0。由假設(shè)條件可知的取值X圍在 1.4 1.6之間?，F(xiàn)在我們?nèi)?1.6 ，那么表示/ (1 / s0 ) 1.6 ，即美國每天平均治愈的人數(shù)最多為1.6 人，這與美國疾病預(yù)防與控制中心所發(fā)布的數(shù)據(jù)不同。如果美國平均每天治愈

7、 1.6 個(gè)人的話，那么從 4 月 23 日期，治愈的總?cè)藬?shù)為1.6 * 23 36.8人，這與實(shí)際的情況相差甚遠(yuǎn)。產(chǎn)生這個(gè)問題的原因有以下幾個(gè)方面：第一：對(duì)每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)估計(jì)值偏小。 不是簡單的成正比關(guān)系，應(yīng)該是成屢次方關(guān)系，甚至是指數(shù)關(guān)系。第二：美國疾病預(yù)防與控制中心所得到的數(shù)據(jù)具有滯后性。第三：在美國s00 不一定成立?？梢园涯切┥眢w強(qiáng)壯的、注意自己個(gè)人衛(wèi)生的人排除在外。二、考慮潛伏期的數(shù)學(xué)模型1、模型假設(shè)專業(yè)資料整理WORD格式（ 1、在甲型 H1N1流感傳播期內(nèi)，美國境內(nèi)的總?cè)藬?shù)為 N億不變，既不考慮生死，也不考慮遷移， 人群分為易感染者 S，病毒潛伏人群 E, 發(fā)病

8、人群 I 和退出人專業(yè)資料整理WORD格式群 R(括死亡者和治愈者 ) 四類，時(shí)刻t內(nèi)這三類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別為st 、 e t 、 it 、 rt。 2、每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)為，稱為日接觸率， 當(dāng)已感染者與易感染者有效接觸時(shí)， 使易感染者變?yōu)椴《緷摲巳海?病毒潛伏人群過一段時(shí)間再轉(zhuǎn)換成發(fā)病人群，發(fā)病人群被治愈。2、模型構(gòu)成易感者和發(fā)病者有效接觸后成為病毒潛伏者。設(shè)每個(gè)發(fā)病者平均每天有效接觸的易感者數(shù)為(t ) S (t ) ，NI (t ) 個(gè)發(fā)病者平均每天能使(t ) S (t ) NI (t ) 個(gè)易感者成為病毒潛伏者。dS ( t )(t ) S (t ) N I (

9、t )化簡得：所以有 NdtdS (t )( t ) S ( t ) I ( t )dt病毒潛伏人群的變化等于易感人群轉(zhuǎn)入數(shù)量減去轉(zhuǎn)化為發(fā)病人群的數(shù)量，即dE ( t )(t ) S ( t ) I ( t )( t ) E (t )dt其中(t ) 表示潛伏期日發(fā)病率，即每個(gè)潛伏者平均有效發(fā)病的人數(shù)。單位時(shí)間內(nèi)退出者的變化等于發(fā)病人群的減少，即dR ( t )(t ) I (t )dt其中(t ) 表示日退出率，即每個(gè)病人平均有效病情完畢的人數(shù)。發(fā)病人群的變化等于潛伏人群轉(zhuǎn)入的數(shù)量，即dI (t )(t ) E (t )( t ) I ( t )dts( t ) i (t ) r (t )1初始時(shí)刻易感染者，已感染者與病愈免疫者的比例分別是s0 ( s00), i0 (i 00), r003、模型求解由于潛伏期的人群數(shù)量不能確定，所以可視為是易感人群的一局部，因此求解過程跟忽略潛伏期的一樣。專業(yè)資料整理WORD格式四、模型的改進(jìn)專業(yè)資料整理WORD格式就如何確定日接觸率的值。就如何